21.5 第1课时 反比例函数的概念 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数概念，通过舞台灯光电流控制问题导入，结合汽车行驶时间与速度、矩形面积与长宽等实例引出反比例关系，知识回顾环节复习函数及一次、二次函数定义，搭建新旧知识衔接支架。 其亮点是以生活与跨学科实例驱动，通过观察变量关系、归纳共同点形成概念，体现数学眼光与思维。例题及随堂演练融入压强计算、电磁波波长等实际情境，用数学语言表达函数关系，培养模型意识。课堂小结结构化梳理定义与解析式求解步骤，助力学生系统掌握知识，教师教学更高效。

第21章 二次函数与反比例函数 21.5 第1课时 反比例函数的概念 课堂小结 例题讲解 随堂演练 知识回顾 获取新知 新课导入 知识回顾 1.什么是函数? 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，且a≠0) 二次函数的一般形式： 一次函数的一般形式： 正比例函数的一般形式： y=kx+b (k,b为常数，且k≠0) y=kx (k为常数，且k≠0) 2.一次函数、正比例函数、二次函数的一般形式 如图，舞台灯光可以瞬间将黑夜变成如白昼般明亮，这样的效果是如何实现的？ 是通过改变电阻来控制电流的变化实现的. 因为当电流 I 较小时，灯光较暗；反之，当电流 I 较大时，灯光较亮. 新课导入 问题：电流 I，电阻 R，电压 U之间满足关系式 U = IR，当U = 220V时，你能用含有 R 的代数式表示 I 吗？那么 I 是 R 的函数吗？I 是R 的什么函数呢？ 本节课我们开始学习反比例函数. 获取新知 汽车从合肥到黄山行驶约300km, 汽车行驶全程所需的时间和平均速度之间有怎样的数量关系?又有怎样的变化关系? 反比例函数的概念 一起探究 问题1 设汽车行驶全程所需时间为th, 平均速度为v km/h,数量关系为 所需时间t 与平均速度v的乘积不变.由此可以看出它们的变化关系：如果 v增 大t 就减少，t增 大v 就要减少. Administrator (A) - 通过具体问题中的数量关系和变化规律抽象出关系式，让两个变量在形式上得以体现．并在此基础上抽象出数学概念，同时借助具体情境让学生领会到反比例函数作为一种数学模型在实际问题中的应用. 问题2 若要制作一个面积为100 cm² 的矩形，那么矩形的长与宽之间有 怎样的数量关系?又有怎样的变化关系? 设矩形的长为xcm, 宽为ycm, 数量关系为 长x 与 宽y 的乘积不变.由此可以看出它们的变化关系：如果x 增 大y 就减 少 ，y.增 大x 就要减少： 在一个电路中,当电压U一定时,通过电路的电流Ⅰ的大小与该电路的电阻R的大小之间有怎样的函数关系? 问题3 由电学可知,变量I与R之间的函数关系可以表示为 像这样，如果两个量的乘积一定，这两个量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系． 以上我们已经得到了三个函数关系式，试着发现它们之间的共同点，并进行归纳. 都具有 的形式，其中 是常数， 共同点： 分式 分子 具有y=_____的形式. x k 变量一一对应 一般地，表达式形如 （k为常数，且k≠0）的函数叫做反比例函数.其中k叫做比例系数. 反比例函数的呈现形式： 概念学习 思考：反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 例如，在前面得到的一个表达式 中， 的取值范围是 ＞0，且当 取每一个确定的值时， 都有唯一确定的值与其对应. 下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？ 可以改写成 ，所以y是x的反比例函数，比例系数k=1 不具备 的形式，所以y不是x的反比例函数 y是x的反比例函数，比例系数k=4 不具备 的形式，所以y不是x的反比例函数 可以改写成 ，所以y是x的反比例函数，比例系数k= 针对训练 例题讲解 例1 在压力不变的情况下,某物体承受的压强p （单位：Pa）是它的受力面积S （单位：m2）的反比例函数,如图： (1)求p与S之间的函数表达式; (2)当S = 0.5时,求物体承受的压强p的值. 解：(1)根据题意,设 函数图象经过点(0.1,1 000),代入上式,得 1000= 解方程,得=100. 答:p与S之间的函数表达式为p=(p >0, > 0). p= (2)当=0.5时, . 答:当=0.5时,物体承受的压强p的值为200Pa. p==200（Pa） 求反比例函数的解析式，就是确定反比例函数解析式 中常数k的值，它一般需经历： “设→代→求→还原”这四步． 即：(1)设：设出反比例函数解析式 ； (2)代：将所给的一对变量的数值代入函数解析式； (3)求：求出k的值； (4)还原：写出反比例函数的解析式． 归纳总结 1. 下列函数中，是 的反比例函数的有( ) A ①；②；③;④ ； ⑤；⑥；⑦；⑧ . A. ②④ B. ②③⑤⑧ C. ②⑦⑧ D. ①③④⑥ 随堂演练 16 2. 下列关于正比例函数和反比例函数 的说 法，正确的是( ) B A. 自变量 的指数相同 B. 比例系数相同 C. 自变量的取值范围相同 D. 函数 的取值范围相同 3. 已知点在反比例函数的图象上，则 的值为( ) C A. B. 3 C. D. 6 17 4.下列关系式中的两个量成反比例的是( ) A.圆的面积与它的半径 B.正方形的周长与它的边长 C.路程一定时，速度与时间 D.长方形一条边确定时，周长与另一边 C 5.一定质量的干松木，当它的体积V＝2 m3时，它的密度ρ＝0.5×103 kg/m3，则ρ与V之间的函数表达式是( ) A.ρ＝1 000 V B.ρ＝V＋1 000 C.ρ＝ D.ρ＝ D 6.反比例函数y＝的比例系数是 . 7.若函数y＝是关于x的反比例函数，则a满足的条件是 . 8.反比例函数y＝ 中，自变量x的取值范围是 . － a≠－3 x≠5 9. 在平面直角坐标系中，若函数 的图象经 过点和点，则 的值为___. 3 10. 如图，机器狗是一种 模拟真实犬只形态和部分行为的机器装 置，其最快移动速度 是载重后总 质量 的反比例函数.已知一款机器 狗载重后总质量，它的最快移动速度 ,则 机器狗的移动速度与总质量 的关系式为_ _______. 21 11. 若矩形的面积是10，相邻两边的长分别为，，则与 之间的函数表达式为______________. 12. 杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.已知 阻力和阻力臂分别为和，动力为 ，动力臂 为.则动力关于动力臂 的函数表达式为_ _______. 22 13.已知，反比例函数y＝的图象过点A(－3，－2). (1)求反比例函数的表达式； (2)若点B(1，m)在该图象上，求m的值. 解：(1)由题意，得－2＝，解得k＝6. ∴反比例函数的表达式为y＝. (2)将(1，m)代入表达式，得m＝＝6. ∴m的值为6. 14.已知y与x－2成反比例关系，且当x＝－2时，y＝3， (1)y与x之间的函数表达式为 ； (2)当y＝－6时，求x的值. 解：(2)把y＝－6代入y＝－中，可得 －6＝－，解得x＝4. y＝－ 15.已知函数y＝(5m－3)＋(n＋m)， (1)当m，n为何值时是一次函数？ 解：(1)当函数y＝(5m－3)＋(n＋m)是一次函数时，2－n＝1， 且5m－3≠0， 解得n＝1且m≠. (2)当m，n为何值时，为反比例函数？ 解：当函数y＝(5m－3)＋(n＋m)是反比例函数时， 得 解得n＝3，m＝－3. 16. 笑笑同学通过学习数学和物理知识，了解到 电磁波的波长 （单位：）会随着电磁波的频率 （单位：）的变化而变化，已知波长 与频率 是反比 例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 10 15 50 波长 30 20 6 27 （1）求波长 关于频率 的函数表达式； 【解】设波长 关于频率的函数表达式为 . 把,代入上式，得,解得 , 波长 关于频率的函数表达式为 . （2）当时，求此电磁波的波长 . 当时， . 答：当时，此电磁波的波长 为 . 28 17.如图，阻力为1 000 N，阻力臂长为5 cm.设动力为y(单位：N)，动力臂长为x(单位：cm)(图中杠杆本身所受重力略去不计.杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂). (1)求y关于x的函数表达式，这个函数是反比例函数吗？如果是，说出比例系数； 解：(1)根据题意，得y×x＝1 000×5， ∴所求函数的表达式为y＝， 这个函数是反比例函数，比例系数是5 000. (2)当x＝50时，求函数y的值，并说明这个值的实际意义； 解：当x＝50时， y＝＝＝100(N)， 这个函数值的实际意义是，当动力臂长为50 cm时，所需动力为100 N. (3)利用y关于x的函数表达式，说明当动力臂长扩大到原来的n(n>1)倍时，所需动力将怎样变化？ 解：设原来的动力臂长为d(cm)，动力为y1(N)；扩大后的动力臂长为nd(cm)(n>1)，动力为y2(N)，将x＝d，x＝nd分别带入y＝， 得y1＝，y2＝， ∴y2＝y1. 所以当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力缩小到原来的. 反比例函数 建立反比例函数模型 反比例函数定义 求反比例函数解析式 一般地，形如 (k为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数 x k y= ①设：设反比例函数解析式 ②代：代入已知数据 ③解：解得未知系数 ④写：写出反比例函数解析式 课堂小结 $