5.4平方根 教学设计——2026-2027学年青岛版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“平方根”核心知识点，涵盖概念、性质、符号表示及与算术平方根的区别联系。通过复习算术平方根，引导学生填写x²=a的表格，发现互为相反数平方相等的规律，以旧知为支架自然过渡到新知。 特色在于采用情境探究法抽象概念，通过“144、0、-4的平方根”等问题链发展逻辑推理，讲练结合强化运算能力。帮助学生形成数学抽象和推理意识，教师使用时重难点突出，教学流程清晰，提升课堂效率。

课题 平方根 课型 新授课 课时 1课时 教材版本 青岛版数学八年级上册 教学方法 情境探究法、合作讨论法、讲练结合法 教学用具 多媒体课件、投影 一、核心素养目标 • 【数学抽象】从平方运算的逆运算中抽象出平方根的概念，理解平方根的定义及符号表示 • 【逻辑推理】通过探究平方根的性质（正数有两个平方根、0的平方根是0、负数没有平方根），发展逻辑推理能力 • 【数学运算】掌握开平方运算，会求一个非负数的平方根，能利用平方根的性质解决相关问题 • 【直观想象】理解平方根与算术平方根的区别与联系，建立完整的实数平方根概念体系 二、教学重难点 教学重点：平方根的概念和性质，会求一个非负数的平方根 教学难点：平方根与算术平方根的区别与联系，利用平方根的性质解决问题 三、教学过程 【导入：复习引入】（3分钟） 【教师活动】同学们，前面我们学习了算术平方根。请大家回忆一下，什么是算术平方根？ 【学生活动】回答：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记作。0的算术平方根是0。 【教师活动】很好！今天我们在算术平方根的基础上进一步学习平方根。首先看屏幕，完成填一填。 【教师活动】填一填：给出a的值：1, , , , , , 5, ，求对应的。请同学们完成表格。 【学生活动】填写：, , , , , , , 。 【教师活动】观察表格，你发现了什么规律？根据相反数和平方的知识，思考互为相反数的两数的平方一定相等吗？ 【学生活动】回答：互为相反数的两个数，它们的平方相等。例如1和的平方都是1，和的平方都是。 【知识点】互为相反数的两个数，它们的平方相等。 【过渡语】这个规律告诉我们：如果已知一个数的平方，那么这个数可能有两个——一个正数和一个负数。带着这个发现，我们进入今天的学习—— 平方根。首先明确学习目标：1.了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；2.了解平方根与算术平方根的区别与联系；3.了解平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求非负数的平方根。 【任务一：平方根的定义】（5分钟） 【教师活动】任务一：会进行开平方运算，能够求一个数的平方根。我们先来看几个例子：(1)的平方也是9，因此平方等于9的数有两个：3和。 【学生活动】理解：，，所以平方等于9的数有3和。 【教师活动】平方等于的数有几个？分别是多少？ 【学生活动】回答：平方等于的数有两个，分别是和。因为，。 【教师活动】一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫作a的平方根或二次方根。 【知识点】平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫作a的平方根（或二次方根）。 【教师活动】例如：3和是9的平方根，简记为±3是9的平方根。注意：±3表示3和，即9的平方根有两个，它们互为相反数。 理解要点：平方根的定义与算术平方根的定义有细微差别：算术平方根要求x是正数（或0），而平方根不要求x的正负，只要即可。 【过渡语】了解了平方根的定义，下面我们来看如何求一个数的平方根。 【活动2：求平方根】（6分钟） 【教师活动】活动2：求下列各数的平方根。(1)64；(2)；(3)；(4)；(5)11。 【思路分析】求一个数a的平方根，就是找平方等于a的数。根据定义，需要找到满足的x。注意：正数有两个平方根，互为相反数。 【教师活动】解：(1)因为，所以64的平方根为±8。 【学生活动】跟随计算：，，所以64的平方根是±8。 【教师活动】(2)因为，所以的平方根为±。 【学生活动】跟随计算：，，所以的平方根是±。 【教师活动】(3)因为，所以的平方根为±。 【学生活动】跟随计算：，，所以的平方根是±。注意小数位数。 【教师活动】(4)因为，而，所以的平方根为±25。 【学生活动】理解：先计算，再求625的平方根为±25。 【教师活动】(5)11的平方根是±。 【学生活动】理解：11不是完全平方数，平方根无法用有限小数精确表示，用±表示。 重点强调：求平方根时，正数的平方根有两个，必须写±号。例如64的平方根是±8，不能只写8。这与算术平方根不同——算术平方根只取正的那个。 【过渡语】下面我们来学习平方根的符号表示——开平方运算。 【开平方与平方根号表示】（4分钟） 【教师活动】求一个数a的平方根的运算，叫作开平方。平方与开平方互为逆运算。根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根。 【知识点】开平方：求一个数a的平方根的运算叫作开平方。平方与开平方互为逆运算。 【教师活动】平方根的符号表示： () ↔ x=±。其中读作根号a，a叫作被开方数，√中的符号叫作平方根号。注意：a必须是非负数，即。 【学生活动】理解符号：表示a的算术平方根（正的那个），表示算术平方根的相反数，±表示a的两个平方根。 【知识点】平方根符号表示： () ↔ x=±。其中a叫被开方数（），√中符号叫平方根号。 理解要点：与±的区别：只表示算术平方根（非负数），而±表示平方根（两个，互为相反数）。例如：，而±=±3。 【过渡语】接下来我们来对比平方根与算术平方根的联系与区别。 【平方根与算术平方根的联系与区别】（5分钟） 【教师活动】平方根与算术平方根有什么联系和区别呢？请大家看屏幕上的表格，我们一起来整理。 【教师活动】联系：(1)包含关系——一个正数有两个平方根，其中正平方根就是算术平方根；(2)相同性——只有非负数才有平方根和算术平方根，0的平方根和算术平方根都是0。 【学生活动】理解并记录：平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中非负的那个。 【教师活动】区别：(1)表示方法不同——平方根表示为±，算术平方根表示为；(2)个数不同——正数有两个平方根，正数只有一个算术平方根。 【学生活动】对比记忆：平方根±——两个，互为相反数；算术平方根——一个，非负数。 【知识点】平方根与算术平方根的联系：①包含关系（正平方根就是算术平方根）；②只有非负数才有平方根和算术平方根；③0的平方根和算术平方根都是0。区别：①表示方法不同（± ）；②个数不同（两个 一个）。 易错提示：注意区分：求平方根用±，求算术平方根只用。例如：25的平方根是±5，25的算术平方根是5。很多同学容易把平方根写成只有一个正数，漏掉负的那个。 【过渡语】下面我们通过练习巩固开平方运算。 【练习：求下列各式的值】（3分钟） 【教师活动】求下列各式的值：(1)；(2)；(3)±；(4)。 【学生活动】计算：(1)（算术平方根）；(2)=（算术平方根的相反数）；(3)±=±12（平方根）；(4)（先算平方再开方）。 【教师活动】追问：第(4)题为什么结果是5而不是？ 【学生活动】回答：因为，表示25的算术平方根，算术平方根必须是非负数，所以结果是5。 【知识点】²=|a|，即算术平方根的结果总是非负数。 【过渡语】下面我们进入任务二，研究平方根的性质。 【任务二：探究平方根的性质】（5分钟） 【教师活动】任务二：掌握平方根的性质。活动1：回答下面问题。1. 144的平方根是什么？ 【学生活动】回答：144的平方根是±12。 【教师活动】2. 0的平方根是什么？ 【学生活动】回答：0的平方根是0。 【教师活动】3. 的平方根是什么？ 【学生活动】回答：，16的平方根是±4。 【教师活动】4. 有没有平方根？为什么？ 【学生活动】回答：没有平方根，因为一个数的平方不可能是负数。任何实数的平方都≥0，不存在一个实数x使得=。 【教师活动】通过以上四个问题，请思考：(1)正数有几个平方根？(2)0有几个平方根？(3)负数呢？ 【学生活动】归纳：(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；(2)0的平方根还是0；(3)负数没有平方根。 【知识点】平方根的性质：1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数；的平方根还是0；3.负数没有平方根。 重点强调：平方根性质的三条是本节课的核心结论，必须牢记：正数两个互为相反数，0唯一就是0，负数没有。这也是判断一个数是否有平方根的依据。 【过渡语】下面我们利用平方根的性质来解决一个有趣的问题。 【活动2：利用平方根性质解题】（4分钟） 【教师活动】活动2：若一个正数的平方根分别为和2，求a和这个正数的平方根。 【思路分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数。所以和2互为相反数，即，解出a，再代入求平方根。 【教师活动】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以，即3，解得。 【学生活动】跟随计算：=，2，和1互为相反数，验证正确。 【教师活动】因为=，2，所以这个正数的平方根为±1。 【教师活动】追问：这个正数是多少？ 【学生活动】回答：因为，所以这个正数是1。 判断技巧：遇到'一个正数的平方根分别是...'这类问题，关键利用'平方根互为相反数'这一性质，列出两个平方根之和为0的方程即可求解。 【过渡语】下面我们通过练习巩固平方根的性质和运算。 【练习巩固】（5分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习。 【教师活动】练习1：关于平方根，下列说法正确的是( ) A.任何一个数都有两个平方根，并且它们互为相反数 B.负数没有平方根 C.任何一个数只有一个算术平方根 D.以上都不对 【学生活动】分析：A错误，因为0只有一个平方根，负数没有平方根；B正确，负数没有平方根；C错误，0有一个算术平方根，正数有一个算术平方根，负数没有算术平方根。所以选B。 【教师活动】正确！B选项是平方根性质的核心内容。 【教师活动】练习2：判断下列说法是否正确，并说明理由。(1)49的平方根是7；(2)2是4的平方根；(3)是25的平方根；(4)64的平方根是±8；(5)的平方根是。 【学生活动】判断：(1)错误，49的平方根是±7，一个正数有两个平方根；(2)正确，因为；(3)正确，因为；(4)正确，64的平方根是±8；(5)错误，负数没有平方根。 【教师活动】总结规律：第(1)题错在只写了一个平方根，正数有两个平方根，应写±7。第(5)题错在认为负数有平方根——负数没有平方根！ 易错提示：写平方根时，正数必须写±号，不能只写正的那个。如49的平方根是±7，不是7。另外，负数没有平方根，不能写'±'，因为无意义。 【过渡语】下面我们来看一道例题。 【例题：求平方根与算术平方根】（3分钟） 【教师活动】例题：的算术平方根是多少？平方根是多少？ 【思路分析】先计算，然后求121的算术平方根（正的那个）和平方根（两个）。 【教师活动】解：。121的算术平方根是11（因为且）。121的平方根是±11（因为且）。 【学生活动】理解：算术平方根只有一个（正数），平方根有两个（±）。 【教师活动】追问：如果题目是求的值，结果是多少？ 【学生活动】回答：，因为√表示算术平方根，结果是非负数。 【课堂小结】（2分钟） 【教师活动】针对本课的关键词'平方根'，你能说一说你都学到了哪些知识吗？ 【学生活动】自由发言：①平方根的概念——如果，那么x叫作a的平方根；②平方根的性质——正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根是0，负数没有平方根；③开平方——求平方根的运算，与平方互为逆运算；④平方根与算术平方根的区别与联系——表示方法不同（± ），个数不同（两个 一个）；⑤符号表示—— () ↔ x=±。 【教师活动】请一位同学总结平方根的三条性质。 【学生活动】总结：1.正数有两个平方根，互为相反数；的平方根还是0；3.负数没有平方根。 【教师活动】本节课我们学习了平方根的定义、性质、符号表示以及与算术平方根的区别联系。平方根是实数运算的基础，也是后续学习二次根式的重要基础。课后请大家完成作业。 四、板书设计 平方根 一、平方根的定义 如果，则x叫作a的平方根（二次方根） 例如：±3是9的平方根 二、平方根的符号表示 () ↔ x=± 开平方与平方互为逆运算 三、平方根与算术平方根 联系：正平方根=算术平方根；只有非负数才有 区别：平方根±（两个），算术平方根（一个） 四、平方根的性质 1. 正数有两个平方根，互为相反数 2. 0的平方根是0 3. 负数没有平方根 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $