21.2.2 第3课时　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\( y=a(x-h)^2+k \)的图象与性质，通过知识回顾复习\( y=ax^2 \)的平移规律及顶点位置，结合情景导入观察图形移动规律，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生探究顶点不在坐标轴上的函数特征。 其亮点在于采用描点法与两种平移方法培养几何直观，平移规律简记与性质表格化呈现发展推理意识，例题和随堂演练结合实际问题强化应用意识。帮助学生系统掌握知识，教师可高效开展教学，提升学生数学思维与应用能力。

第21章 二次函数与反比例函数 21.2.2 第3课时　 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 课堂小结 例题讲解 随堂演练 知识回顾 获取新知 情景导入 知识回顾 y＝ax2 k＞0 上移 y＝ax2＋k y＝ax2 y＝a(x-h)2 k＜0 下移 顶点(0,k)在对称轴y轴上 左加 右减 顶点(h,0)在x轴上 问题：顶点不在坐标轴上的二次函数的图象和性质又是怎样的呢？ 看一看：观察下列图形，试着发现它们的规律。 O y x 可以看成抛物线向右、向上移动 情景导入 O y x 怎样画出二次函数 的图象呢？ 获取新知 解：先列表： x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· 知识点1 二次函数y=a(x-h)2+k的图象的画法 方法一 描点作图法 开口方向 对称轴是 顶点坐标是 向上 直线x=2 （2，1） 描点、连线，画出函数的图象 方法二 上 1 平移法 1 先向 平移 个单位 再向 平移 个单位 向 平移 个单位 上 1 向 平移 个单位 右 2 ？ 右 2 上 1 还有其他平移方法吗？ 平移方法1 向右平移 2个单位 向上平移 1个单位 平移动画演示 向上平移 1个单位 向右平移 2个单位 平移方法2 平移动画演示 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 画一画，填出下表: 练一练 -4 -2 y -6 O -2 2 x 4 -4 向左平移一个单位 向下平移一个单位 向左平移一个单位， 再向下平移一个单位 还有其他平移方法吗？ 抛物线y=ax2 与y=a(x-h)2+k的关系 y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h )2 y = a( x - h )2 + k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变. 例1 将抛物线y=2x2向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（　　） A．y=2(x-4)2-1 B．y=2(x+4)2+1 C．y=2(x-4)2+1 D．y=2(x+4)2-1 B 例题讲解 画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴. … … … … 2 1 0 -1 -2 -3 -4 x 解: 先列表 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 知识点2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 14 再描点、连线 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 直线x=－1 开口方向向下； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-1) 通过上述例子，函数y=a(x-h)2+k的性质是什么？ 二次函数 y=a(x-h)2 +k 的图像与性质 y=a(x-h)2+k 图像（示意图） 开口方向 开口大小 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 a>0 a<0 y x o y x o 开口向上 开口向下 越大，抛物线开口越小； 越小，抛物线开口越大 (h,k) 最低点 (h,k) 最高点 直线 x=h 当 x=h 时， y最小值=k 当x=h时， y最大值=k 在对称轴的左侧，即x<h时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即x>h时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即x<h时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即x>h时，y随x的增大而减小 归纳总结 Administrator (A) - 本部分结论是前一课时性质的延续，由于有前一课时的引导和铺垫，这一部分结论的得出过程就自然且容易多了，可以放手给学生了 因为从二次函数y=a(x-h)2 +k中可以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把y=a(x-h)2 +k叫做二次函数的顶点式. 拓 展 例2 说出抛物线y＝2(x＋1)2－3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出它是由抛物线y＝2x2通过怎样的平移得到的． 解：抛物线y＝2(x＋1)2－3的开口向上，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，－3)，它是由抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的． 例题讲解 一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值决定． 1.(界首齐舜学校月考)抛物线y＝(x－1)2＋2的顶点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A 随堂演练 2.关于二次函数y＝2(x－2)2＋3(x为任意实数)的函数值，下列说法正确的是（ ） A.最小值是3 B.最小值是2 C.最大值是3 D.最大值是2 A 3.若二次函数y＝(x－m)2－1.当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A.m＝1 B.m＞1 C.m≥1 D.m≤1 C 4.如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系式中不正确的是( ) A.k＝n B.h＝m C.k＜n D.h＜0，k＜0 A 5.若二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象经过(－3，0)，(5，0)两点，则h的值为 . -1 6.如图，二次函数y＝a(x＋1)2－2的图象过点(1，0). (1)a＝ ； (2)当－2≤x<3时，函数值y的取值范围是 . －2≤y<6 7.已知二次函数y＝(x－m)2－1. (1)当其图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的表达式； 解：(1)∵二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)， ∴代入二次函数y＝(x－m)2－1得m2－1＝0，解得m＝±1， ∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x. (2)如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C，D 两点的坐标. 解：当m＝2时，y＝(x－2)2－1， ∴D(2，－1)， 又当x＝0时，y＝3， ∴C(0，3). 8.把抛物线y＝a(x＋h)2＋k先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y＝(x＋1)2－1. (1)试确定a，h，k的值； 解：(1)a＝，h＝－1，k＝－5. (2)若以x轴为对称轴，将其翻折，求所得抛物线的表达式. 解：∵抛物线的表达式为y＝(x－1)2－5， ∴顶点坐标为(1，－5). ∵点(1，－5)关于x轴对称的点的坐标为(1，5)， ∴所得抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋5. 9.(新定义阅读理解题)定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”.例如：y＝(x－1)2－2的“同轴对称抛物线”为y＝－(x－1)2＋2. (1)抛物线y＝－(x－1)2＋的顶点坐标为 ，它的“同轴对称抛物线”为 ； (1，) y＝(x－1)2－ (2)如图，在平面直角坐标系中，第四象限的点B 是抛物线y＝a(x－2)2－4a＋1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线y＝a(x－2)2－4a＋1的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线y＝a(x－2)2－4a＋1的对称轴对称的点B′，C′，连接BC，CC′，C′B′，BB′.当四边形BCC′B′为正方形时，求a的值. (2)解：∵点B是抛物线y＝a(x－2)2－4a＋1上一点，点B，B′关于该抛物线的对称轴对称， ∴点B′也在抛物线 y＝a(x－2)2－4a＋1上. ∵抛物线y＝a(x－2)2－4a＋1的对称轴为直线x＝2，且点B的横坐标为1， ∴点B′的横坐标为3，∴BB′＝3－1＝2， ∴BC＝BB′＝2，由题意可知，B，C关于x轴对称且点B在第四象限， ∴点B的坐标为(1，－1). 把点B的坐标代入y＝a(x－2)2－4a＋1， 解得a＝. 课堂小结 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 图象特点 当a>0,开口向上；当a<0,开口向下. 对称轴是直线x=h, 顶点坐标是（h,k). 平移规律 左右平移： 括号内左加右减； 上下平移： 括号外上加下减. $