第5讲 抛体运动模型—【划重点】-2026-2027学年高三物理暑假复习提升讲义

第5讲 抛体运动模型 【考点1：平抛运动的基本规律及重要结论】 考向1：平抛运动基本规律的应用 考向2：类平抛运动 考向3：多体平抛问题及相遇与临界问题 【考点2：有约束的平抛模型】 考向1：斜面类平抛运动模型 考向2：竖直面及水平面约束下的平抛模型 考向3：半圆形约束下的平抛模型 【考点3：斜抛运动】 考向1：斜抛运动模型 考点1：平抛运动的基本规律及重要结论 1.平抛运动 定义 以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。 性质 平抛运动是加速度为g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。 平抛运动的条件 （1）v0≠0，沿水平方向； （2）只受重力作用。 研究方法 平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 基本规律 以抛出点为原点，水平方向（初速度v0方向）为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则： 水平方向 做匀速直线运动，速度vx＝v0，位移x＝v0t 竖直方向 做自由落体运动，速度vy＝gt，位移y＝gt2 合速度 v＝，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝＝ 合位移 s＝，方向与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝ 重要结论 （1）飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。 （2）水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。 （3）落地速度：v＝＝，以α表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tan α＝＝，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关。 （4）平抛物体运动中的速度变化：水平方向分速度保持vx=v0，竖直方向，加速度恒为g，速度vy=gt，从抛出点看，每隔∆t时间的速度的矢量关系如图所示。这一矢量关系有两个特点： ①任意时刻v的速度水平分量均等于初速度v0； ②任意相等时间间隔∆t内的速度改变量均竖直向下，且∆v=∆vy=g∆t。 两个推论 （1）做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如下图所示。 （2）做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。 平抛运动的分解方法与技巧 2.类平抛运动 模型概述 有些物体的运动与平抛运动很相似，也是在与初速度方向垂直的恒定外力作用下运动，其轨迹与平抛运动相似，我们把这种运动称为类平抛运动，这样的运动系统称作“类平抛”模型。 类平抛运动的特点 （1）受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。 （2）运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。 解题方法 （1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 （2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。 3.多体平抛问题及相遇与临界问题 （1）定义：多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时涉及的问题。 （2）三类常见的多体平抛运动 （3）平抛运动中相遇问题 抛体相遇问题要比运动学中的追及相遇问题复杂，因为它不再是一直线运动，通常是采用分解方法分别对两个运动方向独立分析，再根据时间相等进行解答。也可以巧取参考系，使问题更加简单。 两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。 （4）平抛运动中的临界问题 在体育运动中，像乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界，某物理量(尤其是球速)往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点． 分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件． 考向1：平抛运动基本规律的应用 【针对训练1】（2026·河南三门峡·三模）如图所示，水平地面上有一装有足够多水的容器，容器壁有两处破损分别记为小孔和小孔，水从小孔中以恒定的速度喷出后做平抛运动。已知小孔距离地面的高度是小孔的倍，而小孔喷出的水落地点到容器侧壁的水平距离只有小孔喷出的，则下列说法正确的是（     ） A．小孔喷出的水从喷出到落地的时间是小孔喷出的水从喷出到落地的时间的倍 B．小孔喷出的水的初速度是小孔喷出水的初速度的 C．小孔喷出的水从喷出到落地的位移大小等于小孔喷出的水从喷出到落地的位移大小 D．小孔喷出的水落地时速度与地面的夹角是小孔喷出的水落地时速度与地面夹角的倍 【答案】B 【详解】A．根据平抛运动规律有， 解得， 因为小孔距离地面的高度是小孔的2倍，即，则，故A错误； B．题意可知 因为， 联立可得，故B正确； C．平抛运动位移大小 由于和具体数值和大小关系未知，故无法比较位移大小关系，故C错误； D．小孔喷出的水落地时速度与地面的夹角满足 小孔b喷出的水落地时速度与地面的夹角满足 因为， 联立整理得 数学关系可知，故D错误。 故选B。 【针对训练2】（2026·河南新乡·三模）为推广乒乓球运动，学校体育组开设“国球启蒙班”指导学生学习乒乓球规则。按照规则，某次发球时，从球台左侧边缘正上方将球垂直左侧边缘水平击出，先落在己方台面，反弹后落在对方台面，则发球成功。如图所示，已知乒乓球台案长为2L，发球高度为H，球网高为h，球落在台上反弹前后，水平速度不变，竖直速度大小不变但方向反向，重力加速度为g，不计空气阻力，乒乓球可视为质点。若本次发球成功，下列说法正确的是（　　） A．除碰撞反弹过程外，乒乓球做变加速曲线运动 B．乒乓球的最大发球速度为 C．乒乓球的最小发球速度为 D．乒乓球从发出到落在对方台上用时 【答案】C 【详解】A．除碰撞反弹过程外，乒乓球仅受重力作用，加速度恒为重力加速度，做匀变速曲线运动，并非变加速曲线运动，故A错误； B．若发球速度为，乒乓球第一次下落时间，水平位移 ，即乒乓球直接落在对方台面右端，未先落在己方台面，不符合发球规则，故B错误； C．最小发球速度对应乒乓球反弹后刚好擦网且最终落在对方台面范围内 设第一次落台时间为，反弹时竖直速度大小 设过网时总用时为，水平位移满足，反弹后到过网的时间，竖直方向位移满足 联立解得：，故C正确； D．乒乓球第一次下落用时，反弹后竖直上抛，再次落回与台面同一高度的总用时，因此从发出到落在对方台的总用时，故D错误。 故选C。 考向2：类平抛运动的应用 【针对训练3】（2026·河北廊坊·一模）如图甲所示是一种倾斜桌面上投球入洞的游戏，可简化为图乙。若长方形光滑桌面长边水平，短边倾斜，倾角为，小球（可视为质点）从一短边出发，出发点离该边较高桌角的距离记为d，沿另一短边从较高桌角每隔0.15m有一个宽为0.15m的洞口，共3个洞口，洞口到对面桌边的距离为2m，小球初速度平行于长边，大小记为。取重力加速度则下列组合中，小球直接入洞机会最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】初速度方向做匀速直线运动，位移为洞口到对面桌边的距离，因此运动时间满足 合力为，做初速度为0的匀加速曲线运动，加速度 到达洞口边时沿桌面向下的位移为 洞口沿短边从较高桌角开始，3个洞口范围为、、 【详解】A当时，，得 小球到达洞口边的位置坐标，只可进入第二个洞口，且范围为 B当时，小球到达洞口边的位置坐标，只可进入第三个洞口，且范围为 C当时，，得 小球到达洞口边的位置坐标，只可进入第二个洞口，且范围为 当时，小球到达洞口边的位置坐标，只可进入第二个洞口，且范围为 综上可得，小球直接入洞机会最大的是D选项。 故选D。 【针对训练4】（2026·重庆渝中·模拟预测）风洞是人工产生和控制气流的实验设备，利用风洞可研究抛体运动。在某次实验中，如图所示，一条足够长的虚线与水平方向成角，将一质量为m的小球以速率从虚线上的O点沿与虚线成的方向斜向右上方抛出。小球受到的风力是重力的倍，方向水平向右（不考虑小球与空气的相对运动对风力大小方向的影响），重力加速度大小为g。小球从抛出到落回虚线的过程，求： (1)小球运动中受到的合力的大小与方向； (2)小球落回虚线时的落点与O点之间的距离。 【答案】(1)，方向斜向右下，与竖直方向夹角为30° (2) 【详解】（1）对小球受力分析，如图所示 由受力图可知，合力大小 其中 解得 与竖直方向夹角有 故合力方向斜向右下，与竖直方向夹角为。 （2）对小球受力分析，建立如图所示的直角坐标系 故合力沿着轴负方向，轴方向有， 轴方向有， 则小球落回到轴的时间 在方向为匀速直线运动，距离为 考向3：多体平抛问题及相遇与临界问题 【针对训练5】（2026·北京昌平·二模）如图所示，A、B两小球（可视为质点）从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇。不计空气阻力。若两个小球抛出位置不变而抛出速度大小均变为原来的2倍，则相遇时间为（　　） A．t B． C． D． 【答案】C 【详解】由于两小球从相同高度同时抛出，竖直方向运动规律完全一致（初速度为0、加速度为），任意时刻两球的竖直下落高度相同，因此相遇条件仅由水平方向的相对运动决定。 设两球初始水平间距为，第一次抛出的初速度分别为、，水平方向相对速度大小为，第一次相遇时间为，则水平方向满足： 当两球抛出速度均变为原来的2倍时，新的初速度为、，水平相对速度变为 设新的相遇时间为，则： 联立两式解得： 故选C。 【针对训练6】（2025·湖北襄阳·三模）如图所示，将小球甲、乙先后水平抛出，小球甲、乙将会在空中的P点相遇，相遇时两小球的速度方向相互垂直，已知小球甲的抛出点到水平地面的高度比小球乙的抛出点到水平地面的高度大，小球甲、乙的抛出点水平距离为，小球甲、乙抛出时的速度大小均为。取重力加速度大小，不计空气阻力，小球可看成质点，则下列说法正确的是（　　） A．小球甲、乙在相遇前运动的时间之和为 B．小球甲、乙在相遇时速度偏转角相同 C．小球甲在相遇前运动的时间为 D．小球甲、乙抛出点的高度差 【答案】D 【详解】A．设篮球甲、乙从抛出到相遇运动的时间分别为、，两球在P点相遇，则在水平方向上有 代入数据解得，故A错误； BC．由题知，在相遇时两小球的速度方向相互垂直，设篮球甲落在P点时速度与竖直方向的夹角为，作出速度分析图，如图所示 由图可知，小球甲、乙在相遇时速度偏转角不相同，根据几何关系可得 可得 又 且甲球下落的高度更高，则有，联立解得，，故BC错误； D．根据题意，可得小球甲、乙抛出点的高度差，故D正确。 故选D。 考点2：有约束的平抛模型 一．斜面类平抛运动模型 1.模型特点 平抛运动与斜面结合的问题，一般是研究物体从斜面顶端平抛或者往斜面上抛的过程，解决这类问题一般仍是在水平和竖直方向上分解。求解的关键在于深刻理解通过与斜面的关联而给出的隐含条件。 2.模型分析 模型分类 解题思路 方法总结 分解速度： vy＝gt， tan θ＝＝， 故t＝ ①分解速度； ②在撞击斜面的时刻，速度方向与水平方向的夹角与斜面的倾角互余。 分解位移： x＝v0t， y＝gt2， 而tan θ＝， 联立得t＝ ①分解位移； ②以不同的初速度抛出小球，只要落到斜面时速度的方向都平行或者速度方向与斜面的夹角都相等； ③速度与斜面平行时，距离斜面最远，满足以下四个特点： A.由，即可求出距离斜面最远的时间。 B.该时刻是全运动过程的中间时刻。 C.该时刻之前与该时刻之后竖直方向上的位移之比为13。 D.利用分解加速度和分解速度即可以求出距离斜面的最远距离： 以最小位移落在斜面上，分解位移： 以最小位移落在斜面上时，合位移与斜面垂直，此时合位移与竖直方向的夹角与斜面夹角相等。 分解运动： 竖直方向上的位移等于斜面上下落的h和沿着斜面下降的。 沿斜面轨道入射类，分解速度： 沿轨道或者沿轨道的切线方向入射类的模型一般是先分解速度。 二．竖直面及水平面约束下的平抛模型 图甲中竖直位移一定，对水平位移可形成最大值与最小值的限制 图乙中水平位移一定，使飞行时间受到初速度的限制 图丙中竖直障碍高度一定，对越过障碍的初速度、抛出点的高度形成限制 图丁中对水平位移、竖直位移均可形成限制：速度较小时竖直位移一定，速度较大时水平位移一定 三．半圆形约束下的平抛模型 平抛运动与圆形障碍模型中物体抛出点位置不同限制关系不同，有对位移与球面半径之间形成限制关系的。 如图甲、乙、丙、丁所示，可分解位移处理，如在图甲中x=R±Rcosθ,y =R sinθ 如图戊、己所示，可分解速度处理 若物体从球面沿水平直径抛出，随抛出速度的增大，飞行时间先增大后减小、水平位移一直增大，落到球面上时速度方向不可能垂直于球面。 考向1：斜面类平抛运动模型 【针对训练7】（2026·浙江绍兴·二模）在某次演习中，轰炸机沿水平方向投放一枚炸弹，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角为，如图所示。不计空气阻力，炸弹竖直下落距离与水平方向通过距离之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设炸弹的初速度为，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，则有 可得 设炸弹在空中运动时间为，则有， 可得炸弹竖直下落距离与水平方向通过距离之比为 故选A。 【针对训练8】（2026·贵州毕节·三模）跳台滑雪比赛中，某运动员从跳台处水平飞出后做平抛运动，落在倾角为的斜坡处，测得间的直线距离为，若不计空气阻力，重力加速度取，则运动员（     ） A．从运动到的时间为 B．从运动到离斜坡距离最大处的时间为 C．水平飞出的初速度大小为 D．离斜坡的最大距离为 【答案】A 【详解】A．竖直方向位移 平抛运动竖直方向的分运动为自由落体运动，有自由落体公式 解得从运动到的时间为。故A正确； BC．水平方向的位移 水平飞出的初速度大小为 当合速度方向与斜坡平行时，此时离斜坡距离最大，水平速度与合速度夹角为，此时竖直方向的分速度为 有自由落体公式 解得从运动到离斜坡距离最大处的时间为。故BC错误； D．从最高点落回b点的运动时间 将加速度分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向，垂直于斜面方向的加速度 离斜坡的最大距离为。故D错误。 故选A。 考向2：竖直面及水平面约束下的平抛模型 【针对训练9】（2026·四川广安·一模）如图，运动员进行排球比赛时跳起发球，将排球（视为质点）以水平向右击出，排球恰好通过球网上边缘时速度方向与水平方向的夹角为，落地时与水平方向的夹角为，重力加速度为，不计空气阻力，则球网高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】排球恰好通过球网上边缘时竖直速度 落地时竖直速度 由运动学公式 解得球网高为 故选A。 【针对训练10】（多选）如图所示，边长为的正方体空间图形，其下表面在水平地面上，将可视为质点的小球从顶点在所在范围内（包括边界）分别沿不同的水平方向抛出，落点都在平面范围内（包括边界）。不计空气阻力，取则（　　） A．小球落在点时，初速度为，是抛出速度的最小值 B．小球落在点时，初速度为，是抛出速度的最大值 C．落在线段上的小球，平抛时初速度的最小值与最大值之比是 D．落在线段上的小球，平抛时初速度的最小值与最大值之比是 【答案】BD 【详解】AB．小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，有 得出 因为下落高度相同，所以平抛运动的时间相等，由几何关系可知，小球的落地点离A1越近，则小球在水平方向的位移越小，所以小球在B1时，不是抛出的最小值，落在C1时水平位移最大，最大位移为正方形的对角线的长度，即为，由 得 为抛出速度的最大值，故B正确，A错误； CD．由几何关系可得B1D1的中点离A1最近，B1或D1离A1最远，故初速度的最小值与最大值的比为，故D正确，C错误。 故选BD。 考向3：半圆形约束下的平抛模型 【针对训练11】（2024·山东济南·二模）如图所示，为竖直平面内的半圆环的水平直径，为环上最低点，环半径为，将一个小球从点以初速度沿方向抛出，设重力加速度为，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．小球的初速度越大，碰到圆环时的竖直分位移越大 B．当小球的初速度时，碰到圆环时的竖直分速度最大 C．若取合适的值，小球能垂直撞击圆环 D．取值不同时，小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同 【答案】B 【详解】A．小球做平抛运动，则小球的初速度v0越大，其轨迹就越靠近ab直线，则碰到圆环时的水平分位移越大，竖直位移就越小，A错误； B．小球做平抛运动，当小球掉在c点时竖直分速度最大，设初速度为v0，则有 解得 B正确； C．小球撞击在圆弧ac段时，速度方向斜向右下方，不可能与圆环垂直；当小球撞击在圆弧cb段时，根据“中点”结论可知，由于O不在水平位移的中点，所以小球撞在圆环上的速度反向延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击圆环，C错误； D．v0取值不同时，小球运动的轨迹不同，落到圆环上的位置不同，则位移的偏向角不同，因速度的偏向角的正切值等于位移偏向角的正切值的2倍，可知速度的偏向角不同，则小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角不相同，D错误。 故选B。 【针对训练12】（2026·河北邢台·二模）如图所示，半圆形凹槽半径为R，圆心为O，MN为水平直径。A点与O等高，B点在O点正下方，P点位于槽面上，P到O的水平距离为。现从A、B点分别以水平速度vA、vB抛出小球，恰好都垂直槽面击中P点，所用时间分别为tA、tB。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．A、B、P三点不共线 【答案】C 【详解】AC．由于两小球均垂直槽面击中P点，所以速度的反向延长线必过水平位移中点，即经过圆心O，如图所示 根据几何关系可得 解得 根据平抛运动的规律可得，，， 联立解得，，故A错误，C正确； B．由于， 所以，故B错误； D．根据平抛运动的推论可知，由于两小球的速度偏转角相等，即速度方向与水平方向的夹角相等，所以位移与水平方向的夹角相等，则A、B、P三点共线，故D错误。 故选C。 考点3：斜抛运动 重要结论： (1)运动轨迹取决于初速度 v0的大小与方向,与其他因素无关。 (2)运动具有对称性:时间对称、速度对称。 (3)斜上抛的物体到达最大高度的时间 。 (4)落回抛出高度时的水平射程，α=45°时水平射程最远。 (5)斜上抛物体的初速度大小相同时,抛射角互余时具有相同的水平射程。 (6)斜上抛物体到达的最大高度，α=90°时射高最大。 考向1：斜抛运动 【针对训练13】（多选）（2026·广西桂林·三模）如图所示，水平面上固定一倾角的斜面，斜面足够长。现有无数小球从斜面上某一位置以初速度大小与斜面成任意角抛出，最后落到斜面上。重力加速度，忽略空气阻力，。则（    ） A．小球在空中运动的最长时间为2.5s B．小球在空中运动的最长时间为2s C．小球离斜面最大距离为6.25m D．小球离斜面最大距离为5m 【答案】AC 【详解】假设小球的速度v0与斜面的夹角为，垂直斜面向上，则 当vy=0时，小球上升到最高点，上升的时间 当时，上升的时间最长，上升的最长时间 所以小球在空中运动的最长时间 小球在垂直于斜面向上运动的距离 解得 当时，小球离斜面的距离最大，最大值为hm=6.25m 故选AC。 【针对训练14】（多选）（2026·广东广州·二模）如图所示，某同学将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10m/s2，空气阻力不计，则（     ） A．网球与墙壁碰撞前在空中的飞行时间为1.2s B．网球与墙壁碰撞前瞬间的速度大小为12m/s C．网球与墙壁碰撞前瞬间的速度方向与墙壁的夹角正弦值为0.8 D．网球与墙壁碰撞后瞬间的速度大小为 【答案】ACD 【详解】A．由题意可知网球与墙壁碰撞前瞬间竖直分速度为0，根据逆向思维，竖直方向有 可得网球与墙壁碰撞前在空中的飞行时间为，故A正确； B．根据题意可知，网球斜向上飞出，设竖直方向上分速度为，水平分速度为，如图所示 竖直分速度大小为 则有 可知网球与墙壁碰撞前瞬间的速度大小为，故B错误； CD．设网球水平分速度垂直墙面速度分量大小为，平行墙面的速度分量为，如图所示 则有 其中垂直墙面速度分量大小为 可得 网球与墙壁碰撞前瞬间的速度方向与墙壁的夹角正弦值为 由于网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变，则碰后垂直墙面速度分量大小为 网球与墙壁碰撞后瞬间的速度大小为，故CD正确。 故选ACD。 【真题1】（2026·江苏·高考真题）如图所示，小明跳起从同一高度将排球水平击出三次，排球分别落于a、b、c三点，不计空气阻力，关于该过程，下列说法正确的是（   ） A．排球的飞行时间满足ta > tb > tc B．排球的飞行时间满足ta < tb < tc C．排球的初速度满足va < vb < vc D．排球的初速度满足va = vb = vc 【答案】C 【详解】AB．竖直方向上，根据自由落体运动公式，可得飞行时间 因为排球从同一高度抛出，且落在同一水平面上，所以下落高度h相同，故三次飞行的时间相等，即ta = tb = tc，故A错误，B错误； CD．水平方向上，根据匀速直线运动公式，可得初速度 由图可知，排球的水平位移关系为，且已知飞行时间t相等，所以初速度满足，故C正确，D错误。 故选C。 【真题2】（2026·河南·高考真题）如图1，网球运动员将球沿水平方向击出，球运动轨迹所在平面与球网面的夹角为，球恰好擦过球网上沿的点，图2为球运动轨迹在球网所在平面的投影，轨迹投影在点的切线与球网上沿的夹角为。已知击出时球的速度大小为，，重力加速度大小取，不计阻力，则击球点到球网面的距离为（     ） A．4 m B．6 m C．8 m D．10 m 【答案】A 【详解】网球被水平击出后做平抛运动，初速度大小为​，轨迹平面与球网面夹角为，将初速度分解，垂直于球网面的速度 平行于球网面的速度 网球在竖直方向做自由落体运动，设从击球点到点的运动时间为，网球在点的竖直速度 点的切线与球网上沿夹角为，切线斜率满足 代入，，得 网球在垂直于球网方向匀速运动，位移 代入和的表达式，得 解得 因此击球点到球网面的距离为4 m。 故选A。 【真题3】（2026·广东·高考真题）如图是月球上一圆柱形阴影坑竖直截面图。假定某飞行器在月面上空向坑中心方向以速度匀速水平飞行。在距坑边的点正上方关闭动力，此后只受月球重力，直至抵达着陆线。已知坑直径，月面至着陆线深度，月面重力加速度取，飞行器可视为质点。飞行器安全到达着陆线，则的大小可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知飞行器安全到达着陆线，速度最小时会刚好通过月面坑边到达着陆线，此时根据平抛运动规律在竖直方向有，代入数据解得 在水平方向有，代入数据可得； 飞行器安全到达着陆线，速度最大时会到达着陆线最右端的坑边缘，此时根据平抛运动规律在竖直方向有，代入数据解得 在水平方向有，代入数据可得 所以飞行器安全到达着陆线需满足 故选B。 【真题4】（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若小孩能接到球，则有， 联立解得 故选B。 【真题5】（多选）（2026·云南·高考真题）如图所示，运动员在空场上将排球从a点击出，a点与球网顶部b点的水平距离为x、竖直距离为h，排球被击出时速度大小为v、方向与重力方向之间的夹角为θ（）。将排球视为质点，其运动轨迹所在平面与球网平面垂直，不计空气阻力，不考虑擦网球。运动员某次以击球时，排球贴近b点越过球网后正好落到对方场地的底线上，相对于此次击球，下列说法正确的是（     ） A．保持v、x、h不变，减小θ，排球一定下网 B．保持v、x、h不变，增大θ，排球一定不会出界 C．保持θ不变，增大x同时减小h，排球不下网就一定出界 D．保持x、h不变，同时增大v和θ，排球从被击出到落地所需时间可能不变 【答案】AC 【详解】方法一 根据题意可知，运动员某次以击球时，即初速度方向为水平，排球贴近b点越过球网，则有 解得 竖直方向上有 可得 A．保持v、x、h不变，减小θ，则球竖直向下的初速度大于零，水平方向的分速度小于，竖直方向根据 可知 水平方向 可知排球一定下网，故A正确； B．设球抛出时与水平方向的夹角为（），落地时速度为，画出速度的矢量三角形，如图所示 在矢量三角形ABC中，面积 水平位移 联立可得 即三角形面积最大时，水平位移最大，又 根据动能定理可知落地时速度为定值，也为定值，当即时，有最大值，即末速度方向与初速度方向垂直时，水平位移有最大值，显然当球水平抛出时，末速度方向与初速度方向夹角为小于90°，根据数学知识可知，保持v、x、h不变，增大θ，排球的水平射程先增大后减小，可知排球可能会出界，故B错误； C．保持θ不变，增大x同时减小h，根据可知球抛出到网顶点的时间变小，要能过网，则需要增大初速度，设恰好能过网的初速度为，设网高为，球到网顶点竖直方向的速度变小，过网后，竖直方向根据可知球运动的时间比增大x同时减小h前长，水平方向的位移比增大x同时减小h前大，故一定会出界，故C正确； D．保持x、h不变，同时增大v和θ，则球竖直向上向的初速度不为零，根据可知时间变大，故D错误。 故选AC。 方法二 根据题意可知，运动员某次以θ = 90°击球时，即初速度方向为水平，排球贴近b点越过球网，则有 解得 竖直方向上有 以击球点a为原点建立直角坐标系，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向则排球轨迹方程为 排球贴近网顶飞过，则 解得 设对方底线位于（L，－H）处排球恰好落在对方底线上，则 解得 A．保持v、x、h不变，减小θ，即θ<90°，此时初速度有向下的分量。将速度分解有vx=vsinθ，vy=－vcosθ 在网顶x = x处，排球的高度为 利用，可得 θ = 90°击球时网顶高度为－h。有 因此y <－h排球在网顶处的高度低于网顶，一定下网，故A正确； B．保持v、x、h不变，增大θ，即θ>90°此时，初速度有向上的分量。令α = θ－90°（0° < α < 90°），则vx = vcosα，vy = vsinα 落地时间t满足 解得 水平射程 θ = 90°击球时射程 对S在α = 0°处求导 说明从θ = 90°开始增大，射程最初会增加，落点将超出底线。因此增大θ并非“一定不会出界”，而是可能出界，故B错误； C．保持θ不变（即仍为90°平抛），增大x同时减小h，平抛轨迹仍为 改变后的网的水平距离为x′ > x，竖直高度差为h′ < h，若排球不下网，需满足在x′处y′ ≥－h′即 解得 根据，且x′ > x，则有 因此不可能成立。即在增大x、减小h′的条件下，排球必定下网，“不下网”的情况根本不会发生，故C正确； D．保持x、h不变，同时增大v和θ，则θ>90°，初速度有竖直向上的分量 设增大后的速度为，竖直初速度。落地时间为t，由 解得 基准平抛时 因为，显然有 解得t > t0 故飞行时间一定增大，不可能与基准时间相同，故D错误。 故选AC。 一、单选题 1．（2026·湖南岳阳·三模）如图所示，人形机器人做抛球游戏，若抛出的球做平抛运动，下列说法中正确的是（　　 ） A．球在空中运动的速度方向一定是变化的 B．球落地时的水平位移与初速度无关 C．球在空中运动的加速度大小一定是变化的 D．球在空中运动时处于超重状态 【答案】A 【详解】A．平抛运动是曲线运动，速度方向沿轨迹切线方向，时刻改变，因此速度方向一定变化，故A正确； B．平抛运动竖直方向满足 解得运动时间 水平位移，当下落高度固定时，水平位移和初速度正相关，故B错误； C．平抛运动只受重力，加速度恒为重力加速度，大小不变，故C错误； D．平抛运动加速度竖直向下，大小为，属于完全失重状态，不是超重，故D错误。 故选A。 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）随着物理学和数学的不断发展，中国在智能机器人的研发方面取得了突破性的进步，无论是在工业生产还是惠民生活以及军事领域都带来了巨大的便利。如图所示，两个智能机器人可以控制、两个小球按照需求从不同高度处水平抛出，忽略空气阻力，机器人模拟出两小球的运动轨迹的交点为，则下列说法正确的是（　　） A．若两小球同时落地，则必须要同时抛出 B．若两小球同时落地，则必须先抛出球 C．若两小球同时落地，球后经过点 D．无论怎么抛出，两小球都不可能在空中相碰 【答案】C 【详解】AB．小球在竖直方向上做自由落体运动，根据 解得 由图可知a球的抛出点高度大于b球的抛出点高度，所以a球的落地时间长，若两小球同时落地，则a球必须先抛出，故AB错误； C．若两小球同时落地，设落地时刻为T，Q点离地高度为h，a球经过Q点时，已下落高度，竖直分速度 b球经过Q点时，已下落高度，竖直分速度 因为，可知，从Q点到落地，两球竖直位移均为h，则有 初速度越大，所用时间t越短，所以a球从Q点落地的时间小于b球从Q点落地的时间，a球经过Q点的时刻为，b球经过Q点的时刻为，又因为 可知，即a球后经过Q点，故C正确； D．两球轨迹相交于Q点，说明空间位置重合。a球到达Q点所需时间 b球到达Q点所需时间 因为，所以，若a球先抛出，且时间差，则两球可以同时到达Q点而在空中相碰，故D错误。 故选C。 3．（2026·河南·三模）一同学经过多次训练，从点将小球以某一速度水平抛出，小球恰好落在倾角为的固定光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，如图所示。不计空气阻力，若该同学改变初速度的大小，要使小球仍然恰好落在斜面顶端并刚好沿斜面下滑，则抛出点距点的竖直高度与水平距离应满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设小球在点水平方向速度和竖直方向速度大小分别为、，如图所示 设小球从点到点时间为，由平抛运动水平方向做匀速直线运动和竖直方向做自由落体运动可得 小球仍然恰好落在斜面顶端并刚好沿斜面下滑，则满足 综合解得 故选A。 4．（2025·江苏南京·模拟预测）小孩独自玩耍，手中有乒乓球可视为质点。将球击出后，球垂直撞在竖直端上后反向弹至抛出点正下方的地面上。忽略球的旋转及空气阻力，则（     ） A．球在上升阶段的加速度大于下降阶段的加速度 B．球在上升阶段的时间等于下降阶段的时间 C．球撞墙前的速度一定大于撞墙后的速度 D．球刚击出的速度一定大于落回地面的速度 【答案】C 【详解】A．忽略空气阻力，球在空中只受重力作用，加速度恒为重力加速度，所以上升阶段和下降阶段的加速度相等，故A错误； B．球垂直撞在竖直墙上，说明撞墙时竖直分速度为零，可将上升过程逆向看作平抛运动，上升阶段竖直位移为，下降阶段竖直位移为，由图可知，根据 可知下降时间大于上升时间，故B错误； C．水平方向做匀速直线运动，上升阶段和下降阶段的水平位移大小相等，设为，则 由于，所以，即撞墙前的速度大于撞墙后的速度，故C正确； D．抛出速度 落地速度， 虽然，但，无法确定合速度大小关系，故D错误。 故选C。 5．（2026·浙江宁波·二模）一种定点投抛游戏可简化为如题图所示的模型，以水平速度从O点抛出小球，正好落入倾角为的斜面上的洞中，洞口处于斜面上的P点，OP的连线与斜面垂直不计空气阻力，重力加速度为g，则平抛过程中小球从O点到P点的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因OP的连线与斜面垂直，由几何关系得位移的偏转角为，设运动时间为t，水平方向 竖直方向 由 解得 故选B。 6．（2026·湖南长沙·二模）将两小球A、B从水平地面同一地点斜向上抛出，抛出时两球速度大小相等，方向与水平方向夹角，不同，两球再落到水平地面时与抛出点相距均为，已知重力加速度为，不计阻力，则以下说法正确的是（　　） A．两小球在空中运动时单位时间速度的变化量不相同 B．两小球在空中运动时间相同 C．A球落地时的速度大小满足 D．，两角互余 【答案】D 【详解】A．两球均为斜抛运动，在水平方向速度保持不变，仅在竖直方向受到重力作用，加速度均为，故单位时间速度变化量等于加速度，故单位时间速度变化量相同，故A错误； B．两球运动时间均由竖直方向运动决定，从抛出到落回，有， 联立解得 两球初速度大小相等但不同，故运动时间不同，故B错误； C．两球在水平方向移动距离即为射程，有 将代入有 不计空气阻力，机械能守恒，A球落地速度大小等于抛出速度大小，结合射程公式整理得，故C错误； D．两球射程、初速度大小均相等，故，已知且均为锐角，因此，即，两角互余，故D正确。 故选D。 7．（2026·山西·一模）如图所示，质量为3m的抛物线型凹槽锁定在光滑水平地面上。质量为m，可看做质点的小球从凹槽左端点（左端点处固定弹射装置）水平弹出后恰好落在轨道底部。以抛物线的顶点为坐标原点建立直角坐标系xOy，抛物线方程为。重力加速度g取。则（　　） A．小球从凹槽左端点水平弹出的初速度为2m/s B．小球从凹槽任一点以2.5m/s的水平初速度弹出后都能落到O点 C．若凹槽解除锁定，小球从凹槽左端点以1m/s的水平初速度弹出后仍然恰好落在轨道底部 D．若凹槽解除锁定，小球从凹槽左端点弹出后仍然恰好落在轨道底部，此过程凹槽向左移动1.5m 【答案】B 【详解】A．由抛物线方程为，得抛出点坐标为 由平抛运动 联立解得，，故A错误； B．将代入得 联立 消去t得 即小球从凹槽任一点以2.5m/s的水平初速度弹出后都能落到O点，故B正确； CD．若凹槽解除锁定，由动量守恒 恰好落在轨道底部 解得 凹槽向左移动，故CD错误。 故选B。 8．（2026·河南·三模）园林工人用喷灌设备浇花，出水口距地面的高度为1.8m，喷出的水柱初速度大小为8m/s，方向斜向上与水平方向的夹角为。已知重力加速度g取，要使水柱喷射到水平地面的距离最远，则应满足的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设喷射到水平地面的距离最远为 作出水落地时的速度合成图如图所示 图中三角形面积 即当最大时最大，由运动的合成可知，水落地时的速度 当与v垂直时S最大，此时 故选B。 9．（2026·四川泸州·一模）如图所示，运动员正前方有一固定的竖直障碍板，板上开有一下端距地面高为，高为的矩形孔。运动员将飞镖从高为处垂直向障碍板方向以速度水平射出，重力加速度为，且。运动员可前后调整位置，使命中地面位置与障碍板的水平距离最大，则最大距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】飞镖做平抛运动，竖直方向为自由落体运动，水平方向为匀速直线运动。设飞镖从射出到落地总时间为，总下落高度为，由 可得总时间 总水平位移为 设射出点到障碍板的水平距离为，落点到障碍板的水平距离为，则满足 要使最大，需要使最小。矩形孔下沿距地面高，孔高，因此孔上沿距地面高。飞镖到达障碍板时，位置高度满足 对应下落高度满足 飞镖到达障碍板的时间 下落高度 代入得 可得的最小值 将代入的表达式得 故选D。 二、多选题 10．（2026·安徽淮南·模拟预测）如图，为竖直平面内圆轨道的直径，为圆心。弹射器（图中未画）可沿水平线移动，第一次将小球在点以某速度水平弹出，前移一段距离后，将相同的小球在点以另一速度水平弹出，两次小球均落在圆轨道同一点，其中有一次落在点的速度方向沿方向，与竖直方向的夹角为30°。不计空气阻力，小球可视为质点，则下列说法正确的是（    ） A．前后两次下落过程中小球的速度变化量相等 B．从点弹出的小球在点的速度沿方向 C．A、C两点之间的距离为圆轨道半径的一半 D．小球两次落在点的速度大小之比为 【答案】AC 【详解】A．前后两次小球下落的高度相同，则时间相同，根据，可知下落过程中小球的速度变化量相等，A正确； BC．根据平抛运动的规律，末速度的反向延长线经过水平位移的中点，可知从C点弹出的小球在点的速度沿方向，若设D点在OB上的投影点为E点，则由几何关系可知CO=OE=0.5R，则AC=0.5R，B错误，C正确； D．水平方向根据可知小球两次落在点的水平位移之比为3:2，则水平速度大小之比为，竖直速度相等，根据可知小球两次落在点的速度大小之比不等于，D错误。 故选AC。 三、解答题 11．（2026·福建厦门·模拟预测）风洞，被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术世界领先。如图，在一个直径的圆柱形竖直方向固定的风洞中，有一质量为的小球从风洞左侧壁上的点以的速度沿其直径方向水平进入风洞。小球在风洞中运动过程中，风对小球的作用力竖直向上，其大小可在间调节，不计水平方向的空气作用力。小球可视作质点，与侧壁碰壁后不反弹，取重力加速度，风洞在竖直方向上长度足够。 (1)当时，求小球即将撞击右侧壁时的速度大小； (2)仅调节的大小，求小球撞击右侧壁区域在竖直方向的最大长度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，小球做平抛运动 水平方向 竖直方向 合速度 解得 （2）当时，小球做平抛运动，向下位移最大 当时，小球向上做类平抛运动，向上位移最大 满足牛顿第二定律 小球撞击右侧壁的区域长度 解得 12．（2026·河南·三模）2026年2月8日，在米兰冬奥会单板滑雪男子大跳台决赛中，我国参赛的选手苏翊鸣获得铜牌，这是我国体育代表团在本届冬奥会获得的首枚奖牌。雪上跳台项目可以看成在斜面上的抛体运动，如图所示，假设斜面倾角为，苏翊鸣从点以初速度沿与斜面夹角起跳，落在斜面上的点，忽略空气阻力，重力加速度为，求： (1)苏翊鸣离斜面的最大距离； (2)、间的距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在垂直于斜面方向，离斜面距离最大时，垂直于斜面方向的分速度为 垂直于斜面方向初速度 垂直于斜面方向加速度 离斜面最远时满足速度位移方程 解得 （2）当其再次回到斜面时，总共用时 沿斜面方向初速度 沿斜面方向加速度 则沿斜面运动距离 解得 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 抛体运动模型 【考点1：平抛运动的基本规律及重要结论】 考向1：平抛运动基本规律的应用 考向2：类平抛运动 考向3：多体平抛问题及相遇与临界问题 【考点2：有约束的平抛模型】 考向1：斜面类平抛运动模型 考向2：竖直面及水平面约束下的平抛模型 考向3：半圆形约束下的平抛模型 【考点3：斜抛运动】 考向1：斜抛运动模型 考点1：平抛运动的基本规律及重要结论 1.平抛运动 定义 以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。 性质 平抛运动是加速度为g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。 平抛运动的条件 （1）v0≠0，沿水平方向； （2）只受重力作用。 研究方法 平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 基本规律 以抛出点为原点，水平方向（初速度v0方向）为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则： 水平方向 做匀速直线运动，速度vx＝ ，位移x＝ 竖直方向 做自由落体运动，速度vy＝ ，位移y＝ 合速度 v＝ ，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝＝ 合位移 s＝ ，方向与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝ 重要结论 （1）飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。 （2）水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。 （3）落地速度：v＝＝，以α表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tan α＝＝，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关。 （4）平抛物体运动中的速度变化：水平方向分速度保持vx=v0，竖直方向，加速度恒为g，速度vy=gt，从抛出点看，每隔∆t时间的速度的矢量关系如图所示。这一矢量关系有两个特点： ①任意时刻v的速度水平分量均 初速度v0； ②任意相等时间间隔∆t内的速度改变量均竖直向下，且∆v=∆vy= 。 两个推论 （1）做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的 ，如下图所示。 （2）做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝ 。 平抛运动的分解方法与技巧 2.类平抛运动 模型概述 有些物体的运动与平抛运动很相似，也是在与初速度方向垂直的恒定外力作用下运动，其轨迹与平抛运动相似，我们把这种运动称为类平抛运动，这样的运动系统称作“类平抛”模型。 类平抛运动的特点 （1）受力特点：物体所受合力为 ，且与初速度的方向 。 （2）运动特点：在初速度v0方向做 运动，在合力方向做初速度为零的 运动，加速度a＝。 解题方法 （1）常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 （2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。 3.多体平抛问题及相遇与临界问题 （1）定义：多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时涉及的问题。 （2）三类常见的多体平抛运动 （3）平抛运动中相遇问题 抛体相遇问题要比运动学中的追及相遇问题复杂，因为它不再是一直线运动，通常是采用分解方法分别对两个运动方向独立分析，再根据时间相等进行解答。也可以巧取参考系，使问题更加简单。 两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能 处，两物体要在此处相遇，必须 到达此处。 （4）平抛运动中的临界问题 在体育运动中，像乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界，某物理量(尤其是球速)往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点． 分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件． 考向1：平抛运动基本规律的应用 【针对训练1】（2026·河南三门峡·三模）如图所示，水平地面上有一装有足够多水的容器，容器壁有两处破损分别记为小孔和小孔，水从小孔中以恒定的速度喷出后做平抛运动。已知小孔距离地面的高度是小孔的倍，而小孔喷出的水落地点到容器侧壁的水平距离只有小孔喷出的，则下列说法正确的是（     ） A．小孔喷出的水从喷出到落地的时间是小孔喷出的水从喷出到落地的时间的倍 B．小孔喷出的水的初速度是小孔喷出水的初速度的 C．小孔喷出的水从喷出到落地的位移大小等于小孔喷出的水从喷出到落地的位移大小 D．小孔喷出的水落地时速度与地面的夹角是小孔喷出的水落地时速度与地面夹角的倍 【针对训练2】（2026·河南新乡·三模）为推广乒乓球运动，学校体育组开设“国球启蒙班”指导学生学习乒乓球规则。按照规则，某次发球时，从球台左侧边缘正上方将球垂直左侧边缘水平击出，先落在己方台面，反弹后落在对方台面，则发球成功。如图所示，已知乒乓球台案长为2L，发球高度为H，球网高为h，球落在台上反弹前后，水平速度不变，竖直速度大小不变但方向反向，重力加速度为g，不计空气阻力，乒乓球可视为质点。若本次发球成功，下列说法正确的是（　　） A．除碰撞反弹过程外，乒乓球做变加速曲线运动 B．乒乓球的最大发球速度为 C．乒乓球的最小发球速度为 D．乒乓球从发出到落在对方台上用时 考向2：类平抛运动的应用 【针对训练3】（2026·河北廊坊·一模）如图甲所示是一种倾斜桌面上投球入洞的游戏，可简化为图乙。若长方形光滑桌面长边水平，短边倾斜，倾角为，小球（可视为质点）从一短边出发，出发点离该边较高桌角的距离记为d，沿另一短边从较高桌角每隔0.15m有一个宽为0.15m的洞口，共3个洞口，洞口到对面桌边的距离为2m，小球初速度平行于长边，大小记为。取重力加速度则下列组合中，小球直接入洞机会最大的是（　　） A． B． C． D． 【针对训练4】（2026·重庆渝中·模拟预测）风洞是人工产生和控制气流的实验设备，利用风洞可研究抛体运动。在某次实验中，如图所示，一条足够长的虚线与水平方向成角，将一质量为m的小球以速率从虚线上的O点沿与虚线成的方向斜向右上方抛出。小球受到的风力是重力的倍，方向水平向右（不考虑小球与空气的相对运动对风力大小方向的影响），重力加速度大小为g。小球从抛出到落回虚线的过程，求： (1)小球运动中受到的合力的大小与方向； (2)小球落回虚线时的落点与O点之间的距离。 考向3：多体平抛问题及相遇与临界问题 【针对训练5】（2026·北京昌平·二模）如图所示，A、B两小球（可视为质点）从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇。不计空气阻力。若两个小球抛出位置不变而抛出速度大小均变为原来的2倍，则相遇时间为（　　） A．t B． C． D． 【针对训练6】（2025·湖北襄阳·三模）如图所示，将小球甲、乙先后水平抛出，小球甲、乙将会在空中的P点相遇，相遇时两小球的速度方向相互垂直，已知小球甲的抛出点到水平地面的高度比小球乙的抛出点到水平地面的高度大，小球甲、乙的抛出点水平距离为，小球甲、乙抛出时的速度大小均为。取重力加速度大小，不计空气阻力，小球可看成质点，则下列说法正确的是（　　） A．小球甲、乙在相遇前运动的时间之和为 B．小球甲、乙在相遇时速度偏转角相同 C．小球甲在相遇前运动的时间为 D．小球甲、乙抛出点的高度差 考点2：有约束的平抛模型 一．斜面类平抛运动模型 1.模型特点 平抛运动与斜面结合的问题，一般是研究物体从斜面顶端平抛或者往斜面上抛的过程，解决这类问题一般仍是在水平和竖直方向上分解。求解的关键在于深刻理解通过与斜面的关联而给出的隐含条件。 2.模型分析 模型分类 解题思路 方法总结 分解速度： vy＝gt， tan θ＝＝， 故t＝ ①分解 ； ②在撞击斜面的时刻，速度方向与水平方向的夹角与斜面的倾角 。 分解位移： x＝v0t， y＝gt2， 而tan θ＝， 联立得t＝ ①分解 ； ②以不同的初速度抛出小球，只要落到斜面时速度的方向都 或者速度方向与斜面的夹角都 ； ③速度与斜面平行时，距离斜面最远，满足以下四个特点： A.由，即可求出距离斜面最远的时间。 B.该时刻是全运动过程的 。 C.该时刻之前与该时刻之后竖直方向上的位移之比为 。 D.利用分解加速度和分解速度即可以求出距离斜面的最远距离： 以最小位移落在斜面上，分解 ： 以最小位移落在斜面上时，合位移与斜面垂直，此时合位移与竖直方向的夹角与斜面夹角 。 分解运动： 竖直方向上的位移等于斜面上下落的h和沿着斜面下降的。 沿斜面轨道入射类，分解速度： 沿轨道或者沿轨道的切线方向入射类的模型一般是先分解 。 二．竖直面及水平面约束下的平抛模型 图甲中竖直位移一定，对 可形成最大值与最小值的限制 图乙中水平位移一定，使飞行时间受到 的限制 图丙中竖直障碍高度一定，对越过障碍的 、抛出点的 形成限制 图丁中对水平位移、竖直位移均可形成限制：速度较小时 位移一定，速度较大时 位移一定 三．半圆形约束下的平抛模型 平抛运动与圆形障碍模型中物体抛出点位置不同限制关系不同，有对位移与球面半径之间形成限制关系的。 如图甲、乙、丙、丁所示，可分解 处理，如在图甲中x=R±Rcosθ,y =R sinθ 如图戊、己所示，可分解 处理 若物体从球面沿水平直径抛出，随抛出速度的增大，飞行时间先增大后减小、水平位移一直增大，落到球面上时速度方向 垂直于球面。 考向1：斜面类平抛运动模型 【针对训练7】（2026·浙江绍兴·二模）在某次演习中，轰炸机沿水平方向投放一枚炸弹，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角为，如图所示。不计空气阻力，炸弹竖直下落距离与水平方向通过距离之比为（     ） A． B． C． D． 【针对训练8】（2026·贵州毕节·三模）跳台滑雪比赛中，某运动员从跳台处水平飞出后做平抛运动，落在倾角为的斜坡处，测得间的直线距离为，若不计空气阻力，重力加速度取，则运动员（     ） A．从运动到的时间为 B．从运动到离斜坡距离最大处的时间为 C．水平飞出的初速度大小为 D．离斜坡的最大距离为 考向2：竖直面及水平面约束下的平抛模型 【针对训练9】（2026·四川广安·一模）如图，运动员进行排球比赛时跳起发球，将排球（视为质点）以水平向右击出，排球恰好通过球网上边缘时速度方向与水平方向的夹角为，落地时与水平方向的夹角为，重力加速度为，不计空气阻力，则球网高为（　　） A． B． C． D． 【针对训练10】（多选）如图所示，边长为的正方体空间图形，其下表面在水平地面上，将可视为质点的小球从顶点在所在范围内（包括边界）分别沿不同的水平方向抛出，落点都在平面范围内（包括边界）。不计空气阻力，取则（　　） A．小球落在点时，初速度为，是抛出速度的最小值 B．小球落在点时，初速度为，是抛出速度的最大值 C．落在线段上的小球，平抛时初速度的最小值与最大值之比是 D．落在线段上的小球，平抛时初速度的最小值与最大值之比是 考向3：半圆形约束下的平抛模型 【针对训练11】（2024·山东济南·二模）如图所示，为竖直平面内的半圆环的水平直径，为环上最低点，环半径为，将一个小球从点以初速度沿方向抛出，设重力加速度为，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．小球的初速度越大，碰到圆环时的竖直分位移越大 B．当小球的初速度时，碰到圆环时的竖直分速度最大 C．若取合适的值，小球能垂直撞击圆环 D．取值不同时，小球落在圆环上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同 【针对训练12】（2026·河北邢台·二模）如图所示，半圆形凹槽半径为R，圆心为O，MN为水平直径。A点与O等高，B点在O点正下方，P点位于槽面上，P到O的水平距离为。现从A、B点分别以水平速度vA、vB抛出小球，恰好都垂直槽面击中P点，所用时间分别为tA、tB。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．A、B、P三点不共线 考点3：斜抛运动 重要结论： (1)运动轨迹取决于初速度 v0的 与 ,与其他因素无关。 (2)运动具有对称性： 对称、 对称。 (3)斜上抛的物体到达最大高度的时间 。 (4)落回抛出高度时的水平射程，α=45°时水平射程最远。 (5)斜上抛物体的初速度大小相同时,抛射角 时具有相同的水平射程。 (6)斜上抛物体到达的最大高度，α=90°时射高最大。 考向1：斜抛运动 【针对训练13】（多选）（2026·广西桂林·三模）如图所示，水平面上固定一倾角的斜面，斜面足够长。现有无数小球从斜面上某一位置以初速度大小与斜面成任意角抛出，最后落到斜面上。重力加速度，忽略空气阻力，。则（    ） A．小球在空中运动的最长时间为2.5s B．小球在空中运动的最长时间为2s C．小球离斜面最大距离为6.25m D．小球离斜面最大距离为5m 【针对训练14】（多选）（2026·广东广州·二模）如图所示，某同学将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10m/s2，空气阻力不计，则（     ） A．网球与墙壁碰撞前在空中的飞行时间为1.2s B．网球与墙壁碰撞前瞬间的速度大小为12m/s C．网球与墙壁碰撞前瞬间的速度方向与墙壁的夹角正弦值为0.8 D．网球与墙壁碰撞后瞬间的速度大小为 【真题1】（2026·江苏·高考真题）如图所示，小明跳起从同一高度将排球水平击出三次，排球分别落于a、b、c三点，不计空气阻力，关于该过程，下列说法正确的是（   ） A．排球的飞行时间满足ta > tb > tc B．排球的飞行时间满足ta < tb < tc C．排球的初速度满足va < vb < vc D．排球的初速度满足va = vb = vc 【真题2】（2026·河南·高考真题）如图1，网球运动员将球沿水平方向击出，球运动轨迹所在平面与球网面的夹角为，球恰好擦过球网上沿的点，图2为球运动轨迹在球网所在平面的投影，轨迹投影在点的切线与球网上沿的夹角为。已知击出时球的速度大小为，，重力加速度大小取，不计阻力，则击球点到球网面的距离为（     ） A．4 m B．6 m C．8 m D．10 m 【真题3】（2026·广东·高考真题）如图是月球上一圆柱形阴影坑竖直截面图。假定某飞行器在月面上空向坑中心方向以速度匀速水平飞行。在距坑边的点正上方关闭动力，此后只受月球重力，直至抵达着陆线。已知坑直径，月面至着陆线深度，月面重力加速度取，飞行器可视为质点。飞行器安全到达着陆线，则的大小可能是（     ） A． B． C． D． 【真题4】（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 【真题5】（多选）（2026·云南·高考真题）如图所示，运动员在空场上将排球从a点击出，a点与球网顶部b点的水平距离为x、竖直距离为h，排球被击出时速度大小为v、方向与重力方向之间的夹角为θ（）。将排球视为质点，其运动轨迹所在平面与球网平面垂直，不计空气阻力，不考虑擦网球。运动员某次以击球时，排球贴近b点越过球网后正好落到对方场地的底线上，相对于此次击球，下列说法正确的是（     ） A．保持v、x、h不变，减小θ，排球一定下网 B．保持v、x、h不变，增大θ，排球一定不会出界 C．保持θ不变，增大x同时减小h，排球不下网就一定出界 D．保持x、h不变，同时增大v和θ，排球从被击出到落地所需时间可能不变 一、单选题 1．（2026·湖南岳阳·三模）如图所示，人形机器人做抛球游戏，若抛出的球做平抛运动，下列说法中正确的是（　　 ） A．球在空中运动的速度方向一定是变化的 B．球落地时的水平位移与初速度无关 C．球在空中运动的加速度大小一定是变化的 D．球在空中运动时处于超重状态 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）随着物理学和数学的不断发展，中国在智能机器人的研发方面取得了突破性的进步，无论是在工业生产还是惠民生活以及军事领域都带来了巨大的便利。如图所示，两个智能机器人可以控制、两个小球按照需求从不同高度处水平抛出，忽略空气阻力，机器人模拟出两小球的运动轨迹的交点为，则下列说法正确的是（　　） A．若两小球同时落地，则必须要同时抛出 B．若两小球同时落地，则必须先抛出球 C．若两小球同时落地，球后经过点 D．无论怎么抛出，两小球都不可能在空中相碰 3．（2026·河南·三模）一同学经过多次训练，从点将小球以某一速度水平抛出，小球恰好落在倾角为的固定光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，如图所示。不计空气阻力，若该同学改变初速度的大小，要使小球仍然恰好落在斜面顶端并刚好沿斜面下滑，则抛出点距点的竖直高度与水平距离应满足的关系为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）小孩独自玩耍，手中有乒乓球可视为质点。将球击出后，球垂直撞在竖直端上后反向弹至抛出点正下方的地面上。忽略球的旋转及空气阻力，则（     ） A．球在上升阶段的加速度大于下降阶段的加速度 B．球在上升阶段的时间等于下降阶段的时间 C．球撞墙前的速度一定大于撞墙后的速度 D．球刚击出的速度一定大于落回地面的速度 5．（2026·浙江宁波·二模）一种定点投抛游戏可简化为如题图所示的模型，以水平速度从O点抛出小球，正好落入倾角为的斜面上的洞中，洞口处于斜面上的P点，OP的连线与斜面垂直不计空气阻力，重力加速度为g，则平抛过程中小球从O点到P点的时间为（　　） A． B． C． D． 6．（2026·湖南长沙·二模）将两小球A、B从水平地面同一地点斜向上抛出，抛出时两球速度大小相等，方向与水平方向夹角，不同，两球再落到水平地面时与抛出点相距均为，已知重力加速度为，不计阻力，则以下说法正确的是（　　） A．两小球在空中运动时单位时间速度的变化量不相同 B．两小球在空中运动时间相同 C．A球落地时的速度大小满足 D．，两角互余 7．（2026·山西·一模）如图所示，质量为3m的抛物线型凹槽锁定在光滑水平地面上。质量为m，可看做质点的小球从凹槽左端点（左端点处固定弹射装置）水平弹出后恰好落在轨道底部。以抛物线的顶点为坐标原点建立直角坐标系xOy，抛物线方程为。重力加速度g取。则（　　） A．小球从凹槽左端点水平弹出的初速度为2m/s B．小球从凹槽任一点以2.5m/s的水平初速度弹出后都能落到O点 C．若凹槽解除锁定，小球从凹槽左端点以1m/s的水平初速度弹出后仍然恰好落在轨道底部 D．若凹槽解除锁定，小球从凹槽左端点弹出后仍然恰好落在轨道底部，此过程凹槽向左移动1.5m 8．（2026·河南·三模）园林工人用喷灌设备浇花，出水口距地面的高度为1.8m，喷出的水柱初速度大小为8m/s，方向斜向上与水平方向的夹角为。已知重力加速度g取，要使水柱喷射到水平地面的距离最远，则应满足的关系是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·四川泸州·一模）如图所示，运动员正前方有一固定的竖直障碍板，板上开有一下端距地面高为，高为的矩形孔。运动员将飞镖从高为处垂直向障碍板方向以速度水平射出，重力加速度为，且。运动员可前后调整位置，使命中地面位置与障碍板的水平距离最大，则最大距离为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（2026·安徽淮南·模拟预测）如图，为竖直平面内圆轨道的直径，为圆心。弹射器（图中未画）可沿水平线移动，第一次将小球在点以某速度水平弹出，前移一段距离后，将相同的小球在点以另一速度水平弹出，两次小球均落在圆轨道同一点，其中有一次落在点的速度方向沿方向，与竖直方向的夹角为30°。不计空气阻力，小球可视为质点，则下列说法正确的是（    ） A．前后两次下落过程中小球的速度变化量相等 B．从点弹出的小球在点的速度沿方向 C．A、C两点之间的距离为圆轨道半径的一半 D．小球两次落在点的速度大小之比为 三、解答题 11．（2026·福建厦门·模拟预测）风洞，被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术世界领先。如图，在一个直径的圆柱形竖直方向固定的风洞中，有一质量为的小球从风洞左侧壁上的点以的速度沿其直径方向水平进入风洞。小球在风洞中运动过程中，风对小球的作用力竖直向上，其大小可在间调节，不计水平方向的空气作用力。小球可视作质点，与侧壁碰壁后不反弹，取重力加速度，风洞在竖直方向上长度足够。 (1)当时，求小球即将撞击右侧壁时的速度大小； (2)仅调节的大小，求小球撞击右侧壁区域在竖直方向的最大长度。 12．（2026·河南·三模）2026年2月8日，在米兰冬奥会单板滑雪男子大跳台决赛中，我国参赛的选手苏翊鸣获得铜牌，这是我国体育代表团在本届冬奥会获得的首枚奖牌。雪上跳台项目可以看成在斜面上的抛体运动，如图所示，假设斜面倾角为，苏翊鸣从点以初速度沿与斜面夹角起跳，落在斜面上的点，忽略空气阻力，重力加速度为，求： (1)苏翊鸣离斜面的最大距离； (2)、间的距离。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $