暑假收心卷02（上海专用，新教材沪教版七年级数学上册：整式的加减、整式的乘除、因式分解）

**基本信息** 聚焦沪教版七年级上册整式重点，通过基础题、几何应用题及创新探究题，适配暑假收心需求，强化运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|6/18|单项式次数、平方差公式、因式分解概念|基础概念辨析，考查抽象能力| |填空|12/24|同类项、整式排列、因式分解应用|结合已知条件计算，强化运算能力| |解答|8/58|几何面积推导（24题）、方差数探究（25题）、配方法应用（26题）|几何直观与代数推理结合，阅读理解题培养推理意识，配方法渗透模型观念|

暑假收心卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 训练范围：新教材，沪教版七年级上册整式的加减、整式的乘除、因式分解。 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选6题，填空12题，解答8题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各代数式中是五次单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是4次单项式，故A不符合题意； 是3次单项式，故B不符合题意； 是5次单项式，故C符合题意； 是多项式，故D不符合题意； 故选：C． 2．下列各式不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，满足a相同，与相反，可用平方差公式，结果为； B、可调整为满足y相同，与相反，可用平方差公式，结果为； C、可调整为满足相同，与相反，可用平方差公式，结果为； D、可调整为，两括号为同一二项式的相反数，结果为完全平方的负数，无法用平方差公式． 故选：D． 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 因式分解要求左边是多项式，右边是整式的积， 选项A: 是从积到多项式，是乘法运算，不是因式分解； 选项B: 右边不是积的形式； 选项C: 但左边 ，右边 ，两者不相等，故错误； 选项D: 右边是积的形式，且等式成立； 故选：D． 4．下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是7次 C．是六次三项式 D．的常数项是 【答案】D 【详解】解：对于A：∵ 单项式 ，其系数为 ，不是，∴ A 错误． 对于B：∵单项式，其次数为，不是，∴ B错误． 对于C：∵多项式中最高次项的次数为 ，故为四次三项式，不是六次三项式，∴C 错误． 对于D：∵多项式的常数项为，∴ D正确． 故选：D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A：∵，∴ A错误． 对于B：∵，∴ B错误． 对于C： ∵，∴ ，与右边相等，∴ C正确． 对于D：∵ ，，∴，D错误． 故选C． 6．将多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，下列添加单项式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A.4x2+2x+1，不是完全平方式，故此选项符合题意； B.4x2+4x+1=（2x+1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意； C.4x2-4x+1=（2x-1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意； D.4x4+4x2+1=（2x2+1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．计算：________． 【答案】 【详解】计算过程如下： 系数相乘： 同底数幂相乘： 和保持不变 所以， 故答案为． 8．计算：______． 【答案】 【详解】解：原式 故答案为：． 9．如果单项式与是同类项，则______． 【答案】1 【详解】解：因为单项式与是同类项， 所以的指数相等，即， 解得 ； 的指数相等， 即， 解得， 则， 故答案为：1． 10．把整式按字母x的升幂排列是________________． 【答案】 【详解】解：整式中，各项关于的指数分别为：中的指数为，中的指数为，中的指数为，中的指数为， 按的指数从小到大排列为：． 故答案为：． 11．计算的结果是______． 【答案】 【详解】解：， 故答案为： ． 12．因式分解：_______． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 13．已知，，那么________． 【答案】27 【详解】解：由同底数幂的除法的逆运算得，代入已知，得． 又因为，所以， 代入得，解得． 故答案为：27． 14．计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 15．若减去一个整式的差是，则这个整式是_____． 【答案】 【详解】解：由题意可得：这个整式 ， 故答案为：． 16．若的展开式中不含x的一次项，则_____． 【答案】 【详解】解：的展开式中，的一次项由与相乘、与相乘得到， 即的一次项系数为：， 因不含的一次项， 故， 解得． 故答案为． 17．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【答案】 【详解】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 18．如图，在长方形中，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积和为_____．(用含的代数式表示) 【答案】 【详解】解：设， ∵四边形是长方形，，， ∴，，． ∵长方形的面积为， ∴． ， 根据完全平方公式：， 令，，则， ∴． 故答案为：． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 【详解】解： 20．计算： 【详解】解： ． 21．分解因式： 【详解】解： ． 22．先化简再求值：，其中． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，，解得，， ∴原式 ． 23．已知，，， (1)求： (2)当，求（1）中结果的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时， ． 24．现有如图1的8张大小、形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）． (1)思考： 结论①：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为； 结论②：图2中的大正方形的面积又可以用含、的代数式表示为：___________； 结论③：图3中的大正方形的面积又可以用含、、的代数式表示为：________； 结合结论②和结论③，可以得到等式：________________________． (2)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且，求的值； (3)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），其中，，，求图中阴影部分的面积之和． 【详解】（1）解：图2大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积， ∴图2面积为：； 图3大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积， ∴图3面积可表示为：； ∴， ∴ ∴结合结论②和结论③，可以得到等式； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：由（2）可知：， ∴阴影部分面积和为：， ， ∴阴影部分面积和为：． 25．【阅读理解】 如果一个正整数能表示成（是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： ， ，， ，，， 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设为正整数且，因为， 所以这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16______“方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为（____）（____），所以2025是“方差数”； （2）已知（是正整数且，是常数），请写出的值，使得不论取何值，都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 【详解】（1）解：①， 16是“方差数”； ②因为， 所以2025是“方差数”． 故答案为：①是；②1013，1012． （2）解：当时，不论取何值，都是“方差数”，理由如下： ， 要使不论取何值，都是“方差数”， 则，即， 此时，， 是正整数且， 和都是正整数，且，满足“方差数”的定义， 当时，无论不论取何值，都是“方差数”． （3）解：能． 设为正整数且， 则， 所以这样的数都是“方差数”， 即所有4的倍数（4除外）都是“方差数”． （4）解：由题意和（3）可知，所有奇数（1除外）都是“方差数”， 所有4的倍数（4除外）都是“方差数”， 所以40到50之间（不包含40和50）的所有“方差数”是：41，43，44，45，47，48，49． 26．若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数的积(直接写出答案)． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， 当即时，代数式有最大值，最大值为； （3）解：设(为非负整数)， 配方得：， 两边乘4得：，即， 、为整数， 和均为整数，且为的整数因数对，且， 的整数因数对为：、、、，分情况求解： ①当，两式相加得，解得； ②当，两式相加得，解得； ③当，两式相加得，解得； ④当，两式相加得，解得； 所有整数为5、2、、，它们的积为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假收心卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 训练范围：新教材，沪教版七年级上册整式的加减、整式的乘除、因式分解。 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选6题，填空12题，解答8题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各代数式中是五次单项式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是7次 C．是六次三项式 D．的常数项是 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．将多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，下列添加单项式错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．计算：________． 8．计算：______． 9．如果单项式与是同类项，则______． 10．把整式按字母x的升幂排列是________________． 11．计算的结果是______． 12．因式分解：_______． 13．已知，，那么________． 14．计算：________． 15．若减去一个整式的差是，则这个整式是_____． 16．若的展开式中不含x的一次项，则_____． 17．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 18．如图，在长方形中，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积和为_____．(用含的代数式表示) 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 20．计算： 21．分解因式： 22．先化简再求值：，其中． 23．已知，，， (1)求： (2)当，求（1）中结果的值． 24．现有如图1的8张大小、形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）． (1)思考： 结论①：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为； 结论②：图2中的大正方形的面积又可以用含、的代数式表示为：___________； 结论③：图3中的大正方形的面积又可以用含、、的代数式表示为：________； 结合结论②和结论③，可以得到等式：________________________． (2)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且，求的值； (3)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），其中，，，求图中阴影部分的面积之和． 25．【阅读理解】 如果一个正整数能表示成（是正整数）的形式，那么称这个正整数为“方差数”． 小明采用举例的方式，有序地列出了一些“方差数”，想从中寻找规律： ， ，， ，，， 小杰采用不同的方法，找到一类“方差数”，试图发现“方差数”更本质的特征： 设为正整数且，因为， 所以这样的数都是“方差数”，即所有奇数（1除外）都是“方差数”． 【尝试运用】 （1）填空：①16______“方差数”（填“是”或“不是”）； ②因为（____）（____），所以2025是“方差数”； （2）已知（是正整数且，是常数），请写出的值，使得不论取何值，都是“方差数”，并说明理由； 【深入探究】 （3）你能像小杰一样找到一类“方差数”吗？如果能，试描述你找到的这类“方差数”的特征，并说明理由； （4）请写出40到50之间的所有“方差数”（不包含40和50）． 26．若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数的积(直接写出答案)． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $