专题第一章因式分解（21大题型+过关检测）（小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题第一章因式分解》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 辨析是否属于因式分解 模块12 因式分解的代数应用一数的整除问题 模块2 求公因式 模块13因式分解的代数应用一简梗运算 模块3 提公因式法进行因式分解 微专题1分组分解法进行因式分解 模块4 方差公式进行因式分解 微专题2拆项忝项法进行因式分解 模块5 完全平方公式进行因式分解 微专题3待定系数法求参数 模块6十字相乘法因式分解 微专题4配方法(完全平方公式》因式分解的应用 模块7“知二求三”型求值 微专题5换元法进行因式分解 模块8 因式分解的几何应用 压轴1 因式分解中的规律性问题 模块9因式分解的代数应用一求代数式的值 压轴2 因式分解中的新定义问题 模块10 因式分解的代数应用一看错问题 压轴3 利用因式分解求最值 模块11 因式分解的代数应用一比较代数式的大小 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 因式分解 1．定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2．掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 知识点2 公因式 像多项式pa pbpc，它的各项都有一个公共的因式p，我们把这个公共因式p叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 知识点3 提公因式法分解因式 1.提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2.提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 知识点4 公式法分解因式 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 知识点5十字相乘法 1．x²(p q)x + pq =(x+p)(x+q) 2．在二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1×a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1×c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)． 模块通关·举一反 三 【模块一】辨析是否属于因式分解 【典例1】下列等式从左到右的变形是因式分解的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解∶A．，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B.，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D．．等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【变式1-1】下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，故不符合题意； B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，且等式成立，故符合题意； C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不符合题意； D、等式右侧分母中有字母，不是整式，所以没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的判断，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别是解题关键． 【变式1-2】下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式1-3】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，据此逐一进行分析即可得到答案． 【详解】解：A、等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意，选项错误； B、从左到右的变形是整式乘法，不符合题，选项错误； C、从左到右的变形是因式分解，符合题意，选项正确； D、等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意，选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解，熟记因式分解的定义是解题关键． 【模块二】求公因式 【典例2】多项式-6a2b+18a2b3x+24ab2y的公因式是（      ） A．2ab B．-6ab C．-6a2b D．-6ab2 【答案】B 【分析】多项式找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 【详解】解：多项式-6a2b+18a2b3x+24ab2y中， 各项系数的最大公约数是-6， 各项都含有的相同字母是a、b，字母a的指数最低是1，字母b的指数最低是1， 所以它的公因式是-6ab． 故选B． 【点睛】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键．（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 【变式2-1】多项式各项的公因式是_____________． 【答案】 【详解】多项式各项的公因式是：. 点睛：多项式各项的公因式是：多项式各项系数的最大公约数与多项式各项中都含有的字母因数的最低次幂的乘积. 【变式2-2】求下列代数式的公因式 （1）多项式的公因式是 ． （2）中各项的公因式是 . 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解：的公因式是， 故答案为：． （2）根据题意，， ∴公因式为， 【变式2-3】求下列代数式的公因式 （1）多项式与的公因式是 ． （2）代数式与的公因式是 ． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解：∵，， ∴该多项式的公因式为：． 故答案为：． （2）解15ax2﹣15a=15a（x+1）（x﹣1），10x2+20x+10=10（x+1）2，则代数式15ax2﹣15a与10x2+20x+10的公因式是5（x+1）． 【模块三】提公因式法进行因式分解 【典例3】分解因式： (1) 2y+3xy； (2) ． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）原式提取公因式即可； （2）原式提取公因式即可． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，解此题的关键是熟练掌握提取公因式方法． 【变式3-1】因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法解答； （2）用提公因式法解答． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【点睛】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 【变式3-2】将下列多项式分解因式： (1)． （2）__________． （3）：＝______． （4）． （5）．． 【答案】（1） （2）（3） （4）（5） 【详解】（1）解： （2）解：， 故答案为：． （3）解：原式＝ ＝ ＝ 故答案为： 解：原式 （5）解： ． 【变式3-3】把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】前3个小题直接提取公因式即可； 后3个小题，先分别变形，变形后可直接提取公因式． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，当多项式中有互为相反数的因式时，可通过变形，使多项式有公因式．一般常见的两种变形为：及． 【模块四】平方差公式进行因式分解 【典例4】下列各式中，不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】公式法分解因式，主要是平方差公式，完全平方公式，立方公式，由此即可求解． 【详解】解：选项，是平方差公式因式分解，不符合题意； 选项，是完全平方因式分解，不符合题意； 选项，不可以用公式法因式分解，符合题意； 选项，是平方差公式因式分解，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查利用公式法因式分解，掌握公式法中的平方差公式，完全平方公式是解题的关键． 【变式4-1】（1）把多项式分解因式结果是 ． （2）因式分解： ． 【答案】（1）（2） 【分析】利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断． 【详解】（1）解： = = 故答案为： （2）解：． 故答案为：． 【变式4-2】分解因式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解； （3）利用平方差公式进行分解； （4）利用平方差公式进行分解． （5）先提公因式，然后再利用平方差公式分解即可． （6）先通过提取负号整理出公因式，再提取公因式，最后利用平方差公式分解即可； （7）先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式分解即可； （8）原式变形后，提取公因式（m-n），再运用平方差公式进行因式分解即可； （9）原式先运用平方差公式分解后，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． （5）解：原式 ； (6)原式 (7)原式 （8） = = = （9） = = 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 【变式4-3】因式分解．小禾因式分解后，通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小禾的解法： ① ② ③ 小禾的检验：当时， ∵ ∴分解因式错误． 任务： (1)小禾的解答是从第几步开始出错的，并帮助他指出错误的原因． (2)请尝试写出正确的因式分解过程． 【答案】(1)①，去括号时没变号 (2)见解析 【分析】（1）根据平方差公式因式分解时，减去时，去括号出错； （2）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可求解． 【详解】（1）解：小禾的解答是从第①步开始出错的， 应为； （2）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【模块五】完全平方公式进行因式分解 【典例5】已知代数式x+2xy－y；－x－y+2xy；x+xy+y；4x+1+4x.其中能用完全平方公式因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的特点进行判断. 【详解】x2 +2xy-y 2不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式进行因式分解， -x 2-y 2+2xy=-(x2-2xy+y2)，符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解； x2 +xy+y2不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式进行因式分解； 4x2 +1+4x=(2x)2+2×(2x)×1+12，符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解． ∴－x－y+2xy和4x+1+4x能用完全平方公式分解因式，共2个， 故选B. 【点睛】本题主要考查了用完全平方公式进行因式分解，且基本形式为：a2±2ab+b2=(a±b)2，熟练掌握完全平方公式的结构特征，并能灵活变形整理是解 【变式5-1】因式分解： (1) (2) （3） ． 【答案】(1) (2) （3） 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解：， 【变式5-2】．因式分解 (1) (2) (3) (4) (5)． （6） (7) ．(8) (9) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) （6） (7) (8) (9) 【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式因式分解即可； （2）直接根据平方差公式因式分解即可； （3）根据完全平方公式和平方差公式因式分解即可； （4）先分组，再根据完全平方公式和平方差公式因式分解即可； （5）先采用平方差公式，再利用完全平方公式，即可作答． (6)将x-y看成一个整体，用完全平方公式分解即可. （7）先运用完全平方公式，再运用平方差公式进行分解即可． （8）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解因式即可； （9）先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解：原式＝ （2）解：原式＝ （3）解：原式＝ （4）解：原式＝ （5） ． （6）原式 （7）解： = =． （8） ． （9） ． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解是的方法是解题的关键． 【变式5-3】阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“A”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：______； (2)因式分解：； (3)求证：无论n为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）把(x-y)看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （2）令，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解； （3）令，进一步整理为，再将代入可得：，根据，从而说明原式是一定是一个不小于1的数． 【详解】（1）解： = =； 故答案为：； （2）设， 原式， 将A还原，则原式； （3）令， 则原式 ， 将还原，原式， 因为无论n为何值， 所以． 所以无论n为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 【模块六】十字相乘法因式分解 【典例6】阅读理解：用“十字相乘法”因式分解： ． ． 例如：． 求：(1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解； （）根据题干中解题过程，对二次项系数、常数项分别分解，交叉相乘再相加，凑成一次项系数即可求解； 本题考查了“十字相乘法”因式分解，熟练掌握分解的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意， ， ∴， （2）根据题意， ∴． 【变式6-1】阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 【答案】(1) (2)图见解析，，，，16 【分析】（1）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可； （2）根据“十字相乘法”的步骤分解因式即可． 【详解】（1）解：，常数项， ， ， 故答案为：； （2）解：，常数项， 画“十字图”如下：    ，，，16． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解题的关键． 【变式6-2】阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如：（1）；（2）． 根据材料，把下列式子进行因式分解． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据进行解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，注意分解因式一定要彻底． 【变式6-3】．阅读下面材料完成分解因式． 型式子的因式分解 ． 这样，我们得到． 利用上式可以将某些二镒项系数为1的二次三项式分解因式． 例把分解因式 分析：中的二次项系数为1，常数项，一次项系数，这是一个型式子． 解： 请仿照上面的方法将下列多项式分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题意进行分解因式即可； （2）仿照题意进行分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． 【模块七】“知二求三”型求值 【典例7】如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪成四块完全一样的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． (1)图2中阴影部分的正方形的边长是_____________ (2)利用图2中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式：之间的数量关系是_________________________． (3)利用（2）中的结论，计算当时，的值； (4)将正方形和正方形如图所示摆放，点F在边上，与交于点I，且，长方形面积为35，以边作正方形，设，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由小长方形的边长即可得到答案； （2）由图2中阴影部分面积可以表示为，还可以表示为，即可得到答案； （3）由（2）可知，，把代入得到，则，即可得到答案； （4）由题意得，则，得到，即，则正方形面积为，正方形的面积为，由长方形面积为35，得到，由，得到，则，即可得到图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：图2中阴影部分的正方形的边长是， 故答案为： （2）图2中阴影部分面积可以表示为，还可以表示为， ∴之间的数量关系是， 故答案为： （3）由（2）可知，， 当时，， ∴， ∴的值为； （4）由题意得，， ∴， ∴，即， ∴正方形面积为，正方形的面积为， ∵长方形面积为35， ∴， ∴，即， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了乘法公式与图形面积，读懂题意，正确计算是解题的关键． 【变式7-1】从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_________________________； (2)运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：，，求的值； ②计算：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）分别表示出图1剩余部分的面积和图2的面积，由二者相等可得等式； （2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可；②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可． 【详解】（1）解：∵从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）， ∴图1剩余部分的面积为，图2的面积为，二者相等，从而能验证的等式为：． 故答案为：． （2）①∵，，， ∴， ∴； ② ． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景及其在计算中的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【变式7-2】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若在图1中大正方形的右下角和右上角各摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)若图1中的，图3中，则的值为__________．（用含x、y的代数式表示） 【答案】(1)， (2)40 (3) 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示、； （2）根据，再变形为：将，代入进行计算即可； （3）由图1中的，图3中，可得，，再把的右边分解因式，最后代入即可． 【详解】（1）解：由图1可得， ； （2）∵， ∴， ∵，， ∴； （3）∵图1中的，图3中， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是列代数式，整式的乘法运算的应用，利用完全平方公式的变形求解代数式的值，利用平方差公式分解因式，掌握完全平方公式的变形与平方差公式解题是关键． 【变式7-3】．阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 迁移应用： (1)若满足，求的值； (2)如图，点，分别是正方形的边、上的点，满足，为常数，且，长方形的面积是，分别以、作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)-3 (2) 【分析】（1）根据题意设，，可得，，根据，代入计算即可得出答案； （2）设正方形的边长为，则，，可得，；利用题干中的方法可求得，利用阴影部分的面积等于正方形与正方形的面积之差即可求得结论． 【详解】（1）解：设，，则： ，． ， ． ． ． （2）解：设正方形的边长为，则，， ． 长方形的面积是， ． ， ． ， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的几何背景，本题是阅读型题目，利用换元的方法解答是解题的关键． 【模块八】因式分解的几何应用 【典例8】已知，b，c（a≠b≠c）为△ABC三边，且满足2c2b2c2=4b4 ，则此三角形的形状为__________________. 【答案】直角三角形． 【分析】首先把等式a2c2-b2c2=a4-b4利用因式分解变形，然后利用等式即可判定的三角形的形状． 【详解】∵a2c2-b2c2=a4-b4， ∴c2（a2-b2）=（a2-b2）（a2+b2）， ∴a2-b2=0或a2+b2=c2， ∵a≠b≠c ∴三角形为直角三角形， 故答案为直角三角形． 【点睛】此题考查提取公因式法分解因式，解题关键在于通过分解因式可以得到a、b、c的关系，然后根据三角形的性质即可求解． 【变式8-1】三角形的三边a、b、c满足a（b﹣c）+2（b﹣c）＝0，则这个三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】首先利用提取公因式法因式分解，再进一步分析探讨得出答案即可 【详解】解：∵a（b-c）+2（b-c）=0，∴（a+2）（b-c）=0， ∵a、b、c为三角形的三边，∴b-c=0，则b=c， ∴这个三角形的形状是等腰三角形． 故选A． 【点睛】本题考查了用提取公因式法进行因式分解，熟练掌握并准确分析是解题的关键. 【变式8-2】我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解________=________． 【答案】 【分析】把图2可有两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即可解答． 【详解】解：将图2看作三个长方体相加时，可得式子： ； 原式两边提取，可得原式． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形的体积如何计算是解题的关键 【变式8-3】在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法； 根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个边长为 的正方体中挖出一个边长为的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图３）,这三部分长方体的体积依次为，，．       （1）分解因式： ； （2）请用两种不同的方法求图１中的立体图形的体积：（用含有的代数式表示） ① ；            ② ； 思考：类比平方差公式，你能得到的等式为 ； （3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解： ； （4）拓展：已知，你能求出代数式的值为 ． 【答案】（1）；（2）①；②或者；（3）；（4）-288． 【分析】（1）根据提公因式法可得； （2）由（1）可得，立体图行体积等于图3的三个立体图形的体积和，根据等式可得①②；根据图1和图3可得立体图形体积关系是：； （3）根据，可进一步分解因式； （4）根据上述公式进行因式分解，同时运用完全平方公式进行变形可得； 【详解】解：（1）分解因式： （2）① 或者② 思考：乘法公式为： （3）应用： （4）拓展： 因为， 所以= ===-288 所以代数式的值为 -288 【点睛】考核知识点：因式分解运用.总结得出立方差公式，灵活运用完全平方公式进行式子变形是关键. 【模块九】因式分解的代数应用一求代数式的值 【典例9】若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】由整式乘法与因式分解互逆，则根据多项式乘多项式即可求得b、c的值，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，以及求代数式的值，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． 【变式9-1】已知多项式分解因式的结果为，则的值是（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】把根据乘法法则计算后与比较即可． 【详解】解： =2(x2+x-2x-2) =2x2+2x-4x-4 =2x2-2x-4， ∵=2x2-2x-4， ∴b=-2，c=-4， 故选B． 【点睛】本题考查了因式分解，以及多项式与多项式的乘法计算，熟练掌握因式分解与乘法运算是互为逆运算的关系是解答本题的关键． 【变式9-2】（1）已知：a2+a﹣1＝0，则a4+2a3+a2+2000的值是　　　； （2）如果记216＝a，那么1+21+22+23+…+215＝　 　； （3）若22x+3﹣22x+1＝192，则x＝　　　； （4）若（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a2+a4＝　 　　． 【答案】（1）2001；（2）a﹣1；（3）；（4）﹣120． 【分析】（1）由已知可得a2+a＝1，然后把所求式子变形为a2（a2+a）+a（a2+a）+2000，再整体代入计算即可； （2）令S＝1+21+22+23+…+215①，则2S＝21+22+23+…+215+216②，然后计算②－①即可求出答案； （3）先将原式变形为22x+1（22﹣1）＝3×26，进而可得关于x的方程，解方程即得答案； （4）分别计算当x=1时、x=﹣1时与x=0时对应代数式的值，所得的前两个式子相加变形即得结果． 【详解】解：（1）因为a2+a﹣1＝0，所以a2+a＝1， ∴a4+2a3+a2+2000＝a4+a3+a3+a2+2000＝a2（a2+a）+a（a2+a）+2000＝a2+a+2000＝1+2000＝2001， 故答案为2001； （2）令S＝1+21+22+23+…+215①，则2S＝21+22+23+…+215+216②， ②－①，得S＝216﹣1， ∴1+21+22+23+…+215＝216﹣1＝a﹣1， 故答案为a﹣1； （3）22x+3﹣22x+1＝22x+1（22﹣1）＝3×22x+1＝192＝3×26， ∴2x+1＝6，解得x＝， 故答案为； （4）∵（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0， ∴当x=1时，a5+a4+a3+a2+a1+a0=（2﹣1）5＝1①， 当x=﹣1时，﹣a5+a4－a3+a2－a1+a0=（﹣2﹣1）5＝﹣35②， ①+②，得2a2+2a4+2 a0=1－35， ∵当x=0时，a0=（﹣1）5=﹣1， ∴2(a2+a4)＝1－35﹣2 a0=1－243+2=﹣240， ∴a2+a4=﹣120． 故答案为﹣120． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解、同底数幂的乘法和代数式求值等知识，熟练掌握相关知识、灵活应用整体思想是解题的关键． 【变式9-3】阅读下列材料： 已知a2+a-3=0，求a2 (a+4)的值． 解：∵ a2=3-a， ∴a2 (a+4)=(3-a)(a+4)=3a+12-a2-4a=- a2-a+12=-(3-a)-a+12=9， ∴a2 (a+4)=9． 根据上述材料的做法，完成下列各小题： （1）若a2-a-10=0，则2(a+4) (a-5)的值为____________． （2）若x2+4x-1=0，求代数式2x4+8x3-4x2-8x+1的值． 【答案】（1）﹣20；（2）﹣1 【分析】（1）仿照材料中的解法过程，利用整体代入方法求解即可； （2）根据因式分解和整式的混合运算化简，再整体代入求解即可． 【详解】解：（1）∵a2﹣a﹣10=0， ∴a2﹣a=10， ∴2(a+4) (a-5)=2（a2﹣a﹣20）=2×（10﹣20）=﹣20， 故答案为：﹣20； （2）∵x2+4x﹣1=0， ∴x2+4x=1，x2=1﹣4x， ∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1 =2x2(x2+4x﹣2)﹣8x+1 =2(1﹣4x)(1﹣2)﹣8x+1 =﹣2+8x﹣8x+1 =﹣1． 【点睛】本题考查了因式分解的应用、整式的混合运算、代数式的求值，运用类比和整体代入思想是解答的关键． 【模块十】因式分解的代数应用一看错问题 【典例10】因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据甲看错了的值可以知道，甲的分解结果中的值是正确的，根据乙看错了的值可以知道，乙的分解结果中的值是正确的，据此即可得到、的值，进而得到答案． 【详解】∵甲看错了的值， ∴， ∴； ∵乙看错了的值， ∴， ∴， ∴分解因式正确的结果为： ， 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义． 【变式10-1】在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为，可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为，b系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值． 【详解】解：∵，小明看错了b， ∴， ∵，小张看错了a， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的 【变式10-2】在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为___________. 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可． 【详解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6， ∵小刚看错了m的值， ∴n＝﹣6； （x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2， ∵小芳看错了n的值， ∴m＝﹣1． ∴x2+mx+n ＝x2﹣x﹣6 ＝（x﹣3）（x+2）． 故答案为：（x﹣3）（x+2）． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是解决本题的关键． 【变式10-3】①先化简再求值：，其中． ②在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 【答案】①-6x+5y，-16；②a=6，b=9 【分析】①原式中括号中利用平方差公式及完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． ②直接利用多项式乘法进而得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：①原式=（4x2-y2-4x2+12xy-9y2）÷（-2y） =（12xy-10y2）÷（-2y） =-6x+5y， 当x=1，y=-2时，原式=-6-10=-16． ②∵小明看错了b， ∴a正确， ∵（x+2）（x+4）=x2+6x+8， ∴a=6， ∵小张看错了a， ∴b正确， ∵（x-1）（x-9）=x2-10x+9， ∴b=9． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，因式分解与多项式相乘运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【模块十一】因式分解的代数应用一比较代数式的大小 【典例11】【阅读理解】 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： ． 像这样，先添一个适当的项，使式子出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 【解决问题】 (1)利用“配方法”分解因式：． (2)已知，，求的值． (3)已知是实数，试比较与的大小，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）利用配方法先对原式＋9，然后再-9，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式进行变形可得， 再利用一次完全平方公式进行变形为即可得出答案； （3）将两式作差，通过跟0进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：原式 （2）∵a b 5 ，ab 6， ， （3） ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查配方法及整式的加减运算，掌握因式分解，完全平方公式是解题的关键． 【变式11-1】设P＝a(－a+b－c)，Q＝a(a－ab+ac)，则P与Q的关系是（   ） A．P＝Q B．P＞Q C．P ＜Q D．互为相反式 【答案】D 【分析】把Q提取公因式-a可得-a2(-a+b-c)，即可得出Q=-P，即可得答案. 【详解】∵Q= a(a－ab+ac)= -a2(-a+b-c)，P＝a(－a+b－c)， ∴Q=-P， ∴P与Q互为相反式， 故选D. 【点睛】本题考查了提取公因式法因式分解，利用因式分解得出Q=-P是解题关键. 【变式11-2】已知一次函数y＝ax＋b（a≠0），a，b满足关系式a2＝4（b－1）－2b（b－a），若P（m，－1），Q（n，3）在一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象上，则下列正确的是（  ） A．m＜0＜n B．m＞0＞n C．m＞n＞0 D．m＜n＜0 【答案】A 【分析】先把a2＝4（b﹣1）﹣2b（b﹣a），变形为（a﹣b）2＋（b﹣2）2＝0，得出b＝2，a＝2，再把P（m，﹣1），Q（n，3）代入一次函数解析式求解即可． 【详解】解：∵a2＝4（b﹣1）﹣2b（b﹣a）， ∴a2＝4b﹣4﹣2b2+2ab，整理得：（a﹣b）2＋（b﹣2）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣2）2≥0， ∴（a﹣b）2＝（b﹣2）2＝0， ∴b＝2，a＝2， ∴y＝2x+2， 当y＝﹣1时，﹣1＝2m+2，得：m， 当y＝3时，3＝2n+2，得：n， ∴m＜0＜n， 故选：A． 【点睛】本题考查了非负数的性质、公式法进行因式分解、一次函数的解析式、求函数值或自变量的值，根据题意求出a，b的值是解题的关键． 【变式11-3】对于形如可用“配方法”将它分解成的形式，如在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，它不会改变整个式子的值，其变化过程如下： 像这种“因式分解”的方法称为“配方法”请完成下列问题： (1)利用“配方法”分解因式：； (2)已知是的三边长，且满足，求的周长； (3)在实数范围内，请比较多项式与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)；见解析 【分析】（1）在原式中先加一项，再减去，用完全平方公式对式子进行因式分解，最后利用平方差公式再进行一次因式分解即可； （2）根据题目中的式子，利用配方法进行因式分解，再利用非负数的性质求出的值，算出的周长即可； （3）将两式作差，和比较大小即可得到结论． 【详解】（1）解：原式 （2）解：， ， 则， 是的三边长， ， ； （3）解： ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查配方法，掌握因式分解，熟记完全平方公式是解题关键． 【模块十二】因式分解的代数应用一数的整除问题 【典例12】（1）能被整除吗？能被整除吗？说明你的理由． （2）说明：当为正整数时，的值必为的倍数． 【答案】（1）能被整除，能被整除，理由见解析；（2）见解析． 【分析】（1）综合提公因式法和公式法对进行因式分解，得出，据此即可得到答案； （2）综合提公因式法和公式法对进行因式分解，得出，再根据、、为三个连续的整数，必有2的倍数和3的倍数，即可说明结论． 【详解】解：（1）能被整除，能被整除，理由如下： ， 能被整除，能被整除； （2）， 为正整数， 、、为三个连续的整数，必有2的倍数和3的倍数， 当为正整数时，的值必为的倍数． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题关键是利用因式分解把复杂运算简单化或解决整除问题． 【变式12-1】试说明：为自然数时，能被4整除． 【答案】见解析 【分析】原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断． 【详解】证明：原式 即：为自然数时，能被4整除． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键 【变式12-2】一个三位数，百位数字是，十位数字是，个位数字是，把百位数字与个位数字交换位置后，所得新数与原数的差可被______整除. 【答案】99 【分析】由题可得原数为100a+10b+c，新数为100c+10b+a，运用整式的加减法则，可得新数-原数=99（c-a），问题得以解决． 【详解】解：原数=100a+10b+c，新数=100c+10b+a， 则新数-原数=（100c+10b+a）-（100a+10b+c） =100c+10b+a-100a-10b-c =99c-99a =99（c-a）． ∵c、a都是整数， ∴c-a是整数， ∴新数与原数的差能被99整除． 故答案为：99 【点睛】本题主要考查多位数的表示，整式的加减法则、提取公因式，整除问题，将多项式转化为99的整数倍，是解决本题的关键． 【变式12-3】若的展开式中不含x的二次项和一次项． (1)求的值； (2)可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数分别为　　 (3)求的值． 【答案】(1) (2)15，17 (3) 【分析】（1）先对原式进行化简，再根据题意得方程组，求解代入计算即可； （2）把代入，再进行因式分解即可得解； （3）在原因式前乘( 2+1 )，然后利用平方差公式进行变形直到最后得到答案． 【详解】（1）解： ， ∵的展开式中不含x的二次项和一次项， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时， ∵可以被10和20之间某两个整数整除， ∴这两个数分别为15，17； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ． 【点睛】此题考查了，多项式的乘法以及平方差公式，掌握平方差公式的特点是解决此题关键． 【模块十三】因式分解的代数应用一简梗运算 【典例13】（1）因式分解：； （2）利用因式分解进行计算：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）提取公因式2a，后用十字相乘法分解即可； （2）反复使用提取公因式法化简即可． 【详解】（1） = =； （2） = = = =． 【点睛】本题考查了提取公因式法，十字相乘法分解因式，熟练掌握因式分解的基本方法，并灵活选择方法是解题的关键． 【变式13-1】计算题 (1)； (2)20212﹣4040×2021+20202； (3)99×101； (4)（1）（1）（1）（1）…（1）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据零次幂， 化简绝对值，负整数指数幂，有理数的乘方运算进行计算； （2）根据完全平方公式进行简便运算； （3）根据平方差公式进行简便运算； （4）根据平方差公式进行简便运算即可求解． （1）解：原式＝ （2）解：原式＝ （3）解：原式＝ （4）解：原式＝ 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，负指数幂，零次幂，正确的计算是解题的关键． 【变式13-2】阅读材料：求的值． 解：设，将等式两边同时乘2，得 2S=将下式减去上式，得 2S-S=， 即S= 请你仿照此法计算下面各题 （1） （2）（其中n为正整数） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用例题的方法将原式进行变形进而可以得出答案； （2）仿照例题的思路进行变形即可． 【详解】解：（1）设，将等式两边同时乘2，得 将下式减去上式，得 ， 即 ∴结果为 （2）设，将等式两边同时乘3，得 将下式减去上式，得 ， 即， ∴， ∴结果为 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，提取公因式法分解因式，正确将式子进行变形是解题的关键． 【变式13-3】（1）利用因式分解计算： 121×0.13+12.1×0.9﹣1.21×12 （2）观察下列等式：，，，……计算 的结果为__________________． 【答案】（1）12.1 （2） 【详解】（1）解：121×0.13+12.1×0.9﹣12×1.21 ＝12.1×1.3+12.1×0.9﹣12.1×1.2 ＝12.1×（1.3+0.9﹣1.2） ＝12.1×1 ＝12.1． （2）【详解】 专题攻坚·多题归一 【微专题一】分组分解法进行因式分解 【典例14】我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解方法叫作分组分解． 例如：． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）三边满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）为等腰三角形．理由见解析 【分析】（1）根据题意分组分解，再用提公因式法因式分解； （2）将等式的左边分组分解，再用提公因式法因式分解，再根据三角形三边关系即可求得进而判断三角形的形状． 【详解】解：（1） ． （2）为等腰三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴． ∵，，为三边， ∴， ∴， 即， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题考查了分组分解法，提公因式法因式分解，三角形三边关系，掌握提公因式法因式分解是解题的关键． 【变式14-1】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，可以通过以下过程进行因式分解： ．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式； (2)已知：，．求：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）多项式前三项利用完全平方公式分解，再与最后一项，根据平方差公式分解因式即可； （2）前两项利用平方差公式分解，后两项提取公因式6，再提公因式分解，最后代入数值计算． 【详解】（1）解： ； （2）∵，． ∴ ． 【点睛】此题考查了多项式的分解因式，正确理解题意掌握因式分解的方法是解题的关键． 【变式14-2】第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得．这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有    ． 这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 第二步：理解知识，尝试填空： （1） 第三步：应用知识，因式分解： （2） x2-(p+q)x+pq；            （3）． 第四步：提炼思想，拓展应用 （4）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2=2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）（2）（3）（4）等边三角形，理由见详解． 【分析】（1）如果把一个多项式各项分组并提出公因式后，它们的另一个因式刚好相同，那么这个多项式即可利用分组分解法来因式分解，据此即可求解； （2）先展开（p＋q）x，再利用分组分解法来因式分解，据此即可求解； （3）直接利用分组分解法来因式分解即可求解； （4）根据所给等式，先移项，再利用完全平方公式和等边三角形的判定求证即可． 【详解】解：（1） （2） （3） （4）等边三角形，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∴这个三角形是等边三角形． 【点睛】本题考查因式分解—提公因式法，因式分解—分组分解法，完全平方公式，等边三角形的判定，解题的关键是读懂材料并熟知因式分解的方法． 【变式14-3】阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如：，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：．像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题： （1）分解因式：； （2）的三边，，满足，判断的形状． 【答案】（1）；（2）等腰三角形，见解析 【分析】（1）应用分组分解法，把分解因式即可． （2）先因式分解，再求a，b，c的关系，判断三角形的形状． 【详解】解：（1）； （2）由，可得， 即， ∵在中，，， ，， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查分组分解法及三角形形状的判定，正确分组是求解本题的关键． 【微专题二】拆项忝项法进行因式分解 【典例15】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式： ①； 又比如多项式可以这样分解： ②； 仿照以上方法，分解多项式的结果是______． 【答案】 【分析】直接根据添项、拆项的方法进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题考查添项与拆项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学生的观察能力和整体思想． 【变式15-1】小亮在对分解因式时，步骤如下： （添加与，前三项可利用完全平方公式） （写成完全平方式后与最后一项又符合平方差公式） ． 请你利用上面的方法对下列多项式进行分解： 【答案】 【分析】首先补上两项，，进而利用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可． 【详解】解： = = = 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确记忆公式是解题关键． 【变式15-2】阅读理解： 对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为某个多项式的平方，再减去这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 请用上述方法将下列各式进行因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将式子，添项，再减去，重新分组后，利用平方差公式分解因式； （2）将式子，添项，再减去，重新分组后，利用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题是因式分解及因式分解的应用，除了一般因式分解的方法以外，还可以利用添（拆）项法把一此复杂的式子进行因式分解；同时可以利用因式分解求式子的最大值和最小值． 【变式15-3】【学习材料】拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如： 例1分解因式：． 解：原式 例2分解因式：． 解：原式． 我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如 例3把多项式写成的形式． 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)运用拆项添项法分解因式：______； (3)判断关于x的二次三项式在______时有最小值； (4)已知（均为整数，m是常数），若M恰能表示成的形式，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)10 (4)m的值为18 【分析】（1）加1再减1，进行分解因式即可解答； （2）仿照例1的解题思路，进行计算即可解答； （3）先配方成完全平方的形式，然后写出最小值即可； （4）仿照例3的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解：∵ ∴当时，有最小值． 故答案为：10． （4）解： ∵若M恰能表示成的形式， ∴， ∴， 答：m的值为18． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． 【微专题三】 待定系数法求参数 【典例16】如果是多项式的一个因式．则 k 的值为 （    ） A． B．1 C．4 D．-1 【答案】C 【分析】设的另一个因式为： 可得再建立方程组即可． 【详解】解：设的另一个因式为： ∴ ∴ 解得： 故选C. 【点睛】本题考查的是多项式的因式分解，整式的乘法运算，利用待定系数法建立方程组是解本题的关键． 【变式16-1】已知有一个因式为，则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】所求的式子的二次项系数是1，因式（x−2）的一次项系数是1，则另一个因式的一次项系数一定是1，然后根据中一次项系数为－5，列方程求出另一个因式． 【详解】解：设另一个因式为（x＋a）， 则x2−5x＋m＝（x−2）（x＋a），即x2−5x＋m＝x2＋（a−2）x−2a， ∴a−2＝−5， 解得：a＝−3， ∴另一个因式为（x−3）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查因式分解的实际运用，根据二次项系数假设出另一个因式是解本题的关键． 【变式16-2】若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（    ） A．–6 B．6 C．–9 D．9 【答案】A 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，一个因式（x+2），可得另一个因式，即可得答案． 【详解】解：∵4x2+5x+m＝（x+2）（4x+n）=4x2+(8+n)x+2n ∴8+n=5，m=2n， ∴n=-3，m=-6 故选A． 【点睛】本题考查因式分解的意义，解题的关键是由十字相乘法因式分解，由因式分解得出m的值． 【变式16-3】．1637年笛卡尔（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知，当时，原式． ∴原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为．则， ∵， ∴ ∵等式两边同次幂的系数相等， 则有：，解得． ∴． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知，当______时，原式，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为．则______，______． (2)已知多项式（为常数）有一个因式是，求另一个因式以及的值． 下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为，则． …… (3)已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为______，的值为______． 【答案】(1)；；； (2)解题过程见详解， (3)； 【分析】（1）根据材料提示，当时，的值为，由此即可求解； （2）多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为，根据材料提示，即可求解； （3）多项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为，根据材料提示，即可求解． 【详解】（1）解：当时，的值为， ∴原式可分解为与另一个整式的积， 设另一个整式为， ∴， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴， 故答案为：；；；． （2）解：多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为，则， ∵， ∴， ∴，解方程得，， ∴多项式（为常数）为， ∴因式分解为． （3）解：多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为， ∴， ∵， ∴， ∴，解方程组得，， ∴多项式（为常数）为， ∴因数分解为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查因数分解，掌握整式的混合运算是解题的关键． 【微专题四】 配方法(完全平方公式》因式分解的应用 【典例17】阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如： 即：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)把下列多项式因式分解： ①； ②； (2)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1)①；② (2)12 【分析】（1）结合材料进行因式分解即可； （2）把凑成完全平方式即可求解． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解：， ， ∴， ∴， ，，， 的周长． 【点睛】本题考查了因式分解，灵活运用所学知识是解题关键． 【变式17-1】利用配方法因式分解：____________； 【答案】 1 【分析】利用完全平方公式和平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：1；． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 【变式17-2】阅读材料：若，求m、n的值． 解：， ，，，∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值． (2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的值． 【答案】(1)9 (2)2 【分析】（1）根据求出x、y的值，代入计算即可； （2）根据，应用因式分解的方法，判断出，求出a、b的值，然后根据三角形的三条边的关系，求出c的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵c为正整数， ∴． 【点睛】本题考查配方法的应用，以及三角形三条边的关系，解答本题的关键是明确配方法、会用配方法解答问题． 【变式17-3】（1） 把一个多项式写成两数和（或差）的平方的形式叫做配方法． 阅读下列有配方法分解因式的过程： 仿照上面方法，将下式因式分解；   （2）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ①上述分解因式的方法是 ，共应用了 次． ②若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ． ③分解因式： (n为正整数)． 【答案】（1）；（2）①提取公因式，3；②2005，；③ 【分析】（1）仿照材料中的方法，利用配方法、平方差公式进行因式分解； （2）观察可知，材料中采用了提取公因式法分解因式，经过次提取公因式，可得． 【详解】解：（1） ； （2）①上述分解因式的方法是提取公因式，共应用了3次； 故答案为：提取公因式，3； ②若分解，则需应用上述方法2005次，结果是， 故答案为：2005，； ③由题意知： ． 【点睛】本题主要考查分解因式，解题的关键是看懂材料，能够仿照材料中的方法求解． 【微专题五】 换元法进行因式分解 【典例18】阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法” 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程 解：设①，将①带入原式后， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法； (2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果； (3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解 【答案】(1)提取公因式 (2) (3) 【分析】（1）根据因式分解的方法判断即可； （2）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，将因式分解成即可； （3）用换元法设，代入多项式，然后仿照题干的换元法解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：从到运用了因式分解中的提取公因式法 故答案为：提取公因式 （2）解：由题意得： （3）解：设，将代入中得： 原式 【点睛】本题考查了因式分解的方法和运用，解题关键是灵活运用换元法对较为复杂的多项式进行因式分解，达到去繁化简的效果． 【变式18-1】（1）填空：____________； （2）阅读，并解决问题：分解因式 解：设，则原式 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解： ① ② 【答案】（1）9，3；（2）①，② 【分析】（1）根据完全平方公式可得到结论； （2）①根据换元法设，根据完全平方公式可得结论； ②先将原式x2－4x看作整体，根据换元法设x2－4x=a，化简，再根据完全平方公式可得结论． 【详解】解：（1）a2+6a+9=(a+3)2， 故答案为9，3； （2）①， 设，则原式； ②， 设， . 【点睛】本题考查了运用公式法和换元法分解因式，掌握数学中的换元思想，正确应用公式是解题关键． 【变式18-2】阅读下列材料． 形如型的二次三项式，有以下特点：①二项式的系数是1；②常数项是两个数之积：③一次项系数是常数项的两个因数的和，把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： 请利用上述方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照材料进行因式分解即可； （2）令仿照材料进行因式分解得，再将代回可得，同理对进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）令，则可得 ， 再将代回，得： 同理：， 即： 【点睛】此题考查了因式分解，弄清阅读材料中的规律是解本题的关键． 【变式18-3】下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 回答下列问题： (1)该同学因式分解的结果是否彻底？_____________（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请写出因式分解的最后结果__________________________； (2)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解． 【答案】(1)不彻底， (2) 【分析】（1）根据完全平方公式可知可继续分解，从而可得答案； （2）设，整理后再根据完全平方公式把原式进行分解即可． 【详解】（1）∵， ∴该同学因式分解的结果不彻底， 故答案为：不彻底，； （2）设，    ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意完全平方公式的应用和换元法的应用． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 因式分解中的规律性问题 【典例19】（1）填空： （2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． （3）计算． 【答案】（1）0，1，2；（2）第n个等式为，说明见解析；（3）． 【分析】（1）用提取公因式法计算即可； （2）提取公因式即可证明结论成立； （3）先求，然后根据即可求解． 【详解】（1），，． 故答案为：0，1，2； （2）由（1）可得，第n个等式为， ∵， ∴等式成立； （3）令， 则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及数字类规律探究，根据提供的算式找出规律是解答本题的关键． 【变式19-1】 请同学们观察以下三个等式，并结合这些等式，回答下列问题． （1）请你再写出另外两个符合上述规律的算式：______，______； （2）观察上述算式，我们发现：如果设两个连续奇数分别为2n-1和2n+1(其中n为正整数)，则它们的平方差是8的倍数．请用含n的式子说明上述规律的正确性． 【答案】（1）92-72=8×4，112-92=8×5；（2）(2n+1)2-(2n-1)2=8n，理由见解析． 【分析】（1）根据已知算式写出符合题意的答案； （2）利用平方差公式计算得出答案； 【详解】（1）92-72=8×4，112-92=8×5； （2）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n-1(其中n为正整数)， 则它们的平方差是8的倍数； (2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1-2n+1)(2n+1+2n-1)=2×4n=8n 故两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【点睛】此题主要考查了平方差公式的应用，正确发现数字变化规律是解题关键． 【变式19-2】观察下列等式： ①＝2+，②＝3+，③＝4+，④＝5+，… （1）请按以上规律写出第⑥个等式：　 　； （2）猜想并写出第n个等式：　 　；并证明猜想的正确性． （3）利用上述规律，直接写出下列算式的结果： ＝　 　． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）4752 【分析】（1）根据分母不变，分子是两个数的平方差可得答案； （2）根据发现的规律写出第n个等式并计算可进行验证； （3）根据=2，＝3，＝4…可得原式＝1+2+3……+97-1，进而可得答案． 【详解】解：（1）第⑥个式子为：； 故答案为：； （2）猜想第n个等式为：， 证明：∵左边=＝右边， 故答案为：； （3）原式＝1+2+3+…+97-1 ＝-1 ＝4752． 故答案为：4752． 【点睛】此题考查有理数计算规律探究，有理数的四则混合运算，因式分解的应用，根据例子得到式子的构成规律并应用解决实际问题是解题的关键． 【变式19-3】第1个等式：1-=× 第2个等式：(1-)(1-)=× 第3个等式：(1-)(1-)(1-)=× 第4个等式：(1-)(1-)(1-)(1-)=× 第5个等式：(1-)(1-)(1-)(1-)(1-)=× ······ (1)    写出第6个等式； (2)    写出第n个等式(用含n的等式表示),并予以证明． 【答案】（1）(1-)(1-)(1-)(1-)(1-)(1-)=× （2）(1-)(1-)(1-)……(1-)[1-]=×，证明见解析． 【分析】根据已知条件得到每个括号内第二个分数分母的变化规律，进而得出答案． 【详解】解：（1）第6个等式：(1-)(1-)(1-)(1-)(1-)(1-)=× （2）第n个等式：(1-)(1-)(1-)……(1-)[1-]=× 证明：(1-)(1-)(1-)……(1-)[1-] ＝ ＝ ＝× 故答案为：（1）(1-)(1-)(1-)(1-)(1-)(1-)=× （2）(1-)(1-)(1-)……(1-)[1-]=×． 【点睛】本题主要考查等式的规律探索和应用，认真观察已知，找到存在的规律是解题关键．本题是利用了平方差公式进行因式分解． 【压轴二】因式分解中的新定义问题 【典例20】．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”．如：①；②；③，因此8，16，24都是“友好数”． (1)32是“友好数”吗？为什么？ (2)若一个“友好数”能表示为两个连续奇数和（k为正整数）的平方差，则这个“友好数”是8的倍数吗？请用因式分解的方法进行说明． 【答案】(1)32是友好数，见解析 (2)是，见解析 【分析】（1）根据定义将32写成两个连续奇数的平方差形式，即可判定32是“友好数”； （2）根据平方差公式计算得到多项式化简结果为8k，由此判断这个“友好数”是8的倍数． 【详解】（1）解：32是“友好数”， ∵， ∴32是“友好数”； （2）是，理由如下： ∵ ∵k为正整数， ∴是8的倍数， ∴这个“友好数”是8的倍数 【点睛】此题考查了新定义运算、平方差公式，解题的关键是正确理解题意并掌握平方差公式的计算． 【变式20-1】方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 【答案】(1)±2 (2)a=0，b=-3； (3) 【分析】（1）将x=±2代入即可； （2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可． 【详解】（1）解：当x=±2时，x2-4=0， 故答案为：±2； （2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b）， ∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b， ∴1-a=1，b=-3， ∴a=0，b=-3； （3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0， ∴多项式有因式（x-2）， 设另一个因式为（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b， ∴a-2=4，2b=18， ∴a=6，b=9， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2． 【点睛】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． 【变式20-2】因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解： 首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法． (1)因式分解：x2﹣15x﹣34＝　 　． (2)因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值：　 　． (3)请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解． 【答案】(1)（x﹣17）（x+2）． (2)a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2 (3)（3m﹣n+4）（m+2n﹣1） 【分析】（1）用十字相乘法分解． （2）根据因式分解的结果进行计算，比较系数即可求解； （3）先分组，再用待定系数法分解． 【详解】（1）解：x2﹣15x﹣34 ＝x2+（﹣17+2）x+（﹣17×2） ＝（x﹣17）（x+2）． 故答案为：（x﹣17）（x+2）． （2）∵（x+a）（x2+bx+c）＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac． ∴x3﹣3x2+4＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac． ∴a+b＝﹣3，ab+c＝0，ac＝4． 解得：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2或a＝1，b＝﹣4，c＝4． 故选填一组即可． 故答案为：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2． （3）原式＝3m2+（5n+1）m﹣（2n2﹣9n+4） ＝（3×1）m2+[3m×（2n﹣1）﹣m（n﹣4）]﹣（2n﹣1）（n﹣4） ＝（3m﹣n+4）（m+2n﹣1）． 【点睛】本题考查因式分解与整式的乘法运算，理解题意，正确使用待定系数法是解题的关键． 【变式20-3】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”． 例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2022个智慧数是否存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来： ，，，，… 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到： 设两个数分别为，，其中，且为整数．则． (1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有______都是智慧数，并直接写出11，15的智慧分解； (2)继续探究，他们发现，，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：（，且为整数）均为智慧数．请证明他们的猜想； (3)根据以上所有探究，请直接写出第2022个智慧数，以及它的智慧分解． 【答案】(1)正奇数，5和6是11的智慧分解，7和8是15的智慧分解； (2)证明见解析 (3)第2022个智慧数是2699，1349和1350是它的智慧分解． 【分析】（1）利用小明得到的公式，设2k+1=11和2k+1=15，解出k的值，即可得出结果； （2）仿照小明的方法，将（k+1）2-（k-1）2用平方差公式展开即可证明； （3）综合（1）、（2）可得，除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；再证出被4除余2的数不是智慧数，找到智慧数规律，从而解答问题． (1) 解：根据小明的方法得到公式：（k+1）2-k2=（k+1+k）（k+1-k）=2k+1， 所以除1外，所有的正奇数都是智慧数， ∴设2k+1=11， 解得k=5，k+1=6， ∴5和6是11的智慧分解， 同理可得：7和8是15的智慧分解； (2) 证明：设k≥2，且k为整数， ∵（k+1）2-（k-1）2=（k+1+k-1）（k+1-k+1）=4k，k=2时，4k=8， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴4k（k≥2且k为整数）均为智慧数； (3) 解：由（1）、（2）可知： 除1外，所有的奇数都是智慧数； 除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； 这样还剩被4除余2的数，采用题目中小颖的方法， 得到特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数， 推广到一般式， 证明如下： ∵假设4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n， 使得4k+2=m2-n2， ∴4k+2=2（2k+1）=（m+n）（m-n） ①， ∵m+n和m-n这两个数的奇偶性相同， ∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外， 其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又∵（2022-1）÷3=673••••••2， ∴第2022个智慧数在1+673+1=675（组）， 并且是第三个数，即675×4-1=2699，是个奇数， ∴根据小明的方法可得： 2k+1=2699，解得k=1349，k+1=1350， 即第2022个智慧数是2699，1349和1350是它的智慧分解． 【点睛】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法，本题属于基础题，难度不大，题中文字较多，很多学生不喜欢这样的文字题，解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论． 【压轴三】利用因式分解求最值 【典例21】形如及的式子，我们叫做“完全平方式”．在运用公式法进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以解决代数式的最大（或最小）值问题． 例如：，因为，所以，所以代数式有最小值，最小值是2． (1)代数式的最小值是________，此时的值是_______． (2)求代数式的最小值． (3)求代数式的最值（请说明“最大值”或“最小值”），并求出此时相应的的值． 【答案】(1)3，-2 (2)-6 (3)代数式的最大值为5，此时x=-1 【分析】（1）先把原式变形为，再根据非负数的性质，即可求解； （2）先把原式变形为，再根据非负数的性质，即可解决问题； （3）先把原式变形为，再根据非负数的性质，即可解决问题． （1）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值是3，此时的值是-2； 故答案为：3，-2 （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为-6； （3）解： ， ， ∵， ∴ ∴， ∴代数式的最大值为5，此时x=-1． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，利用完全平方公式确定最值问题，属于中考常考题型． 【变式21-1】阅读材料：利用公式法，可以将一些形如（）的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例：． ． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)-18 (3)12 【分析】（1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解： = = = =； （2） = = ∵， ∴， ∴多项式的最小值为-18； （3）∵， 即， ∴， ∴a=3，b=4，c=5， ∴△ABC的周长为3+4+5=12． 【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式的形式是解本题的关键． 【变式21-2】课本中这样写道：形如 a²±2ab+b²的式子称为完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决某些多项式的因式分解或求代数式最大值，最小值等问题． 例如：分解因式．         例如．求代数式2x2+4x-1的最小值． 原式=x2+2x-3                 原式=2x2+4x -1 =（x²+2x+1）-4                   =2（x²+2x+1-1）-1 =(x+1)2 -22                       =2(x+1)2- 3． =(x+1+2)(x+1-2)                可知当x= -1时，2x²+4x-1有最小值， =(x+3)(x-1)                     最小值是-3 参照上面方法，解决下面问题： (1)分解因式：a2-6a-7 (2)当x为何值时，多项式x2-2x-1有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当x= 1时，x2-2x-1有最小值，最小值为-2 【分析】（1）根据题干中例子的方法，先将原式加上9再减去9，变形为，再用公式法进行分解因式即可； （2）根据题干中例子的方法，先将原式加1再减1，配成完全平方式，即可求得多项式的最小值． （1）解：a2-6a-7 ； （2）解：x2-2x-1，∵，∴ ，即当x= 1时，x2-2x-1有最小值，最小值为-2． 【点睛】本题考查了利用配方法对多项式进行因式分解和求代数式的最大值，最小值问题，理解题意，仿照题干中例题的方法进行求解是解题的关键． 【变式21-3】【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：对于．（1）用配方法分解因式；（2）当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？ 解：（1）原式 ； （2）对于， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值是． 【问题解决】利用配方法解决下列问题： (1)配方法因式分解：； (2)当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？ (3)对于代数式，有最大值还是最小值？请直接写出的最大值或最小值． 【答案】(1) (2)当时，代数式有最小值，最小值是 (3)当时，代数式有最大值，最大值为 【分析】（1）原式可化为，由完全平方公式可得，再根据平方差公式可化为，化简即可得出答案； （2）当时，有最小值，计算即可得出答案； （3），，代数式有最大值，应用配方法可化为，即当时，原式有最大值，计算即可得出答案． （1）解：； （2）当时，，∴有最小值，最小值为，∴当时，代数式有最小值，最小值是． （3）有最大值，最大值为．理由如下：，当时，原式有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方式，平方差公式，非负数的性质．熟练掌握因式分解的应用，完全平方式，平方差公式，非负数的性质是解决本题的关键． 通关检测·实战演练 一 选择题 1．下面分解因式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据公式法和提取公因式法分解因式，逐一判断各个选项即可． 【详解】解：A. ，原选项错误； B. ，原选项错误； C. ，原选项正确；     D. ，原选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握公式法和提取公因式法分解因式是关键． 2．同学们把多项式提取公因式后，则另一个因式应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接提取公因式2x得出答案即可． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，利用多项式的每一项除以公因式是解本题关键． 3.已知m﹣n＝2，则m2﹣n2﹣4n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先根据平方差公式，原式可化为，再把已知代入可得，再应用整式的加减法则进行计算可得，代入计算即可得出答案． 【详解】解： = 把代入上式， 原式= = = =， 把代入上式， 原式=2×2=4． 故选：B． 【点睛】本题考查了运用平方差公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 4.下列因式分解正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义及方法逐项分析即可； 【详解】A. ，故不正确； B. 是乘法运算且运算错误，故不正确； C. ，正确； D. ，故不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 5.把多项式因式分解的结果是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ab+a先提取公因式a，然后再提取公因式（1+b）得出结果即可． 【详解】解： 故选D. 【点睛】本题考查提公因式法分解因式，准确找到公因式是解题关键. 二 填空题 6.分解因式：xy4﹣6xy3+9xy2=_____． 【答案】xy2(y﹣3)2． 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：xy4﹣6xy3+9xy2 =xy2(y2﹣6y+9) =xy2(y﹣3)2， 故答案为：xy2(y﹣3)2． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 7.已知， ，则________. 【答案】9 【分析】根据平方差公式代入即可. 【详解】解：∵， ， ∴ 故答案为：9. 【点睛】此题考查的是平方差公式，掌握平方差公式的特征是解决此题的关键. 8.已知 x+y=1，则  x² xy y² =_______ 【答案】 【分析】根据完全平方公式即可得出答案. 【详解】∵x+y=1 ∴ ∴ 【点睛】本题考查的是完全平方公式：. 9.分解因式：xy4﹣6xy3+9xy2=_____． 【答案】xy2(y﹣3)2． 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：xy4﹣6xy3+9xy2 =xy2(y2﹣6y+9) =xy2(y﹣3)2， 故答案为：xy2(y﹣3)2． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10.已知，则_______． 【答案】7 【分析】利用完全平方公式求出的值，再计算算术平方根即可得． 【详解】解：， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了完全平方公式、算术平方根，熟记完全平方公式（）是解题关键． 三 解答题 11．提公因式法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8) 【分析】（1）直接提取公因式5xy，计算即可；（2）直接提取公因式-7x2y2，计算即可；（3）将原多项式变形为4a(x-y)+2b(x-y)，提取公因式2(x-y)，计算即可；（4）将原多项式变形为m2(a-2)+m(a-2)，提取公因式m(a-2)，计算即可；（5）直接提取公因式-4ab4，计算即可；（6）直接提取公因式a+b后，化每个因式为最简即可；（7）直接提取公因式x+y后，化每个因式为最简即可；（8）直接提取公因式x+1后，化每个因式为最简即可. 【详解】解：（1） = =； （2） = =； （3） = = =； （4） = = =； （5） = =； （6） = =； （7） = =； （8）. = =. 【点睛】本题考查提公因式法因式分解，确定公因式是解答此题的关键，确定公因式的方法为公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的. 12．公式法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． (5) (6) (7) (8) (9)； (10)； (11). (12)． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （5）；（6）；（7）；（8） (9) (10) (11) (12) 【分析】（1）先提取公因式，然后进一步利用平方差公式进行因式分解即可； （2）利用提公因式法进行因式分解即可； （3）先将括号去掉，然后移项，根据完全平方公式进行因式分解即可； （4）利用提公因式法以及平方差公式综合进行因式分解即可. （5）先提取公因式，然后用完全平方公式进行分解即可； （6）先用完全平方公式展开，合并同类项，然后用完全平方公式进行分解即可； （7）原式进行整理先用完全平方公式合并，然后再用平方差公式进行因式分解； （8）用十字相乘进行因式分解即可. （9）利用提公因式法及平方差公式，即可分解因式； （10）利用提公因式法及完全平方公式，即可分解因式； （11）利用完全平方公式及平方差公式，即可分解因式． （12）先用完全平方公式，再用平方差公式． 【详解】（1）==； （2）==； （3）===； （4） = = = =. （5）原式=； （6）原式=； （7）原式=； （8）原式=. （9）解： （10）解： （11）解： （12）原式 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握相关方法及公式是解题关键. 13.已知a﹣b＝7，ab＝﹣12． （1）求a2b﹣ab2的值； （2）求a2+b2的值； （3）求a+b的值； 【答案】(1)-84 ;(2) 25; (3)1或-1 【分析】（1）直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案； （2）直接利用完全平方公式进而求出答案； （3）直接利用（2）中所求，结合完全平方公式求出答案． 【详解】(1)∵a−b=7，ab=−12， ∴a2b﹣ab2=ab(a−b)=−12×7=−84； (2)∵a−b=7，ab=−12， ∴=49， ∴a2+b2−2ab=49， ∴a2+b2=25； (3)∵a2+b2=25， ∴=25+2ab=25−24=1， ∴a+b=±1. 【点睛】此题考查因式分解-提公因式法、完全平方公式，解题关键在于掌握因式分解的综合运用. 14.阅读下列分解因式的过程： ．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）首先将三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可； （2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出，，的关系，判断三角形形状即可． 【详解】（1）解： （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 即：或， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定．正确分组分解因式是解题关键． 15.我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索： （1）在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为________； （2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵，，，∴长方体①的体积为． 类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简） （3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为________； （4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为________． （5）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）；（5） 【分析】（1）由大的正方体的体积为 截去的小正方体的体积为 从而可得答案； （2）由利用长方体的体积公式直接可得答案； （3）提取公因式，即可得到答案； （4）由（1）（3）的结论结合等体积的方法可得答案； （5）利用先求解 再利用，再整体代入求值即可得到答案． 【详解】解：（1）由大的正方体的体积为 截去的小正方体的体积为 所以截去后得到的几何体的体积为： 故答案为： （2） 由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为， 所以长方体③的体积为 故答案为：， （3）由题意得： 故答案为： （4）由（1）（3）的结论，可以得到的等式为： 故答案为： （5） ，， ， 【点睛】本题考查的是完全平方公式的变形，提公因式分解因式，代数恒等式的几何意义，掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式，以及应用得到的恒等式解决问题是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题第一章因式分解》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 辨析是否属于因式分解 模块12 因式分解的代数应用一数的整除问题 模块2 求公因式 模块13因式分解的代数应用一简梗运算 模块3 提公因式法进行因式分解 微专题1分组分解法进行因式分解 模块4 方差公式进行因式分解 微专题2拆项忝项法进行因式分解 模块5 完全平方公式进行因式分解 微专题3待定系数法求参数 模块6十字相乘法因式分解 微专题4配方法(完全平方公式》因式分解的应用 模块7“知二求三”型求值 微专题5换元法进行因式分解 模块8 因式分解的几何应用 压轴1 因式分解中的规律性问题 模块9因式分解的代数应用一求代数式的值 压轴2 因式分解中的新定义问题 模块10 因式分解的代数应用一看错问题 压轴3 利用因式分解求最值 模块11 因式分解的代数应用一比较代数式的大小 通关检测·实战演练 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 因式分解 1．定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2．掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 知识点2 公因式 像多项式pa pbpc，它的各项都有一个公共的因式p，我们把这个公共因式p叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 知识点3 提公因式法分解因式 1.提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2.提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 知识点4 公式法分解因式 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 知识点5十字相乘法 1．x²(p q)x + pq =(x+p)(x+q) 2．在二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1×a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1×c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)． 模块通关·举一反 三 【模块一】辨析是否属于因式分解 【典例1】下列等式从左到右的变形是因式分解的是（） A． B． C． D． 【变式1-1】下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【模块二】求公因式 【典例2】多项式-6a2b+18a2b3x+24ab2y的公因式是（      ） A．2ab B．-6ab C．-6a2b D．-6ab2 【变式2-1】多项式各项的公因式是_____________． 【变式2-2】求下列代数式的公因式 （1）多项式的公因式是 ． （2）中各项的公因式是 . 【变式2-3】求下列代数式的公因式 （1）多项式与的公因式是 ． （2）代数式与的公因式是 ． 【模块三】提公因式法进行因式分解 【典例3】分解因式： (1) 2y+3xy； (2) ． 【变式3-1】因式分解： (1)； (2)； 【变式3-2】将下列多项式分解因式： (1)． （2）__________． （3）：＝______． （4）． （5）．． 【变式3-3】把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【模块四】平方差公式进行因式分解 【典例4】下列各式中，不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（1）把多项式分解因式结果是 ． （2）因式分解： ． 【变式4-2】分解因式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【变式4-3】因式分解．小禾因式分解后，通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小禾的解法： ① ② ③ 小禾的检验：当时， ∵ ∴分解因式错误． 任务： (1)小禾的解答是从第几步开始出错的，并帮助他指出错误的原因． (2)请尝试写出正确的因式分解过程． 【模块五】完全平方公式进行因式分解 【典例5】已知代数式x+2xy－y；－x－y+2xy；x+xy+y；4x+1+4x.其中能用完全平方公式因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】因式分解： (1) (2) （3） ． 【变式5-2】．因式分解 (1) (2) (3) (4) (5)． （6） (7) ．(8) (9) 【变式5-3】阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“A”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：______； (2)因式分解：； (3)求证：无论n为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 【模块六】十字相乘法因式分解 【典例6】阅读理解：用“十字相乘法”因式分解： ． ． 例如：． 求：(1)； (2)． 【变式6-1】阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 【变式6-2】阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如：（1）；（2）． 根据材料，把下列式子进行因式分解． (1)； (2)； (3)． 【变式6-3】．阅读下面材料完成分解因式． 型式子的因式分解 ． 这样，我们得到． 利用上式可以将某些二镒项系数为1的二次三项式分解因式． 例把分解因式 分析：中的二次项系数为1，常数项，一次项系数，这是一个型式子． 解： 请仿照上面的方法将下列多项式分解因式． (1) (2) 【模块七】“知二求三”型求值 【典例7】如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪成四块完全一样的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． (1)图2中阴影部分的正方形的边长是_____________ (2)利用图2中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式：之间的数量关系是_________________________． (3)利用（2）中的结论，计算当时，的值； (4)将正方形和正方形如图所示摆放，点F在边上，与交于点I，且，长方形面积为35，以边作正方形，设，求图中阴影部分的面积． 【变式7-1】从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_________________________； (2)运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：，，求的值； ②计算：． 【变式7-2】两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若在图1中大正方形的右下角和右上角各摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)若图1中的，图3中，则的值为__________．（用含x、y的代数式表示） 【变式7-3】．阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 迁移应用： (1)若满足，求的值； (2)如图，点，分别是正方形的边、上的点，满足，为常数，且，长方形的面积是，分别以、作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【模块八】因式分解的几何应用 【典例8】已知，b，c（a≠b≠c）为△ABC三边，且满足2c2b2c2=4b4 ，则此三角形的形状为__________________. 【变式8-1】三角形的三边a、b、c满足a（b﹣c）+2（b﹣c）＝0，则这个三角形的形状是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式8-2】我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解________=________． 【变式8-3】在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法； 根据课堂学习的经验，解决下列问题： 在一个边长为 的正方体中挖出一个边长为的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图３）,这三部分长方体的体积依次为，，．       （1）分解因式： ； （2）请用两种不同的方法求图１中的立体图形的体积：（用含有的代数式表示） ① ；            ② ； 思考：类比平方差公式，你能得到的等式为 ； （3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解： ； （4）拓展：已知，你能求出代数式的值为 ． 【模块九】因式分解的代数应用一求代数式的值 【典例9】若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．5 D．6 【变式9-1】已知多项式分解因式的结果为，则的值是（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式9-2】（1）已知：a2+a﹣1＝0，则a4+2a3+a2+2000的值是　　　； （2）如果记216＝a，那么1+21+22+23+…+215＝　 　； （3）若22x+3﹣22x+1＝192，则x＝　　　； （4）若（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a2+a4＝　 　　． 【变式9-3】阅读下列材料： 已知a2+a-3=0，求a2 (a+4)的值． 解：∵ a2=3-a， ∴a2 (a+4)=(3-a)(a+4)=3a+12-a2-4a=- a2-a+12=-(3-a)-a+12=9， ∴a2 (a+4)=9． 根据上述材料的做法，完成下列各小题： （1）若a2-a-10=0，则2(a+4) (a-5)的值为____________． （2）若x2+4x-1=0，求代数式2x4+8x3-4x2-8x+1的值． 【模块十】因式分解的代数应用一看错问题 【典例10】因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 【变式10-2】在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为___________. 【变式10-3】①先化简再求值：，其中． ②在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 【模块十一】因式分解的代数应用一比较代数式的大小 【典例11】【阅读理解】 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： ． 像这样，先添一个适当的项，使式子出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 【解决问题】 (1)利用“配方法”分解因式：． (2)已知，，求的值． (3)已知是实数，试比较与的大小，请说明理由． 【变式11-1】设P＝a(－a+b－c)，Q＝a(a－ab+ac)，则P与Q的关系是（   ） A．P＝Q B．P＞Q C．P ＜Q D．互为相反式 【变式11-2】已知一次函数y＝ax＋b（a≠0），a，b满足关系式a2＝4（b－1）－2b（b－a），若P（m，－1），Q（n，3）在一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象上，则下列正确的是（  ） A．m＜0＜n B．m＞0＞n C．m＞n＞0 D．m＜n＜0 【变式11-3】对于形如可用“配方法”将它分解成的形式，如在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，它不会改变整个式子的值，其变化过程如下： 像这种“因式分解”的方法称为“配方法”请完成下列问题： (1)利用“配方法”分解因式：； (2)已知是的三边长，且满足，求的周长； (3)在实数范围内，请比较多项式与的大小，并说明理由． 【模块十二】因式分解的代数应用一数的整除问题 【典例12】（1）能被整除吗？能被整除吗？说明你的理由． （2）说明：当为正整数时，的值必为的倍数． 【变式12-1】试说明：为自然数时，能被4整除． 【变式12-2】一个三位数，百位数字是，十位数字是，个位数字是，把百位数字与个位数字交换位置后，所得新数与原数的差可被______整除. 【变式12-3】若的展开式中不含x的二次项和一次项． (1)求的值； (2)可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数分别为　　 (3)求的值． 【模块十三】因式分解的代数应用一简梗运算 【典例13】（1）因式分解：； （2）利用因式分解进行计算：． 【变式13-1】计算题 (1)； (2)20212﹣4040×2021+20202； (3)99×101； (4)（1）（1）（1）（1）…（1）． 【变式13-2】阅读材料：求的值． 解：设，将等式两边同时乘2，得 2S=将下式减去上式，得 2S-S=， 即S= 请你仿照此法计算下面各题 （1） （2）（其中n为正整数） 【变式13-3】（1）利用因式分解计算： 121×0.13+12.1×0.9﹣1.21×12 （2）观察下列等式：，，，……计算 的结果为__________________． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】分组分解法进行因式分解 【典例14】我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解方法叫作分组分解． 例如：． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）三边满足，判断的形状，并说明理由． 【变式14-1】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，可以通过以下过程进行因式分解： ．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式； (2)已知：，．求：的值． 【变式14-2】第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得．这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有    ． 这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 第二步：理解知识，尝试填空： （1） 第三步：应用知识，因式分解： （2） x2-(p+q)x+pq；            （3）． 第四步：提炼思想，拓展应用 （4）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2=2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【变式14-3】阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解，如：，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：．像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题： （1）分解因式：； （2）的三边，，满足，判断的形状． 【微专题二】拆项忝项法进行因式分解 【典例15】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式： ①； 又比如多项式可以这样分解： ②； 仿照以上方法，分解多项式的结果是______． 【变式15-1】小亮在对分解因式时，步骤如下： （添加与，前三项可利用完全平方公式） （写成完全平方式后与最后一项又符合平方差公式） ． 请你利用上面的方法对下列多项式进行分解： 【变式15-2】阅读理解： 对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为某个多项式的平方，再减去这项，使整个式子的值不变，于是： 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 请用上述方法将下列各式进行因式分解． (1)； (2)． 【变式15-3】【学习材料】拆项添项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法．如： 例1分解因式：． 解：原式 例2分解因式：． 解：原式． 我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如 例3把多项式写成的形式． 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)运用拆项添项法分解因式：______； (3)判断关于x的二次三项式在______时有最小值； (4)已知（均为整数，m是常数），若M恰能表示成的形式，求m的值． 【微专题三】 待定系数法求参数 【典例16】如果是多项式的一个因式．则 k 的值为 （    ） A． B．1 C．4 D．-1 【变式16-1】已知有一个因式为，则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（    ） A．–6 B．6 C．–9 D．9 【变式16-3】．1637年笛卡尔（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知，当时，原式． ∴原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为．则， ∵， ∴ ∵等式两边同次幂的系数相等， 则有：，解得． ∴． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知，当______时，原式，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为．则______，______． (2)已知多项式（为常数）有一个因式是，求另一个因式以及的值． 下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为，则． …… (3)已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为______，的值为______． 【微专题四】 配方法(完全平方公式》因式分解的应用 【典例17】阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如： 即：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)把下列多项式因式分解： ①； ②； (2)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【变式17-1】利用配方法因式分解：____________； 【变式17-2】阅读材料：若，求m、n的值． 解：， ，，，∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值． (2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的值． 【变式17-3】（1） 把一个多项式写成两数和（或差）的平方的形式叫做配方法． 阅读下列有配方法分解因式的过程： 仿照上面方法，将下式因式分解；   （2）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ①上述分解因式的方法是 ，共应用了 次． ②若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ． ③分解因式： (n为正整数)． 【微专题五】 换元法进行因式分解 【典例18】阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法” 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程 解：设①，将①带入原式后， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法； (2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果； (3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解 【变式18-1】（1）填空：____________； （2）阅读，并解决问题：分解因式 解：设，则原式 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决.请你用“换元法”对下列多项式进行因式分解： ① ② 【变式18-2】阅读下列材料． 形如型的二次三项式，有以下特点：①二项式的系数是1；②常数项是两个数之积：③一次项系数是常数项的两个因数的和，把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： 请利用上述方法将下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【变式18-3】下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式 回答下列问题： (1)该同学因式分解的结果是否彻底？_____________（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请写出因式分解的最后结果__________________________； (2)以上方法叫做“换元法”．请你模仿以上方法对进行因式分解． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 因式分解中的规律性问题 【典例19】（1）填空： （2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． （3）计算． 【变式19-1】 请同学们观察以下三个等式，并结合这些等式，回答下列问题． （1）请你再写出另外两个符合上述规律的算式：______，______； （2）观察上述算式，我们发现：如果设两个连续奇数分别为2n-1和2n+1(其中n为正整数)，则它们的平方差是8的倍数．请用含n的式子说明上述规律的正确性． 【变式19-2】观察下列等式： ①＝2+，②＝3+，③＝4+，④＝5+，… （1）请按以上规律写出第⑥个等式：　 　； （2）猜想并写出第n个等式：　 　；并证明猜想的正确性． （3）利用上述规律，直接写出下列算式的结果： ＝　 　． 【变式19-3】第1个等式：1-=× 第2个等式：(1-)(1-)=× 第3个等式：(1-)(1-)(1-)=× 第4个等式：(1-)(1-)(1-)(1-)=× 第5个等式：(1-)(1-)(1-)(1-)(1-)=× ······ (1)    写出第6个等式； (2)    写出第n个等式(用含n的等式表示),并予以证明． 【压轴二】因式分解中的新定义问题 【典例20】．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”．如：①；②；③，因此8，16，24都是“友好数”． (1)32是“友好数”吗？为什么？ (2)若一个“友好数”能表示为两个连续奇数和（k为正整数）的平方差，则这个“友好数”是8的倍数吗？请用因式分解的方法进行说明． 【变式20-1】方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 【变式20-2】因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解： 首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法． (1)因式分解：x2﹣15x﹣34＝　 　． (2)因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值：　 　． (3)请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解． 【变式20-3】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”． 例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2022个智慧数是否存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究． 小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来： ，，，，… 小明认为小颖的方法太麻烦，他想到： 设两个数分别为，，其中，且为整数．则． (1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有______都是智慧数，并直接写出11，15的智慧分解； (2)继续探究，他们发现，，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：（，且为整数）均为智慧数．请证明他们的猜想； (3)根据以上所有探究，请直接写出第2022个智慧数，以及它的智慧分解． 【压轴三】利用因式分解求最值 【典例21】形如及的式子，我们叫做“完全平方式”．在运用公式法进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以解决代数式的最大（或最小）值问题． 例如：，因为，所以，所以代数式有最小值，最小值是2． (1)代数式的最小值是________，此时的值是_______． (2)求代数式的最小值． (3)求代数式的最值（请说明“最大值”或“最小值”），并求出此时相应的的值． 【变式21-1】阅读材料：利用公式法，可以将一些形如（）的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例：． ． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 【变式21-2】课本中这样写道：形如 a²±2ab+b²的式子称为完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决某些多项式的因式分解或求代数式最大值，最小值等问题． 例如：分解因式．         例如．求代数式2x2+4x-1的最小值． 原式=x2+2x-3                 原式=2x2+4x -1 =（x²+2x+1）-4                   =2（x²+2x+1-1）-1 =(x+1)2 -22                       =2(x+1)2- 3． =(x+1+2)(x+1-2)                可知当x= -1时，2x²+4x-1有最小值， =(x+3)(x-1)                     最小值是-3 参照上面方法，解决下面问题： (1)分解因式：a2-6a-7 (2)当x为何值时，多项式x2-2x-1有最小值，并求出这个最小值． 【变式21-3】【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：对于．（1）用配方法分解因式；（2）当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？ 解：（1）原式 ； （2）对于， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值是． 【问题解决】利用配方法解决下列问题： (1)配方法因式分解：； (2)当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？ (3)对于代数式，有最大值还是最小值？请直接写出的最大值或最小值． 通关检测·实战演练 一 选择题 1．下面分解因式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．同学们把多项式提取公因式后，则另一个因式应为（    ） A． B． C． D． 3.已知m﹣n＝2，则m2﹣n2﹣4n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4.下列因式分解正确的是 （ ） A． B． C． D． 5.把多项式因式分解的结果是（    ）. A． B． C． D． 二 填空题 6.分解因式：xy4﹣6xy3+9xy2=_____． 7.已知， ，则________. 8.已知 x+y=1，则  x² xy y² =_______ 9.分解因式：xy4﹣6xy3+9xy2=_____． 10.已知，则_______． 三 解答题 11．提公因式法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 12．公式法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． (5) (6) (7) (8) (9)； (10)； (11). (12)． 13.已知a﹣b＝7，ab＝﹣12． （1）求a2b﹣ab2的值； （2）求a2+b2的值； （3）求a+b的值； 14.阅读下列分解因式的过程： ．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状 15.我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索： （1）在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为________； （2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵，，，∴长方体①的体积为． 类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简） （3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为________； （4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为________． （5）已知，，求的值． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $