23.4 数据的方差（教学课件）数学新教材冀教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“数据的方差”，系统讲解方差的概念、计算方法及应用。通过复习平均数、中位数、众数的集中趋势特点，以甲、乙射击选手成绩案例为支架，引出数据波动程度的研究需求，衔接自然。 其亮点在于以生活实例（射击成绩、公交路线时间）引导学生用数学眼光观察数据离散程度，通过偏差分析推导方差公式培养数学思维，结合实际问题应用强化数学语言表达。归纳“先平均，后求差，平方后，再平均”步骤，帮助学生掌握方法，教师可高效教学，学生提升数据观念与应用能力。

【新教材】冀教版·九年级上册 第二十三章 数据分析与统计估计 23.4 数据的方差 数据的方差 章节导读 23.1平均数与加权平均数 23.2中位数与众数 方差 中位数 组间离差平方和 算术平均数 众数 23.3四分位数与箱线图 加权平均数 组内离差平方和 23.4数据的方差 23.5数据的分类 23.6用样本推断总体 四分位数 箱线图 用样本推断总体 学 习 目 标 1 2 3 理解离差平方和、方差的概念及统计学意义； 会计算一组数据的离差平方和、方差；能利用计算器计算平均数和方差； 能够运用方差判断数据的波动程度，并解决简单的实际问题。 复习回顾 平均数、中位数与众数的特点： 平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们从不同的侧面反映了数据 的集中趋势，但也存在各自的局限性。 平均数：①与每个数据有关；②易受极端值影响。 中位数：①与排列位置有关；②不受数据极端值影响。 众 数：①与出现次数有关；②不受极端值影响。 如果我们想知道数据的波动情况，该怎么办呢？ 离散程度 新知探究 甲、乙两名业余射击选手参加了一次射击比赛，甲射击8次，乙射击10次，成绩如图所示. 认识方差 观察与思考 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 射击序号 乙射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 射击序号 甲射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● 根据你掌握的知识，如果要选择一位选手参加比赛，你认为选谁更好？ 新知探究 （1）我们可以先看看甲、乙两人射击成绩的平均数、中位数各是多少？ 认识方差 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 射击序号 乙射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 射击序号 甲射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● 解：甲：，中位数为7。 乙：，中位数为7。 你发现了什么？ 新知探究 （2）在评判甲、乙两人的射击水平时，有以下两种观点。你认为哪个更合理些？ 认识方差 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 射击序号 乙射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 射击序号 甲射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● ①观点一：因为甲、乙两人射击成绩的平均数和中位数都是7环，所以他们的射击水平几乎没有区别. 新知探究 认识方差 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 射击序号 乙射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 射击序号 甲射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● ②观点二：从射击成绩偏离平均数7环的程度比较，甲的射击成绩比乙的波动大，反映出乙的射击成绩比甲的稳定些. （2）在评判甲、乙两人的射击水平时，有以下两种观点。你认为哪个更合理些？ 平均数 在不同场景分析数据的特征时，仅考虑数据的集中趋势来描述这组数据往往是不够的，有时还需要考虑这组数据的离散程度.如果一组数据与其平均数的离散程度较小，我们就说它比较稳定. 通过观察，直观感觉甲射击成绩的波动比乙大，如何构造一个量，来描述一组数据的波动大小呢？ 新知探究 认识方差 一起探究 (3)请分别计算甲、乙每次的射击成绩与他们平均成绩的偏差，并将结果填入下表：(单位：环) 射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲成绩的偏差 （每次成绩－平均成绩） 乙成绩的偏差 （每次成绩－平均成绩） -3 1 -1 0 2 0 3 -2 -2 0 -1 1 0 1 -1 0 2 0 新知探究 认识方差 (4)通过计算，所有数据与其平均数的偏差之和为0。以下两种方法有什么不足呢？ ①观点一：把甲、乙射击成绩的偏差的绝对值分别相加，再进行比较. ②观点二：把甲、乙射击成绩的偏差的平方分别相加，再进行比较. 射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 求和 甲成绩的偏差 （每次成绩－平均成绩） 乙成绩的偏差 （每次成绩－平均成绩） -3 1 -1 0 2 0 3 -2 -2 0 -1 1 0 1 -1 0 2 0 0 0 不足：数据个数不同 新知探究 认识方差 为了避免求和时正负抵消的问题，统计中通常先进行平方，然后求和. 射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 求和 甲成绩的偏差 （每次成绩－平均成绩）2 乙成绩的偏差 （每次成绩－平均成绩）2 9 1 1 0 4 0 9 4 4 0 1 1 0 1 1 0 4 0 28 12 为了描述一组数据相对于其平均数的离散程度，通常先求各个数据与平均数偏差的平方和，为了消除不同数据个数对结果的影响，再除以数据的个数，就得到一个偏差平方的平均数. 注：由于数据个数不同，还需要平均化！ 归纳总结 认识方差 设个数据 的平均数为，各个数据与平均数偏差的平方分别是。偏差平方的平均数叫作这组数据的方差，用表示，即 称为这组数据的离差平方和 ①方差能较好地反映出数据的离散程度，方差越大，说明数据的波动越大（即离散程度越大），越不稳定； ②在利用方差比较两组数据的离散程度时，不受数据个数的限制。 特点 典例分析 方差的应用 例 张老师乘公交车上班，从家到学校有A，B两条路线可选择.第一周（5个工作日）选择A路线，第二周（5个工作日）选择B路线，每天两趟，记录所用时间如下表： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A路线所用时间/min 35 52 35 36 54 38 41 34 55 40 B路线所用时间/min 45 49 44 45 47 46 50 48 50 46 典例分析 方差的应用 根据上表数据绘制的折线统计图如图所示. （1）从图形看，哪条线路平均用时少，哪条路线用时的波动大？ (1)从图形看，A路线平均用时少，且用时的波动较大. 典例分析 方差的应用 （2）用计算器分别计算选择A，B两条路线所用时间的平均数和方差. （3）如果某天上班可用时间只有40 min，应选择走哪条路线？ (3)当上班可用时间只有40 min时，应选择走A路线，因为在10次记录中，B路线不超过40 min，而A路线有6次用时不超过40 min. （4）如果某天上班可用时间为50 min，又应选择走哪条路线？ (4)当上班可用时间为50 min时，应选择走B路线. 归纳总结 方差方差的应用 求方差的一般步骤： 方差的选用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况． 先平均，后求差，平方后，再平均。 平方的目的：可以起到放大差距的效果； 再平均的目的：消除数据个数的影响。 拓展学习 方差的性质 1.如果一组数据的平均数是，方差是， 那么，的平均数是, 方差是； 2.如果一组数据的平均数是，方差是， 那么，的平均数是 , 方差是. 随堂练习 1.现有两组数据如下： A：300 400 500 600 700 800 900 B：570 580 590 600 610 620 630 这两组数据的平均数都是600，那么，平均数对哪一组数据的代表性比较好呢？请用平均数和方差的相关知识进行分析。 基础过关(P28) 解：计算A组方差： ，计算B组方差： 因为, 说明A组数据波动更大，B组数据更集中在平均数附近； 所以平均数对B组数据的代表性更好。 随堂练习 2.有三组数据，每组5个数据的大小如图所示： （1）根据图示，直观地比较三组数据的波动大小。 （2）分别计算三组数据的平均数和方差。 （3）结合这三组数据，说明方差的大小与数据的波动大小的关系。 基础过关(P28) 解：（1）的波动最小，（2）的波动最大。 解：平均数均为4， ， ， 解：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 随堂练习 能力提升 3.已知一组数据3，6， x ，5，5，7的平均数是5，则这组数据的方差是(　B　) A. 1 B. C. 2 D. 解析： 解得, 利用方差公式，解得方差为 B 随堂练习 能力提升 4.（数据观念）在阳光中学运动会跳高比赛中，每位选手要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下： 信息一：甲、丙两位选手的得分折线图; 21 随堂练习 能力提升 信息二：选手乙五轮比赛成绩中有三个得分分别是，， ； 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据 如下： 统计量 甲 乙 丙 平均数 9.1 8.9 中位数 9.2 9.0 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出表中、的值：____， ____. [解析] 甲的平均数 ； 把丙的得分从小到大排列为，，，， ， 中位数 . 随堂练习 能力提升 （2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手____（填“甲”或“丙”）发挥的稳定性更好. 甲 [解析] 由题意可知，甲五轮比赛成绩的波动较小，丙的波动较大， 选手甲发挥的稳定性更好. （3）该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位 选手？请说明理由. 解：应该推荐甲.理由如下： 选手甲和选手乙的平均数均为9.1分，高于选手丙的平均数， 从选手甲和选手乙中推荐一位选手参加市级比赛； 又 选手甲比选手乙的中位数高，且选手甲的最低分高于选手乙的最低分， 应该推荐选手甲参加市级比赛. 课堂小结 方差 意义（判断数据的波动程度）： 方差越大（小），数据的波动越大（小） 公式： 感谢聆听! 【新教材】冀教版·九年级上册 $