4.4《一次函数的应用》暑假预习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦一次函数应用，通过购物优惠、植物生长、浮力实验等真实情境，考查学生用数学眼光观察现实世界、用数学思维分析问题、用数学语言表达关系的能力，适配暑假预习巩固与应用提升需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|5|一次函数与方程关系、分段函数图像解读|结合玩具销售、生物生长等情境，基础与图像分析结合| |填空题|5|函数图像交点、行程问题、面积分割|融入甲乙方行走、坐标几何等，考查模型意识| |解答题|6|经济问题、行程综合、方案选择|以草莓采摘、共享单车套餐等为载体，分层设计，强化应用意识与推理能力|

4.4《一次函数的应用》暑假预习 一、单选题 1．方程的解可以看作一次函数的图象与x轴交点的横坐标．则方程的解是（     ） A． B． C． D． 2．某玩具店销售某种玩具时，顾客一次购买件以内的（含件）按原价付款，超过件的，超出部分按原价的九折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为（     ）． A．元 B．元 C．元 D．元 3．某生物小组观察一株植物生长，得到植物的高度（单位：）与观察的时间（单位：天）之间的关系如图所示（是线段，射线平行于轴），下列说法正确的是（     ） A．从开始观察起，30天后该植物停止长高 B．直线对应的函数解析式为 C．观察第40天时，该植物的高度为 D．该植物最高为 4．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（    ）（温馨提示：当石块位于水面上方时，，当石块入水后，．） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，拉力与之间的函数表达式为 C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 5．如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于的函数图象如图②所示，当点P运动到中点时，的面积为（     ） A．16 B．20 C．24 D．32 二、填空题 6．如图，一次函数（k为常数且）和的图象相交于点A，根据图象可知关于x的方程的解是______． 7．甲、乙两人从各自家中出发前往学校，乙从家到学校的路程比甲从家到学校的路程多米．如图，，分别表示甲、乙两人行走的路程（米）和甲出发时间（分钟）的函数图象．甲、乙两人同时到达学校，则甲从家到学校的路程为__________米． 8．如图，点在x轴上，过点作x轴的平行线l与正比例函数的图象相交于点A，连接，点P在直线l上且位于点A的右侧，连接，，则点P的坐标是________． 9．平面直角坐标系中有三点，，，若直线（为非零常数）将分成面积为的两部分，则的值是__________． 10．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形由9块边长为1的小正方形拼成，图中阴影矩形记为区域（包含边界）．对于正方形边上的一点P，若点Q在正方形内部且线段PQ与区域有公共点，则称点Q是点P的“盲点”．点P的所有“盲点”组成的区域称为点P的“盲区”，其面积记为． (1)点的“盲区”的面积是_______； (2)若点在线段上，且，则点的“盲区”的面积______（用含的代数式表示）． 三、解答题 11．节日期间某草莓采摘园推出优惠促销方案：采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算．设游客在该采摘园采摘的草莓重量为千克，所花的费用为元，与之间的函数关系如图所示． (1)优惠前草莓的销售价格为每千克________元； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若某游客在该采摘园采摘的草莓重量为千克，直接写出该游客所花的费用． 12．河南驻马店汝南特产——宿鸭湖烤鸭蛋，品质天然、蛋黄呈现蟹黄口感，蛋白兼具卤蛋香气．宿鸭湖景区售卖两种口味的烤鸭蛋，分别是原味烤鸭蛋和五香烤鸭蛋．其进货单价分别为8元/盒、10元/盒．五香烤鸭蛋在售出40盒后，为吸引更多顾客，采取“打m折”促销，且促销后的价格一直保持到这批五香烤鸭蛋全部售完、原味烤鸭蛋售价不变．这两种烤鸭蛋的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：盒）之间的函数关系如图所示． (1)当时，求五香烤鸭蛋的销售额y与销售量x之间的函数解析式； (2)________；（写成中文形式） (3)当两种烤鸭蛋的销售额相同，且大于0时，求出此时销售这两种烤鸭蛋的利润和． 13．活动中心想打造属于自己的文化品牌，在每一届夏令营结束后给孩子们送一个纪念品，了解到两家制作纪念品的公司的优惠方案分别如下： 甲：优惠后采购所需费用（元）与优惠前所需费用（元）满足如图所示的函数关系； 乙：优惠后采购所需费用（元）与优惠前所需费用（元）满足如图所示的函数关系． 根据图象中的信息，回答下列问题： (1)请分别求出和与之间的函数关系式； (2)请根据函数图象描述乙公司的优惠方案； (3)如果你是负责此次纪念品采购的工作人员，请通过计算说明选择哪家公司更省钱？ 14．项目式：智慧出行 【背景】“绿途”共享单车公司为满足不同用户的长距离骑行需求，推出了两种计时计费套餐： 畅骑套餐：收费公式为：； 随心套餐：收费公式为：； 其中，y代表骑行的总费用（元），x代表用户的骑行时长（分钟）． 【理解模型】 （1）请解释“畅骑套餐”公式中的“0.3”和“15”以及“随心套餐”公式中的“0.7”在实际计费中分别表示什么意义； 【应用模型】 （2）小航周末计划骑行去郊外景区，往返预计骑行总时长为80分钟，且在景区周边还会产生约20分钟的额外骑行时长，根据计算，他应该选择哪个套餐更省钱？ 15．在一条公路上依次有A，B，C三点，甲、乙两车同时从B地出发，甲车匀速驶向A地，乙车匀速驶向C地，到达C地后停留后，加速驶向A地，乙车比甲车早到达A地．甲、乙两车距B地的路程y（单位：）与所用时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，C两地相距______； (2)求图象中线段的函数解析式； (3)直接写出甲车出发后经过多长时间与乙车相距． 16．某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共个，篮球个数不少于排球个数，付款总额不得超过元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 排球 (1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)该商场把这个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时排球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将个球全部卖出获得的最低利润是元，求的值 参考答案 一、单选题 1．A 解：， 移项得：， 系数化为1得：． 2．C 设商品每件的原价为元， 超过件时，付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系为： ， 由图像可知，过点， ∴， 解得：， 答：商品每件的原价为元． 3．C 解：设线段对应的函数解析式为 ∵图像过点， ∴， 解得 ∴线段的解析式为，故B选项错误 当时，，即点坐标为 ∵射线平行于轴 ∴50天后该植物停止长高，且最高高度为，故A、D选项错误 当时，，即第40天植物高度为，故C选项正确． 4．C 解：A、由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面，故选项A错误； B、当时，设所在直线的函数表达式为：，则由图象可把点代入得： ，解得：， ∴，故选项B错误； C、当石块下降的高度为时，即时，， ∵， ∴，故选项C正确； D、当，即， 解得， ∴石块距离水底的距离为，故选项D错误． 5．B 解：由图象可知，，， ． 根据题意可知，当点运动到点时，的面积最大，此时， ， ， ， 如图，则可得， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 所以直线的解析式为， 当点P运动到中点时，即时， 把代入，得， 所以当点P运动到中点时，的面积为20． 二、填空题 6． 解：由图象可知，关于x的方程的解是. 7． 解：设甲的速度为米/分钟，乙的速度为米/分钟，根据图象， 可得 解得 甲从家到学校的路程为米． 故答案为： 8． 解：如下图所示， ∵， ∴， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点坐标是． 9．4或 解：∵， ∴直线必经过定点， ∵，直线将分成面积为的两部分， 直线或将分成面积为的两部分，且，，，如图所示： 此时高相等，面积之比等于底之比，即或， ∴，， ∴，， ∴， ∴直线为过或的直线， ∴或， 解得：或． 10．(1) (2) （1）解：根据“盲区”的定义可得，点的“盲区”如图阴影部分所示： 故； （2）解：由题意可得，点的“盲区”如图阴影部分所示： 设点与所在的直线交轴于点， 设直线的表达式为， 将点，代入解析式可得， 解得， ∴直线的表达式为， 令，则， 解得，即， ∴点的“盲区”的面积． 三、解答题 11．（1）解：依题意，， ∴优惠前草莓的销售价格为每千克40元． （2）解：设当时y与x的函数解析式为， 由题意可得：， 解得：， ∴当时y与x的函数解析式为． （3）解：∵ ∴当时，． 答：该游客所花的费用为900元． 12．（1）解：销售额y与销售量x之间的函数解析式为 代入， 则 解得 ∴五香烤鸭蛋的销售额y与销售量x之间的函数解析式为； （2）解：前盒的单价为：（元/盒）； 促销后单价为：（元/盒）， 则折扣为：，故打六折， ∴六； （3）解：原味烤鸭蛋的单价为：（元/盒）， ∴原味烤鸭蛋的销售额y与销售量x之间的函数解析式为， 由函数图象可得，当两种烤鸭蛋的销售额相同，且大于0时，只有时满足条件， 令 解得， 原味烤鸭蛋的销售利润为：（元） 五香烤鸭蛋的销售利润为：（元） ∴此时销售这两种烤鸭蛋的利润和为（元） 答：销售这两种烤鸭蛋的利润和为元． 13．（1）解：由题图可设， 的函数图象过点，代入可得，， 解得， ； 当时，设， 的函数图象经过点， 代入可得， 解得， 当时，； 当时，设，的函数图象经过点，， 代入得， 解得， 当时，， ； （2）当时，， 乙公司的优惠方案是当购买费用在元及元以内时，不打折；购买费用高于元时，超过元的部分打折； （3）当时， 解得， 当时，两家公司费用相同； 当时， 解得， 当时，甲公司更省钱； 当， 解得， 当时，乙更省钱． 14．解：（1）畅骑套餐中，“0.3”表示每骑行1分钟的费用是0.3元，“15”表示骑行的起步费用是15元，随心套餐中，“0.7”表示每骑行1分钟的费用是0.7元． （2）由题意知，骑行总时长为（分钟）， 当时，即骑行总时长为100分钟时，，， ∵， ∴， ∴他应该选择“畅骑套餐”更省钱． 15．（1）解：由图象得，甲车行驶的时间为， 则甲车行驶的速度为， ∵乙车匀速驶向C地，到达C地后停留后，共用时， 如图，甲车的射线经过点， 此时甲车行驶了，即， ∴A，C两地相距； （2）解：乙车行驶的速度为， 乙车从C回到B地所用时间为， ∵， ∴点的坐标为， 设的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴线段的解析式为； （3）解：甲车速度，解析式为； 乙车分阶段：①：解析式为，由，解得（舍去负值）； ②：两车反向行驶，超过，此情况不存在； ③：， 由，解得或； ③：， 由，解得（舍去）或； 综上，甲车出发后经过或或或与乙车相距． 16．（1）解：设该商场采购个篮球，则商场采购个排球 根据题意得， 解得： 答：采购费用与的函数关系式为． （2）解：设总利润为元，根据题意得： ， 随的增大而增大． 时，元 答：商场把这个球全部以零售价售出，能获得的最大利润为元 （3）解：由题意得： ①当时，即时，随的增大而增大 ， 当时， 即：． 解得：舍去 ②当时，． ，不合题意． ③当时，即时，随的增大而减小． ， 当时，． 即：， 解得：， 综上所述，将个球全部卖出获得的最低利润是元，的值为3． 学科网（北京）股份有限公司 $