第八单元 可能性 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学北师大版五年级上册（新教材）

第八单元 可能性 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、事件发生的确定性与不确定性 1 1. 事件的分类 1 2. 判断方法 2 二、可能性的大小 2 1. 可能性有大小之分 2 2. 核心注意点 2 三、根据可能性大小推测数量 2 四、游戏规则的公平性 3 1. 公平性的判断标准 3 2. 设计公平游戏的原则 3 五、易错点总结 3 考点讲练 3 考点一：事件的确定性与不确定性 3 考点二：可能性的大小比较 4 考点三：可能性的实际应用（公平性与数量推测） 5 综合训练 6 知识梳理 一、事件发生的确定性与不确定性 1. 事件的分类 生活中的事件根据发生的确定性，可以分为两类：确定事件和不确定事件。 确定事件：结果是可以预知的，必然会发生或者必然不会发生，包含两种情况： 一定发生：在特定条件下，结果必定会出现。 例：太阳从东方升起；地球每天都在转动。 不可能发生：在特定条件下，结果必定不会出现。 例：水中捞月；正方形有 5 条边。 不确定事件：结果无法提前预知，可能发生，也可能不发生，通常用 “可能” 来描述。 例：明天会下雨；抛一枚硬币正面朝上。 2. 判断方法 结合生活常识、自然规律、数学定义等，判断事件的结果是否唯一： 结果唯一，必然出现 → 一定； 结果唯一，必然不出现 → 不可能； 结果不唯一，有多种可能 → 可能。 二、可能性的大小 1. 可能性有大小之分 事件发生的可能性是有大有小的，可能性的大小与物体的数量多少直接相关。 在总数中，某一类物体的数量越多，对应事件发生的可能性就越大； 某一类物体的数量越少，对应事件发生的可能性就越小； 当各类物体的数量相等时，对应事件发生的可能性大致相等。 2. 核心注意点 可能性的大小只代表事件发生的概率高低，不代表事件一定会发生或一定不发生： 可能性很大，不代表 “一定发生”； 可能性很小，不代表 “不可能发生”。 例：盒子里有 9 个白球、1 个黑球，摸到白球的可能性大，但也有可能摸到黑球。 三、根据可能性大小推测数量 当试验次数足够多时，事件发生的可能性大小能反映出对应物体的数量多少： 发生可能性大的事件，对应的物体数量就多； 发生可能性小的事件，对应的物体数量就少； 发生可能性差不多的事件，对应的物体数量大致相等。 这是由现象反推本质的推理方法，也是统计中常用的思路。 四、游戏规则的公平性 1. 公平性的判断标准 判断一个游戏规则是否公平，关键看参与游戏的各方获胜的可能性是否相等： 各方获胜的可能性相等 → 游戏公平； 各方获胜的可能性不相等 → 游戏不公平。 2. 设计公平游戏的原则 设计公平的游戏规则时，必须保证每个参与者获胜的机会均等，也就是获胜的可能性大小相同。常见方法： 让对应事件的数量相等； 让双方可选的结果数量相同。 五、易错点总结 混淆确定事件和不确定事件，误将 “可能发生” 的事件判断为 “一定发生”。 误以为可能性大的事件就必然发生，忽略事件的偶然性。 判断可能性大小时，只看种类数量，忽略每种的具体数量，例如 “两种颜色就一定可能性相等”。 判断游戏公平性时，只看结果种类，不计算双方获胜的具体情况数。 根据试验结果推测数量时，仅凭少数几次结果就下结论，忽略试验次数的影响。 考点讲练 考点一：事件的确定性与不确定性 【典例精讲】 在括号里填上 “一定”“可能” 或 “不可能”。 （1）地球每天都在转动。（ ） （2）从全是红球的盒子里摸出白球。（ ） （3）下周一会下雨。（ ） （4）长方形的四个角都是直角。（ ） 【变式训练】 判断题。（对的画 “√”，错的画 “×”） （1）晚上一定会看到星星。（ ） （2）两位数乘一位数，积不可能是五位数。（ ） （3）抛一枚硬币，落地后一定是正面朝上。（ ） 【变式训练】 下列事件中，属于不可能事件的是（ ）。 A. 小明期末考试得满分 B. 今年冬天会下雪 C. 公鸡下蛋 【变式训练】 将下列事件与对应的描述连起来。 太阳从西边升起 买彩票中奖 人需要呼吸 一定 可能 不可能 考点二：可能性的大小比较 【典例精讲】 盒子里有 5 个红球、3 个黄球、1 个白球，它们除颜色外完全相同。任意摸出一个球，摸到（ ）球的可能性最大，摸到（ ）球的可能性最小。 A. 红 B. 黄 C. 白 【变式训练】 如图是一个转盘，转盘被平均分成 8 份，其中 3 份涂红色、4 份涂蓝色、1 份涂黄色。转动转盘，指针停在（ ）色区域的可能性最大，停在（ ）色区域的可能性最小。 A. 红 B. 蓝 C. 黄 【变式训练】 往盒子里放黑、白两种颜色的球共 8 个，要求任意摸一个球，摸到黑球的可能性比白球大。请写出两种不同的放球方案。 【变式训练】 判断题：盒子里有 10 个红球、1 个绿球，任意摸一个，一定能摸到红球。（ ） 考点三：可能性的实际应用（公平性与数量推测） 【典例精讲】 小明和小刚玩抽卡片游戏，卡片上分别写着 1、2、3、4 四张数字卡片。规则是：抽到奇数小明赢，抽到偶数小刚赢。这个游戏规则公平吗？为什么？ 【变式训练】 小刚在一个不透明的盒子里摸球，每次摸出一个后放回摇匀，他摸了 30 次，其中摸到红球 22 次，摸到蓝球 8 次。根据这个结果推测，盒子里（ ）球可能多一些，（ ）球可能少一些。 【变式训练】 两人玩掷骰子游戏，规则是：点数大于 3，甲赢；点数小于 3，乙赢。这个游戏公平吗？如果不公平，请你修改规则，使游戏变得公平。 【变式训练】 口袋里放着形状、大小相同的红、黄、蓝三种颜色的球各 5 个。如果闭着眼睛摸，至少要摸出多少个球，才能保证一定有两个颜色相同的球？ 综合训练 1．一个不透明的口袋里有3个黄球和3个红球，从中任意摸一个，要使摸到黄球的可能性大，可以（    ）。 A．拿出1个黄球 B．拿出1个红球 C．放入1个白球 D．放入1个红球 2．有20张卡片，上面分别写有整数1～20，从中任意摸一张。下列说法错误的是（    ）。 A．摸到3的倍数比摸到5的倍数可能性大 B．摸到奇数和偶数的可能性一样 C．增加一张31，摸到质数的可能性增加了 D．不可能摸到23的因数 3．深圳某文创公司推出的地标系列盲盒，其中各款式的数量如下，小王买到“（    ）”款的可能性最大。 款式 深圳市民中心 华润春笋大厦 地王大厦 平安金融中心 图样 数量（个） 35 30 25 10 A．深圳市民中心 B．华润春笋大厦 C．地王大厦 D．平安金融中心 4．转动下面的转盘，转盘停止后，指针（    ）。 A．不可能指向白色区域 B．指向灰色区域的可能性比白色区域大 C．一定能指向灰色区域 D．指向灰色区域和白色区域的可能性一样大 5．甲、乙两人进行摸球比赛，箱子中分别放了除颜色外其它都相同的小球。甲摸到白球得1分，乙摸到黑球得1分，其他情况不得分。下面四个箱子中最公平的是（　　）。 A． B． C． D． 6．从下面的扑克牌中任意摸出一张，摸出“A”、“2”、“3”这三种点数的可能性相比，摸到（    ）的可能性最大。 A．A B．2 C．3 D．无法确定 7．不透明箱子里有54个大小相同的圆球，这些圆球分为4种不同的颜色，分别是红球13个，蓝球14个，剩下的是绿球和白球。要想抽出绿球的可能性最大，绿球至少有( )个，此时抽出( )球的可能性最小。 8．桌面上有7张卡片，上面的数字依次为2、3、4、5、6、7、8，随机抽取一张，抽到奇数卡片的可能性和偶数卡片相比，抽到( )卡片的可能性更大。 9．从1、2、3、4、5中任意抽取一个数，抽到奇数的可能性是( )，抽到偶数的可能性是( )。 10．抽奖箱里有大小相同的3个一等奖红球和10个二等奖黄球，任意摸出1个球，可能出现的结果有( )种，摸到( )球的可能性大。 11．盒子里有两种不同颜色的乒乓球，淘气连续摸了20次（每摸一次放回去摇匀后再摸），其中16次摸到的是黄色乒乓球，4次摸到的是白色乒乓球，那么盒子里可能是( )色乒乓球多，( )色乒乓球少。 12．布袋里有6个红球，1个黄球，3个白球，任意摸出一个球，摸到( )球的可能性最小，摸到( )球的可能性最大。 13．在跳棋比赛时，淘气和笑笑想用掷一枚一元硬币的方法决定谁先跳（正面朝上淘气先跳，反面朝上笑笑先跳），这个规则对双方是( )的。（填“公平”或“不公平”） 14．王慧和王敏用下面转盘玩游戏，指针停在质数上王慧赢，指针停在合数上王敏赢。游戏公平吗？指针停在质数上有( )种情况；指针停在合数上有( )种情况。这两种可能性( )，所以游戏( )。 15．盒子里有红、黄两种球，笑笑摸了20次。根据表中的数据可知，袋子中( )球可能比较多，( )球可能比较少。 颜色 红球 黄球 次数 15 5 16．四大名著。四大名著是我国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一。鹏鹏将四大名著书中的人物做成了一套卡片放在盒子中，和田田一起玩抽卡片识人物的游戏，田田抽到的卡片结果如下。 卡片人物出自 《西游记》 《三国演义》 《水浒传》 《红楼梦》 次数 10 6 7 3 根据表中数据推测，盒子中( )的卡片可能最多，( )的卡片可能最少。 17．有8张正面写有成语的卡片，反面朝上放在桌面上，小明和小芳做摸卡片游戏，从卡片中任意摸出一张，摸到含有数字的成语卡片算小明赢，摸到含有颜色的成语卡片算小芳赢。这个游戏公平吗？为什么？ 紫气东来      三心二意      绿树成荫      五光十色 七上八下      四通八达      黑白分明      花红柳绿 18．桌上反扣着六张背面完全相同的卡片，卡片正面上分别写着1，2，3，4，5，6，甲随机拿出一张，让乙猜卡片上是哪个数。乙猜对了，乙胜；乙猜错了，甲胜。 (1)这个游戏规则公平吗？为什么？ (2)请你设计一个游戏规则，使它对双方都公平。 19．淘气和笑笑用转盘玩游戏，如果转盘指针指向3的倍数笑笑胜，指向5的倍数淘气胜，指向的数既不是3的倍数也不是5的倍数就是平局，重新玩。你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由。 20．丁丁和笑笑玩转盘游戏，指针停在红色区域算丁丁赢，指针停在蓝色区域算笑笑赢。你认为这个游戏公平吗？如果不公平，请你重新设计一个转盘，使游戏公平。 21．桌子上放有59枚棋子，甲、乙两人轮流从中拿走3枚或4枚棋子（两人每次一共拿走7枚），规定谁拿走最后一枚棋子谁就获胜。如果甲先拿，那么他有获胜的可能吗？如果甲有获胜的可能，请你为甲设计一个获胜的方案。 22．甲、乙两人玩摸球游戏。将三个分别写着2，3，4的大小、形状、材质均相同的小球放在一个盒子里，任意摸出两个小球，若数字之和是偶数，甲获胜；若数字之和是奇数，乙获胜。两人谁获胜的可能性大？为什么？ 23．选择下面的一个转盘，设计一个对双方都公平的游戏，与同伴说一说你这样设计的理由。 24．小明和小强进行掷骰子游戏，他们规定同时掷两枚骰子。若出现的点数之和为2的倍数，小明得1分；若出现点数之和为3或5的倍数，小强得1分。这个游戏对双方公平吗？如果你认为不公平，如何修改规则才能使该游戏对双方公平？ 25．如图，转盘被6等分，分别标有2、3、4、5、6、7这6个数字；转动转盘，当转盘停止后，指针指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次），现为甲、乙两人设计一个游戏，其规则如下： （1）指向奇数，甲赢；指向偶数，乙赢； （2）指向3的倍数，甲赢；指向不是3的倍数，乙赢； （3）指向的数大于4，甲赢：指向的数小于4，乙赢。 你认为哪个游戏是公平的？请说明理由。 26．选出点数为2、3、4、5、6、7、8、9、10九张扑克牌，反扣在桌面上。圆圆对兰兰说：“咱们玩摸牌游戏吧！每次摸一张，然后放回去，另一个人再摸。扑克牌的点数大于5就是我赢，小于5就是你赢。” （1）你认为圆圆设计的这个游戏规则谁赢的可能性大？ （2）如果规则不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 可能性 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、事件发生的确定性与不确定性 1 1. 事件的分类 1 2. 判断方法 1 二、可能性的大小 2 1. 可能性有大小之分 2 2. 核心注意点 2 三、根据可能性大小推测数量 2 四、游戏规则的公平性 2 1. 公平性的判断标准 2 2. 设计公平游戏的原则 2 五、易错点总结 3 考点讲练 3 考点一：事件的确定性与不确定性 3 考点二：可能性的大小比较 5 考点三：可能性的实际应用（公平性与数量推测） 6 综合训练 8 知识梳理 一、事件发生的确定性与不确定性 1. 事件的分类 生活中的事件根据发生的确定性，可以分为两类：确定事件和不确定事件。 确定事件：结果是可以预知的，必然会发生或者必然不会发生，包含两种情况： 一定发生：在特定条件下，结果必定会出现。 例：太阳从东方升起；地球每天都在转动。 不可能发生：在特定条件下，结果必定不会出现。 例：水中捞月；正方形有 5 条边。 不确定事件：结果无法提前预知，可能发生，也可能不发生，通常用 “可能” 来描述。 例：明天会下雨；抛一枚硬币正面朝上。 2. 判断方法 结合生活常识、自然规律、数学定义等，判断事件的结果是否唯一： 结果唯一，必然出现 → 一定； 结果唯一，必然不出现 → 不可能； 结果不唯一，有多种可能 → 可能。 二、可能性的大小 1. 可能性有大小之分 事件发生的可能性是有大有小的，可能性的大小与物体的数量多少直接相关。 在总数中，某一类物体的数量越多，对应事件发生的可能性就越大； 某一类物体的数量越少，对应事件发生的可能性就越小； 当各类物体的数量相等时，对应事件发生的可能性大致相等。 2. 核心注意点 可能性的大小只代表事件发生的概率高低，不代表事件一定会发生或一定不发生： 可能性很大，不代表 “一定发生”； 可能性很小，不代表 “不可能发生”。 例：盒子里有 9 个白球、1 个黑球，摸到白球的可能性大，但也有可能摸到黑球。 三、根据可能性大小推测数量 当试验次数足够多时，事件发生的可能性大小能反映出对应物体的数量多少： 发生可能性大的事件，对应的物体数量就多； 发生可能性小的事件，对应的物体数量就少； 发生可能性差不多的事件，对应的物体数量大致相等。 这是由现象反推本质的推理方法，也是统计中常用的思路。 四、游戏规则的公平性 1. 公平性的判断标准 判断一个游戏规则是否公平，关键看参与游戏的各方获胜的可能性是否相等： 各方获胜的可能性相等 → 游戏公平； 各方获胜的可能性不相等 → 游戏不公平。 2. 设计公平游戏的原则 设计公平的游戏规则时，必须保证每个参与者获胜的机会均等，也就是获胜的可能性大小相同。常见方法： 让对应事件的数量相等； 让双方可选的结果数量相同。 五、易错点总结 混淆确定事件和不确定事件，误将 “可能发生” 的事件判断为 “一定发生”。 误以为可能性大的事件就必然发生，忽略事件的偶然性。 判断可能性大小时，只看种类数量，忽略每种的具体数量，例如 “两种颜色就一定可能性相等”。 判断游戏公平性时，只看结果种类，不计算双方获胜的具体情况数。 根据试验结果推测数量时，仅凭少数几次结果就下结论，忽略试验次数的影响。 考点讲练 考点一：事件的确定性与不确定性 【典例精讲】 在括号里填上 “一定”“可能” 或 “不可能”。 （1）地球每天都在转动。（ ） （2）从全是红球的盒子里摸出白球。（ ） （3）下周一会下雨。（ ） （4）长方形的四个角都是直角。（ ） 【分析】 根据生活常识和数学定义，判断每个事件的结果是否确定，对应选择合适的词语。 【详解】 （1）地球转动是客观自然规律，必然发生，填 “一定”； （2）盒子里全是红球，不可能摸出白球，填 “不可能”； （3）下周一的天气无法提前确定，可能下雨也可能不下，填 “可能”； （4）长方形的定义就是四个角都是直角，必然成立，填 “一定”。 【答案】（1）一定；（2）不可能；（3）可能；（4）一定 【变式训练】 判断题。（对的画 “√”，错的画 “×”） （1）晚上一定会看到星星。（ ） （2）两位数乘一位数，积不可能是五位数。（ ） （3）抛一枚硬币，落地后一定是正面朝上。（ ） 【分析】 根据事件的确定性逐一判断，“一定” 意味着必然发生，只要存在反例就不成立。 【详解】 （1）阴天、雨天的晚上看不到星星，因此不是 “一定” 能看到，说法错误； （2）最大的两位数 99 乘最大的一位数 9，积是 891，是三位数，不可能是五位数，说法正确； （3）抛硬币可能正面朝上也可能反面朝上，不是一定正面朝上，说法错误。 【答案】（1）×；（2）√；（3）× 【变式训练】 下列事件中，属于不可能事件的是（ ）。 A. 小明期末考试得满分 B. 今年冬天会下雪 C. 公鸡下蛋 【分析】 不可能事件是必然不会发生的事件，结合生活常识判断。 【详解】 A 选项：小明得满分是可能发生的，属于不确定事件； B 选项：冬天是否下雪受天气影响，是可能发生的，属于不确定事件； C 选项：公鸡不会下蛋，是必然不会发生的，属于不可能事件。 【答案】C 【变式训练】 将下列事件与对应的描述连起来。 太阳从西边升起 买彩票中奖 人需要呼吸 一定 可能 不可能 【分析】 根据每个事件的确定性，对应匹配 “一定”“可能”“不可能”。 【详解】 太阳从西边升起：违背自然规律，必然不会发生 → 不可能； 买彩票中奖：存在中奖的概率，但不是必然发生 → 可能； 人需要呼吸：维持生命的必然需求 → 一定。 【答案】太阳从西边升起 —— 不可能；买彩票中奖 —— 可能；人需要呼吸 —— 一定 考点二：可能性的大小比较 【典例精讲】 盒子里有 5 个红球、3 个黄球、1 个白球，它们除颜色外完全相同。任意摸出一个球，摸到（ ）球的可能性最大，摸到（ ）球的可能性最小。 A. 红 B. 黄 C. 白 【分析】 可能性的大小与数量有关，数量越多，摸到的可能性越大；数量越少，摸到的可能性越小。 【详解】 三种球的数量：5 个红球 ＞ 3 个黄球 ＞ 1 个白球 红球数量最多，摸到的可能性最大；白球数量最少，摸到的可能性最小。 【答案】A；C 【变式训练】 如图是一个转盘，转盘被平均分成 8 份，其中 3 份涂红色、4 份涂蓝色、1 份涂黄色。转动转盘，指针停在（ ）色区域的可能性最大，停在（ ）色区域的可能性最小。 A. 红 B. 蓝 C. 黄 【分析】 转盘总面积相等，哪种颜色的区域份数越多，指针停在该区域的可能性就越大。 【详解】 份数对比：4 份蓝色 ＞ 3 份红色 ＞ 1 份黄色 蓝色区域最多，可能性最大；黄色区域最少，可能性最小。 【答案】B；C 【变式训练】 往盒子里放黑、白两种颜色的球共 8 个，要求任意摸一个球，摸到黑球的可能性比白球大。请写出两种不同的放球方案。 【分析】 总数量固定，要让摸到黑球的可能性大，就要让黑球的数量比白球多。 【详解】 总共有 8 个球，黑球数量 ＞ 白球数量即可： 方案一：黑球 5 个，白球 3 个； 方案二：黑球 6 个，白球 2 个； （也可以是黑球 7 个，白球 1 个，任选两种即可） 答：方案一放 5 个黑球、3 个白球；方案二放 6 个黑球、2 个白球。 【答案】示例：方案一：5 黑 3 白；方案二：6 黑 2 白（答案不唯一） 【变式训练】 判断题：盒子里有 10 个红球、1 个绿球，任意摸一个，一定能摸到红球。（ ） 【分析】 红球数量多只是摸到红球的可能性大，不代表一定能摸到，绿球虽然少，但也有可能被摸到。 【详解】 虽然红球数量远多于绿球，摸到红球的可能性很大，但也存在摸到绿球的可能，不是 “一定” 能摸到红球，说法错误。 【答案】× 考点三：可能性的实际应用（公平性与数量推测） 【典例精讲】 小明和小刚玩抽卡片游戏，卡片上分别写着 1、2、3、4 四张数字卡片。规则是：抽到奇数小明赢，抽到偶数小刚赢。这个游戏规则公平吗？为什么？ 【分析】 判断游戏是否公平，要看双方获胜的可能性是否相等，先分别数出奇数和偶数的数量，再比较。 【详解】 四张卡片中，奇数有 1、3，共 2 个；偶数有 2、4，共 2 个。 奇数和偶数的数量相等，因此抽到奇数和偶数的可能性相等，双方获胜的可能性相同。 答：这个游戏规则公平，因为奇数和偶数的数量相等，两人获胜的可能性相等。 【答案】公平，因为奇数和偶数各有 2 个，两人获胜的可能性相等。 【变式训练】 小刚在一个不透明的盒子里摸球，每次摸出一个后放回摇匀，他摸了 30 次，其中摸到红球 22 次，摸到蓝球 8 次。根据这个结果推测，盒子里（ ）球可能多一些，（ ）球可能少一些。 【分析】 摸到次数多的颜色，对应的球数量可能更多；摸到次数少的颜色，对应的球数量可能更少。 【详解】 摸到红球 22 次，摸到蓝球 8 次，摸到红球的次数远多于蓝球，说明摸到红球的可能性更大，因此盒子里红球可能多一些，蓝球可能少一些。 【答案】红；蓝 【变式训练】 两人玩掷骰子游戏，规则是：点数大于 3，甲赢；点数小于 3，乙赢。这个游戏公平吗？如果不公平，请你修改规则，使游戏变得公平。 【分析】 先分别数出大于 3 和小于 3 的点数数量，比较可能性是否相等；如果不公平，调整规则让双方获胜的可能性相等即可。 【详解】 骰子点数有 1、2、3、4、5、6，共 6 种情况： 大于 3 的点数：4、5、6，共 3 种； 小于 3 的点数：1、2，共 2 种。 3 ≠ 2，双方获胜的可能性不相等，因此游戏不公平。 修改规则示例：点数大于 3 甲赢，点数小于等于 3 乙赢。（或点数是奇数甲赢，点数是偶数乙赢，合理即可） 答：游戏不公平；修改为点数大于 3 甲赢，点数小于等于 3 乙赢，游戏就公平了。 【答案】不公平；修改规则示例：点数大于 3 甲赢，点数小于等于 3 乙赢（答案不唯一） 【变式训练】 口袋里放着形状、大小相同的红、黄、蓝三种颜色的球各 5 个。如果闭着眼睛摸，至少要摸出多少个球，才能保证一定有两个颜色相同的球？ 【分析】 这是最不利原则问题：考虑最倒霉的情况，前三次摸出的球颜色各不相同，再摸一个就一定能保证有两个颜色相同。 【详解】 最不利的情况：前 3 次分别摸到红、黄、蓝各 1 个，此时没有两个颜色相同的球； 再摸第 4 个，无论是什么颜色，都会和前面其中一个颜色相同。 （个） 答：至少要摸出 4 个球，才能保证一定有两个颜色相同的球。 【答案】4 个 综合训练 1．一个不透明的口袋里有3个黄球和3个红球，从中任意摸一个，要使摸到黄球的可能性大，可以（    ）。 A．拿出1个黄球 B．拿出1个红球 C．放入1个白球 D．放入1个红球 【答案】B 【分析】可能性的大小与物体数量的多少有关。在总数中，某种球的数量越多，摸到该种球的可能性就越大。原来黄球和红球数量相等，要使摸到黄球的可能性大，必须使黄球的数量多于红球的数量。 【详解】原来口袋里有黄球3个，红球3个。 A．拿出1个黄球，黄球还剩：3－1＝2（个），红球3个，2＜3，摸到黄球的可能性小，不符合题意； B．拿出1个红球，红球还剩：3－1＝2（个），黄球3个，3＞2，摸到黄球的可能性大，符合题意； C．放入1个白球，黄球3个，红球3个，3＝3，摸到黄球和红球的可能性相等，不符合题意； D．放入1个红球，红球有：3＋1＝4（个），黄球3个，3＜4，摸到黄球的可能性小，不符合题意。 2．有20张卡片，上面分别写有整数1～20，从中任意摸一张。下列说法错误的是（    ）。 A．摸到3的倍数比摸到5的倍数可能性大 B．摸到奇数和偶数的可能性一样 C．增加一张31，摸到质数的可能性增加了 D．不可能摸到23的因数 【答案】D 【分析】可能性有大小，相对数量多的可能性大一点，相对数量少的可能性小一点；据此解答。 【详解】A．在整数1～20中，3的倍数有6个，5的倍数有4个，6＞4，因此摸到3的倍数比摸到5的倍数可能性大，原说法正确； B．在整数1～20中，奇数有10个，偶数有10个，数量相等，因此摸到奇数和偶数的可能性一样，原说法正确； C．31是质数，质数的数量增加了，摸到质数的可能性增加了，原说法正确； D．23的因数有1和23，在整数1～20中含有1，因此可能摸到23的因数，原说法错误。 3．深圳某文创公司推出的地标系列盲盒，其中各款式的数量如下，小王买到“（    ）”款的可能性最大。 款式 深圳市民中心 华润春笋大厦 地王大厦 平安金融中心 图样 数量（个） 35 30 25 10 A．深圳市民中心 B．华润春笋大厦 C．地王大厦 D．平安金融中心 【答案】A 【分析】在总数量固定的情况下，单个款式的数量越多，被抽到的可能性越大，对四个款式的数量进行大小比较，找出数值最大的那一项。 【详解】35个＞30个＞25个＞10个 即小王买到“深圳市民中心”款的可能性最大。 4．转动下面的转盘，转盘停止后，指针（    ）。 A．不可能指向白色区域 B．指向灰色区域的可能性比白色区域大 C．一定能指向灰色区域 D．指向灰色区域和白色区域的可能性一样大 【答案】B 【分析】图中将圆盘平均分成8份，其中白色区域有3份，灰色区域有5份，因此灰色区域面积大于白色区域面积，逐项分析即可。 【详解】A．转盘中有灰色和白色两个区域，有可能指向白色区域；原说法错误； B．灰色区域面积大于白色区域面积，指向灰色区域的可能性大于白色区域；原说法正确； C．转盘中除了灰色区域还有白色区域，所以可能指向灰色区域；原说法错误； D．两种颜色区域的面积不同，所以可能性不一样大；原说法错误。 5．甲、乙两人进行摸球比赛，箱子中分别放了除颜色外其它都相同的小球。甲摸到白球得1分，乙摸到黑球得1分，其他情况不得分。下面四个箱子中最公平的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】甲摸到白球得1分，乙摸到黑球得1分，当白球和黑球的数量相同时，摸到的可能性相同，才最公平，据此分析。 【详解】A．白球5个，黑球1个，摸到白球的可能性更大，不公平； B．白球3个，黑球3个，摸到两种球的可能性一样，公平； C．白球2个，黑球4个，摸到黑球的可能性更大，不公平； D．白球3个，黑球4个，摸到黑球的可能性更大，不公平。 6．从下面的扑克牌中任意摸出一张，摸出“A”、“2”、“3”这三种点数的可能性相比，摸到（    ）的可能性最大。 A．A B．2 C．3 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据哪个数量多哪个摸到的可能性大，进行选择即可。 【详解】一共有6张扑克牌，其中A有3张，2有2张，3有1张，A的张数最多，所以摸到A的可能性最大。 7．不透明箱子里有54个大小相同的圆球，这些圆球分为4种不同的颜色，分别是红球13个，蓝球14个，剩下的是绿球和白球。要想抽出绿球的可能性最大，绿球至少有( )个，此时抽出( )球的可能性最小。 【答案】 15 白 【分析】根据可能性的大小与物体数量的多少有关，数量越多，被抽到的可能性越大。首先计算绿球和白球的总数量，然后结合已知红球和蓝球的数量，确定绿球数量必须满足的条件（多于其他所有颜色），从而求出绿球的最小值，最后比较四种颜色球的数量确定可能性最小的颜色。 【详解】绿球和白球的总数量： （个） 绿球的最小数量： 已知红球个，蓝球个。要使抽出绿球的可能性最大，绿球的数量必须多于红球、蓝球和白球。 因为蓝球有个，所以绿球数量至少要大于，即至少为个。 此时白球的数量：（个） 比较四种颜色球的数量： 绿球个，蓝球个，红球个，白球个。 所以绿球数量最多，可能性最大；白球数量最少，可能性最小。 8．桌面上有7张卡片，上面的数字依次为2、3、4、5、6、7、8，随机抽取一张，抽到奇数卡片的可能性和偶数卡片相比，抽到( )卡片的可能性更大。 【答案】 偶数 【分析】可能性的大小与数量的多少有关，数量多则被抽到的可能性就大，反之就小，若数量一样多，则被抽到的可能性就一样大；7张卡片依次为2、3、4、5、6、7、8，奇数有：3、5、7，则奇数卡片有3张，偶数有：2、4、6、8，则偶数卡片有4张，据此解答即可。 【详解】根据分析可知，偶数卡片比奇数卡片多，则抽到偶数卡片的可能性更大。 9．从1、2、3、4、5中任意抽取一个数，抽到奇数的可能性是( )，抽到偶数的可能性是( )。 【答案】 【分析】自然数中，是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。用奇数的数量除以总个数可求出抽到奇数的可能性；用偶数的数量除以总个数可求出抽到偶数的可能性。 【详解】共有5个数，奇数有1、3、5，共3个；偶数有2、4，共2个。 抽到奇数的可能性：3÷5＝； 抽到偶数的可能性：2÷5＝。 10．抽奖箱里有大小相同的3个一等奖红球和10个二等奖黄球，任意摸出1个球，可能出现的结果有( )种，摸到( )球的可能性大。 【答案】 2 黄 【分析】抽奖箱里有几种颜色的球，任意摸出1个球，可能出现的结果就有几种，哪种颜色的球多，摸到那种颜色球的可能性就大，哪种颜色的球少，摸到那种颜色球的可能性就小。 【详解】 根据分析可知，抽奖箱里有大小相同的3个一等奖红球和10个二等奖黄球，任意摸出1个球，可能出现的结果有2种，摸到黄球的可能性大。 11．盒子里有两种不同颜色的乒乓球，淘气连续摸了20次（每摸一次放回去摇匀后再摸），其中16次摸到的是黄色乒乓球，4次摸到的是白色乒乓球，那么盒子里可能是( )色乒乓球多，( )色乒乓球少。 【答案】 黄 白 【分析】摸到哪种球的次数多，说明盒子里这种颜色的球的数量可能多；摸到哪种球的次数少，说明盒子里这种颜色的球的数量可能少；据此解答。 【详解】16＞4 所以盒子里可能是黄色乒乓球多，白色乒乓球少。 12．布袋里有6个红球，1个黄球，3个白球，任意摸出一个球，摸到( )球的可能性最小，摸到( )球的可能性最大。 【答案】 黄 红 【分析】可能性大小和球的数量多少有关，数量越多，摸到的可能性越大；数量越少，摸到的可能性越小。先比较三种球的数量，再判断可能性大小。 【详解】6个红球，1个黄球，3个白球，黄球最少，红球最多，摸到黄球的可能性最小，摸到红球的可能性最大。 13．在跳棋比赛时，淘气和笑笑想用掷一枚一元硬币的方法决定谁先跳（正面朝上淘气先跳，反面朝上笑笑先跳），这个规则对双方是( )的。（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】掷一枚硬币，硬币只有正，反两面，所以掷出后，正面朝上和反面朝上的可能性是相等的。 【详解】因为正面朝上淘气先跳，反面朝上笑笑先跳，而正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以淘气和笑笑先跳的可能性也相等。所以这个规则对双方是公平的。 14．王慧和王敏用下面转盘玩游戏，指针停在质数上王慧赢，指针停在合数上王敏赢。游戏公平吗？指针停在质数上有( )种情况；指针停在合数上有( )种情况。这两种可能性( )，所以游戏( )。 【答案】 4 3 不相等 不公平 【分析】质数是除了1和它本身没有其它的因数，合数是除了1和它本身还有其它的因数，1既不是质数也不是合数。据此找出质数和合数各有几个，有几个就有几种情况，两者个数相等时游戏公平，否则不公平，据此解题。 【详解】2的因数只有1和2； 3的因数只有1和3； 5的因数只有1和5； 7的因数只有1和7； 4的因数有1、2、4； 6的因数有1、2、3、6； 8的因数有1、2、4、8； 质数：2、3、5、7 合数：4、6、8、 指针停在质数上有4种情况；指针停在合数上有3种情况。这两种可能性不相等，所以游戏不公平。 15．盒子里有红、黄两种球，笑笑摸了20次。根据表中的数据可知，袋子中( )球可能比较多，( )球可能比较少。 颜色 红球 黄球 次数 15 5 【答案】 红 黄 【分析】在随机摸球试验中，某种颜色的球被摸到的次数越多，说明这种颜色的球在袋子里的数量可能越多；反之，被摸到的次数越少，数量可能越少。 【详解】笑笑摸球20次，红球被摸到15次，黄球被摸到5次，因为，所以红球被摸到的次数多，说明袋子里红球可能比较多； 黄球被摸到的次数少，说明袋子里黄球可能比较少。 16．四大名著。四大名著是我国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一。鹏鹏将四大名著书中的人物做成了一套卡片放在盒子中，和田田一起玩抽卡片识人物的游戏，田田抽到的卡片结果如下。 卡片人物出自 《西游记》 《三国演义》 《水浒传》 《红楼梦》 次数 10 6 7 3 根据表中数据推测，盒子中( )的卡片可能最多，( )的卡片可能最少。 【答案】 《西游记》 《红楼梦》 【分析】根据抽到的次数进行推测，抽到哪种卡片的次数最多，盒子中哪种卡片的数量可能就最大；抽到哪种卡片的次数最少，盒子中哪种卡片的数量可能就最小。据此比较各种卡片人物抽到的次数即可。 【详解】根据表中数据推测，10＞7＞6＞3，盒子中《西游记》的卡片可能最多，《红楼梦》的卡片可能最少。 17．有8张正面写有成语的卡片，反面朝上放在桌面上，小明和小芳做摸卡片游戏，从卡片中任意摸出一张，摸到含有数字的成语卡片算小明赢，摸到含有颜色的成语卡片算小芳赢。这个游戏公平吗？为什么？ 紫气东来      三心二意      绿树成荫      五光十色 七上八下      四通八达      黑白分明      花红柳绿 【答案】见详解 【分析】判断游戏是否公平，关键在于比较双方获胜的可能性是否相等。需要分别统计含有数字的成语卡片数量和含有颜色的成语卡片数量。如果两种卡片的数量相等，则摸到它们的可能性相等，游戏公平；否则游戏不公平。 【详解】含有数字的成语卡片有：三心二意、五光十色、七上八下、四通八达，共4张。 含有颜色的成语卡片有：紫气东来、绿树成荫、黑白分明、花红柳绿，共4张。 因此这个游戏公平。 因为含数字的成语卡片有4张，含颜色的成语卡片也有4有张，概率都一样，所以游戏公平。 18．桌上反扣着六张背面完全相同的卡片，卡片正面上分别写着1，2，3，4，5，6，甲随机拿出一张，让乙猜卡片上是哪个数。乙猜对了，乙胜；乙猜错了，甲胜。 (1)这个游戏规则公平吗？为什么？ (2)请你设计一个游戏规则，使它对双方都公平。 【答案】(1)不公平。因为当甲随机拿出一张后，乙猜对的可能性有1种，猜错的可能性有5种，所以这个游戏规则不公平（答案不唯一）。 (2)从中任意抽出一张卡片，是奇数的，甲胜；是偶数的，乙胜（答案不唯一）。 【分析】（1）判断游戏公平性需要比较乙猜对与猜错的可能性种数是否相等。 （2）设计公平规则需使双方获胜的可能性种数相等。 【详解】（1）当甲随机拿出一张后，乙猜对的可能性有1种，猜错的可能性有5种； 1≠5，所以不公平。 答：不公平。因为当甲随机拿出一张后，乙猜对的可能性有1种，猜错的可能性有5种，所以这个游戏规则不公平（答案不唯一）。 （2）因为1、3、5是奇数，2、4、6是偶数，奇数和偶数都是3个； 所以可以设计：从中任意抽出一张卡片，是奇数的，甲胜；是偶数的，乙胜（答案不唯一）。 19．淘气和笑笑用转盘玩游戏，如果转盘指针指向3的倍数笑笑胜，指向5的倍数淘气胜，指向的数既不是3的倍数也不是5的倍数就是平局，重新玩。你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由。 【答案】因为3的倍数有3个，5的倍数只有1个，笑笑获胜的可能性大于淘气获胜的可能性，所以游戏不公平 【分析】3的倍数：各个数位上的数字之和能被3整除的数；5的倍数：个位是0或5的数；找出3的倍数和5的倍数，如果个数相同，则游戏公平，反之则不公平。 【详解】3的倍数：33，81，132，有3个； 5的倍数：35，有1个。 答：我认为这个游戏不公平，因为3的倍数有3个，5的倍数只有1个，笑笑获胜的可能性大于淘气获胜的可能性，所以游戏不公平。 20．丁丁和笑笑玩转盘游戏，指针停在红色区域算丁丁赢，指针停在蓝色区域算笑笑赢。你认为这个游戏公平吗？如果不公平，请你重新设计一个转盘，使游戏公平。 【答案】不公平；见详解 【分析】判断游戏规则是否公平，关键看游戏双方获胜的机会是否相等，即事件发生的可能性是否相同，如果双方获胜的可能性相同，那么游戏规则公平，反之，游戏规则不公平，转盘中红色区域和蓝色区域的面积相同时双方获胜的可能性相同，此时游戏规则公平。 【详解】整个转盘被平均分成8份，红色区域是5份，蓝色区域是3份，因为5＞3，所以红色区域的面积＞蓝色区域的面积，此时指针停在红色区域的可能性大，即丁丁赢的可能性大，游戏规则不公平。 设计转盘如下： （画法不唯一） 21．桌子上放有59枚棋子，甲、乙两人轮流从中拿走3枚或4枚棋子（两人每次一共拿走7枚），规定谁拿走最后一枚棋子谁就获胜。如果甲先拿，那么他有获胜的可能吗？如果甲有获胜的可能，请你为甲设计一个获胜的方案。 【答案】甲有获胜的可能；方案见详解 【分析】根据题意，两人每次一共要拿走7枚棋子，可知在最后一次拿棋子之前，甲一定要拿到第52枚、第45枚、第38枚……第3枚棋子。所以甲先拿棋子时，可以先拿3枚棋子，使余下的棋子数是7的倍数，之后甲每次拿走的棋子数和乙拿走的棋子数凑成7，也就是说，乙拿走3枚棋子，甲就要拿走4枚棋子；乙拿走4枚棋子，甲就要拿走3枚棋子。两人每次一共拿走7枚棋子，才能保证甲获胜，据此解答。 【详解】59÷（3＋4） ＝59÷7 ＝8（次）……3（枚） 只要甲初次拿走3枚棋子，之后甲每次拿走的棋子数和乙每次拿走的棋子数凑成7就能保证甲获胜。 【点睛】甲要想获胜就一定要拿到第59枚棋子，所以甲先拿走多少枚棋子是解题关键。 22．甲、乙两人玩摸球游戏。将三个分别写着2，3，4的大小、形状、材质均相同的小球放在一个盒子里，任意摸出两个小球，若数字之和是偶数，甲获胜；若数字之和是奇数，乙获胜。两人谁获胜的可能性大？为什么？ 【答案】乙；原因见详解 【分析】根据偶数的意义，自然数中是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数；列出两数和的所有结果，然后判断符合条件的可能性大小。 【详解】偶数：2＋4＝6 奇数：2＋3＝5 4＋3＝7 答：乙获胜的可能性大。 23．选择下面的一个转盘，设计一个对双方都公平的游戏，与同伴说一说你这样设计的理由。 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】确定一个游戏是否公平，要先找出事件发生的所有可能，然后看对于游戏双方，获胜的可能性是否相同。若相同，则游戏规则公平；若不相同，则游戏规则不公平。 A转盘上红、白、蓝三色的区域面积同样大，则可以设计这样的游戏规则：指针停在蓝色区域甲胜，停在红色区域乙胜，停在白色区域平局； B转盘上有1到9共九个数字，可以设计这样的游戏规则：指针指向1、3、5、7时，甲胜；指针指向2、4、6、8时，乙胜；指针指向9时，平局； C转盘上有4个面积相等的区域，可以设计这样的游戏规则：指针停在甲和丁区域，甲胜；指针停在乙和丙区域，乙胜。 【详解】选择A转盘。可以设计这样的游戏规则：指针停在蓝色区域甲胜，停在红色区域乙胜，停在白色区域平局。红、白、蓝三色的区域面积同样大，那么甲和乙获胜的可能性一样大，这样的游戏规则是公平的。 24．小明和小强进行掷骰子游戏，他们规定同时掷两枚骰子。若出现的点数之和为2的倍数，小明得1分；若出现点数之和为3或5的倍数，小强得1分。这个游戏对双方公平吗？如果你认为不公平，如何修改规则才能使该游戏对双方公平？ 【答案】不公平；可以将规则修改为：若点数之和为奇数，小明赢；若点数之和为偶数，小强赢。 【分析】每枚骰子可能出现的点数为1、2、3、4、5、6，据此将两枚骰子可能出现的点数和一一列举，再判断点数和是2的倍数多，还是3或5的倍数多，从而判断游戏是否公平。如果不公平，再根据和的点数分布，找出公平的游戏规则即可。 【详解】点数和可能如下： 点数 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 和的点数，其中2出现一次，3出现两次，4出现三次，5出现四次，6出现五次，7出现六次，8出现五次，9出现四次，10出现三次，11出现两次，12出现一次。 1＋3＋5＋5＋3＋1＝18（次） 2＋4＋5＋4＋3＋1＝19（次） 19＞18 答：这个游戏不公平。由于和的奇数和偶数各出现了18次，那么可以将规则修改为：若点数之和为奇数，小明赢；若点数之和为偶数，小强赢。 【点睛】本题考查了可能性，掌握可能性大小的判断方法是解题关键。 25．如图，转盘被6等分，分别标有2、3、4、5、6、7这6个数字；转动转盘，当转盘停止后，指针指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次），现为甲、乙两人设计一个游戏，其规则如下： （1）指向奇数，甲赢；指向偶数，乙赢； （2）指向3的倍数，甲赢；指向不是3的倍数，乙赢； （3）指向的数大于4，甲赢：指向的数小于4，乙赢。 你认为哪个游戏是公平的？请说明理由。 【答案】游戏（1），理由见详解 【分析】确定一个游戏是否公平，要先找出事件发生的所有可能，然后看对于游戏双方，获胜的可能性是否相同。若相同，则游戏规则公平；若不相同，则游戏规则不公平。据此解答。 【详解】（1）奇数有3、5、7三个，偶数有2、4、6三个，所以指向奇数和偶数的可能性相同，游戏规则公平。 （2）是3的倍数的有3、6两种情况，不是3的倍数的有2、4、5、7四种情况，所以可能性不相等，游戏规则不公平。 （3）大于4的有5、6、7三种情况，小于4的有2、3两种情况，所以可能性不相等，游戏规则不公平。 答：游戏（1）规则公平。 【点睛】游戏规则的公平性就是指对游戏的双方来说，机会是均等的，也就是双方获胜的可能性的大小相等。 26．选出点数为2、3、4、5、6、7、8、9、10九张扑克牌，反扣在桌面上。圆圆对兰兰说：“咱们玩摸牌游戏吧！每次摸一张，然后放回去，另一个人再摸。扑克牌的点数大于5就是我赢，小于5就是你赢。” （1）你认为圆圆设计的这个游戏规则谁赢的可能性大？ （2）如果规则不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则。 【答案】（1）圆圆 （2）见详解 【分析】（1）由题可知，大于5的扑克牌有5张，小于5的扑克牌有3张，由此可以看出圆圆赢的可能性大； （2）由于摸到的点数大于5的可能性和摸到的点数小于5的可能性不相等，所以说明这种游戏规则不公平，要使游戏公平，只要使摸到的可能性相等即可。 【详解】（1）大于5的扑克牌有：6、7、8、9、10共5张，小于5的扑克牌有：2、3、4共3张，所以圆圆赢的可能性大。 答：圆圆赢的可能性大。 （2）答：规则不公平，每次摸一张，然后放回去，另一个人再摸，扑克牌的点数大于6就是圆圆赢，小于6就是兰兰赢。 【点睛】对于这类题目，只要每种情况出现的机会是均等的，游戏就公平，奔着这个原则即可。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $