1.4.2三角形的面积及正弦定理（教案）-人教版《数学 拓展模块一》（2023修订版）《上好课》

该教案聚焦三角形面积及正弦定理，通过回忆直角与一般三角形面积公式，抛出“两边及其夹角求面积”的问题，搭建从基础计算到解任意三角形的学习支架，衔接前期三角函数与直角三角形知识。 以问题驱动和分层教学为特色，设计“阶梯式问题链”引导自主推导公式，结合《周髀算经》案例渗透文化自信，培养数学思维（推理能力）和数学眼光（抽象能力）。例题分层兼顾不同水平，当堂检测及时反馈，助力学生提升知识迁移能力，教师可高效落实教学目标。

人教版《数学 拓展模块一》 第1章 三角计算 1.4.2三角形的面积及正弦定理 一、教材 人民教育出版社《数学》（拓展模块一） 二、教学时长 2课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 《三角计算》是人民教育出版社《数学拓展模块一》中的核心内容，属于三角函数板块的延伸与应用范畴。它建立在学生已学习三角形面积的基本公式、三角函数的定义及直角三角形的边角关系等知识基础之上，是对三角形相关知识从 “基础计算” 向 “灵活转化” 与 “解任意三角形” 的重要跨越。本节课的内容具有极为关键的承上启下作用。一方面，它是对前期三角形面积计算方法的深化与补充；另一方面，它为后续学习更复杂的数学内容奠定基础，是构建完整解三角形知识体系的核心环节.同时，它在日常生活、工作以及专业学习中都有着广泛的应用，通过引入生活场景和专业领域案例，让学生切实体会到数学知识的实用价值，有效打破 “数学抽象难懂、脱离实际” 的认知误区，有助于学生提升逻辑思维能力、数学运算能力、分析问题和解决问题的能力，进一步强化严谨的数学思维习惯，为后续更复杂的数学学习和专业发展筑牢根基. 五、学情分析 学生在前面的课程中，学习了三角形面积的基本计算公式，同时，学生已掌握三角函数的定义、特殊角的三角函数值、同角三角函数基本关系式、诱导公式及直角三角形的边角关系，这些知识为本节课推导 三角形面积公式和正弦定理构建了完整的知识框架，是实现从 “基础计算” 向 “灵活转化” 跨越的关键前提.从学科核心素养层面来看，经过前期三角形性质、三角函数相关内容的学习，学生已初步具备数学抽象和逻辑推理的素养，数学运算能力在反复练习中得到了初步提升.但需要注意的是，学生在知识迁移和逻辑转化方面仍存在明显薄弱点，教学时需注意低起点、重转化、多引导、勤练习，逐步提升学生的知识迁移能力、逻辑推理能力和数学运算能力，为后续的学习筑牢根基. 六、教学目标 1.理解并掌握三角形的面积和正弦定理； 2.学生运用自主探讨、合作学习，理解三角形的面积及其推导方法，理解并掌握正弦定理公式的推导方法，识记正弦定理公式及其变形形式，掌握在解三角形中正弦定理的应用，提高其发现问题、分析问题及解决问题能力； 3.通过观察、对比，引导学生体验成功的喜悦；通过教师的启发引导，培养学生不怕困难、勇于探索、勇于创新的求知精神. 七、教学重点 三角形的面积及正弦定理的推导与应用. 八、教学难点 三角形的面积及正弦定理的变形与知识迁移. 九、教学方法 讲授法：教师通过系统、有条理的口头讲解三角形的面积及正弦定理，直接向学生传递三角形的面积及正弦定理的推导过程. 问题驱动教学法：教师围绕教学目标设计 “阶梯式问题链”（从基础到进阶、从具体到抽象），以问题为线索，引导学生主动思考、自主探究，最终通过解决问题掌握知识。 分层教学法：根据学生的数学基础、学习能力将学生分为不同层次（如基础层、提升层、拔尖层），设计不同的 “教学目标、教学内容、作业任务”，确保每个层次的学生都能 “在原有基础上进步”。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 引入 问题提出 1．直角三角形的面积如何计算？ 2.一般三角形的面积如何计算？需要知道多少个量呢？ 我们知道，三角形的面积为底边与该边对应高乘积的一半． 如果已知三角形的两边及其夹角，如何求三角形的面积呢？ 教师引导学生回忆三角形面积公式；并抛出核心问题，引发认知冲突，激发学生学习兴趣 回忆复习内容，引出新知，为后续学习做铺垫 探索新知 1.三角形的面积 如图所示，设△ABC中，设BC=a，AC=b， AB=c， 作边AB上的高CD．在Rt △ADC中，，设△ABC的面积为S，则 ． 同理，可得 . 因此△ABC的面积公式为 2. 正弦定理 由三角形的面积公式可知 ， 即 这就得到 . 同理，可证得 . 于是，可以得到如下公式： 我们把以上公式称为正弦定理，即在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等． 正弦定理在解三角形中的应用： （1）已知三角形的两角和一边，求其他元素； （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，求其他元素．(注意有几个解的情况). （3）利用正弦定理判断三角形的形状． 教师在黑板上画出锐角三角形ABC，引导学生分析 结合直角三角形三角函数知识，得出三角形的面积公式，教师追问钝角三角形是否成立 学生小组讨论，自主推导正弦定理 师生共同归纳正弦定理的三种应用场景，明确每种场景的已知条件与核心步骤。 学生2分钟时间记忆公式 从 “师生共探” 到 “学生自主推导”，让学生经历从特殊到一般的思维过程，理解公式的本质与通用性 讲授过程中利用小组讨论，有利于课堂高效 化 根据已知内容推导未知内容，培养学生的化归转化思想 提前梳理正弦定理的应用场景，为后续例题讲解和练习铺垫，避免学生解题时盲目套用公式 例题讲解 例 1 在△ABC中，已知a=6，，∠C=45°，求△ABC的面积． 解 由由三角形的面积公式可知 . 练习1 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝5，A＝120°，面积为，则边a的长度为(　B　) A．6 B．7 C．8 D．9 解： ∵， ∴ ，解得c＝3. ∵， ∴a＝7. 例2 在△ABC中，已知a＝5，∠A=30°，∠C＝65°，求∠B，b，c (长度保留3位小数)． 解 因为∠A+∠B+∠C=180° ， 所以∠B=180°−30°−65°=85°. 由正弦定理，得 ， . 同理，得 ． 练习2 在△ABC 中，已知b＝12，∠A=30°，∠B＝120°，求a． 解: 由正弦定理，得 ， 所以． 例3 在△ABC中，已知∠B=45°，，，求∠C． 解 因为，所以 ， 所以∠C=60°或∠C=120°. 例4 在△ABC中，b=10，c=6，∠B=60°，求∠C（角度精确到1分）． 解 因为，所以 . 用函数型计算器计算可得∠C≈31°18′ 或∠C≈148°42′． 但148°42′+60° >180°，舍去148°42′ ．所以∠C=31°18′ ． 练习3 在△ABC 中，已知a＝2， b=3，∠B=75°，求∠A ， ∠C （角度精确到1分）． 解: 因为 ， 所以． 用函数型计算器计算可得∠A≈40°5′或∠A≈139°55′． 但139°55′+75°>180°，舍去139°55′，所以∠A≈40°5′ ． 所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°5′-75°=64°55′. 练习4 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，b＝3，B＝2A，则sin A＝________． 解：在△ABC中，由正弦定理 ，可得， ∵a＝2，b＝3，B＝2A， ∴ ，即, 化简，得 ，∴， ∴. 例5 在△ABC中，已知sin A＝2cos B sin C，则三角形为(　　) A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【解析】　本类型的题目需先将式子化为只含有边或角的形式，再进行判断． ∵A＝180°－(B＋C)，∴sin A＝sin [180°－(B＋C)]＝sin (B＋C). 又∵sin A＝2cos B sin C，∴2cos B sin C＝sin (B＋C)， ∴sin B cos C＋cos B sin C－2cos B sin C＝0， ∴sin B cos C－cos B sin C＝sin (B－C)＝0， ∵B，C为△ABC的内角， ∴B－C＝0，∴B＝C， ∴△ABC为等腰三角形． 练习5 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若cos A＝，，则三角形为(D　　) A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【思路点拨】　既可以利用正弦定理，把“边”转化成“角”；也可以利用余弦定理，把“角”转化成“边”． 解： ∵，由正弦定理知 即. ∵均为的内角，∴. 又由题知cos A＝，， 则为等边三角形，故选：D. 课堂思政 推导面积公式时，引导学生观察 “任意三角形均适用” 的共性，渗透 “特殊到一般” 的辩证思维；讲解正弦定理 “边与角正弦值成定比”，结合我国古代《周髀算经》中勾股定理、测影术等天文历法成就，展现古人用数学解决实际问题的智慧，激发文化自信；分析 “SSA” 多解性时，强调 “严谨验证” 的科学态度，培养学生求真务实的探究精神 例1，例2教师边读边讲，引导学生判断 “适用公式”，板书完整解题步骤，强调边角关系和计算器的规范性 练习 1、2：学生独立完成，2 名学生上台板书，教师针对 “面积公式与余弦定理结合”“正弦定理边角对应” 的易错点点评 例3、例4：教师先让学生尝试计算，判断解的个数，总结“验证内角和” 和“边大角大”的取舍原则 练习3、4：小组合作完成，讨论 解题思路，派代表分享解题关键 例 5：学生尝试用 “边化角”“角化边” 两种方法解题，教师对比两种方法的优劣，拓展解题思路 学生独立练习5，派代表分享答案并进行讲解 教师示范标准解题步骤，学生上台板书并纠错，帮助学生养成 “审题 — 标注 — 选公式 — 验证” 的解题习惯 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 通过 “独立完成+小组合作”“基础计算+综合应用” 的练习形式，兼顾不同层次学生的需求，拓展解题方法 通过小组交流，培养学生的合作探究的能力，巩固学生对公式的应用 培养学生举一反三的变通思维 课堂小结 三角形的面积 公式变形 正弦定理在解三角形中的应用： （1）已知三角形的两角和一边，求其他元素； （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，求其他元素．(注意有几个解的情况). （3）利用正弦定理判断三角形的形状． 用思维导图 PPT 呈现本节课知识框架，先让学生尝试 “填空式” 回顾，再由教师补充完整，针对共性问题再次强调 通过思维导图帮助学生构建 “面积公式 — 正弦定理 — 应用场景” 的知识框架，避免知识点碎片化 当堂检测 1.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 a＝1，b＝，A＝30°，则B等于(　B　) A．30° B．60°或120° C．60° D．30°或150° 2.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知AB＝4，AC＝ ，∠A＝，则△ABC的面积S等于(B　) A．6 B．3 C． D．2 3．在△ABC中，，则△ABC是(B　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 学生单人单桌进行当堂检测，小组互批，教师抽查，并进行针对性日清 检测学生本节课的知识掌握情况，针对检测中的典型错误，及时纠错并强化，避免问题积累 作业布置 1. 书面作业 （1） 课后习题第×题写到作业本上。 （2） 完成《同步练习》1.4.2； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾 板书设计 1.4.2三角形的面积及正弦定理 1、 三角形的面积 练习 小结 二、正弦定理 练习 作业 十一、教学反思 本节课以旧知导入，引导学生自主推导公式，例题分层训练，整体课堂节奏较顺畅。多数学生能掌握两边夹角求面积、利用正弦定理解基础三角形。 但课堂仍存在不足：已知两边一对角的多解问题讲解较仓促，部分学生难以区分解的个数；边角互化判断三角形形状时，学生三角恒等变换运算薄弱。后续需增加变式练习，强化分类讨论思想，课下增设基础计算小练，补齐学生运算短板。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $