重庆市巴蜀中学校2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学试卷 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上： 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效。 3.综合题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域 均无效。 4、考试结束后，将答题卡交回，试题卷自行保存。 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分 1.复数z=(1+2)在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知平面向量a与的夹角为60，a非2,1=1，则a+25=() A.1 B.√5 C.2W3 D.4 3.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,OM=3M,BN=NC,则M=（ a-26+ A.2-38 2 B.a- 4.设m,n是两条不同的直线，α，B是两个不同的平面.下列命题中正确的是( A.若a⊥B,a∩B=m,n⊥m,则n⊥B B.若a⊥B,m⊥a,n,B,则m⊥n C.若anB,m⊥a,niB,则m⊥n D.若m⊥a,ncB,m⊥n,则a⊥B 5.在正三棱柱ABC-AB,C中，BC=2,BB,=1,则直线AC与平面A4,B,B所成角的正弦值为（) A. 10 B. v15 c.10 D. 5 5 5 10 10 6.在A1BC中，角4B,C的对应边分别为a,bc,且cosB=a+c a2 b2 22c’ 则ABC的形状为() sin 2A sin 2B A有一个角是30°的等腰三角形 B.有一个角是30°的直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 高一数学第1页共4页 7.已知三棱锥P-ABC,PAL平面ABC,∠ABC=90,AB=V3BC,PA=VBC,三棱锥P-BC的体积为2 3 则三棱锥P-ABC外接球的表面积是() A、12 B.16元 C.24元 D.48元 8.如图，在棱长为3的正方体ABCD-ABCD中，点M,N分别在线段AD,和B,C上，下面结论中正确的是() A.N为中点时，过B、N、D1三点的正方体截面是正方形 D B.B,N=2NC时，过N、A、D,三点的正方体截面周长是4W2+2W10 A C.过点B,M,N三点的正方体截面一定是平行四边形 D.过点M、B1、C的正方体截面不可能是平行四边形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9已知复数：=器，则以下说法正确的是() A.z的虚部是1 B.z的共轭复数z=-1+i C.复数z是方程x2-2x+2=0的一个根 D.4=2 10.在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学做了一次实地测量活动。如图，A、B两点都在河的 对岸（不可到达），他取了相距100米的C、D两点作为测量基点(A、B、C、D四点在同一平面，点C在点D 的正西方向)测得∠ADB=45°，∠ADC=15°，∠BCD=60°，∠ACB=75°，点A处有一座塔，站在D处看 塔尖，测得仰角为15°（身高忽略不计)，经过计算得到如下数据，则其中正确的是（) A.点A在点D的北偏西15°方向上 B.AD=100V2米 C.AB=100米 D.塔高100(2W2-√6米 高一数学第2页共4页 11.如图，直四棱柱ABCD-A,B,C,D,各棱长均为2，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，点P是棱B,C,上的 动点（包含端点），记四棱柱ABCD-A,B,CD,的体积为V。、以下说法正确的是（) A三楼锥P-4BC的体积为 2 B.点P在运动过程中，如果记三棱锥P-AD,C体积的最大值为Y, B C 最小值为y2,则Y=2V B, C.当点P位于B,时，三棱锥P-ABC的外接球半径为√ D.直线DP与平面AADD所成的角的正切值的最大值为1 B 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a=1,2,1),b=(-1,1,2),若(a-6)1a,则2= 13.正四棱台的上下底面边长分别是2cm和4cm,侧棱长是√11cm,则该正四棱台的体积为 cm3. 14.已知△4BC中，BC3,AC=4,R是BC上一个定点，满足BR,=2P,C,且对于边BC上任意一点P,恒有 PA·PC≥PoAB,C,则△4BC的面积为 四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 在棱长为2的正方体ABCD-ABGD中，E是楼BC的中点. (I)求证：BD∥平面CDE; (2)求直线DE与直线DB所成角的余弦值. 16.(本小题满分15分) 在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足， a+b sin A-sin B sinC-sin B' 且a=V5, (I)若O为dABC的外接圆，求O的半径R; (2)求ABC面积的最大值. 高一数学第3页共4页 17、(本小题端分15分) 如图、在底而为菱形的四梭瓶P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AC与BD相交于点O. (I)证明：平面PBD⊥平而PAC, (2)若P0=AB=V5,AO=】,求二而角C-PB-D的正弦值. 18.(本小题满分17分) BC AB 如图，已知四边形ABCD四点共圆，且 ,已知AB=3,AD=3CD, coS∠CAB cos∠ACB (I)若tanD=√3，求三角形ABC周长： (2)若CD=2,求四边形ABCD的面积S: ()求C的最大值 BD 19.(本小题满分17分) 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD/BC,AB⊥AD,AB=AD=2,BC=1.侧面PAB⊥底 面ABCD,且PA⊥PB,点M在侧棱PC上. (1)证明：PA⊥PC: (2)若点M为PC的中点，当∠CPD最大时，求|DM|: (3)若点N在△MAB的内部，且PN=xPA+yPB+zPM（x,,z∈R),求x2yz+xyz的最大值. 《已知n个正数的算术平均数满足不等关系：马+++04≥a4,…口 当且仅当41=a2=…=an时取等号) 高一数学第4页共4页高2028届高一（下）期末考试 数学 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分. 2 4 5 6 > 8 0 B 0 y 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ACD BCD BC 二、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12 13 14 5 28 35 四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)】 D 在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，E是棱BC的中点. B ()求证：BD,∥平面CDE: (2)求直线DE与直线D,B所成角的余弦值. 【详解】(1)连接CD,交C,D于F,连接EF,如图所示： 因为CDDG为正方形，所以F为CD的中点， 因为E是棱BC的中点，所以EF为△BD,C的中位线，则EFWBD, 因为EFc平面CDE,BDa平面CDE, 所以BD∥平面CDE (2)正方体中DD垂直平面ABCD,则DD⊥DA,DD⊥DC, 则以D为原点，DA,DC,DD为x,y:轴正方向建系，如图所示， 所以D(0,0,0),D(0,0,2),E1,20)B(2,2,0) 则DE=L,2,0),DB=(2,2-2, 则cos<AC·DE>= DE.AC 2+4+0一=压 D,E4CV4+4+41+4+0 5 15.(本小题满分15分) c a+b 在△M8C中，角A8,C所对的边分别为a么c,满足n仁in "sin C-mB且a=5. (I)若⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径R: (2求△ABC面积的最大值. 【答案1ae29 【详解】(1)由正弦定理原式a-b。 是产a可化2-治 c a+b 整理得：d-b=c2-bc,即b2+C2-ad=bc, 由余定理cs4+,代入得co上 2bc 派宁故4 由正弦定理可得2R=0= 3 RnA石2，所以o0的半径R为1： 2 (2)由(1)得b2+c2-bc=a2=3≥2bc-bc,.bc≤3（当且仅当b=c时取等） s=二bcsin A≤2x3x,=22 2=4 17.(本小题满分15分) 如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AC与BD相交于点O. (I)证明：平面PBD⊥平面PAC: (2)若PO=AB=√5，AO=1,求二面角C-PB-D的正弦值. 【答案】(1)见详解25 5 【详解】(I)因为PA⊥底面ABCD,BDc底面ABCD,所以PA⊥BD: 又底面ABCD是菱形，菱形对角线互相垂直，故BD⊥AC, PAOAC=A,PA,ACc平面PAC,因此BDL平面PAC, 又BDc平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAC: (2)以O为坐标原点，以OC,OD所在直线为x,y'轴，过点O作底面ABCD的垂线为：轴， 建立空间直角坐标系，则O(0,0,0),P(-1,0,2),B(0-2,0),D(0,2,0),C(10,0) PB=1,-2,-2),BD=(0,4,0),BC=12,0) 设平面PBD的法向量为=化)，则aD=0 PB=0 即-2-2：=0，令：=1，则万=2.0，： 4y=0 7PB=0 设平面PBC的法向量为m=(:,y,),则 BC=0 即5-2y-2=0 ,令片=-1，则m=(2,1,2): +2男=0 万m 4+0+2 则lo元m同2+平2+-+ 25 5, 二面角C-PB-D正弦值为 5 18.(本小题满分17分) 国.已东达形AD因点线.且o2c百已奥4B=3A0=30 AB Q)若tamD=√5，求三角形ABC周长： (2)若CD=2,求四边形ABCD的面积S: 日味品的最大值。 【答案】)6+35(258)25 3 os∠CABcos乙CB,所以n<C4B-sm∠4CB 【详解】()因为BC AB cos∠CAB cos∠ACB 所以an∠CAB=tan∠ACB,所以∠CAB=∠ACB,所以AB=BC=3 mD=5:∠D=:ABCD四点共圈∠B=-∠D=2I:∠BAC=∠BCA= 3 6 2 =ABCOS.4C=35:△4BC周长=3W5+6 6 (2)若CD=2,则AD=6,又AB=3, 由余弦定理得，|BD=ABf+MD-24 BAD]cos∠BAD=45-36cos∠BAD, 由(1)知BC=AB=3, BD=BC+CDP-2BCCDlcos ZBCD=13+12cos ZBAD, 所以45-3os☑B4D=1B+2cBAD,则es∠B4D-号 所以sn∠BAD= =sin∠BCD, 3 所以S=ABMD卟n∠BAD+CDin∠BCD=45: (3)设CD=x,LADC=a, 则AD=3x∠ABC=T-a, 由余弦定理得，4C=4Bf+BCf-2ABBC|cos(a-a)=18(1+cosa), CP=4D+CDP-2MDICDlcosa=10x2-6xicosa=x(10-6cosa). 所以180+osa)=(10-6cosa,即r2_9+cos@ 5-3cosa 又因为BDf-AB+ADf-2 4BAD]cos∠BAD=9+9x2-18xcos∠BAD, BD=BC+CD-2BCICDlCos ZBCD=9+-6x cos(-ZBAD), 所以9+9r-l8cos∠BMD=9+r产+6rcos∠BAD,解得cos∠BAD=背 所以BD2=9++6rcs∠BAD=9+3=9+270+cos@。72 5-3cosa 5-3cosa o)coa)(5-3cma)cos 所以BD= 72 5-3cosa 放当ma时（二）手则二的最大值为29 19.(本小题满分17分) 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD/BC,AB⊥AD,AB=AD=2,BC=1.侧面PAB⊥底 面ABCD,且PA⊥PB,点M在侧棱PC上. (1)证明：PA⊥PC: (2)若点M为PC的中点，当∠CPD最大时，求|DM|: (3)若点N在△MAB的内部，且PN=xPA+yPB+:PM(x,y,:∈R),求x2z+3z的最大值： (已知n个正数的算术平均数满足不等关系：4+++0≥a4,…口 当且仅当a,=42=…=an时取等号) 【答案】(1)见详解 A (2)当∠CPD最大时，1DM1=5图 4 (2)最大值为，27 1024 【详解】(1)，AD/BC,AB⊥AD,∴.BC⊥AB 侧面PAB⊥底面ABCD,两个面的交线为AB且BCc平面ABCD ∴.BC⊥平面PAB, ∴BC⊥PA, 又因为PB⊥PA,BC∩PB=B,BC,PBC平面PBC, ∴PA⊥平面PBC,,PA⊥PC, (2)由(1)可知∠PBC=∠PAD= 2 过点C作CE⊥AD于E,则四边形ABCE为矩形，且CE=AB=2,DE=AD-AE=1, ∴.CD=VCE2+DE=V5, 设PA=x,0<x<2,则PB2=4-x2, PC2=PB2+BC2=AB2-P+BC2=4-x2+1=5-x2, PD2=AD2+PA2=4+x PC2+PD2-CD2 4 4 4年 由余弦定理，cOs∠CPD= 2PC.PD 2W5-x24+r26-x)+4+x9 当且仅当5-x=4+x,即x=5时取符等号，由余弦函数在(0，)上单调递减可知此时∠CPD最大 2 断po-号c-号pr--号 -21 48 :DM=PD2+PM2-2PD-PM cOs /CPD 199 -2. 334_5⑧ V28 22W294 (3)N在△ABN的内部，所以存在实数2,4，使MN=M☑A+MB,且1>0，H>0,2+H<1, ∴PN-PM=PA-PM+PB-PM 整理得PN=PA+uPB+(1-1-)PM,由已知可得， x=元，y=4,2=1-元-4，x,y,z>0且x+y+2=1 r+:=9y(x+0=9l-)s(4y:0-)=0- 2 4 :0-_30-1-0-s13+1-:+1-3+1-5y=27 4 3×4 12 4 1024 x= x=y 3:=1-:即y=时等号成立，因此xz+灯yz的最大值为024 27 当且仅当 x+y+2=1 A