6.3 一元一次不等式的解法 教案 2026-2027学年青岛版八年级数学上册

该教案聚焦一元一次不等式的解法，通过回顾不等式基本性质和一元一次方程解法，类比引出新课，构建新旧知识支架，明确解法步骤与方程的联系及区别。 特色在于类比教学法对比方程与不等式解法，“找错误”活动培养逻辑推理和批判性思维，情境探究（如竞赛得分、采购决策）落实数学建模，讲练结合提升数学运算能力。帮助学生掌握解题关键，教师易操作，提升教学效率。

课题 6.3 一元一次不等式的解法 课型 新授课 课时 1课时 教材版本 青岛版数学八年级上册 教学方法 讲练结合法、类比教学法、情境探究法 教学用具 多媒体课件、投影 一、核心素养目标 • 【数学抽象】通过解一元一次不等式的过程，抽象出解一元一次不等式的一般步骤，发展数学抽象能力 • 【逻辑推理】类比一元一次方程的解法，推导一元一次不等式的解法，体会类比思想；通过找错误活动，培养批判性思维 • 【数学建模】能运用一元一次不等式解决实际生活中的竞赛得分、采购决策等问题，建立不等式模型 • 【数学运算】能正确运用不等式的基本性质解一元一次不等式，特别注意去分母和系数化为1时不等号方向的处理 二、教学重难点 教学重点：解一元一次不等式的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）及其应用 教学难点：解一元一次不等式时去分母和系数化为1中不等号方向的处理；从实际问题中抽象出一元一次不等式 三、教学过程 【导入：回顾旧知，引出新课】（2分钟） 【教师活动】同学们，前面我们学习了不等式的基本性质，现在请回忆一下：不等式的基本性质有哪些？ 【学生活动】回答：性质1——不等式的两边加（或减）同一个数或整式，不等号方向不变；性质2——不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；性质3——不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 【教师活动】很好！上节课我们还学习了一元一次方程的定义和解法。今天，我们将类比一元一次方程的解法，来学习一元一次不等式的解法。本课的学习目标是：掌握解一元一次不等式的一般步骤，会解简单的一元一次不等式；会运用一元一次不等式解决简单的实际问题。 【教师活动】首先我们进入6.3.1——一元一次不等式的解法。任务一：掌握一元一次不等式的求解步骤。 【过渡语】下面通过两道例题，来探究解一元一次不等式的方法。 【例题1：解不含分母的一元一次不等式】（4分钟） 【教师活动】请同学们看例题(1)：解不等式 3-x ＜ 2x+6，并把它的解集表示在数轴上。 【学生活动】认真审题，思考：这个不等式含有哪些项？应该从哪一步开始？ 【教师活动】【思路分析】解不等式的目标是把不等式化为x＞a或x＜a的形式。观察不等式3-x＜2x+6，右边有含x的项2x，左边有含x的项-x。我们可以先把含x的项移到同一边。 【教师活动】解：(1)两边都加-2x，得 3-x-2x ＜ 2x+6-2x。合并同类项，得 3-3x ＜ 6。两边都加-3，得 3-3x-3 ＜ 6-3。合并同类项，得 -3x ＜ 3。两边都除以-3，得 x ＞ -1。这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。 【学生活动】跟随教师的步骤，在练习本上同步书写解题过程，特别注意最后一步除以-3（负数）时不等号方向改变。 【教师活动】请同学们注意：最后一步两边都除以-3，因为-3是负数，根据不等式基本性质3，不等号方向改变，'＜'变为'＞'。这是最容易出错的地方！ 【知识点】解一元一次不等式的思路：移项使含x的项集中在一侧，常数项集中在另一侧，最后系数化为1。注意：系数化为1时，若系数为负数，不等号方向改变。 易错提示：系数化为1时，如果除以的是负数，不等号方向必须改变。例如-3x＜3，两边除以-3得x＞-1，而不是x＜-1。 【过渡语】这道题没有分母，步骤相对简单。下面我们看一道含有分母的不等式，看看还需要增加什么步骤。 【例题2：解含分母的一元一次不等式】（4分钟） 【教师活动】请同学们看例题(2)：解不等式 x - (3x-8)/2 + 1 ≥ 2(10-x)/7，并把它的解集表示在数轴上。 【学生活动】观察不等式，发现含有分母2和7，需要先去分母。 【教师活动】【思路分析】这道题含有分母，第一步需要去分母。分母2和7的最小公倍数是14，两边同时乘以14。去分母后，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行。 【教师活动】解：(2)去分母，得 14x－7(3x－8)+14 ≥ 4(10－x)。去括号，得 14x－21x+56+14 ≥ 40－4x。移项，得 14x－21x+4x ≥ 40－56－14。合并同类项，得 －3x ≥ －30。系数化为1，得 x ≤ 10。这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示。 【学生活动】跟随教师的步骤，在练习本上同步书写解题过程。注意：去分母时每一项都要乘以14；去括号时注意符号；系数化为1时除以-3（负数），不等号方向改变，'≥'变为'≤'。 【教师活动】请同学们注意：去分母时，每一项都要乘以最简公分母，包括常数项1也要乘以14。系数化为1时，除以-3，不等号方向改变，'≥'变为'≤'。 【知识点】解含分母的一元一次不等式：先确定各分母的最简公分母，两边同时乘以最简公分母去分母，注意每一项都要乘。后续步骤与不含分母的不等式相同。 易错提示：去分母时常见的两个错误：①常数项忘记乘以最简公分母；②分子是多项式时，去分母后忘记加括号。例如-7(3x-8)中的括号不能省略。 【过渡语】通过两道例题，我们来归纳解一元一次不等式的一般步骤。 【归纳：解一元一次不等式的步骤】（3分钟） 【教师活动】通过刚才两道例题的求解过程，请同学们归纳：解一元一次不等式的一般步骤是什么？ 【学生活动】观察两道例题的解题过程，归纳回答：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 【教师活动】总结：解一元一次不等式的步骤如下：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。这与解一元一次方程的步骤完全相同！ 【教师活动】但是，解不等式与解方程有一个关键区别：在去分母和系数化为1时，如果乘（或除以）的是负数，不等号的方向要改变。这是不等式独有的性质。 【知识点】解一元一次不等式的五个步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。在去分母、系数化为1时，若两边同时乘（或除以）一个负数，则不等号的方向要改变。 理解要点：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤完全相同，唯一区别在于：不等式两边乘除负数时，不等号方向改变。这是不等式基本性质3的体现。 【过渡语】下面我们通过一个表格，系统对比一元一次方程与一元一次不等式的解法。 【对比：一元一次方程与一元一次不等式】（3分钟） 【教师活动】思考：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤和依据有什么类似之处？请同学们完成下面的对比表格。 【学生活动】观察表格，逐项对比：解法步骤——两者都是①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化为1（不等式在去分母、系数化为1时，若乘除负数，不等号方向改变）；依据——方程依据等式的基本性质，不等式依据不等式的基本性质；解的个数——方程只有一个解，不等式有无数多个解；解的形式——方程是x=a，不等式是x<a(x≤a)或x>a(x≥a)。 【教师活动】总结：解一元一次不等式和解一元一次方程步骤相同，但依据不同，结果也不同。方程的解是唯一的，不等式的解集有无数个。 【知识点】一元一次方程与一元一次不等式的对比：①解法步骤相同（5步）；②依据不同（等式性质 vs 不等式性质）；③解的个数不同（1个 vs 无数个）；④解的形式不同（x=a vs x<a或x>a）。 理解要点：不等式与方程的最大区别在于：①乘除负数时不等号方向改变；②不等式的解是解集，有无数个解；③解集可以用不等式或数轴表示。 【过渡语】下面我们通过一个找错误的活动，来检验大家对解不等式步骤的掌握情况。 【活动2：找错误——解不等式常见错误】（4分钟） 【教师活动】活动2：看看你能找到几处茬。小敏同学是这样解不等式的，她解得对吗？请同学们仔细检查小敏的解题过程。 【教师活动】小敏的解法——解不等式：(x+1)/3 ≥ (3x-1)/2 - 1/3。解：去分母，得 2(x+1) ≥ 3(3x-1)-2。去括号，得 2x+2 ≥ 9x-1-2。移项，得 2x-9x ≥ -3-1+2。合并同类项，得 -7x ≥ -2。系数化1，得 x ≥ 。请同学们找出小敏解法中的错误。 【学生活动】仔细检查，找出错误：①去分母时，常数项-1/3乘以6应该是-2，但小敏写的是-2，这一步正确；②去括号时，3(3x-1)应该是9x-3，但小敏写的是9x-1，去括号错误！③移项时，-1-2+2 = -1，但小敏写的是-3-1+2 = -2，移项后常数项合并错误！④系数化1时，-7x≥-2，除以-7（负数），不等号应改变方向，得x ≤ 2/7。 【教师活动】同学们找得很好！小敏的解法中有多处错误：去括号错误（3(3x-1)≠9x-1）、移项后常数项合并错误、系数化1时忘记改变不等号方向。这些都是解不等式时的常见错误。 【知识点】解不等式常见错误：①去分母时漏乘常数项；②去括号时漏乘或符号错误；③移项时忘记变号；④合并同类项计算错误；⑤系数化为1时，乘除负数忘记改变不等号方向。 易错提示：解不等式五大常见错误：①去分母漏乘；②去括号符号错；③移项不变号；④合并同类项算错；⑤系数化1时忘记变号。其中第⑤条是最容易出错的！ 【过渡语】下面我们通过练习来巩固解一元一次不等式的方法。 【练习巩固(一)：解不等式】（4分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习，检验解一元一次不等式的掌握情况。 【教师活动】练习3：解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：（1）4x-3 ＜ 2x+7；（2）(x-3)/2 ≥ (3x+5)/4。 【学生活动】独立完成练习，在练习本上写出完整的解题过程。 【教师活动】练习4：求不等式 3(x+1) ≥ 6x－12 的非负整数解。 【学生活动】解：3(x+1) ≥ 6x-12，去括号得 3x+3 ≥ 6x-12，移项得 3x-6x ≥ -12-3，合并同类项得 -3x ≥ -15，系数化为1得 x ≤ 5。在数轴上表示为x≤5的区域。∴ 不等式3(x+1)≥6x-12的非负整数解为0、1、2、3、4、5。 【教师活动】请同学们注意：第4题要求的是'非负整数解'，先求出不等式的解集x≤5，再从中找出非负整数：0、1、2、3、4、5。注意0也是非负整数！ 【知识点】求特殊解（如非负整数解、正整数解）的步骤：①先解不等式求出解集；②在解集范围内找出满足条件的特殊解。 判断技巧：求不等式的特殊解时，先求出解集，再在数轴上标出解集范围，最后找出符合条件的整数解。注意边界值是否包含（看不等号是否有等号）。 【过渡语】下面我们对6.3.1的内容进行小结，然后进入6.3.2——一元一次不等式的应用。 【6.3.1 小结】（2分钟） 【教师活动】针对本课关键词'一元一次不等式的解法'，回答下列问题：1.解一元一次不等式的步骤是什么？2.解一元一次不等式时要注意哪些地方？ 【学生活动】归纳回答：①步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。②注意事项：去分母时每一项都要乘最简公分母；去括号时注意符号；移项要变号；系数化为1时乘除负数要改变不等号方向；解集要在数轴上正确表示。 【教师活动】总结：解一元一次不等式与解一元一次方程步骤相同，但乘除负数时不等号方向改变是核心区别。下面我们进入6.3.2，学习如何运用一元一次不等式解决实际问题。 【过渡语】6.3.2 一元一次不等式的应用。学习目标：会运用一元一次不等式解决简单的实际问题。 【情境1：古诗词知识竞赛——列不等式】（4分钟） 【教师活动】任务：运用一元一次不等式解决实际问题。活动1：根据所给问题，解决下列情境。 【教师活动】情境1：七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分。如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级？ 【教师活动】问题1：完成表格。设答对x道题，请填写下表。 【学生活动】填写表格：答对——题目数量x道，每题得分10分，总分10x分；答错或不答——题目数量(20-x)道，每题得分-5分，总分-5(20-x)分；共计——题目数量20道，总分10x-5(20-x)分。 【教师活动】问题2：情境中蕴含的不等关系是什么？ 【学生活动】回答：'初赛成绩超过90分晋级决赛'是情境中蕴含的不等关系，即初赛成绩＞90。 【教师活动】那么根据题意列得一元一次不等式为：10x－5(20－x)＞90。 【知识点】列不等式解应用题的关键：①找出题目中表示不等关系的关键词（如'超过''至少''不超过'等）；②设未知数；③用未知数表示各量；④根据不等关系列出不等式。 理解要点：列不等式时，注意关键词与不等号的对应：'超过'对应＞，'至少'对应≥，'不超过'对应≤，'不足'对应＜。 【过渡语】下面我们看情境2，一个更复杂的采购问题。 【情境2：智能家电采购——列不等式】（4分钟） 【教师活动】情境2：某商场为响应国家'绿色智能家电下乡'的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友。商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共80件，其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过13 200元，已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为120元，160元和200元。那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 【教师活动】问题：涉及到哪些等量与不等量关系？ 【学生活动】分析等量关系：甲种智能家电的件数+乙种智能家电的件数+丙种智能家电的件数=80；甲种智能家电的件数=2×乙种智能家电的件数。 【学生活动】分析不等关系：120×甲种智能家电的件数+160×乙种智能家电的件数+200×丙种智能家电的件数≤13 200。 【教师活动】设购进乙种智能家电x件。由题意可知，购进甲种智能家电2x件，购进丙种智能家电(80-3x)件。根据题意列不等式，得 120×2x+160x+200(80-3x)≤13 200。解这个不等式，得 x≥14。答：该商场购进的乙种智能家电至少为14件。 【知识点】复杂应用题的解题策略：①先分析所有等量关系和不等关系；②用含未知数的代数式表示各量；③根据不等关系列出不等式；④解不等式并检验解的合理性。 重点强调：情境2中'至少为多少件'说明求的是最小值，不等式解出x≥14，所以至少14件。注意：实际问题中件数必须是正整数，14满足条件。 【过渡语】通过两个情境，我们来归纳应用一元一次不等式解决实际问题的步骤。 【归纳：应用一元一次不等式解决实际问题的步骤】（2分钟） 【教师活动】通过情境1和情境2的解题过程，请同学们归纳：应用一元一次不等式解决实际问题的步骤是什么？ 【学生活动】归纳回答：①实际问题——找出不等关系；②设未知数；③列不等式；④解不等式；⑤结合实际确定答案。 【教师活动】总结：应用一元一次不等式解决实际问题的步骤为：实际问题→找出不等关系→设未知数→列不等式→解不等式→结合实际确定答案。这与列方程解应用题类似，但列的是不等式而不是方程。 【知识点】应用一元一次不等式解决实际问题的步骤：①审题，找出不等关系；②设未知数；③用含未知数的代数式表示各量；④根据不等关系列不等式；⑤解不等式；⑥检验并写出符合实际的答案。 【过渡语】下面我们通过活动2，来体验如何利用不等式制定最优方案。 【活动2：超市促销方案——制定最省钱的方案】（3分钟） 【教师活动】活动2：制定出最省钱的方案。某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖。假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？ 【学生活动】思考：设购买x件文化用品。甲超市费用：当10x≤400即x≤40时，费用为10x；当x>40时，费用为400+0.6×10(x-40)=400+6(x-40)。乙超市费用：0.8×10x=8x。 【教师活动】请同学们比较两种方案的费用，找出使甲超市费用少于乙超市费用的x的取值范围，从而确定哪种方案更省钱。 【学生活动】分析：当x≤40时，甲超市不优惠，10x>8x，乙超市更省钱。当x>40时，比较400+6(x-40)与8x：400+6x-240<8x，即160+6x<8x，160<2x，x>80。所以当x>80时甲超市更省钱，当40<x<80时乙超市更省钱。 【教师活动】总结：方案选择问题需要分类讨论，根据购买数量选择不同的超市。当购买量不超过40件时，选乙超市；购买量在40-80件之间时，选乙超市；购买量超过80件时，选甲超市。 【知识点】方案选择问题的解题思路：①分别列出各方案的费用表达式；②建立不等式比较各方案费用；③解不等式确定各方案的最优范围；④根据实际条件给出建议。 判断技巧：方案比较问题中，分段函数需要分类讨论。先确定分段点（如400元对应40件），再在各段内比较费用大小，最后综合得出最优方案。 【过渡语】下面我们通过一组练习来巩固一元一次不等式的应用。 【练习巩固(二)：不等式应用】（3分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习，检验运用一元一次不等式解决实际问题的能力。 【教师活动】练习1：小明借到一本有87页的图书，要在10天之内读完，开始两天每天只读5页，那么以后几天里平均每天至少要读多少页才能读完？设以后几天里平均每天要读x页，所列不等式为( ) A.2+10x≥87 B.2+10x≤87 C.10+8x≤87 D.10+8x≥87 【学生活动】分析：前两天读了2×5=10页，还剩8天，每天读x页，总页数为10+8x。要在10天之内读完，即10+8x≥87。选D。 【教师活动】练习2：某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小王得分超过95分，他至多可以答错或不答的试题道数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【学生活动】分析：设答错或不答x道，则答对(20-x)道。得分：10(20-x)-5x>95，200-10x-5x>95，200-15x>95，-15x>-105，x<7。所以至多答错或不答6道。选B。 【教师活动】练习3：某工程队计划在10天内修路6km。施工前2天修完了1.2km后，计划发生变化，准备至少提前2天完成修路任务，以后几天平均每天至少要修路多少？ 【学生活动】分析：设以后几天平均每天修路x km。还剩6-1.2=4.8km，至少提前2天即在10-2-2=6天内完成。列不等式：6x≥4.8，x≥0.8。答：以后几天平均每天至少要修路0.8km。 【教师活动】练习4：某闹市区新建一个小吃城，设计一个进口和一个出口，内设n个摊位，预估进口和出口的客流量都是每分钟10人，人均消费25元，摊位的毛利润为人均消费的40%，若平均每个摊位一天（按10个小时计算）的毛利润不低于1 000元，则n的最大值为( ) A.30 B.40 C.50 D.60 【学生活动】分析：每分钟总客流量为10+10=20人，一天10小时=600分钟。一天总客流量=20×600=12000人。总消费=12000×25=300000元。总毛利润=300000×40%=120000元。每个摊位毛利润=120000/n≥1000，n≤120。但每天每个摊位的最小毛利润要有意义，实际上n=120000/1000=120。但选项中没有120，检查：120000/n≥1000，n≤120。选D，n=60最大。 【知识点】不等式应用题解题技巧：①仔细审题，找出关键词（'至少''至多''超过''不超过'等）；②设未知数，用代数式表示各量；③列出不等式；④解不等式；⑤检验答案的实际意义。 易错提示：不等式应用题中，'至多'对应≤，'至少'对应≥。解出不等式后，要注意答案是否符合实际意义（如人数必须是正整数）。 【过渡语】下面我们进行课堂小结，回顾本节课的核心内容。 【课堂小结】（3分钟） 【教师活动】今天我们学习了6.3 一元一次不等式的解法，包括两个部分：解法和应用。请同学们回顾一下本节课的核心内容。 【学生活动】总结回答：第一部分——解一元一次不等式的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。特别注意：在去分母、系数化为1时，若乘除负数，不等号方向改变。第二部分——应用一元一次不等式解决实际问题的步骤：实际问题→找出不等关系→设未知数→列不等式→解不等式→结合实际确定答案。 【教师活动】总结：解一元一次不等式与解一元一次方程步骤相同，核心区别在于乘除负数时不等号方向改变。应用不等式解决实际问题时，关键是找出不等关系，正确列出不等式。 【教师活动】请同学们课后完成作业，巩固本节课所学内容。下节课我们将继续学习不等式组的解法。 四、板书设计 6.3 一元一次不等式的解法 一、解一元一次不等式的步骤 ①去分母 ②去括号 ③移项 ④合并同类项 ⑤系数化为1 ★注意：乘除负数时，不等号方向改变 二、方程与不等式的对比 步骤相同，依据不同，解的个数不同 三、应用不等式解决实际问题的步骤 实际问题→找出不等关系→设未知数→列不等式→解不等式→结合实际确定答案 四、例题 例1：3-x<2x+6 → x>-1 例2：含分母不等式 → x≤10 情境1：10x-5(20-x)>90 情境2：120×2x+160x+200(80-3x)≤13200 → x≥14 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $