1.1 集合与集合的运算 题源4 集合的运算-【备战高考】备战2027高考数学母题题源同步练

合的元素共有 () A.2个 B.3个 C.1个 D.无穷多个 [解析]由M=[-1,3],M∩N={1,3}得Card(M∩N) =2.选A. [真题4](2021·宁海)已知集合A={1,3,5,7,9},B= {0,3,6,9,12},则A∩C、B等于 A.{1,5,7}B.{3,5,7} C.{1,3,9}D.{1,2,3} [解析]由已知条件可得A∩CxB={1,5,7},故应选A. [真题5](2020·天津)设集合U={x∈N0<x≤8}，S= {1,2,4,5},T={3,5,7},则S∩{CT}等于 () A.{1,2,4} B.{1,2,3,4,5,7} C.1,2} D.{1,2,4,5,6,8} [解析]本题考查集合基本运算，易知U={1,2,3,4,5,6, 7,8},CuT={1,2,4,6,8},.所求集合={1,2,4}.选A [真题6](2022·湖南)已知集合M={1,2,3},N={2,3, 4},则 ( A.M∈N B.N∈M C.M∩N={2,3} D.MUN=1,4} M 「解析门由文氏图 可知M∩N={2,3}. 选C. [真题7](2022·全国)已知集合A={x|x|≤2，x∈Z}, B={x|Wx4,x∈Z,则A∩B= () A.(0,2)B.[0,2]C.{02}D.{0,1,2} [解析]由已知A={x|x|≤2，x∈R}={x|-2≤x≤ 2},B={xlW元≤4，x∈Z}={x|0≤x≤16，x∈Z},则A∩B= {x|0x2,x∈Z}={0,1,2},故选D. 题源3 元素与集合、集合与集合间的关系 解题模型 (1)元素与集合的关系： 元素与集合之间的关系用符号∈、任表示，若元素α 是集合A中的元素，则可表示为a∈A,否则表示为a生A. 注：符号∈、庄只用于表示元素与集合之间的关系，是 不能用于表示集合与集合之间的关系的」 (2)集合与集合的关系： ①子集： 集合A是集合B的子集，记作：A三B或B2A,其定 义是：x∈A→x∈B. 任何一个集合是它本身的子集。 ②相等： 集合A等于集合B,记作：A=B,其定义是：集合A的 任何一个元素都是集合B的元素且集合B的任何一个元 素都是集合A的元素，即A二B且B二A台A=B. 两个相等的集合的元素完全相同： ③真子集： 集合A是集合B的真子集，记作：AB或B吴A.其 定义是：集合A的任何一个元素都是集合B的元素，且B 中至少有一个元素不属于A,即A三B且A≠B台AB (或B罢A). [真题8](2022·浙江)设P={x|x<4},Q={x|x2< 4},则 () A.P≤Q B.Q≤P C.P∈CQ D.Q二CRP [解析]由条件知Q={x|一2<x<2},Q二P,故选B. [真题9](2018·山东)设集合A、B是全集U的两个于 集，则AB是(CuA)UB=U的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]当A至B时，一定有(CA)UB=U,故为充分条 件，当(CA)UB=U时，A二B,A不一定非要为B的真子集， 所以应为充分不必要条件.选A. [真题10](2021·江苏)已知非空集合A={x|logx≤ 2},B=(-∞，a),若A二B,则实数a的取值范围是(c,十∞)， 其中c= [解析]本题考查了对数不等式及集合的子集运算，此题 中要注意对集合边界值的验证.由已知条件可得A={xlog2x ≤2}=(0,4]，B=(-o∞，a),若A二B则a>4,即得c=4. 题源4集合的运算 解题模型 (1)交集、并集、补集的定义： A∩B={x|x∈A,且x∈B}: AUB={x|x∈A,或x∈B: A∈B台A∩B=A台AUB=B. (2)若全集为U,CuA={x|x∈U,且xA}. 运算性质(U为全集)： A∩A=A:A∩0=)：A∩U=A: AUA=A:AU⑦=A:AUU=U: A∩B∈A且A∩B∈B: A∈AUB且B∈AUB; AU(CA)=U:A∩(CuA)=☒. 德莫根定律：Cu(A∩B)=(CA)U(CB): Cu(AUB)=(CA)∩(CuB). [真题11](2022·陕西)集合A={x|一1≤x≤2}，B= {xx<1},则A∩(CRB)= A.zlx>1 B.{xlx≥1} C.{xl1<x≤2} D.{x|1≤x≤2} [解析]A∩(CRB)={x-1≤x≤2}∩{x|x≥1}={x 1x2},故选D. [真题12](2019·湖南)设M、N是两个集合，则“MUV ≠0”是“M∩N≠☑”的 () A,充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 [解析]MUN≠⑦，不妨设M=⑦，N≠⑦，∴.M∩N =☑，∴.MUN≠中M∩N≠☑： M∩N≠0，.M≠0且N≠0， ∴.MUN≠，∴.M∩N≠☑→MUN≠☑， 故“MUN≠⑦”是“M∩N≠O”的必要不充分条件.故本题 选B. [真题13](202·安藏)若集合A={1lg时x≥2}则 CRA= [解析] 0<x≤2 [点评]对数不等式中，特别注意x>0. [真题14](2021·全国Ⅱ)已知全集U={1,2,3,4,5,6, 7,8,M=(1,3,5,7,N={5,6,7},则Cu(MUN)=() A.{5,7} B.{2,4} C.{2,4,8} D.{1,3,5,6,7} [解析]本题考查集合的交集和补集的有关运算.，MUN =(1,3,5,6,7},.C(MUN)={2,4,8},选C. [真题15](2022·山东)已知全集U=R,集合M={x|x -1|≤2}，则CM= A.{x|-1<x<3} B.{x|-1≤x3} C.{xx<-1或x>3} D.{x|x一1或x≥3} [解析]化简集合M={x|一1≤x≤3}，CuM={xx< 1或x>3}.故选C. 题源5 信息迁移创新题 解题模型 创新意识和实践能力是高考命题能力的体现，也是新 课程标准指导命题的一种趋势，利用所学知识，给出新颖的 试题背景，有效地实施信息迁移，为考查创新意识和实践 能力提供了广阔的空间，考题内容丰富，背景公平，形式灵 活，能很好地考查考生利用所学知识解决问题的能力， [真题16](2020·江西)定义集合运算：A￥B={之|之= xy,x∈A,y∈B.设A=(1,2},B={0,2},则集合A￥B的所 有元素之和为 A.0 B.2 C.3 D.6 [解析]由已知条件可得A￥B={0,2,4},.集合A*B 中所有元素之和为6，故应选D. [真题17](2022·四川)设S为复数集C的非空于集.若 对任意xy∈S,都有x十y,x一y,xy∈S,则称S为封闭集.下 列命题： ①集合S={a十bila,b为整数，i为虚数单位}为封闭集； ②若S为封闭集，则一定有0∈S; ③封闭集一定是无限集； ④若S为封闭集，则满足S二T三C的任意集合T也是封 闭集. 其中真命题是 .(写出所有真命题的序号) [解析]①显然封闭； ②正确，S为封闭集，x∈S,y∈S.令y=xx一y=0∈S; ③令S={0},S封闭，但S为有限集； ④令S={0},T={0,1},则S封闭，T不封闭.答案为①②. [点评]分析解决新问题能力差，此题才有难度， 题源6集合语言与集合思想的应用 解题模型 集合是高中数学的起始内容，有关集合问题往往体现 集合的概念、表示法、集合语言、集合关系和集合运算，集 合经常作为工具广泛应用于函数、方程、不等式等知识中， 数形结合、分类讨论等重要数学思想方法在集合中也得以 体现 [真题18](2019·北京)已知集合A={a1,a2,…ag}(k ≥2)，其中a:∈Z(i=1,2,…,k).由A中的元素构成两个相应的 集合： S={(a,b)|a∈A,b∈A,a+b∈A};T={(a,b)|a∈A,b ∈A,a-b∈A},其中(a,b)是有序数对.集合S和T中的元素 个数分别为m和n. 若对于任意的a∈A,总有一a华A,则称集合A具有性 质P. (I)检验集合{0,1,2,3}与{-1,2,3}是否具有性质P,并 对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T; (Ⅱ)对任何具有性质P的集合A,证明m≤(。一》 2 (Ⅲ)判断m和n的大小关系，并证明你的结论. [解析](I)集合{0,1,2,3}不具有性质P. 集合{一1,2,3}具有性质P,其相应的集合S和T是S= {(-1,3),(3,-1)},T={(2,-1),(2,3). (Ⅱ)证明：首先，由A中元素构成的有序数对(a:,a,)共有 k2一k个. 因为0任A,所以(a,,)任T(i=1,2,…,k): 又因为当a∈A时，一a年A,所以当(a,a,)∈T时，(aj: a)ET(1j=1,2,…,k),从而，集合T中元素的个数最多为2 (k2-k)=k(k-1 2 ,即ns(k-1) 2 （Ⅲ)m=n.证明如下： (1)对于(a,b)∈S,根据定义，a∈A,b∈A,且a+b∈A,从 而(a+b,b)∈T. 如果(a,b)与(c,d)是S的不同元素，那么a=c与b=d中 至少有一个不成立，从而a十b=c+d与b=d中也至少有一个 不成立，故(a十b,b)与(c十d,d)也是T的不同元素， 可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n (2)对于(a,b)∈T,根据定义，a∈A,b∈A,且a-b∈A,从 而(a-b,b)∈S. 如果(a,b)与(c,d)是T的不同元素，那么a=c与b=d中 至少有一个不成立，从而a一b=c一d与b=d中也至少有一个 不成立，故(a一b,b)与(c一d,d)也是S的不同元素. 可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m.由