6.4线段的和差（讲义，5个知识点4大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦“线段的和差”核心知识点，系统梳理从概念（图形与符号表示）、尺规作图（和差规范作法）到中点及等分点计算的学习支架，衔接图形初步认识的前后内容，构建从基础到综合应用的知识脉络。 资料通过分层设计凸显特色，知识点配易错提醒与随学随练即时巩固，题型含解题贴士如动点问题用代数表达培养推理意识，尺规作图强调规范流程发展几何直观，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学语言表达能力。

第六章 图形的初步认识 6.4 线段的和差 课标要点 1.结合图形理解线段的和、差的几何意义，能用几何符号表示线段相加、相减的数量关系。 2.熟练运用直尺与圆规作线段的和、线段的差，规范尺规作图流程与作图表述。 3.巩固线段中点定义，结合线段和差进行线段倍分运算，能用几何推理格式书写计算过程。 4.掌握分点在线段上、在线段延长线上两类题型的长度计算，理清分段等量关系。 5.能根据几何语言画出对应线段图形，结合线段和差解决含动点、多分段的线段长度计算题。 学习重难点 重点： 1.线段和差的图形表示与符号书写。 2.尺规作线段的和、差，结合中点进行线段长度基础计算。 难点： 1.点在线段延长线上时，正确区分线段差的表达式，避免列式符号出错。 2.多条分点共存、线段动点类综合长度计算。 3.规范写出线段计算推理步骤，做到图形、符号、文字语言相互转化。 知识点 线段和、差的概念（重点） 1.线段的和：若点C在线段AB上，线段AB的长度等于线段AC与线段CB长度之和，记作AB=AC+CB，AB叫做AC与CB的和。 2.线段的差：AC=AB-CB，CB=AB-AC，AC、CB叫做线段AB与另一条线段的差。 3.延长线上的和差：点C在线段AB延长线上，则AC=AB+BC，BC=AC-AB。 易错提醒 线段的和、差指长度相加、相减，不是图形拼接；点的位置不同，线段关系式会发生改变。 教材延伸 基础填空题，给出线段长度直接列式计算线段和差。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）已知，是线段上一点，且，则的长是（    ） A．9 B．8 C．6 D．3 2．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，C是线段中点，点D在线段上，．若，则的长是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 知识点 尺规作线段的和、差（重点） 1.作和：射线端点开始，顺次截取两条已知线段，总长为两线段之和。 2.作差：在较长线段上截取一条短线段，剩余部分为两条线段的差。 易错提醒 尺规作图只允许无刻度直尺、圆规，必须保留圆弧痕迹，最后写明结论。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知线段，．按如下步骤完成尺规作图，则的长是（    ） 作射线；在射线上截取；在线段上截取． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知线段（如图）． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：延长线段至点，使； (2)在（1）的条件下，已知线段上有一点，满足，若，求的长． 知识点 线段中点（核心考点） 1.定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段中点。 2.等量关系式：若M是线段AB中点，则AM=MB=1/2AB，AB=2AM=2MB。 易错提醒 仅满足AM=MB不能判定M是中点，前提是点M在线段AB上。 教材延伸 线段中点分段计算是填空、解答高频计算题，常结合线段和差综合出题。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，、顺次为线段上的两点，，为的中点，则下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，点C在直线上满足，点D为线段的中点，则线段的长度为______ ． 知识点 线段等分点拓展 三等分点、四等分点：把线段平均分成3份、4份的点，可类比中点写出长度倍数关系。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知点C是线段上一点，点C分线段的长度为，点E是的中点，点D是的中点．若，则的长为_____． 知识点 分段线段综合计算 1.已知多个点在线段上的位置与部分线段长度，利用和差、中点等量关系，求未知线段长。 2.解题思路：画图标已知长度，梳理线段之间的加减关系，分步列式求解。 教材延伸 解答必考题型，常出现动点、双中点模型综合计算题。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，点为线段上任意一点，，分别为，的中点，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，延长至D，使B为的中点，点C在上，． (1) ， ； (2)若，求的长． 题型 线段和与差问题 ▌例1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，点是线段的中点，，，下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 解题贴士 带分数比例线段，统一用总线段AB作基准表示所有小段，再采用赋值法（设BE=a或AB=a），代入计算逐一核对。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知直线上A，B，C三点，如果，那么AC的长度为__________． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知点在线段上．若，，． (1)图中共有______条线段； (2)求的长度． 题型 尺规作线段的和、差 ▌例2 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知点，点与点，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹） (1)作线段，射线，直线； (2)在线段上取一点，使． 解题贴士 要求：所有圆弧痕迹必须保留，不可擦除，痕迹是得分关键点。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知线段． (1)尺规作图（不写画法，保留作图痕迹）：延长到，使； (2)在（1）的条件下，若，点是线段的中点，求的长． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，小明按如下步骤进行作图： ①作射线；②在射线上依次截取；③在线段上截取；④取线段的中点F． 在所求作的图形中，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 题型 线段中点、n等分点有关计算 ▌例3 （25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，O是线段的中点，B是上任意一点，M，N分别是，的中点，若，，则下列四个结论中，不成立的是（　　） A． B． C． D． 解题贴士 结论：若M、N分是分AB、BC的中点，则MN=1/2AC。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，点是线段的中点，点是线段上一点．若，则的长为___________． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型 与线段有关的动点问题 ▌例4 （2026七年级上·全国·专题练习）如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 解题贴士 1.动点线段表达式：起点固定，向左运动用「原长 - 速度×t」； 2.恒成立类等式，含t项一定能抵消，直接解固定线段； 3.点在直线上要分左右两侧讨论，利用正负快速排除无解位置。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）下图线段中，，在下面的4个比例中，正确的是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图所示，点C在线段上，，，点M，N分别是，的中点．则的长度是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，是线段上一点，，分别是，的中点．若要求出线段的长，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 4．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，点顺次在直线上，若是线段的中点，是线段的中点，则的长度（   ） A．与、的长度都有关 B．仅与长度有关 C．仅与的长度有关 D．仅与的长度有关 5．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知线段，延长线段至点，使得．若点是线段的中点，那么线段___________． 6．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，点在线段上，为线段的中点，，若，则线段的长为___________． 7．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，已知线段，点是线段的中点，则线段的长是___________． 8．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知线段， C是线段的中点， 点D在射线上， 若， 则__________． 9．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知线段，延长至点，使得，延长至点，使得，量得的长为，则可得的长为________． 10．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知线段，点C是线段内一点，且，若M是线段中点，则线段长是______． 11．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，，为线段上的一点，点，分别为线段，的中点，则的长为________． 12．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，已知为线段上一点，与的长度之比为，且． (1)求的长度； (2)若为的中点，求的长度． 13．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点． (1)______； (2)求的长； (3)若在直线上，且，求的长度． 素养提升 14．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，为线段延长线上一点，且，点为线段的中点，为线段的中点，记，，若线段的长度是定值，当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级上·浙江温州·期末）如图，是线段的中点，点在线段上，点在线段上，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 16．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，平面内四点、、、，请用直尺和圆规作图（保留作图痕迹并标注相关字母）． (1)①画射线； ②在射线上作点，使得； (2)在射线上找一点，使得最小； (3)在上述作图的基础上，若，，求的长． 17．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，为线段上的两点，，． (1)若的长度为4，请求出的长度． (2)若点是中点，点是中点，设的长度为，请求出的长度．（用含的代数式表示） 18．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，在同一平面内有点A和线段． (1)尺规作图：画线段，在线段上画线段使得；（保留作图痕迹） (2)若，，点E在线段上，且，求的长． 迁移创新 19．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上点A、B、C所表示的数分别是，7，x． (1)求线段的长． (2)若，求x的值． (3)若M，N分别是、的中点，是否存在点C，满足？若存在，求出符合条件的x的值；若不存在，请说明理由． 20．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，在数轴上点A表示数为，点B表示数为10，点C表示数为1． (1)线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ，能将线段“三等分”的两个点我们称为线段的三等分点．则线段的三等分点表示的数为 ； (2)点M为点A右侧一点，将数轴沿点M向右对折，点A恰好与点重合且，求点M表示的数； (3)若点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度先向左运动，与P相遇后再改变运动方向与点P同向而行．若P、Q两点同时出发，保持速度不变．当点P是线段的三等分点时，求运动时间． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 图形的初步认识 6.4 线段的和差 课标要点 1.结合图形理解线段的和、差的几何意义，能用几何符号表示线段相加、相减的数量关系。 2.熟练运用直尺与圆规作线段的和、线段的差，规范尺规作图流程与作图表述。 3.巩固线段中点定义，结合线段和差进行线段倍分运算，能用几何推理格式书写计算过程。 4.掌握分点在线段上、在线段延长线上两类题型的长度计算，理清分段等量关系。 5.能根据几何语言画出对应线段图形，结合线段和差解决含动点、多分段的线段长度计算题。 学习重难点 重点： 1.线段和差的图形表示与符号书写。 2.尺规作线段的和、差，结合中点进行线段长度基础计算。 难点： 1.点在线段延长线上时，正确区分线段差的表达式，避免列式符号出错。 2.多条分点共存、线段动点类综合长度计算。 3.规范写出线段计算推理步骤，做到图形、符号、文字语言相互转化。 知识点 线段和、差的概念（重点） 1.线段的和：若点C在线段AB上，线段AB的长度等于线段AC与线段CB长度之和，记作AB=AC+CB，AB叫做AC与CB的和。 2.线段的差：AC=AB-CB，CB=AB-AC，AC、CB叫做线段AB与另一条线段的差。 3.延长线上的和差：点C在线段AB延长线上，则AC=AB+BC，BC=AC-AB。 易错提醒 线段的和、差指长度相加、相减，不是图形拼接；点的位置不同，线段关系式会发生改变。 教材延伸 基础填空题，给出线段长度直接列式计算线段和差。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）已知，是线段上一点，且，则的长是（    ） A．9 B．8 C．6 D．3 【答案】A 【分析】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，根据，以及，进行求解即可． 【详解】解：∵，是线段上一点，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，C是线段中点，点D在线段上，．若，则的长是（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，两点间的距离是解题的关键． 根据题意，点是线段的中点，，由线段的中点定义可得：，再根据，则2 ，由此可求出的长，进而得出的长，最后由进行计算，即可得出答案． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 知识点 尺规作线段的和、差（重点） 1.作和：射线端点开始，顺次截取两条已知线段，总长为两线段之和。 2.作差：在较长线段上截取一条短线段，剩余部分为两条线段的差。 易错提醒 尺规作图只允许无刻度直尺、圆规，必须保留圆弧痕迹，最后写明结论。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知线段，．按如下步骤完成尺规作图，则的长是（    ） 作射线；在射线上截取；在线段上截取． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图——作线段，线段的和差，根据题意作出图形，然后通过线段的和与差进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意作图如下， ∴， 故选：． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知线段（如图）． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：延长线段至点，使； (2)在（1）的条件下，已知线段上有一点，满足，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了尺规作一条线段等于已知线段，线段间的数量关系，解题的关键是熟练掌握线段间的数量关系． （1）先延长线段，再以点B为圆心，为半径画弧，交点为点C，线段即为所求； （2）由（1）可得，从而求出，根据，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：因为， 所以， 因为在线段上，满足， 所以， 所以． 知识点 线段中点（核心考点） 1.定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段中点。 2.等量关系式：若M是线段AB中点，则AM=MB=1/2AB，AB=2AM=2MB。 易错提醒 仅满足AM=MB不能判定M是中点，前提是点M在线段AB上。 教材延伸 线段中点分段计算是填空、解答高频计算题，常结合线段和差综合出题。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，、顺次为线段上的两点，，为的中点，则下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段的中点的定义，以及线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，； 即若，则； 故选B． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，点C在直线上满足，点D为线段的中点，则线段的长度为______ ． 【答案】5或1/1或5 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，分点在线段上，以及点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可．找准线段之间的和差关系是解题的关键． 【详解】解：当点C在线段上时， ∵，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴； 当点C在的延长线上时， ∵，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴． 故答案为5或1． 知识点 线段等分点拓展 三等分点、四等分点：把线段平均分成3份、4份的点，可类比中点写出长度倍数关系。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差、线段的中点、三等分点，关键是灵活利用知识点解题；分别考虑点在上的两种位置情况，利用线段中点、三等分点的性质，通过线段和差关系计算的长度． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ①当时， ∵， ∴，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，线段的长为或， 故选：C. 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知点C是线段上一点，点C分线段的长度为，点E是的中点，点D是的中点．若，则的长为_____． 【答案】8或24 【分析】本题考查与线段中点有关的计算．设，分或，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：设， ∵点C分线段的长度为， ∴分两种情况：或， 当时，如图： ∵点E是的中点，点D是的中点， ∴，， ∵，， ∴， 解得， ∴； 当时，如图： ∵点E是的中点，点D是的中点， ∴，， ∵，， ∴， 解得， ∴； 故答案为：8或24． 知识点 分段线段综合计算 1.已知多个点在线段上的位置与部分线段长度，利用和差、中点等量关系，求未知线段长。 2.解题思路：画图标已知长度，梳理线段之间的加减关系，分步列式求解。 教材延伸 解答必考题型，常出现动点、双中点模型综合计算题。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，点为线段上任意一点，，分别为，的中点，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的中点性质、线段的和与差，理解线段中点性质是解答的关键． 根据线段的中点性质可推出，，结合图形即可得解． 【详解】解：∵M、N分别是、的中点， ∴，， A、∵C为上任意一点， ∴不一定等于， ∴不一定等于，即不一定成立， ∴A错误，不符合题意； B：∵不一定等于， ∴不一定等于，又， ∴不一定成立， ∴B错误，不符合题意； C：∵C为上任意一点， ∴不一定等于， ∴不一定成立， ∴C错误，不符合题意； D：∵， ∴， ∴D正确，符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，延长至D，使B为的中点，点C在上，． (1) ， ； (2)若，求的长． 【答案】(1)，2 (2)8 【分析】（1）根据线段中点的定义以及和差关系进行计算即可； （2）求出，再根据线段中点的定义以及和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：点B是的中点， ． （2）解：， ， ． 题型 线段和与差问题 ▌例1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，点是线段的中点，，，下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及线段的和差是正确解答的关键． 根据线段中点的定义以及线段的和差逐项进行判断即可． 【详解】解：点是线段的中点， ， ， ， ，， ， ， 若，则，故A正确； ， ， 若，则，故B正确； ，， ， 若，则，故C错误； ， ， ， 若，则，故D正确， 故选：C． 解题贴士 带分数比例线段，统一用总线段AB作基准表示所有小段，再采用赋值法（设BE=a或AB=a），代入计算逐一核对。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知直线上A，B，C三点，如果，那么AC的长度为__________． 【答案】1或9/9或1 【分析】本题考查了线段的和差问题，分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况分类讨论即可求解． 【详解】解：如图1， 当点在线段上时，； 如图2， 当点在线段的延长线上时，． 故答案为：1或9 ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知点在线段上．若，，． (1)图中共有______条线段； (2)求的长度． 【答案】(1)6 (2)9 【分析】（1）根据线段的定义解答即可； （2）根据，可得，再根据可得，进而根据得出答案即可． 本题主要考查了线段的定义，线段的和差，熟练掌握线段的和差是解题的关键． 【详解】（1）解： 图中有共6条线段． 故答案为：6； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型 尺规作线段的和、差 ▌例2 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知点，点与点，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹） (1)作线段，射线，直线； (2)在线段上取一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直线、射线、线段的作图，关键是熟练掌握知识点解题； （1）根据直线、射线和线段的定义作出图形，即可解题； （2）在上取一点，使，在上取一点使，则． 【详解】（1）解：如图所示：线段、射线、直线就是所求作的图形； （2）解：以为圆心，为半径画弧交于点，以为圆心，为半径画弧交于点， 如图所示：线段就是所求作的图形． 解题贴士 要求：所有圆弧痕迹必须保留，不可擦除，痕迹是得分关键点。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知线段． (1)尺规作图（不写画法，保留作图痕迹）：延长到，使； (2)在（1）的条件下，若，点是线段的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了作一条线段等于已知线段，线段的和差计算，掌握线段的作法和线段中点的意义是解本题的关键． （1）先以点B为圆心，为半径画弧与延长线交于点，再以点为圆心，为半径画弧与延长线相交，交点即为点； （2）先求出，则，再由求出，最后由线段中点的意义以及线段的和差计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，小明按如下步骤进行作图： ①作射线；②在射线上依次截取；③在线段上截取；④取线段的中点F． 在所求作的图形中，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，尺规作线段等于已知线段，根据作图可知，，，，再根据中点的定义得，然后对各选项计算判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴A正确； B、∵，， ∴， ∴B正确； C、∵点F是线段的中点， ∴， ∴C正确； D、∵， ∴D不正确． 故选：D． 题型 线段中点、n等分点有关计算 ▌例3 （25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，O是线段的中点，B是上任意一点，M，N分别是，的中点，若，，则下列四个结论中，不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段的和差与线段中点的定义分别求出各个线段的长度，即可判断各个选项的正误． 【详解】解：∵，， ∴， ∵M，N分别是，的中点， ∴， ， ∴，故A选项正确； ∵点O是线段的中点， ∴， ∴，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项正确． 解题贴士 结论：若M、N分是分AB、BC的中点，则MN=1/2AC。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，点是线段的中点，点是线段上一点．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和与差． 根据，可求出的长，再根据线段中点的定义可得的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段三等分点的定义等知识，根据线段三等分点的定义得出，由，可求出，则，结合，，即可求解． 【详解】解：∵点C，D把线段三等分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 题型 与线段有关的动点问题 ▌例4 （2026七年级上·全国·专题练习）如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键． （1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解； （2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （2）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴, ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，或． 解题贴士 1.动点线段表达式：起点固定，向左运动用「原长 - 速度×t」； 2.恒成立类等式，含t项一定能抵消，直接解固定线段； 3.点在直线上要分左右两侧讨论，利用正负快速排除无解位置。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】(1) (2)或 (3)①不正确；②正确， 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点相关计算； （1）设，，由线段的和差得，，即可求解； （2）分类讨论：当在线段的延长线上时，由线段和差得，可得 ，即可求解；当在线段上时，同理可求； （3）分类讨论：当、在在左侧时，由线段中点的定义得，，由线段的和差得，求出，，即可求解； 当、在在两侧时，同理可求；当、在在右侧时，同理可求； 能熟练利用线段的和差表示出所求线段，并能根据动点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， 则，， ， ， ； （2）解：当在线段的延长线上时， ， ， ， ； 当在线段上时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：或； （3）解：当、在在左侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在两侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在右侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 综上所述：①不正确；②正确，． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江台州·期末）定义：若点，，在同一直线上，且，则．例如，，则． (1)如图1，为数轴的原点，点，表示的数分别为和，则_______． (2)如图2，已知线段，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动，若点运动速度为，点的运动速度为．设运动时间为． ①请用含有的代数式分别表示和． ②当为何值时，． ③若线段的中点为，直接写出时的值． 【答案】(1) (2)①，或；②或；③或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据题意可得，即，根据定义，即可求解； （2）①根据题意得出，，根据新定义即可求解； ②根据题意列出方程，解方程，即可求解． ③分情况讨论求得的长，根据可得，即，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①为数轴的原点，点，表示的数分别为和， ∴，即 ∴ （2）解：①依题意，，或 ∴，或 ②∵ ∴或 解得：或； ③相遇时， 当时，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： 当时，如图所示，都在线段上，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 点的速度大于的速度，当时， 当点在点的右侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） 当点在点的左侧时，如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 解得：． 综上所述，的值为或． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）下图线段中，，在下面的4个比例中，正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差关系，设，分别表示出每个选项中四条线段的长度，进而求出对应线段之间的比值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴设， ∴，，，，， ∴， ， ， ， ∴， 故选：D． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图所示，点C在线段上，，，点M，N分别是，的中点．则的长度是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段的和差关系是解题的关键． 根据线段中点的定义得到、的长，根据进行计算求解即可． 【详解】解：，， ， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， 故选：C． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，是线段上一点，，分别是，的中点．若要求出线段的长，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，根据中点的定义得出，，再根据得出答案． 【详解】解：设， ∵M，N分别是，的中点， ∴，. ∵， ∴． 故选：A． 4．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，点顺次在直线上，若是线段的中点，是线段的中点，则的长度（   ） A．与、的长度都有关 B．仅与长度有关 C．仅与的长度有关 D．仅与的长度有关 【答案】D 【分析】根据点是线段的中点，点是线段的中点得，，再根据即可得出答案． 本题主要考查了线段中点的计算，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键． 【详解】解：∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴ ， 则的长度仅与的长度有关； 故选：D． 5．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知线段，延长线段至点，使得．若点是线段的中点，那么线段___________． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差、与线段中点有关的计算，弄清线段间的关系是解题的关键． 由题意得出，从而得出，再由点是线段的中点得出，最后由进行计算即可． 【详解】解：∵线段，， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，点在线段上，为线段的中点，，若，则线段的长为___________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段的和差计算，根据题意可得线段的长，则由线段中点的定义可得线段的长，再根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：4． 7．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，已知线段，点是线段的中点，则线段的长是___________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，先由线段中点的定义得到，再根据线段之间的关系求出线段的长即可． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴ ∴ 故答案为：． 8．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知线段， C是线段的中点， 点D在射线上， 若， 则__________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了线段中点的性质，线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的性质． 根据线段中点的定义和射线的性质，点D在射线上，且，故D在B的右侧，计算的长度． 【详解】解：∵C是的中点，， ∴， ∵，点D在射线上， ∴D在B的右侧， ∴， 故答案为：8． 9．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知线段，延长至点，使得，延长至点，使得，量得的长为，则可得的长为________． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差计算，关键是明确各点的位置关系，将未知线段用含长度的代数式表示，再根据已知线段长度建立方程求解． 【详解】解：如图， 设的长为． ，， ，． ． ， ，解得． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知线段，点C是线段内一点，且，若M是线段中点，则线段长是______． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的有关计算． 先根据线段和差关系求，再根据中点定义求，最后求 【详解】解：∵，，点在线段上， ∴， ∵是线段中点， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，，为线段上的一点，点，分别为线段，的中点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据线段中点的定义以及线段和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∴． 12．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，已知为线段上一点，与的长度之比为，且． (1)求的长度； (2)若为的中点，求的长度． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查线段的比例运算与线段中点的性质，关键是根据线段比例关系求出未知线段长度，再结合中点定义计算相关线段的长度． （1）利用与的长度比，结合已知的长度，通过比例的基本性质求出的长度； （2）先根据中点的定义求出的长度，再通过线段的和运算求出的长度． 【详解】（1）解：∵与的长度之比为，且， ∴，即， 解得； （2）解：∵为的中点，， ∴， 又∵， ∴． 13．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图，已知点为线段上一点，，，、分别是、的中点． (1)______； (2)求的长； (3)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1)9 (2) (3)或 【分析】本题考查了线段中点，两点之间的距离，解题的关键是正确识别图形，找出线段之间的数量关系． （1）根据题意得出，计算即可； （2）先求出，再计算即可； （3）分点在点左侧或右侧两种情况计算即可． 【详解】（1）解：，是的中点， ， （2）解：，是的中点， ， ； （3）解：，， 当点在点左侧时， ； 当点在点右侧时， ． 素养提升 14．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，为线段延长线上一点，且，点为线段的中点，为线段的中点，记，，若线段的长度是定值，当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点、线段的和差，弄清楚线段之间的关系是解题的关键；根据中点的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：∵点为线段的中点，为线段的中点， ∴， ∵，为定值， ∴是定值， 即：是定值． 故选：B ． 15．（25-26七年级上·浙江温州·期末）如图，是线段的中点，点在线段上，点在线段上，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段的和差运算和线段中点的运算，掌握线段的运算方法是解题关键．根据已知可得，，根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵是线段的中点， ∴，， ∵ ∴ ∵，， ∴ 故选：A． 16．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，平面内四点、、、，请用直尺和圆规作图（保留作图痕迹并标注相关字母）． (1)①画射线； ②在射线上作点，使得； (2)在射线上找一点，使得最小； (3)在上述作图的基础上，若，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，两点之间，线段最短，画射线和线段的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）①根据射线的定义画图即可；②以点C为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点D，则点D即为所求； （2）连接交射线于点B，则点B即为所求； （3）先求出的长，再根据即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 17．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，为线段上的两点，，． (1)若的长度为4，请求出的长度． (2)若点是中点，点是中点，设的长度为，请求出的长度．（用含的代数式表示） 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，中点定义，熟练掌握中点定义，是解题的关键． （1）根据，得出，求出，根据，得出答案即可； （2）先求出，根据中点定义求出，求出，，根据中点定义求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，的长度为4， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，的长度为a， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴． 18．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，在同一平面内有点A和线段． (1)尺规作图：画线段，在线段上画线段使得；（保留作图痕迹） (2)若，，点E在线段上，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2或4 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，画线段和线段的尺规作图，熟知线段的相关知识是解题的关键． （1）先画线段，再以C为圆心，线段的长为半径画弧交线段于点D，则线段即为所求； （2）可求出线段的长，再分两种情况：点E在点D左侧和点E在点D右侧，根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当点E在点D左侧时，则， 当点E在点D右侧时，则， 综上所述，的长为2或4． 迁移创新 19．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，数轴上点A、B、C所表示的数分别是，7，x． (1)求线段的长． (2)若，求x的值． (3)若M，N分别是、的中点，是否存在点C，满足？若存在，求出符合条件的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离计算，数轴上点的位置与距离的分类讨论，数轴上中点的坐标计算及绝对值的几何意义与方程求解． （1）利用数轴上两点间距离公式即可计算出； （2）分“C在A左侧”和“C在A右侧”两种情况，用“距离公式”求x； （3）先求中点M、N的数，再用“距离公式”列等式，结合绝对值性质分情况求解． 【详解】（1）解：∵线段的长为， ∴． （2）解：若C在A左边，则； 若C在A右边，则． （3）解：∵M、N分别是、的中点，则M表示的数是2，N表示的数是， 当时， ，由题可得：，解得， 当， ．解得， 当时， ，解得（不符合，舍去）． 综上，． 20．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，在数轴上点A表示数为，点B表示数为10，点C表示数为1． (1)线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ，能将线段“三等分”的两个点我们称为线段的三等分点．则线段的三等分点表示的数为 ； (2)点M为点A右侧一点，将数轴沿点M向右对折，点A恰好与点重合且，求点M表示的数； (3)若点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度先向左运动，与P相遇后再改变运动方向与点P同向而行．若P、Q两点同时出发，保持速度不变．当点P是线段的三等分点时，求运动时间． 【答案】(1)15，，0和5； (2)4或1； (3)3秒或秒或10秒． 【分析】（1）由知线段的长为15；由，知线段的中点表示的数为；列式计算可得线段的三等分点表示的数为0和5； （2）设点表示的数为，可得表示的数为，故，解得或，即点表示的数为4或1； （3）设运动时间为秒，当时，表示的数为，求出，可得或，当时，表示的数为，可得或，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解： ， 线段的长为15； ， 线段的中点表示的数为； ，， 线段的三等分点表示的数为0和5； （2）解：设点表示的数为， 将数轴沿点向右对折，点恰好与点重合， 是的中点， 表示的数为， ， ， 或， 解得或， 点表示的数为4或1； （3）解：设运动时间为秒， 根据题意，表示的数为，，点Q先向左运动时表示的数为， 由，得， 即时，点Q与P相遇， 当时，表示的数为， ， 点是线段的三等分点， 或， 解得或； 当，相遇时，，相遇点表示的数为0， 当时，表示的数为， ， 点是线段的三等分点， 或， 解得（舍去）或； 综上所述，的值为3或或10； 运动时间为3秒或秒或10秒． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $