1.2倍角公式（教案）-人教版《数学 拓展模块一》（2023修订版）《上好课》

该中职数学教案聚焦“1.2倍角公式”核心知识点，通过复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式，以“如何用角α的三角函数值表示二倍角2α的三角函数值”为问题链导入，搭建从已知到未知的学习支架，衔接前期三角函数基础。 此教案亮点在于采用问题驱动与分层教学法，引导学生自主推导公式，结合“割圆术”数学史与卫星轨道计算等应用案例渗透思政，培养逻辑推理能力与应用意识，助力学生提升知识迁移能力，也为教师提供精准教学支持，高效落实教学目标。

人教版《数学 拓展模块一》 第1章 三角计算 1.2倍角公式 一、教材 人民教育出版社《数学》（拓展模块一） 二、教学时长 2课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 《三角计算》是人民教育出版社《数学拓展模块一》中的核心内容，属于三角函数板块的延伸与应用范畴。它建立在学生已学习三角函数的基本定义、同角三角函数基本关系、诱导公式等基础之上，是对三角函数知识从 “概念理解” 向 “实践运算” 与 “综合应用” 的关键过渡。本节课的内容具有承上启下的重要作用。一方面，它是对前期三角函数基础理论的深化；另一方面，它为后续学习更复杂的数学内容奠定基础。同时，它在日常生活、工作以及专业学习中都有着广泛的应用，通过引入生活场景和专业领域案例，让学生体会三角函数的实用价值，打破 “数学抽象难懂” 的认知误区，有助于学生提升逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，培养严谨的思维习惯. 五、学情分析 学生在前面的课程中，学习了三角函数，知道了特殊角的三角函数值、三角函数基本关系式、诱导公式以及和角公式，这些知识为本节课的学习构建了完整的知识框架，是推导倍角公式的关键前提.从学科核心素养层面来看，经过前期三角函数相关内容的学习，学生已初步掌握数学抽象和逻辑推理的素养，运算能力在反复练习中得到了初步提升.但需要注意的是，学生在知识迁移和复杂运算方面仍存在明显薄弱点，教学时需注意低起点、重转化、多引导、勤练习，逐步提升学生的知识迁移能力、逻辑推理能力和运算能力，为后续的学习奠定坚实基础. 六、教学目标 1.理解并掌握倍角公式； 2.学生运用自主探讨、合作学习，理解倍角公式的推导方法，掌握正弦、余弦、正切倍角公式，强调公式中角的任意性，公式的结构特征，提高其发现问题、分析问题及解决问题能力 3.通过观察、对比，引导学生体验成功的喜悦；通过教师的启发引导，培养学生不怕困难、勇于探索、勇于创新的求知精神. 七、教学重点 倍角公式的推导与应用. 八、教学难点 倍角公式的公式变形与知识迁移. 九、教学方法 讲授法：教师通过系统、有条理的口头讲解倍角公式，直接向学生传递倍角公式及推导过程. 问题驱动教学法：教师围绕教学目标设计 “阶梯式问题链”（从基础到进阶、从具体到抽象），以问题为线索，引导学生主动思考、自主探究，最终通过解决问题掌握知识。 分层教学法：根据学生的数学基础、学习能力将学生分为不同层次（如基础层、提升层、拔尖层），设计不同的 “教学目标、教学内容、作业任务”，确保每个层次的学生都能 “在原有基础上进步”。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 引入 我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式.那么我们一起来复习一下吧！ 两角和与差的余弦公式 两角和与差的正弦公式 两角和与差的正切公式 计算三角函数值时，有些时候只用加或减不能满足要求. 对于角 ，我们要求它的二倍角（ 2 ）的三角函数值，该如何求呢？今 天我们就来学习二倍角的相关公式． 教师带领学生共同复习和角公式，为本节课的学习内容做铺垫 回忆复习内容，引出新知 探索新知 二倍角公式是三角计算中常用的一组公式.用角α的三角函数值表示其二倍角2α的三角函数值，在化简、求值、证明及工程中有着广泛的运用. 在两角和的余弦、正弦和正切公式中，当时，我们能得到什么结果呢？这节课我们一起来研究来推导并研究一下倍角公式. 二倍角公式的推导 【问题】在上面的和角公式中，若令= ，会得到怎样的结果 呢？ 利用变形，可得 ； . 于是，对于任意角α，β，我们可以得到如下公式： 【思考】（1）公式中有限制条件吗？ （2）公式的顺用、逆用和变形. 注意：（1）公式中的角α必须是相等的角，且二倍角的正切公式中角α必须满足 （2）二倍角公式不仅限于2α是α的二倍角的形式.4α是2α的二倍角， 是的二倍角，3α是的二倍角，等等，所有这些均可以应用二倍角公式． 公式变形 学生自学倍角公式的推导过程，标记疑问点 教师巡视课堂，了解学生自学情况，并对学生自学中出现的问题进行讲解 学生1分钟时间记忆公式 教师提出思考题 学生小组合作解决思考题 学生派代表进行回答问题，教师补充注意事项，并总结公式变形内容 学生自学，教师引导，体现学生的主体地位。 根据已知内容推导未知内容，培养学生的化归转化思想 讲授过程中利用小组讨论，有利于课堂高效 化 例题讲解 例1 利用和角公式求值． 解：(1)； （2）； （3）. 强化练习 1. 求下列各式的精确值. 答案： 例2已知，求. 解：因为，所以 ， 所以 强化练习 2.已知，求的值. 解：因为，所以 ， 于是 例3 证明恒等式： 证明 ： 强化练习 3.化简： 解： 例4已知，求的值. 解：将左右两边分别平方，得 ， 解得. 强化练习 4.已知，，则sin α－cos α的值. 解：因为，所以，即 又因为， 所以. 课堂思政 推导倍角公式时，可结合数学家刘徽推导 “割圆术” 的历程，展现古人 “究天人之际，通古今之变” 的探索精神，引导学生体会数学推导中逻辑的严谨性与思维的创造性。 通过分析倍角公式在卫星轨道计算、建筑结构设计等领域的应用，让学生认识到数学是解决实际问题的工具，激发其用数学知识服务国家建设、助力科技发展的责任感，培养理性精神与家国情怀。 学生自学，完成例1的学习 学生独立完成强化练习，检测学生的自学情况 学生上台板演 教师针对学生的板书中出现问题进行讲解，并总结答题步骤 学生根据例2 中的方法，独立完成强化练习 学生代表进行讲解 小组合作完成例3的证明题 学生独立完成强化练习 教师强调的比较大小的方法，借助图像便于学生理解并掌握解题方法 学生根据例4的解题方法，独立完成强化练习 培养学生自学能力，使学生体会成功的快乐 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 锻炼学生分析问题，解决问题的能力 锻炼学生逻辑思维能力 通过小组交流，培养学生的合作探究的能力，巩固学生对公式的应用 培养学生举一反三的变通思维 课堂小结 公式变形 当堂检测 1.已知，则的值为(D　　) A． B． C． D． 2.已知 ，求： (1)的值； (2)的值． 解：(1) （2）因为，所以， 所以 . 所以 学生单人单桌进行当堂检测，小组互批，教师抽查，并进行针对性日清 检测学生本节课的知识掌握情况 作业布置 1. 书面作业 （1） 课后习题第×题写到作业本上。 （2） 完成《同步练习》1.2； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾 板书设计 1.2倍角公式 1、 倍角公式 练习 小结 二、变形公式 练习 作业 十一、教学反思 教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $