专题2.1分式及其基本性质 （12大题型+过关检测） （小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

**基本信息** 以“小模块-微专题-大压轴”为框架，构建从基础概念到素养提升的递进式训练体系，突出分式核心考点的方法迁移与逻辑推导。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式的判断|1典例+3变式|分式三条件（形如A/B、整式、分母含字母）|从概念辨析到反例构造，培养抽象能力| |有/无意义条件|1典例+3变式|分母≠0（有意义）；分母=0（无意义）|结合函数自变量取值，强化推理意识| |值为0条件|1典例+3变式|分子=0且分母≠0（双重条件）|渗透分类讨论思想，提升逻辑思维| |分式变形与求值|6模块+3微专题|基本性质（乘除同整式）、约分三步法（找公因式→约去→最简）|从性质应用到规律探究，构建知识网络| |压轴突破|1典例+3变式|分式规律探究（符号、指数、结构特征）|发展数学眼光，培养创新意识|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.1分式及其基本性质 》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 分式的判断 微专题1用分式的基本性质将分式变形 模块2 分式有/无意义的条件 微专题2约分 模块3 分式值为0的条件 微专题3最简分式 模块4 分式求值 压轴1 分式的规律性问题 模块5 判断分式变形是否成立 通关检测·实战演练 模块6利用分式的基本性质判断分式值的变化 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 分式的概念 1.一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.分式中，A叫做分 子，B叫做分母. 2.一个式子是分式需要满足的三个条件 (1)是形如的式子; (2)A,B为整式; (3)分母B中含有字母. 知识点2 分式有、无意义的条件 1.分式有意义的条件:分式的分母不等于0. 2.分式无意义的条件:分式的分母等于0. 知识点3 分式的值为0的条件 1.当分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0. 2.分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者 缺一不可. 知识点4 分式的基本性质 1.分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 .2.用式子表示为，(C≠0)，其中A,，B，C是整式. .知识点5 约分、最简分式 1.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分， 2.分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式 模块通关·举一反 三 【模块一】分式的判断 【典例1】代数式、、、、中，分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据分式的定义进行解答即可． 【详解】解：与是分式，共2个； 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母． 【变式1-1】式子，，，，中，分式的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】，的分母中含有字母，是分式，共有2个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数． 【变式1-2】在式子、、、、、、中，分式的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据分式的定义作答即可． 【详解】解：∵在式子、、、、、、中，分式有：、、、， ∴分式有个． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的判断，熟练掌握分式的定义是解本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意不是字母，是常数，所以分母中含的代数式不是分式，是整式． 【变式1-3】写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 __________________． 【答案】 【分析】根据分式的分母不等于零，结合分式的概念解答即可． 【详解】∵无论字母x取何值，x2+1＞0， ∴x2+1≠0， ∴是一个分式，并无论字母x取何值分式均有意义， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的概念，解题的关键利用偶次方的非负性列一个代数式使分母不等于零． 【模块二】分式有/无意义的条件 【典例2】当为任意实数时，下列分式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用分式有意义的条件分别分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】A.当时，该分式没有意义，故本选项不合题意； B.当时，该分式没有意义，故本选项不合题意； C.， ， 当为任意实数时，该分式一定有意义，故本选项符合题意； D.当时，该分式没有意义，故本选项不合题意； 故选：． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键． 【变式2-1】在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：在函数中，，则， 故选：B． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟知分式的分母不为0是解答的关键． 【变式2-2】若分式无意义，则应满足的条件是（　　　） A． B．x=-3 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，进行计算即可得． 【详解】解：若分式无意义， 则， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件并认真计算． 【变式2-3】当时，分式没有意义，则b的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】先将代入分式，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案． 【详解】解：当，， ∵分式没有意义， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键． 【模块三】分式值为0的条件 【典例3】若分式的值为零，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式值为0的条件是分母不为0，分子为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分母不为0，分子为0是解题的关键． 【变式3-1】若分式的值为零，则的值是（    ） A．3 B． C．±3 D．0 【答案】A 【分析】根据分式为零的条件（分子为零，分母不为零）列式计算即可． 【详解】解：分式的值为零， ，， ． 故选A 【点睛】本题考查了分式为零的条件，熟记分式为零的条件是解题关键． 【变式3-2】若分式的值为0，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．由分式值为零的条件可知且． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，解题关键是理解分式的值为零的条件，特别需要注意的是分母不是0． 【变式3-3】若，那么________；如果分式的值为0，则的值是_______． 【答案】 7 1 【分析】将的两边分别平方，用完全平方公式展开即可求得的值，根据分式的值为0可得分子为0，分母不为0，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， ∵分式的值为0， ∴，， ∴， 故答案为：7，1． 【点睛】本题主要考查了分式的求值、完全平方公式以及分式值为0，熟练掌握分式为0的条件及完全平方公式是解题的关键． 【模块四】分式求值 【典例4】．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，代入代数式，即可求解． 【详解】解： ， ∴设，， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式求值问题，熟练掌握和运用分式求值的方法是解决本题的关键． 【变式4-1】若，则等于（     ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据得，从而将分子分母同时除以进行化简，再代入即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，根据得，将分子分母同时除以进行化简，再代入，是解题的关键． 【变式4-2】若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】利用完全平方公式因式分解，求得，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，求分式的值，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【变式4-3】若，其中a，b都不为零，则的值是（    ） A．-3 B．-2 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据完全平方公式可先将已知的式子变形为，，然后整体代入所求式子计算即可. 【详解】解：∵， ∴，， 即，， ∵a，b都不为零， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形和分式的求值，灵活应用整体思想是关键. 【模块五】判断分式变形是否成立 【典例5】下列分式从左到右变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 【变式5-1】下列分式变形从左到右一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，解决即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、当时才成立，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查分式的化简，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 【变式5-2】下列代数式变形正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质计算后判断正误． 【详解】解：A、，原变形错误，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，原变形错误，本选项不符合题意； D、，原变形错误，本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质． 【变式5-3】下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：A. ，故A选项不正确；    B. ，故B选项不正确； C. ，故C选项不正确； D. ，故D选项正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 【模块六】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例6】如果把中的与都扩大为原来的10倍，那么这个式子的值（    ） A．扩大为原来的5倍 B．不变 C．扩大为原来的10倍 D．缩小为原来的 【答案】B 【分析】首先分别判断出x与y都扩大为原来的10倍后，分式的分子、分母的变化情况，然后判断出这个代数式的值和原来代数式的值的关系即可． 【详解】解：∵x与y都扩大为原来的10倍， ∴扩大为原来的10倍，扩大为原来的10倍， ∴的值不变， 即这个代数式的值不变． 故选B． 【点睛】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出分式的分子、分母的变化情况． 【变式6-1】如果把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．缩小4倍 D．扩大4倍 【答案】D 【分析】分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴分式的值扩大4倍． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 【变式6-2】若把分式中的和同时扩大为原来的3倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 分式的值不变， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 【变式6-3】如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍 【答案】A 【分析】分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分别用和去代换原分式中的x和y， 得， ∴分式的值扩大3倍 故选：A． 【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 【微专题一】用分式的基本性质将分式变形 【典例7】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数． 【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式==． 故选D． 【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号． 【变式7-1】下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：=== 故选B． 【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． 【变式7-2】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】对于一个分式有三个符号，分式本身，分子，分母，由分式的基本性质可得：这三个符号同时改变两个，分式的值不变，根据此原理逐一解答各题： （1）把的分子，分母的符号都改为“+”，可得答案； （2）把的分子的符号改为“+”，分数本身的符号都改为“-”，可得答案； （3）把的分母的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案； （4）的分子的符号改为“+”，分数本身的符号都改为“-”，可得答案． 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变.”是解题的关键. 【变式7-3】把方程的分母化为整数的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，将方程的分母化为整数即可． 【详解】解：， 整理，得：； 故选C 【点睛】本题考查分式的基本性质．熟练掌握分式的分子和分母同乘同一个不为0的数，分式的值不变，是解题的关键． 【微专题二】约分 【典例8】下列各式中，从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断． 【详解】A、原变形错误，故不符合题意； B、原变形错误，故不符合题意； C、原变形错误，故不符合题意； D、原变形正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质并运用是解决此题的关键 【变式8-1】下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用公式法以及提取公因式法将分子与分母分解因式，再利用分式的性质分别化简，进而判断即可． 【详解】A. ，成立，不符合题意； B. ，成立，不符合题意； C. ，不成立，符合题意； D. ，成立，不符合题意； 故选C 【点睛】本题主要考查了约分，正确掌握分式的基本性质是解题关键． 【变式8-2】．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质以及分式中的符号法则进行判断即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质和约分，正确的把分子分母进行因式分解是解题的关键． 【变式8-3】下列分式化简正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先把分式的分子分母分别分解因式，再约分即可作出判断． 【详解】解：A. ，故此选项错误； B. ，故此选项错误； C. ，故此选项正确； D. 是最简分式，不能再化简了，故此选项错误. 故答案是：C. 【点睛】此题主要考查了分式的约分，关键是正确把分式的分子分母分解因式． 【微专题三】最简分式 【典例9】给出下列分式：、、、，其中最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】直接利用分式的性质性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案． 【详解】解：∵， ， ∴最简分式是，共1个 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握等式的性质是解题的关键． 【变式9-1】分式，，，中，最简分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据最简分式的定义，即可求得，最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【详解】，． ，不是最简分式． ，是最简分式，最简分式有2个． 故选B 【点睛】本题考查了最简分式，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【变式9-2】下列分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的分子分母都不含有公因式的分式是最简分式，可得答案． 【详解】解：A、，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意； B、是最简分式，故此选项符合题意； C、，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意； D、，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简分式的定义：分式的分子分母都不含有公因式的分式是最简分式，熟悉最简分式的定义是解题的关键． 【变式9-3】下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意； B、，不是最简分式，故本选项不符合题意； C、，不是最简分式，故本选项不符合题意； D、是最简分式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】 求分式值为正/负时未知数的取值范围 【典例10】已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（   ） A．x＞0 B．x＞-4 C．x≠0 D．x＞-4且x≠0 【答案】D 【分析】若的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵＞0， ∴x＋4＞0，x≠0， ∴x＞−4且x≠0． 故选：D． 【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式． 【变式10-1】若分式的值为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．取任意实数 【答案】A 【分析】由偶次方的性质可知x2≥0，故此x2+5＞0，由分式的值为正数可知＞0，最后解不等式即可． 【详解】，的值为正数 解得 故选A 【点睛】本题考查了分式的值，解答本题的关键在于根据偶次方的性质得到x2+5＞0 【变式10-2】分式的值为正数的条件是（    ）． A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】易得分母为非负数，那么分式的值为正数，则应让分子大于0，分母不为0． 【详解】解：根据题意得：2-x＞0，（x+1）2≠0， ∴x＜2且x≠-1， 故选：B． 【点睛】用到的知识点为：分式有意义，分母不为0；一个数的平方为非负数；两数相除，同号得正． 【变式10-3】若分式的值恒为正，则它的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】把分子、分母因式分解，约分后，再讨论． 【详解】∵=，∴要使分式的值恒为正数，则a+2＞0且 a﹣3≠0，∴a＞﹣2且a≠3． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的值．解答本题应把握住两点：1、要使分式恒有意义；2、要使分式的值恒为正数． 【微专题二】求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例11】．若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据3的约数有±1，±3，分别建立等式计算即可． 【详解】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3， ∴a＝0或2或﹣2或4， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值，整数的性质，整数的约数，熟练掌握一个数的约数是解题的关键． 【变式11-1】若为整数，则能使也为整数的的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先把原分式进行变形，分离出一个常数，结合原分式的值为整数，n为整数，即可得到答案． 【详解】∵为整数，也为整数， 又∵=， ∴n-1=±1，±2，即：n=0，2，3，-1． ∴能使也为整数的的个数有4个． 故选D． 【点睛】本题主要考查分式的值和分式的加法运算法则，掌握分式的加法运算法则，把原分式化为一个整数和一个分式的和，是解题的关键． 【变式11-2】能使分式值为整数的整数x有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】首先把分式转化为，则原式的值是整数，即可转化为讨论的整数值有几个的问题． 【详解】， 当2x-3=±1或±13时，是整数，即原式是整数． 解得：x=2或1或8或-5；4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键． 【变式11-3】若m为整数，则能使的值也为整数的m有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再约分，得出答案即可． 【详解】原式，且， 若m为整数，的值也为整数， 则，，且， 解得：或或， 能使的值也为整数的m的值共有三个． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值，掌握分式的性质是解题的关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 分式的规律性问题 【典例12】一组按规律排列的式子：，其中第7个式子是_____． 【答案】 【分析】根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母得变化得出分母变化的规律，根据分数符号的变化规律得出分数符号的边化规律，即可得到该组式子的变化规律，进而可得出结论． 【详解】解：分子为，其指数为2，5，8，11，…，其规律为， 分母为，其指数为1，2，3，4，…，其规律为， 分数符号为，，，，…， 第个式子是， 第7个式子是， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的定义，规律型：数字的变化类，解题关键在于理解题意找到变换规律． 【变式12-1】给定一列分式：，，，，，其中，根据你发现的规律，试写出第个分式______． 【答案】 【分析】用后面项除以前面项求出结果，归纳总结得到第个分式即可． 【详解】解：给定一列分式：，，，，，其中用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是； 根据你发现的规律，试写出第个分式， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式12-2】观察给定的分式，探索规律： （1），，，，…其中第6个分式是__________； （2），，，，…其中第6个分式是__________； （3），，，，…其中第n个分式是__________（n为正整数）． 【答案】 【分析】（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，第六个分式的分子是6，分母是 x6 （2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，第六个分式是负号，分子是x12，分母是 y11, （3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个分式的符号是（-1）n, 分子是b3n-1，分母是 an, 【详解】解：（1）分子是连续正整数，分母是以x为底，指数是连续正整数，所以，第六个分式是， （2）分子是以x为底，指数是连续偶数，分母是以y为底，指数是连续奇数，第奇数个分式符号是正，第偶数个分式符号为负，所以，第六个分式是， （3）分子是以b为底，第一个指数是2，以后依次加3，所以第n个指数是3n-1；分母是以a为底，指数是连续正整数，第奇数个分式符号是负，第偶数个分式符号为正，第n个符号为（-1）n，所以，第六个分式是 【点睛】本题考查了数字之间的规律，连续正整数、奇数、偶数和依次递增3的数字规律，包括符号依次变化规律，熟练掌握特殊数字之间的规律是解题关键 【变式12-3】先观察下列各式，再完成题后问题： ；； （1）①写出：________ ②请你猜想：________ （2）求的值； （3）运用以上方法思考：求的值． 【答案】（1）①；②或；（2）；（3） 【分析】（1）①直接根据已知将原式分成两分数的差即可； ②直接利用已知得出原式=连续两偶数差的一半； （2）利用已知中规律将原式化简求出答案即可； （3）首先提取，进而利用已知规律化简求出答案. 【详解】解：（1）①； 故答案为：； ② 或； 故答案为：或； （2）原式； （3） . 【点睛】此题考查等式的规律计算，有理数的混合运算，根据已知得到等式的计算规律进而解决问题是解题的关键. 通关检测·实战演练 一 选择题 1.下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的定义求解即可． 【详解】解：A、它的分母中不含有字母，是整式，故本选项不符合题意； B、它的分母中不含有字母，故本选项不符合题意； C、它的分母中不含有字母，是整式，故本选项不符合题意； D、它的分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式． 2.如果分式的值为0，则的值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据分式的值为0的条件：分子等于0，分母不为0解答即可. 【详解】∵分式的值为0， ∴x2-4=0且x2-4x+4≠0， 解得：x=-2. 故选A. 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，即分子等于零且分母不等于零． 3.．如果把分式 中的x与y都扩大 2 倍，那么这个分式的值（ ） A．不 变 B．扩大 2 倍 C．扩大 4 倍 D．扩大 6 倍 【答案】B 【分析】根据分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案． 【详解】分式中的x与y都扩大2倍，得 ， 故选：B． 【点睛】此题考查分式的基本性质，解题关键在于掌握分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变． 4.下列式子的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A. 不一定正确； B. 不正确； C. 分子分母同时除以2，变形正确； D. 不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 5.已知，则代数式的值是（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先将已知等式变形为，再代入求解即可． 【详解】解：由得， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，根据所求式子，正确变形已知等式是解题关键 二 填空题 6.若分式有意义，则x的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】∵分式有意义 ∴ 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的问题，掌握分式的性质以及分式有意义的条件是解题的关键． 7.不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = ______, (2) =  _____. 【答案】 , 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故答案为,. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 8.有两块棉田，第一块x亩，亩产量m千克，第二块y亩，亩产量n千克，这两块棉田平均亩产量是__________． 【答案】 【分析】用两块地的总产量除以总亩数即可求得答案． 【详解】解：这两块地的平均亩产量是（mx＋ny）÷（x＋y）＝千克． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，从而明确其中的运算关系，正确的列出代数式． 9..已知，则_____． 【答案】 【分析】设，则有x=2k，y=3k，z=4k，代入即可求解． 【详解】设，根据题意有，k≠0， 则有x=2k，y=3k，z=4k， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查为了分式的求值，设是解答本题的关键． 10.已知：关于x的方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，则关于x的方程的两个解为______________． 【答案】x1＝a，x2＝ 【分析】根据关于x的方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，得到规律求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，， ∴依规律，得x－1＝a－1或x－1＝， 解得：x1＝a，x2＝． 故答案为：x1＝a，x2＝． 【点睛】本题主要考查了与分式有关的规律型问题，解题的关键在于根据题意找到规律并且构造． 三 解答题 11．约分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 【答案】（1）﹣3yz10；（2）；（3）；（4）；（5）． 【分析】（1）直接由单项式除以单项式的运算法则，即可得到答案； （2）先进行因式分解，然后进行约分，即可得到答案； （3）先进行提公因式，然后进行约分，即可得到答案； （4）先把分式进行因式分解，然后再进行约分，即可得到答案； （5）先分组进行因式分解，然后利用平方差进行因式分解，再约分即可． 【详解】解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式= = =； （4）原式=； （5）原式= = =． 【点睛】本题考查了分式的化简，约分的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 12..已知实数a、b、c满足；计算：. 【答案】8或-1 【分析】先设=k，易得b+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，①+②+③可得2（a+b+c）=k（a+b+c），若a+b+c≠0，则k=2，再把k的值代入所求分式可求一个答案；而当a+b+c=0，则有a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，再整体代入所求分式中又可求另一答案． 【详解】解：设=k，则 b+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③， ①+②+③得，2（a+b+c）=k（a+b+c）， 当a+b+c≠0，则k=2， ∴==k3=8； 当a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b， ∴==-1． 故答案是8或-1． 【点睛】本题考查了比例的性质．解题的关键是分情况讨论问题，注意整体代入． 13.已知，求 ？ 【答案】/-0.75 【分析】首先把去分母可得y＋x＝2xy，然后把变形后代入y＋x＝2xy，约分化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴y＋x＝2xy， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的计算，关键是正确利用分式的性质把式子变形． 14.从三个代数式：①，②，③中任选两个分别作为分式的分子和分母： (1)一共能得到多少个不同的分式？写出它们． (2)上述分式化简后，结果为整式的有哪些？写出其化简过程及结果． 【答案】(1)6个，见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用分式的概念可得； （2）利用分式的基本性质约分化简即可求解． 【详解】（1）解：一共能得到6个不同的分式： ①，②，③，④，⑤，⑥． （2）解：①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； 综上可知，③④能化为整式，得：      【点睛】本题考查了分式的概念和分式的基本性质，熟练掌握分式约分的方法是解题的关键． 15.阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 【答案】（1）真分式； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义进行化简即可得到答案； （3）根据题意列出方程即可求出的值； （4）先化为，在计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： 分式 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得：， 当为正整数时， 或， ， 故答案为：； （4）解：根据题意可得： ． 【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.1分式及其基本性质 》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 分式的判断 微专题1用分式的基本性质将分式变形 模块2 分式有/无意义的条件 微专题2约分 模块3 分式值为0的条件 微专题3最简分式 模块4 分式求值 压轴1 分式的规律性问题 模块5 判断分式变形是否成立 通关检测·实战演练 模块6利用分式的基本性质判断分式值的变化 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 分式的概念 1.一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.分式中，A叫做分 子，B叫做分母. 2.一个式子是分式需要满足的三个条件 (1)是形如的式子; (2)A,B为整式; (3)分母B中含有字母. 知识点2 分式有、无意义的条件 1.分式有意义的条件:分式的分母不等于0. 2.分式无意义的条件:分式的分母等于0. 知识点3 分式的值为0的条件 1.当分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0. 2.分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者 缺一不可. 知识点4 分式的基本性质 1.分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 .2.用式子表示为，(C≠0)，其中A,，B，C是整式. .知识点5 约分、最简分式 1.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分， 2.分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式 模块通关·举一反 三 【模块一】分式的判断 【典例1】代数式、、、、中，分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】式子，，，，中，分式的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】在式子、、、、、、中，分式的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-3】写出一个分式，并保证无论字母取何值分式均有意义 __________________． 【模块二】分式有/无意义的条件 【典例2】当为任意实数时，下列分式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式2-2】若分式无意义，则应满足的条件是（　　　） A． B．x=-3 C． D． 【变式2-3】当时，分式没有意义，则b的值为（    ） A． B． C． D．3 【模块三】分式值为0的条件 【典例3】若分式的值为零，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若分式的值为零，则的值是（    ） A．3 B． C．±3 D．0 【变式3-2】若分式的值为0，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若，那么________；如果分式的值为0，则的值是_______． 【模块四】分式求值 【典例4】．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若，则等于（     ） A． B． C． D．1 【变式4-2】若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．1 【变式4-3】若，其中a，b都不为零，则的值是（    ） A．-3 B．-2 C．2 D．1 【模块五】判断分式变形是否成立 【典例5】下列分式从左到右变形错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列分式变形从左到右一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列代数式变形正确的是（        ） A． B． C． D． 【变式5-3】下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【模块六】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例6】如果把中的与都扩大为原来的10倍，那么这个式子的值（    ） A．扩大为原来的5倍 B．不变 C．扩大为原来的10倍 D．缩小为原来的 【变式6-1】如果把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．缩小4倍 D．扩大4倍 【变式6-2】若把分式中的和同时扩大为原来的3倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍 C．缩小为原来的 D．不变 【变式6-3】如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍 【微专题一】用分式的基本性质将分式变形 【典例7】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 【变式7-1】下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 【变式7-2】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号． （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式7-3】把方程的分母化为整数的方程是（    ） A． B． C． D． 【微专题二】约分 【典例8】下列各式中，从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式8-3】下列分式化简正确的是（  ） A． B． C． D． 【微专题三】最简分式 【典例9】给出下列分式：、、、，其中最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-1】分式，，，中，最简分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-2】下列分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 【变式9-3】下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】 求分式值为正/负时未知数的取值范围 【典例10】已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（   ） A．x＞0 B．x＞-4 C．x≠0 D．x＞-4且x≠0 【变式10-1】若分式的值为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．取任意实数 【变式10-2】分式的值为正数的条件是（    ）． A． B．且 C． D． 【变式10-3】若分式的值恒为正，则它的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【微专题二】求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例11】．若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式11-1】若为整数，则能使也为整数的的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式11-2】能使分式值为整数的整数x有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-3】若m为整数，则能使的值也为整数的m有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 分式的规律性问题 【典例12】一组按规律排列的式子：，其中第7个式子是_____． 【答案】 【变式12-1】给定一列分式：，，，，，其中，根据你发现的规律，试写出第个分式______． 【变式12-2】观察给定的分式，探索规律： （1），，，，…其中第6个分式是__________； （2），，，，…其中第6个分式是__________； （3），，，，…其中第n个分式是__________（n为正整数）． 【变式12-3】先观察下列各式，再完成题后问题： ；； （1）①写出：________ ②请你猜想：________ （2）求的值； （3）运用以上方法思考：求的值． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 2.如果分式的值为0，则的值为（   ） A． B． C． D．不存在 3.．如果把分式 中的x与y都扩大 2 倍，那么这个分式的值（ ） A．不 变 B．扩大 2 倍 C．扩大 4 倍 D．扩大 6 倍 4.下列式子的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 5.已知，则代数式的值是（　　） A．3 B．2 C． D． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，根据所求式子，正确变形已知等式是解题关键 二 填空题 6.若分式有意义，则x的取值范围是________ 7.不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = ______, (2) =  _____. 8.有两块棉田，第一块x亩，亩产量m千克，第二块y亩，亩产量n千克，这两块棉田平均亩产量是__________． 9..已知，则_____． 10.已知：关于x的方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，则关于x的方程的两个解为______________． 三 解答题 11．约分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 12..已知实数a、b、c满足；计算：. 【点睛】本题考查了比例的性质．解题的关键是分情况讨论问题，注意整体代入． 13.已知，求 ？ 14.从三个代数式：①，②，③中任选两个分别作为分式的分子和分母： (1)一共能得到多少个不同的分式？写出它们． (2)上述分式化简后，结果为整式的有哪些？写出其化简过程及结果． 15.阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $