精品解析：江西九江市六校联考20265-2026学年高一下学期期末考试数学试题

高一年级下学期期末考试 数学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：必修第二册． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为纯虚数，则实数的值为（   ） A. 0 B. 2或 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由为纯虚数，可得，解得. 2. 已知一个扇形的圆心角为，则这个圆心角的弧度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为一个扇形的圆心角为， 所以这个圆心角的弧度数为. 3. 如图，在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点，则下列说法错误的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：因为，，所以，故D正确. 4. 已知一个四边形的直观图是边长为2的菱形，且该菱形的一组邻边分别平行于轴和轴，则原四边形的面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图的定义，将这个四边形进行还原，还原之后再使用面积公式进行求解. 【详解】因为四边形的直观图是边长为2的菱形，且该菱形的一组邻边分别平行于轴和轴， 所以原图是一个长为，宽为的长方形，故原四边形的面积为. 5. 已知，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用二倍角公式，弦化切计算. 【详解】 6. 已知在平面直角坐标系中，点，点在直线上．若向量在向量方向上的投影向量的模为，则点的坐标为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为点在直线上，设，由可得，. 在方向上投影向量的模为 ​， 两边平方化简得，即， 解得，，因此点的坐标为. 7. 如图，中国传统玩具“滚灯”常由内外两层球壳构成，中间有支撑，可自由转动．现有一简化模型：由外层空心球与内层同心小球组成，外层球表面积是内层小球表面积的9倍，两者间空心部分体积为，则外层球半径为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设外层球半径为，内层小球半径为，利用“大球体积减去小球体积为空心部分体积”，列方程，解方程，可得答案. 【详解】设外层球半径为，内层小球半径为， 由外层球表面积是内层小球表面积的9倍， 得， 即， 即， 由题意得： ， 将体积公式代入： ， ， 把代入，得： ， 解得：， 因为， 所以外层球半径：. 8. 已知在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则面积的最大值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用正弦定理将条件转化为边的关系，再利用余弦定理消去推出 为定值，由基本不等式得的最大值，最后将面积用表示，进而求最大值. 【详解】根据正弦定理，已知等式可化为， 由余弦定理得， 已知 ，代入得. 由基本不等式 ，得 ，当且仅当时取等号. 由，得​​， 则面积为 ， 当取最大值3时，取最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（   ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，， 所以，故A错误； 对于B，在复平面内对应的点为，位于第二象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确. 10. 在空间中，设，为两个不同的点，，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（   ） A. 若，，且，则 B. 若，则与平行或异面 C. 若，，且，则 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平面基本定理判断A，B，应用面面平行得出线线关系判断C，利用面面垂直的性质可判断D选项的正误； 【详解】对于A选项，，，且，则，A选项正确； 对于B选项，若，则或异面，B选项正确； 对于C选项，若，，且，则或异面，C选项错误； 对于D选项，若，，当，则，当不垂直，则不垂直，D选项错误. 11. 某风力发电机的三个叶片均匀分布，每个叶片长度为20米，轮毂中心离地面80米．叶片以恒定角速度逆时针旋转，每圈用时6秒．为简化只研究其中一个叶片，其尖端在垂直平面内运动，叶片尖端距离地面的高度记为．设时该叶片与竖直向上方向（正上方）的夹角为（即顺时针偏转），则下列说法正确的有（   ） A. B. 在一个周期内，叶片尖端距离地面的高度不低于90米的时间占总时间的 C. 方程在区间上所有解的和为4.5 D. 若对任意恒成立，则的最小正值为1.5 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数模型的应用. 由角速度，初始相位，写出高度函数，验证A；利用正弦函数的性质解不等式, 验证B; 由得,解方程验证C; 由恒成立,并结合函数对称性验证D. 【详解】对于A，角速度，初始相位， 高度函数，故A正确. 对于B，令，得. 设，当时. 解，得. 对应的长度分别为和， 总长度秒，占周期秒的，故B正确. 对于C，由得， 即，其中. 利用和差化积可得，得， 所以，即. 因此，解得. 在内，解为和，和为，不是，故C错误. 对于D，由恒成立，得. 设，，则 对任意恒成立.根据正弦函数性质，需满足（另一情形不可能恒成立）， 即，解得，最小正值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为_______． 【答案】 【解析】 【分析】需根据绝对值的定义，分情况讨论的符号解得结果； 【详解】当时，， 当时，， 合并值域为 故答案为：. 13. 若存在不相等的实数，使得，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先将式子化简，再运用正弦函数的相关性质将题目转化为方程的有解问题，最后结合题目条件建立不等式求出结果. 【详解】由题可得， 即，因为正弦函数的值域为，故， 题目为存在不相等的实数， 则，在内至少有两个解， 因此，因为 ，所以， 因为在内至少有两个解，所以， 解得. 14. 如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，，______；的最大值为______． 【答案】 ①. 2 ②. 2 【解析】 【分析】根据向量的线性运算结合模长即可求得第一空答案；设，作，交的延长线于E，求出，继而求出，结合数量积的几何意义，即可求得答案. 【详解】由题意可知O为的中点，且， 则； 设，作，交的延长线于E， 在中， 故，则， ，又，故， 则， 故， 当时，取到最大值2， 故答案为：2；2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，且． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的平方关系和商的关系及诱导公式进行求解； （2）由及的范围求出的值，将凑成，即可根据两角差的余弦公式展开求解. 【小问1详解】 由，得． 又． ． 所以； 【小问2详解】 由， 则， 则． 故 ． 16. 已知复数满足，且的实部大于0．设． （1）求复数； （2）若复数是关于的实系数二次方程的一个根，求，的值． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【小问1详解】 设，则． 代入得， 即． 由复数相等得, 由的实部大于0，即，解得，， 此时． 则． 【小问2详解】 由（1）知，其共轭复数． 因为实系数二次方程的虚根成对出现，所以另一根为， 由韦达定理， ， 故，． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角的大小； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象．若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先应用余弦定理结合二倍角正弦公式计算，最后应用角的范围求解； （2）应用平移得出，再应用正弦定理计算求解. 【小问1详解】 由题意得． 由余弦定理， 代入得． 因为，所以． 又，则， 故，解得 【小问2详解】 由（1）知，则， 向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到． 由，得， 故， 又，故． 18. 如图，在三棱锥中，平面，，，，点，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）在中，因为，分别为，的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理可得，利用线面平行的判定定理可证结论； （2）由题意可得，进而根据计算即可求解； （3）过点作，由题意可得，可得平面，当点与重合时，结论成立. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由于，分别为，的中点， 故． 记到平面的距离为， 则． ， 故的体积为． 【小问3详解】 过点作， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以， 所以平面，又平面，所以平面平面， 故取点与重合时，平面平面，此时． 19. 已知平面向量，满足，，且与的夹角为．对于任意实数，定义，． （1）当时，求的最小值及相应的值； （2）设，若在上有最小值，求的取值范围，并求出此时的最小值（用表示）； （3）在（2）的条件下，若不等式，对一切使有最小值的恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1），此时 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将化简，利用二次函数的性质求解； （2）将化简，利用二次函数的性质及在上有最小值求出的取值范围，得到顶点横坐标，代入求出； （3）计算，令，将进行化简，分离参数得，根据函数的单调性求出实数的最小值. 【小问1详解】 当时，， ． 故当时，取最小值， 所以，此时． 【小问2详解】 ． 这是关于的二次函数，对二次项系数分情况讨论： 当，即时，二次项系数，抛物线开口向上，在上有最小值； 当，即时，，无最小值； 当，即时，二次项系数，抛物线开口向下，无最小值． 因此，的取值范围为． 此时，最小值在顶点处取得，顶点横坐标， 代入得 ． 故． 【小问3详解】 ． 不等式对任意恒成立， 即，． 令，不等式化为． 由于，分离参数得． 又，即恒成立． 记，单调递增． 因此对任意，有． 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级下学期期末考试 数学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：必修第二册． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为纯虚数，则实数的值为（   ） A. 0 B. 2或 C. 2 D. 2. 已知一个扇形的圆心角为，则这个圆心角的弧度数为（   ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点，则下列说法错误的是（   ） A. B. C. D. 4. 已知一个四边形的直观图是边长为2的菱形，且该菱形的一组邻边分别平行于轴和轴，则原四边形的面积为（   ） A. B. C. D. 5. 已知，则（   ） A. B. C. D. 6. 已知在平面直角坐标系中，点，点在直线上．若向量在向量方向上的投影向量的模为，则点的坐标为（   ） A. B. C. D. 7. 如图，中国传统玩具“滚灯”常由内外两层球壳构成，中间有支撑，可自由转动．现有一简化模型：由外层空心球与内层同心小球组成，外层球表面积是内层小球表面积的9倍，两者间空心部分体积为，则外层球半径为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则面积的最大值为（   ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（   ） A. B. 在复平面内对应的点位于第二象限 C. D. 10. 在空间中，设，为两个不同的点，，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（   ） A. 若，，且，则 B. 若，则与平行或异面 C. 若，，且，则 D. 若，，则 11. 某风力发电机的三个叶片均匀分布，每个叶片长度为20米，轮毂中心离地面80米．叶片以恒定角速度逆时针旋转，每圈用时6秒．为简化只研究其中一个叶片，其尖端在垂直平面内运动，叶片尖端距离地面的高度记为．设时该叶片与竖直向上方向（正上方）的夹角为（即顺时针偏转），则下列说法正确的有（   ） A. B. 在一个周期内，叶片尖端距离地面的高度不低于90米的时间占总时间的 C. 方程在区间上所有解的和为4.5 D. 若对任意恒成立，则的最小正值为1.5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为_______． 13. 若存在不相等的实数，使得，则的取值范围是________． 14. 如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，，______；的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，且． （1）求的值； （2）若，且，求的值． 16. 已知复数满足，且的实部大于0．设． （1）求复数； （2）若复数是关于的实系数二次方程的一个根，求，的值． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角的大小； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象．若，且，求的值． 18. 如图，在三棱锥中，平面，，，，点，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知平面向量，满足，，且与的夹角为．对于任意实数，定义，． （1）当时，求的最小值及相应的值； （2）设，若在上有最小值，求的取值范围，并求出此时的最小值（用表示）； （3）在（2）的条件下，若不等式，对一切使有最小值的恒成立，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $