6.2 不等式的基本性质 教案——2026-2027学年青岛版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“不等式的基本性质”核心知识点，以鲁班发明锯子的类比故事导入，通过回顾等式性质搭建学习支架，引导学生从天平情境中抽象出不等式的加减、乘除正数及乘除负数性质，梳理知识脉络。 资料特色在于运用类比教学法和情境探究法，通过天平实验培养数学抽象能力，类比等式性质发展逻辑推理，重点突破乘除负数变号的性质3强化数学运算。讲练结合帮助学生掌握变形技能，提升教师教学效率，助力学生核心素养发展。

课题 6.2 不等式的基本性质 课型 新授课 课时 1课时 教材版本 青岛版数学八年级上册 教学方法 类比教学法、情境探究法、讲练结合法 教学用具 多媒体课件、投影 一、核心素养目标 • 【数学抽象】通过天平情境中的数量关系，抽象出不等式的基本性质，发展数学抽象能力 • 【逻辑推理】类比等式的基本性质，探究不等式的性质，体会类比思想在数学学习中的价值 • 【数学建模】能运用不等式的基本性质对不等式进行变形，将不等式化为x>a或x<a的形式 • 【数学运算】能正确运用不等式的基本性质进行不等式变形，特别注意乘除负数时不等号方向改变 二、教学重难点 教学重点：不等式的基本性质（性质1、性质2、性质3）及其应用 教学难点：不等式性质3（乘除负数不等号方向改变）的理解和应用 三、教学过程 【导入：类比引入，激发思考】（3分钟） 【教师活动】同学们，老师先给大家讲一个故事。有一次，鲁班的手不慎被一片小草叶子割破了，他发现小草叶子的边缘布满了密集的小齿，于是便产生联想，根据小草的结构发明了锯子。 【教师活动】鲁班在这里就运用了'类比'的思想方法。你能通过等式的性质，'类比'出不等式的性质吗？ 【学生活动】聆听故事，思考鲁班的发明方法。 【教师活动】请同学们回顾一下，我们前面学过的等式的基本性质有哪些？ 【学生活动】回答：等式性质1——等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。等式性质2——等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。 【学生活动】思考并回答：等式的性质1——等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。类比猜想：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向可能不变。 【教师活动】非常好！今天我们就来类比等式的性质，探究不等式的基本性质。首先明确学习目标：1.理解并掌握不等式的基本性质。2.能初步运用不等式的基本性质把比较简单的不等式转化为'x>a(x≥a)'或'x<a(x≤a)'的形式。 【过渡语】下面我们进入任务一，通过天平情境来探究不等式的基本性质。 【任务一 活动1：情境1——探究加减性质】（6分钟） 【教师活动】任务一：探究并掌握不等式的基本性质。活动1：根据下列情境，回答相关问题，并猜想不等式具有哪些性质。 【教师活动】情境1：如图所示，托盘天平的右盘放上一质量为b g的铁球，左盘放上一质量为a g的立体木块，天平向右倾斜。天平向右倾斜说明：质量上：a___b。 【学生活动】观察天平图，回答：天平向右倾斜说明右盘重，即a<b。 【教师活动】若在两边同时加上一个c g的木块后：a+c___b+c。两边同时再将c g的木块拿掉后：a+c-c___b+c-c。 【学生活动】思考并回答：两边同时加上c，a+c<b+c；两边同时减去c，a+c-c<b+c-c，即a<b。不等号方向不变。 【教师活动】很好！通过天平实验我们发现：当不等式两边同时加上或减去同一个数时，不等号方向不变。这就是不等式的基本性质1。 【知识点】不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变。如果a>b，那么a±c>b±c。 理解要点：不等式性质1与等式性质1完全类似——都是两边同时加减同一个数或整式。区别在于：等式结果仍相等，不等式结果仍保持原来的不等关系。 【过渡语】加减性质类比成功，那么乘除呢？我们通过情境2来探究。 【任务一 活动1：情境2——探究乘除性质】（5分钟） 【教师活动】情境2：如图所示，托盘天平的右盘放上两个质量为b g的铁球，左盘放上两个质量为a g的立体木块，天平向右倾斜。天平向右倾斜说明：质量上：2a___2b。 【学生活动】观察并回答：2a<2b。 【教师活动】两边重量同时扩大2倍后：2a×2___2b×2。如果一开始两边重量同时减少一半：2a÷2___2b÷2。 【教师活动】同样是右边重，所以2a___2b。请同学们先填空，再分析理由。 【学生活动】分析：2a×2=4a，2b×2=4b，由a<b可知4a<4b，所以2a×2<2b×2。2a÷2=a，2b÷2=b，由a<b可知a<b，所以2a÷2<2b÷2。 【教师活动】通过情境2，我们发现：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变。这就是不等式的基本性质2。 【知识点】不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即如果a>b，c>0，那么ac>bc，a/c>b/c。 重点强调：性质2强调'同一个正数'。如果乘以或除以负数呢？不等号方向会不会改变？下面我们通过活动2来探究。 【过渡语】性质2与等式性质2类似，但乘除负数的情况需要特别关注，下面我们通过活动2来探究。 【任务一 活动2：探究乘除负数的性质】（5分钟） 【教师活动】活动2：仿照不等式的基本性质2，在不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，看结果有何特点。 【教师活动】已知3<5。请同学们完成下列填空：3×2______5×2；3÷2______5÷2；3×(-2)______5×(-2)；3÷(-2)______5÷(-2)。 【学生活动】逐题计算：3×2=6，5×2=10，6<10，所以3×2<5×2；3÷2=1.5，5÷2=2.5，1.5<2.5，所以3÷2<5÷2；3×(-2)=-6，5×(-2)=-10，-6>-10，所以3×(-2)>5×(-2)；3÷(-2)=-1.5，5÷(-2)=-2.5，-1.5>-2.5，所以3÷(-2)>5÷(-2)。 【教师活动】由此你发现了什么结论？乘除正数时不等号方向不变，乘除负数时不等号方向改变！ 【教师活动】请同学们仔细观察：乘除正数时和乘除负数时，不等号方向有什么不同？ 【学生活动】发现：乘除正数时，不等号方向不变（<仍为<）；乘除负数时，不等号方向改变（<变为>）。 【学生活动】总结：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 【知识点】不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。即如果a>b，c<0，那么ac<bc，a/c<b/c。 易错提示：性质3是学习的难点！与等式性质不同，不等式两边乘除负数时，不等号方向必须改变。这是不等式特有的性质，也是解题中最容易出错的地方。 【过渡语】下面我们通过一道例题来检验这三个性质的应用。 【任务一：不等式基本性质总结】（3分钟） 【教师活动】请同学们总结不等式的基本性质，并与等式的基本性质进行对比。 【学生活动】归纳总结：性质1——加减同一个数或整式，不等号方向不变（与等式类似）；性质2——乘除同一个正数，不等号方向不变（与等式类似）；性质3——乘除同一个负数，不等号方向改变（与等式不同，等式没有此限制）。 【教师活动】请同学们用符号语言写出三条性质。(1)如果a>b，那么a±c>b±c；(2)如果a>b，c>0，那么ac>bc；(3)如果a>b，c<0，那么ac<bc。 【教师活动】请同学们记住：不等式的三条基本性质中，性质3（乘除负数改变方向）是最特殊的，也是我们解题时最容易出错的，一定要特别注意！ 【知识点】不等式三条基本性质：①加减不变（性质1）；②乘除正数不变（性质2）；③乘除负数变号（性质3）。 重点强调：不等式与等式性质的最大区别：等式两边乘除任何非零数，结果仍相等；不等式两边乘除负数时，不等号方向必须改变。 【过渡语】掌握了不等式的三条基本性质后，我们进入任务二，学习如何运用这些性质对不等式进行变形。 【任务二：例题精讲——不等式变形】（6分钟） 【教师活动】任务二：不等式的基本性质的应用。活动：学习了不等式的基本性质，你会对下列不等式进行变形吗？将下列不等式化成'x>a'或'x<a'的形式：(1) x-5>-1；(2) -2x>3。 【学生活动】认真审题，思考如何利用不等式的基本性质进行变形。 【教师活动】【思路分析】第(1)题：x-5>-1，左边有-5，要消去-5，两边同时加5。根据性质1，不等式两边加同一个数，不等号方向不变。 【教师活动】解：(1) x-5>-1，两边同时加5，得x-5+5>-1+5，即x>4。 【学生活动】理解：利用性质1，两边同时加5，把-5消去，得到x>4。 【教师活动】【思路分析】第(2)题：-2x>3，要化成x的形式，需要两边同时除以-2。注意：-2是负数，根据性质3，不等号方向要改变！ 【教师活动】解：(2) -2x>3，两边同时除以-2，得x<3/(-2)，即x<-3/2。 【学生活动】理解：利用性质3，两边同时除以-2（负数），不等号方向改变，'>'变为'<'。 【知识点】用不等式基本性质变形不等式：①判断使用哪条性质；②确定运算（加、减、乘、除）；③注意性质3乘除负数时改变不等号方向。 易错提示：第(2)题中-2x>3变形为x<-3/2，关键步骤是'除以-2'后不等号方向改变。很多同学会忘记改变方向，写成x>-3/2，这是错误的！ 【过渡语】例题讲解完毕，下面我们通过练习来巩固不等式的基本性质。 【练习巩固(一)：基础练习】（6分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习，检验对不等式基本性质的理解。 【教师活动】练习1：已知a>b，若c是任意实数，则下列不等式中总是成立的是( ) A. a-c>b-c B. a+c<b+c C. ac>bc D. ac<bc 【学生活动】分析：A. a-c>b-c——根据性质1，两边同时减c，不等号方向不变，成立。B. a+c<b+c——根据性质1，两边加c，应为a+c>b+c，不成立。C. ac>bc——c是任意实数，若c<0，则方向改变，不一定成立。D. ac<bc——同理，不一定成立。故选A。 【教师活动】练习2：用适当的不等号填空。(1)若a-1<b-1，则a___b；(2)若-3a<-3b，则a___b；(3)若0.3a+1<0.3b+1，则a___b；(4)若a>b，c<d，则a+d___b+c。 【学生活动】逐题解答：(1)两边加1，a<b；(2)两边除以-3（负数），不等号改变，a>b；(3)两边减1，再除以0.3（正数），a<b；(4)由a>b和c<d，可得a+d>b+c。 【教师活动】请同学们注意第(2)题：除以-3是负数，不等号方向改变；第(4)题两个不等式方向不同，不能直接相加，需要具体分析。 【知识点】运用不等式性质解题关键：①先判断运算类型（加减/乘除）；②若是乘除，判断乘除数的正负；③正数不变号，负数改变号。 判断技巧：选择题常见陷阱：选项C和D中c是任意实数，当c为负数时不等号方向改变，所以'总是成立'的只有A。注意'任意实数'这个关键词。 【过渡语】下面我们继续做一道变形题，巩固不等式的基本性质3。 【练习巩固(二)：变形练习】（5分钟） 【教师活动】练习3：已知m<5，将不等式(m-5)x>m-5变形为'x<a'或'x>a'的形式。 【学生活动】分析：∵m<5，∴m-5<0（不等式的基本性质1）。由(m-5)x>m-5，两边同时除以(m-5)，注意m-5<0是负数，根据性质3，不等号方向改变，得x<1。 【教师活动】解：∵m<5，∴m-5<0（不等式的基本性质1）。由(m-5)x>m-5，得x<1（不等式的基本性质3）。 【教师活动】这道题的关键在于：先判断m-5的符号。因为m<5，所以m-5<0，是负数。除以负数时，不等号方向改变。这就是性质3的典型应用。 【知识点】综合运用性质：先利用性质1确定系数的符号（m-5<0），再利用性质3进行变形（除以负数，改变不等号方向）。 易错提示：练习3的错误解法：直接由(m-5)x>m-5得x>1，忽略了m-5是负数，不等号方向应改变。正确结果是x<1，不是x>1。 【过渡语】下面我们做最后一组练习，巩固本节课的核心内容。 【练习巩固(三)：综合练习】（4分钟） 【教师活动】请同学们完成以下综合练习，检验对不等式基本性质的灵活运用。 【教师活动】练习4：用适当的不等号填空。(1)若a>b，则a+2___b+2；(2)若a>b，则-3a___-3b；(3)若a>b，则a/2___b/2。 【学生活动】解答：(1)性质1，加2不变号，a+2>b+2；(2)性质3，乘-3（负数），改变方向，-3a<-3b；(3)性质2，除以2（正数），不变号，a/2>b/2。 【教师活动】练习5：用适当的不等号填空。(1)若a<b，则a-3___b-3；(2)若a<b，则-0.5a___-0.5b；(3)若a<b，则3a+2___3b+2。 【学生活动】解答：(1)性质1，减3不变号，a-3<b-3；(2)性质3，乘-0.5（负数），改变方向，-0.5a>-0.5b；(3)先乘3（正数，不变号），再加2（不变号），3a+2<3b+2。 【教师活动】练习6：已知a>b，完成下列推理过程。(1)如果a>b，那么a+1>b+1，依据是______；(2)如果a>b，那么2a>2b，依据是______；(3)如果a>b，那么-3a<-3b，依据是______。 【学生活动】回答：(1)不等式的基本性质1；(2)不等式的基本性质2；(3)不等式的基本性质3。 【知识点】不等式变形的判断步骤：①观察变形方式（加减/乘除）；②若是乘除，判断系数的正负；③确定使用哪条性质；④正数不变号，负数改变号。 【过渡语】下面我们来做课堂小结，回顾本节课的核心内容。 【课堂小结】（2分钟） 【教师活动】针对本课关键词'不等式的性质'，说说你学到了什么？ 【学生活动】自由发言总结：①不等式的基本性质1——加减不变号；②不等式的基本性质2——乘除正数不变号；③不等式的基本性质3——乘除负数变号；④能运用性质将不等式化为x>a或x<a的形式；⑤不等式性质与等式性质的最大区别是性质3。 【教师活动】请一位同学说说，不等式性质中最容易出错的是什么？ 【学生活动】回答：性质3——乘除负数时改变不等号方向。比如-2x>3变形为x<-3/2，很多同学容易忘记改变不等号方向。 【教师活动】本节课我们通过类比等式性质，探究了不等式的三条基本性质。性质1和性质2与等式性质类似，性质3是本节课的重点和难点——乘除负数时不等号方向改变。课后请大家完成作业，巩固所学内容。 四、板书设计 6.2 不等式的基本性质 一、不等式的基本性质 性质1：加减同一个数或整式，不等号方向不变 如果a>b，那么a±c>b±c 性质2：乘除同一个正数，不等号方向不变 如果a>b，c>0，那么ac>bc，a/c>b/c 性质3：乘除同一个负数，不等号方向改变 如果a>b，c<0，那么ac<bc，a/c<b/c 二、与等式性质对比 相同：性质1、性质2（乘除正数） 不同：性质3——不等式独有，乘除负数改变方向 三、例题 (1) x-5>-1 → x>4（性质1） (2) -2x>3 → x<-3/2（性质3） 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $