第23章 解直角三角形（暑假单元自测）新九年级数学新教材华东师大版

**基本信息** 华东师大版新教材第23章解直角三角形单元卷，以2025粮食产量、无人机灯光秀等现实情境为载体，覆盖三角函数定义、坡度坡角、方位角等核心知识点，适配暑假巩固提升，培养几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|三角函数值、解直角三角形|基础题结合计算器操作，如第5题考坡度与按键顺序| |填空|6/18|坡度计算、正方形性质|中档题融入生活场景，如第12题山坡高度计算| |解答|8/72|方位角、实际测量应用|综合题聚焦真实问题，如第24题无人机巡航路线，体现模型意识与推理能力|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第23章解直角三角形单元自测卷 【新教材，华东师大版】 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 考前须知： 1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第I卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。) 1.(3分)V3tan30°-sin30的值等于() A.0 c.1-3 2 D.33 2 2.(3分)如图，△ABC中，∠C=90°，则cosA可以表示为() B 气侣 BC B.AB e. D.AC 3.(3分)△ABC中，AB=2,AC=4,BC=23,则∠C的度数为() A.30° B.120° C.60° D.150° 4.(3分)如图，每个小正方形的边长均为1，则sB的值为() 5 2 V10 2 A 3 B.3 C. 2 D. 2 1/8 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(3分)2025年我国粮食产量首次突破1.4万亿斤，秋粮收购点全面开放收粮，某收购点用输送带AB把 3 粮袋从地面输送到高处，若输送带的坡度=4，输送带的长度AB=20米.。 B ①用计算器求输送带AB部分与地面的夹角，要求结果以“度、分、秒”为单位，按键顺序为 2 ndF tan(3÷4）=Dms ②一袋粮食从底部输送到顶部，升高了12米； ③坡角为∠B: ④cosA=4 :以上说法正确的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(3分)如图，己知点A(0,23),B(2,0),将△OAB沿AB所在的直线翻折，点O落在点P的位置， 则点P的坐标为() B A.(2,V3) B.(3,2) c.(3,3 D.(2+3,3 7.(3分)如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 2-☐ sim30☐2nd迥□□工习8]刀按键结果为a, □16☐2]y四3+口3]a@2]按键结果为b,则a+b的值是() B司 c D.1-2 4 8.(3分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若∠BOC=120°， ∠ABC=90°，AB=4,AD=() 2/8 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.4 B.4V2 c.4V3 D.8 9.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC=2,BC=3,点D在BC的延长线上，∠ABC和∠ACD的平 分线交于点E,连接AE,则sin∠CAE的值是() E B CD V7 C.4 7 A. B. D.3 10.(3分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AD平分∠CAB,BE⊥AD,E为垂 AD 足，则BE的值为() D A A.23 B. 73 8V3 3 va C. D. 3 二、填空题（共18分） 11.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点.若AB=8,BD=5,则BC的长为 12.(3分)如图，某坡度i=1:3的山坡，已知坡面AB=300米，则该山坡的高度BC是 米 318 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A 13.(3分)如图，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为50米，若这个滑雪道坡度i=1:3,则滑雪 道AC长为 米. B 14.(3分)如图，点E为对角线长为8V2的正方形ABCD的对角线上一点，且BE=BC,点P为CE上 任意一点，PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于点R,则PQ+PR= D R 15.(3分)在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光 离，如闲，∠1=∠2，若an∠A0D=子0B=8,则BC= 墙 光斑 平面镜 桌子 0 16.(3分)如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE,连接AD,BE, an∠BAD=3 ，点F、G分别在AD、BE上，连接AG,CE,若∠AGB=2∠CFD,AG=5, CF=2V5,则线段AB的长为— 4/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A G B D 三、解答题（共72分） 17.(8分)计算：-3+m-2024°-2sin60+ 18.(8分)如图，四边形ABCD是某公园的一块空地，已知∠B=90°，∠ACB=30°，AB=3m, AD=10m,CD=8m,现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需100元，则在该空地上种植草皮 共需多少元？(3心1.7，结果保留整数) D 30° I9.(8分)某工厂的平面示意图如下，四边形ABCD为厂房区域，三角形广场ABE紧邻厂房，经测量， 点A在点E的正北方向，AE=100米，点B,C在点E的正东方向，BC=50米，点A在点B的北偏西60 方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向.（参考数据：V2≈1.414，V3≈1.732 北 D 西 →东 南 45 60° B (1)求CD的长度（结果精确到个位）： (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房ABCD四周安装除尘降噪设施.据调查，除尘降噪设施 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够. 20.(8分)如图，我市郊外一条笔直的公路1恰好经过盘龙大观园A、昭山B两个景点.为丰富乡村旅游 资源，推进美丽乡村建设，景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量，景点C分别位于景点A的北 偏东60°、景点B的北偏东30°方向上，盘龙大观园A、昭山B两个景点的距离为10km, 北 30 160° A B (1)求B、C两景点间的距离： (2)为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由公路向景点C修一条距离最短的公路，不考虑其他因素， 求出这条最短公路的长.（参考数据：2≈1.414,3≈1.732，结果精确到0.1m) 21.(10分)如图，某座山的主峰观景平台C距水平地面AE的高CE为630米，登山者需由山底A处先步 行300米到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达观景平台C处，己知点A,B,C,D,E在同一平面内， BD⊥CE于点D,山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BC与水平线BD的夹角为53°. <B453 -月D A97mgm E (I)求登山缆车上升的高度CD: (2)若小亮步行速度为15m/min,小亮从山底A处到达山顶C处大约需要30分钟，换乘登山缆车的时间忽 略不计，求登山缆车的速度为多少？（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°0.60，tan53°≈1.33） 22.(10分)图1是一款笔记本电脑文架，该文架可通过调节支撑杆DE位置来调整高度，它便于电脑散热， 减轻使用者的颈椎压力，图2是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图， 接触面 侧面 D 图1 图2 图3 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)已知AC,BD互相平分于点O,AC=BD=24cm,若∠AOB=60°，∠DCE=28°， ①求CD的长； ②求点D到底架CE的高DH;(结果精确到0.1cm;参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88， tan28°≈0.53) (2)为改善坐姿守护健康，小明购买了如图1所示的电脑支架.如图3，小明将电脑放置在电脑支架上，笔记 本电脑屏幕宽FG=FC,调节支撑杆DE位置后，点D恰好在FC的中点处，点E、F、G在同一直线上， 且电脑屏幕FG垂直于桌面，己知电脑屏幕张角为110°，支撑杆DE=13cm,求点G距离桌面的高度. (结果精确到0.1cm;参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34) 23.(10分)如图，四边形ABCD是公园小湖、四边形各边构成环湖步道，点B在点A的正东方向，点D 在点A的东北方向，点C在点B的正北方向，点D在点C的北偏西30°方向，点E是步道AD的中点.测得 AB=800米，CD=400米.（参考数据：2≈1.414，V3≈1.732） 北 西东 E 南 ()计算步道BC的长度（计算结果保留根号）： (2)小斌同学步行从E去往B处，他有两条路线可以选择：①E-A一B:②E-D-C-B.请计算说明他 选择线路①还是线路②路程更短.（计算结果保留到1米） 24.(10分)2025年6月17日，“魅力重庆”无人机灯光秀以11787架无人机，获得吉尼斯世界纪录 “最多无人机组成的空中图案”的称号.为保证表演的顺利进行，有关部门分别在弹子石的A点、朝天门 的B点、江北嘴的C点和北滨路的D点使用反制无人机压制干扰信号.经测量，C在A的北偏东60°方向， B在A的东南方向1200米处，C在B的北偏东15°方向，D在C的北偏西30°方向，且D在B的正北方向， AC与BD交于点E.(参考数据：V2≈1.41，V3≈1.73，V6≈2.45) 718 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 D 西→东 30 南 460 159 (1)求B,C两点的距离：（结果保留根号） (2)表演过程中，有甲、乙两架无人机在人群上空巡航，它们同时从B点出发，前往C点，甲无人机的巡航 路线：B→A→C,速度为30米分；乙无人机的巡航路线：B→D→C,速度为40米/分.请通过计 算说明甲乙两架无人机哪一架先到达C点.（结果保留整数） 8/8 第23章 解直角三角形 单元自测卷 【新教材，华东师大版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可． 【详解】解：原式 ． 2．（3分）如图，中，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了求角的余弦．根据余弦的定义进行解答即可． 【详解】解：在中，， ， 故选：A 3．（3分）中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，再根据特殊角三角函数值得出答案． 【详解】解：在中，，，， 则， ∴是直角三角形， 在中，， ∴． 4．（3分）如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求角的正弦值，由图可得，，得出的度数，再利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：由图可得，，， ∴， ∴． 故选：D． 5．（3分）2025年我国粮食产量首次突破万亿斤，秋粮收购点全面开放收粮，某收购点用输送带把粮袋从地面输送到高处，若输送带的坡度，输送带的长度米． ①用计算器求输送带部分与地面的夹角，要求结果以“度、分、秒”为单位，按键顺序为 ②一袋粮食从底部输送到顶部，升高了12米； ③坡角为； ④；以上说法正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，用计算器由三角函数值求锐角度数，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据科学计算器按键顺序和解直角三角形的应用等知识点逐项判断解答即可． 【详解】解：按键顺序正确，故正确； ， ， ， 在中，， 米，故正确； 坡角为，故错误； ， ， ，故正确； 故选：C． 6．（3分）如图，已知点，，将沿所在的直线翻折，点落在点的位置，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，，则，如图，作轴于，由折叠的性质可知，，，则，，，进而可求点的坐标． 【详解】解：由题意知，， ∴， 如图，作轴于， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：C． 7．（3分）如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学计算器的有关计算，掌握计算器是解题的关键．根据按键顺序，列出算式，求出，的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图可知：，， ； 故选：C． 8．（3分）如图，在平行四边形中，对角线交于点．若，，（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 根据条件得出平行四边形为矩形，得出，然后根据含角的直角三角形的性质和勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．（3分）如图，在中，，，点D在的延长线上，和的平分线交于点E，连接，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理的运用、角平分线的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 如图，延长到M，过点A作于点，先运用勾股定理求出的值，再证明，进而求出可得结论． 【详解】解：如图，延长到M，过点A作于点， ，， ， ， ， 过点E作于点F，于点G，于点H， 和的平分线交于点E， ∴， ∴， 平分， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 10．（3分）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则：， ∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：A． 二、填空题（共18分） 11．（3分）如图，在中，，D是的中点．若，，则的长为________． 【答案】6 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴， ∴． 12．（3分）如图，某坡度的山坡，已知坡面米，则该山坡的高度是________米． 【答案】 【分析】根据坡度，得到，由三角函数解答即可． 本题考查了坡比，特殊角的三角函数，熟练掌握坡比和三角函数是解题的关键． 【详解】解：坡度， 则， 故， 故（米）． 故答案为：150． 13．（3分）如图，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为50米，若这个滑雪道坡度，则滑雪道长为__________________ 米． 【答案】50 【分析】本题考查了直角三角形的应用-坡度坡比问题，根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：∵滑雪道的坡度为，即， ∵米， ∴米， 在中，由勾股定理得，（米）， 故答案为：． 14．（3分）如图，点E为对角线长为的正方形的对角线上一点，且，点P为上任意一点，于点Q，于点R，则________． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，由题意可得，从而得，在中，可得，可得，再利用，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 15．（3分）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一个明亮的光斑．如图，，若，，则_____． 【答案】6 【分析】根据余角的性质及已知条件推导出， 再根据锐角三角函数的定义在中计算的长即可． 【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 16．（3分）如图，为等边三角形，点、分别在、上，，连接，，，点、分别在、上，连接，，若，，，则线段的长为______．    【答案】 【分析】过点作，垂足为点，过点作，垂足为，过点作，过点作，延长与交于点，过点作与的延长线交于点，在上确定一点，使得，连接，根据等边三角形的性质和平行线的性质可推得，，根据等边三角形的判定和性质可得，结合题意可得，根据全等三角形的判定和性质可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可推得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形内角和定理可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，根据勾股定理可得，设，则，根据勾股定理列方程求解得到，求得，设，则，，根据锐角三角函数和勾股定理可求得，，，推得，根据等边三角形三线合一的性质可得，根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式列方程求解得到，即可求得． 【详解】解：过点作，垂足为点，过点作，垂足为，过点作，过点作，延长与交于点，过点作与的延长线交于点，在上确定一点，使得，连接，如图： ∵为等边三角形， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，等边对等角 在中，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，，， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵是等边三角形， ∴，即， 在中，， ∵，∴， 在中，， 即 解得：， ∴， 即， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17．（8分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的加减运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行加减计算即可解答． 【详解】解：原式， ， ． 18．（8分）如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？（，结果保留整数） 【答案】在该空地上种植草皮大约需要元 【分析】本题考查勾股定理的应用，关键是直角三角形性质和勾股定理逆定理． 利用直角三角形性质求出和，再利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，，∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴，∴， ∴， ∴种植草皮所需金额为：（元）． 答：在该空地上种植草皮大约需要元． 19．（8分）某工厂的平面示意图如下，四边形为厂房区域，三角形广场紧邻厂房，经测量，点A在点E的正北方向，米，点B，C在点E的正东方向，米，点A在点B的北偏西60°方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏西45°方向．（参考数据：，    (1)求的长度（结果精确到个位）； (2)为满足环保要求，工厂预算投入25万元在厂房四周安装除尘降噪设施．据调查，除尘降噪设施的平均造价为500元/米，请通过计算说明该笔预算是否足够． 【答案】(1)141米； (2)不够，见解析． 【分析】（１）如图，过点D作，垂足为点F，则，解，得（米）； （2）解，，，，从而，，计算（米），总造价，得出结论． 【详解】（1）如图，过点D作，垂足为点F，则 中， ∴（米）； （2）中，， ∴， 而 ∴ ∴ ∴（米） ∴总造价； ∴预算不满足需求． 20．（8分）如图，我市郊外一条笔直的公路l恰好经过盘龙大观园、昭山两个景点．为丰富乡村旅游资源，推进美丽乡村建设，景区管委会又开发了风景优美的景点．经测量，景点分别位于景点的北偏东、景点的北偏东方向上，盘龙大观园、昭山两个景点的距离为． (1)求、两景点间的距离； (2)为了方便游客到景点游玩，景区管委会准备由公路向景点修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（参考数据：，结果精确到） 【答案】(1)景点、相距的路程为 (2)这条最短公路的长约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键； （1）根据题意求得，由三角形内角和可得，从而推出，即可得到； （2）过点作于点，由题意得，在中利用即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ，即景点、相距的路程为； （2）解：如图所示，过点作于点， ，位于的北偏东的方向上， ， 在中， ， ∴这条最短公路的长约为． 21．（10分）如图，某座山的主峰观景平台距水平地面的高为米，登山者需由山底处先步行米到达处，再由处乘坐登山缆车到达观景平台处，已知点 在同一平面内，于点，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平线的夹角为． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若小亮步行速度为，小亮从山底处到达山顶处大约需要分钟，换乘登山缆车的时间忽略不计，求登山缆车的速度为多少？（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，特殊角度的直角三角形的性质，以及矩形的判定和性质． 熟悉以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）过点作交于点，根据得到的长度，通过证明四边形是矩形得到，进而得到的长度． （2）根据的长度和，得到的长度，根据步行的路程和速度得到步行用的时间，用总时间减去步行用的时间得到缆车运行的时间，进而得到缆车的速度． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：∵小亮步行速度为， ∴小亮由处到达处所用的时间为：， ∴小亮由处到达处所用的时间为：， ∵，， ∴， ∴缆车的速度约为：． 22．（10分）图是一款笔记本电脑文架，该文架可通过调节支撑杆位置来调整高度，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力．图是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图． (1)已知，互相平分于点，，若，， ①求的长； ②求点到底架的高；（结果精确到；参考数据：，，） (2)为改善坐姿守护健康，小明购买了如图所示的电脑支架．如图，小明将电脑放置在电脑支架上，笔记本电脑屏幕宽，调节支撑杆位置后，点恰好在的中点处，点在同一直线上，且电脑屏幕垂直于桌面，已知电脑屏幕张角为，支撑杆，求点距离桌面的高度．（结果精确到；参考数据：，） 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（）证明为等边三角形即可求解； （）解即可求解； （）利用直角三角形的性质可得，再解求出即可求解； 本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图， ∵互相平分于点，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 答：的长为； ②如图， 在中，，， ∴， 答：点到底架的高的长约为； （2）解：如图，由题意得，，， ∴，， 在中，∵点是的中点，， ∴， ∴，， ∴， 答：点距离桌面的高度为． 23．（10分）如图，四边形是公园小湖、四边形各边构成环湖步道，点在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的正北方向，点在点的北偏西方向，点是步道的中点．测得米，米．（参考数据：，） (1)计算步道的长度（计算结果保留根号）； (2)小斌同学步行从去往处，他有两条路线可以选择：①；②．请计算说明他选择线路①还是线路②路程更短．（计算结果保留到米） 【答案】(1)米 (2)线路①路程更短 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作交于点，过点作交于点，根据特殊直角三角形的边长关系以及四边形为矩形，先求出、的长度，在计算出、的长度，可得出的长度，即可得出的长度； （2）分别求出路线①、路线②的路程，进行比较即可得出结果． 【详解】（1）解：过点作交于点，过点作交于点，如下图所示： ∵点在点的北偏西方向， ∴， 又∵， 得， ∴米， 由勾股定理得， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米， ∴米， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴米， ∴米． （2）解：由（1）可得米， ∵点是的中点， ∴米， ∴线路①的路程为米， 线路②的路程为 米， ∵， 故线路②路程更短． 24．（10分）2025年6月17日，“魅力重庆”无人机灯光秀以11787架无人机，获得吉尼斯世界纪录“最多无人机组成的空中图案”的称号．为保证表演的顺利进行，有关部门分别在弹子石的点、朝天门的点、江北嘴的点和北滨路的点使用反制无人机压制干扰信号．经测量，在的北偏东方向，在的东南方向1200米处，在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的正北方向，与交于点．（参考数据：，，） (1)求，两点的距离；（结果保留根号） (2)表演过程中，有甲、乙两架无人机在人群上空巡航，它们同时从点出发，前往点．甲无人机的巡航路线：，速度为30米／分；乙无人机的巡航路线：，速度为40米／分．请通过计算说明甲乙两架无人机哪一架先到达点．（结果保留整数） 【答案】(1)米 (2)乙无人机先到达点 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． （1）过点作于点，则，由题意得，，米，再分别解和，求出的长，即可解答； （2）分别计算甲、乙无人机巡航所需时间，再比较大小即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 则， 由题意得，，，米， 在中，（米），（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 答：，两点的距离为米； （2）解：由（1）得，米， ∴（米）， ∴甲无人机巡航所需时间为（分）； 如图，过点作交延长线于点， 则， 由题意得，，， ∴， 在中，（米），（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴乙无人机巡航所需时间为（分）； ∵， ∴乙无人机先到达点． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $