一道求复数模的最值问题的多种解法-《中学生数理化》高一数学2026年6月刊

中学生数理化 知识结构与拓展 高一数学2026年6月 道求复数模的最值问题的多种解法 ■杨涵舒 题目：已知三个复数x1,之2，之，且之1= t≤2，所以|之：一（之1十之2）|mm=3√2。 |:|=2,|之：1=√2，，：所对应的向量 方法4：代数转化法十对偶式十不等式 O立，O立满足OZ1·O立=0，则1a一1 依题意不妨设之1=2，之2=2i,之：=x十 之2|的最大值为。 yi(x,y∈R),则x2+y2=2,z1+之g=2+2i, 方法1：代数转化法十三角换元与变换 所以|之，一（≈1十之：）|=√10-4(x十y)。构 依题意不妨设之1=2，之2=2i,之=x十 造对偶式(x十y)2=x2十y2十2xy,(x一y) yi(x,y∈R),则x2十y2=2,心1十之2=2+2i, =x2+y-2xy,所以(x十y)+(x-y) 所以|x?一(x1十之2)=√(x-2)+(y-2) 2(x2+y2)≥(x+y)2。因为x2十y2=2,所 √x2+y2-4x-4y+8 以(x十y)≤4，即一2≤x+y≤2，故之， √0-4(x+y)。令x=W2cos6,y= (之1+之：)川x=3√2。 2 sin 0, 则 V10-4(x+y) 方法5：代数转化法十权方和不等式 √10-8sin(0+)≤o+8=s-32, 区方和不等式：若a,b,xy>0,则2 当且仅当0=2k元十5，k∈Z时等号成立，所 ≥a+b),当且仅当=时取等号。 4 x+y 以|之：一(x1十之2)mx=3√2。 依题意不妨设1=2，之：=2，之：=x十 方法2：代数转化法+基本不等式 yi(x,y∈R),则x2+y2=2,之1十2=2+2i, 依题意不妨设之1=2，之2=2i,:=x十 所以|之，一（心1+之2）|=√10一4(x十y)。因 yi(x,y∈R),则x2+y2=2,之1十之2=2十2i, 为1=x 所以|之8-（之1十之2）|=√(x-2)2十(y-2) 2+2,所以(x+y)≤4， =W√10-4(x十y)=√10+4(-x-y)≤ 所以一2≤x十y≤2，所以|之3一（之1+之：）|mx =3√2。 √/10+4√2(x+y)=√18=3√2，当且仅 方法6：代数转化法十柯西不等式 当x=y=一1时等号成立，所以|x,一（≈1+ 柯西不等式：(a2+b)(c2十d)≥(ac十 之2)|mx=3√2。 bd)2,其中a,b,c,d∈R,当且仅当ad=bc 说明：题中用到不等式的一个结论： 时等号成立。 √2(x+y)≥x+y,x,y∈R。 设复数之，之1，之2的对应点分别为 方法3：代数转化法+判别式 Z(x,y),Z1(2,0),Z(0,2),则|之一1一 依题意不妨设之1=2，之2=2i,之？=x十 yi(x,y∈R),则x2+y2=2,之1+十之2=2十2i, =√/(x-2)+(y-2)F=√10-4(x+y), 其中x+y=2。因为(x+y)≤(x2+y)· 所以|之一（之1十之2）|=√10-4(x十y)。令 (1十1)=4，所以一2≤x+y≤2，所以2≤10 x十y=t, t=x+y,由 可得2x2-2tx+t x2+y2=2, 一4(x+y)≤18，所以√2≤√10-4(x+y) -2=0,所以△=一4t+16≥0，可得一2≤ ≤3√2，所以|之g一（之1十之2）|max=3V2。 22 资一数型识糖构室西骨中学生教理化 方法7：代数转化法十转化为直线与圆 2√3x十n=0的另一个根，结合韦达定理得 的位置关系 设复数，之1,2的对应点分别为 m+i+m-i=23·解得m=3,n=4。 (m+i)(m-i)=n, Z(xy),Z1(2,0),Z(0,2),则|之一之1一之2 2.设复数之1，之：满足|之1=2|=2， =√(x-2)+(y-2)产=√10-4(x+y), 之1十之2=√3十i,则|之1一x2|=。 其中x2十y2=2。构造直线与圆的位置关系 提示：（方法1）设1=x1+yi(x1,y1∈ 求解。 R),之：=x2+y2i(x,y2∈R),则|1= 记x+y=t,即x+y一t=0。由题意得 |x:|=2,所以x+y=x号+y=4。因为 x十y一t=0与x2+y2=2有公共点，所以 x1十：=x1十x:+(y1+y2)i=W3+i,所以 ≤2，所以t≤2，所以-2≤x+y≤ √2 |x1十22=(x1+x2)2+(y1+y)=x十 2,所以2≤10-4(x十y)≤18，所以|之：一（之 y+x+y+2x1x2+2y1y2=8+2x1x2+ +之2)mx=√18=3V2。 2y1y2=|3+i12=(√3)2+1=4，所以 方法8：复数的三角不等式 2x1x2十2y1y2=-4。所以|之1一之2|=|x1 依题意不妨设之1=2，之：=2i,之：=x十 x2+(y1一y,)i=V√(x1-x:)+(y1-y) yi(x,y∈R),则x+y=2,之1十2=2十2i, =√x+y+x+y-2x1x2-2y1y:=√8+4 所以1十之|=2√2，结合复数的三角不等式 =23。 即可求出最值。 (方法2)设复数≈1=a十bi(a,b∈R),由 由之1=2，之2=2i,可得(OZ1,O2z)=T 之1+之2=√3+i得=3-a+(1一b)i,所 2。 由已知得1之1十之：|=1Oz1+O立。1 以|x112=a2+b2=4,|x:12=(√3-a)2+(1 1a2+b2=4, √ō立，+Oz)=√/oz,+oz,+2o元，·02 一b)2=4,所以 因为之1一之2= √3a+b=2。 =2√2，所以|之？一之1一之2|=之一(1十：)| 2a-√3+(2b-1)i,所以|之1-之2|2=(2a ≤|之g+|x1十|=√2十2√2=3√2，当且仅 √3)2+(2b-1)2=4(a2+b2)-4(5a+b)+ 当之对应的向量OZ与1十：对应的向量 4=4×4一4×2十4=12，所以|之1一x21= O立+O立，=OM反向时取等号，所以x:一 2√3。 (之1十之2)|mx=32。 (方法3)所求问题可等价转化为向量a, 感婚限登 b满足a=b=2,a+b=(3,1),求|a b。 1.在复平面内，O为坐标原点，复数 因为(a+b)2十(a-b)2=2|a12+ 之1=m+i是关于x的方程x一2√3x+n=0 21b12,所以4+(a-b)=16,所以|a-b|= 的一个根。求实数m,n的值。 23,即之1-之2|=2√3。 提示：（方法1）依题意得(m+i)2 (方法4)设之1十之2=x=√3十i,则之在复 2√3(m+i)+n=0,整理得m2一1一2√3m+ 平面内对应的点为P(3,1),所以之1十= |≈=2。由平行四边形法则知OAPB是边长 n+(2m一2W3)i=0。 为2，一条对角线也为2的菱形，所以另一条对 m2-1-25n+n=0, 由上可得 解得 2n一23=0， 角线的长为一=2×号×2=2V5。 m=√3，n=4。 作者单位：陕西省洋县第二高级中学 (方法2)依题意可得，m一i是方程x (责任编辑郭正华) 23