广东清远市2025-2026学年第二学期高一供题训练数学试卷

2025～2026学年第二学期高一年级供题训练·数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C D A B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BC BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．2 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．解：（1）由题知，． 1分 因为，，三点共线，所以与共线． 又向量，不共线，所以存在实数，使得， 3分 即． 5分 所以解得故实数的值为． 7分 （2）由，，， 得， 9分 要使与垂直，则，即， 11分 代入得，解得． 12分 故时，与垂直． 13分 16．解：（1）由图2可知，， 1分 最小正周期，所以， 3分 由五点作图法可知，当时，，所以， 5分 所以， 6分 当时，． 7分 （2）小球往复运动一次所需时间为， 小球1秒内往复运动的次数为， 所以小球1分钟（60秒）内往复运动的次数为（次）． 10分 （3）令， 12分 得， 14分 所以小球在内是下降状态． 15分 17．证明：（1）因为平面，平面， 所以， 1分 所以， 所以，所以， 3分 又，所以平面， 4分 因为平面， 所以平面平面． 5分 （2）如图，连接并延长与交于点，连接并延长与交于点，连接，，， 则，， 7分 由（1）知平面， 因为平面，所以， 8分 又，所以平面， 9分 又平面，所以． 10分 因为平面，平面， 所以， 11分 又，所以平面， 12分 又平面，所以． 13分 又，所以平面， 14分 所以为点在平面内的射影． 15分 18．（1）解：因为， 由正弦定理得， 1分 所以， 2分 又，所以，所以， 3分 又，所以． 4分 （2）（ⅰ）证明：因为， 所以， 5分 所以， 6分 即， 7分 所以，即， 由（1）知，所以，则， 8分 所以为等边三角形． 9分 （ⅱ）解：因为， 10分 在中，， 在中，， 所以 12分 不妨令，则， 所以 ， 14分 当，即时，取到最大值， 16分 此时最小，最小值为． 17分 19．（1）证明：如图，因为，分别为，的中点， 所以为的中位线， 所以， 1分 又因为平面，平面， 所以平面， 2分 同理，则平面． 3分 又，，平面， 所以平面平面． 4分 （2）解：如图，连接， 因为平面，，平面， 所以，， 则，， 所以， 所以， 7分 设到平面的距离为， 由，得， 9分 所以，解得， 10分 又，故与平面所成角的正弦值为． 11分 （3）解：存在点，使得二面角的大小为， 12分 取棱的中点，连接，，，， 13分 则，， 因为是线段的中点，， 所以，，， 所以二面角的平面角为， 15分 在中，，，， 所以，所以， 16分 所以在棱上存在一点，使得二面角的大小为，且． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期高一年级供题训练 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数是纯虚数，则 A． B． C． D． 2．下列说法正确的是 A．三点确定一个平面 B．四边形可以确定一个平面 C．若两条直线没有公共点，则这两条直线平行 D．若直线与平面平行，则该直线与平面内的无数条直线平行 3．如图，已知水平放置的的斜二测直观图为，其中，，则的面积为 A． B． C． D． 4．如图，在中，D，E分别为，的中点，记，，则 A． B． C． D． 5．在中，，，则 A． B． C． D． 6．已知，，，且与的夹角为，则在上的投影向量为 A． B． C． D． 7．如图，在一条水平的公路一侧选取两点、测量山高．在点时，测得山顶处的仰角为，在点时，测得山顶处的仰角为，若，，则山高为 A． B． C． D． 8．已知四面体，若点，，，到平面的距离，，，满足，则这样的平面的个数为 A．1 B．4 C．6 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则 A． B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D． 10．如图，在棱长为1的正方体中，为底面的中心，连接，，，，下列说法正确的是 A． B． C．与所成的角为 D．若为棱的中点，则过，，三点的平面与正方体相交形成的截面周长为 11．已知函数，，在上既无最大值，也无最小值，且，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，下列结论成立的是 A． B． C．在区间上不单调 D．若方程在的解为，，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某圆锥的侧面积是，底面半径为3，则该圆锥的体积是________． 13．设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的直径为________． 14．正四棱锥中，，其外接球半径为、内切球半径为，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知平面向量，不共线． （1）若，，，当，，三点共线时，求实数的值； （2）若，，与的夹角为，试确定的值，使与垂直． 16．（本小题满分15分） 如图1，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，以为横坐标，为纵坐标，画出函数的部分图象如图2所示． （1）求，，，的值； （2）小球1分钟内能往复运动多少次（结果保留整数，取3.14）？ （3）小球在什么时间内是下降状态？ 17．（本小题满分15分） 如图，在三棱锥中，平面，，，． （1）证明：平面平面； （2）若为的垂心，证明：为点在平面内的射影． 18．（本小题满分17分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若． （ⅰ）证明：为等边三角形； （ⅱ）如图，以A为顶点，作，交边于D，E两点，记和的面积分别为，，求的最小值． 19．（本小题满分17分） 如图，在直三棱柱中，四边形是边长为2的正方形，平面，，E，F，G分别是线段，，的中点． （1）若P是线段的中点，证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点Q，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $