依据关联转化，突破回归模型及其应用问题-《中学生数理化》高考数学2026年6月刊

中学生表理化然皱学创新摩视猜题 依据关联转化，突破回归模型及其应用问题 ■山东省垦利第一中学 韩旭 题型一、对数函数型回归模型 (u:-u)(y-y) 这类问题通常出现在对数据进行统计分 0.93 =18.6。又因为 0.05 析，当绘制的散点图呈现出类似对数函数的 变化趋势时，便可判断数据符合对数函数型 =1.5+2+3+4.5+6.8=3.56,4=9.7 回归模型。由于无法直接求解对数函数型回 5 归方程，解题过程中需通过换元法，令。= =1.94,所以a=y-bu=3.56-18.6×1.94 log。x(a>0且a≠1)，将原对数函数模型转 =一32.524。故所求的回归方程为y= 化为线性关系，进而借助最小二乘法对转化 18.61nx-32.524。 后的线性模型进行参数估计，最终还原为对 (2)当汽油价格上涨至9元/升，即x=9 数函数形式的回归方程，实现对数据规律的 时，可得y=18.6×ln9-32.524≈8.396，所 有效拟合与分析。 以当汽油价格上涨至9元/升时，“三蹦子”的 例12025年我国的“三蹦子”（电动 销量约为8.396万辆。 三轮车)火了，受到全球消费者的一致好评。 点评：本题考查的是典型的对数函数型 某研究机构为了研究汽油对“三蹦子”销量的 回归模型。解题的关键在于通过变量替换， 影响，统计了汽油价格x(单位：元/升)与“三 令lnx:=u;,将原回归方程y=blnx十a转 化为线性形式y=bu十a,从而转化为线性回 蹦子”的月销量y(单位：万辆)之间的关系， 归问题，再运用线性回归的方法求解回归方 数据如表1所示。 程，进而得到所需的函数模型。 表1 题型二、指数函数型回归模型 6 6.57 7.5 这类问题是根据数据变化，散点图明显 y1.5234.56.8 呈指数函数的图像变化趋势，则回归方程为 (1)若用模型y=blnx十a模拟x与y 指数函数。常见的处理方式有两种：一是针对 之间的关系，求回归方程： 形如y=be十a的回归方程，只需令e=u,得 (2)根据建立的回归方程，预测当汽油价 y=bu十a;二是针对形如y=me的回归方 格上涨至9元/升时，“三蹦子”的销量。 程，通过两边取对数，得lny=bx+lnm。 参考数据和公式：ln3≈1.1，∑(x, 例2某学校学习兴趣小组为了了解 学校图书馆看书的人数，统计了开学第1天 x)(y:-y)= 6.55, ∑(x:-x)= 2.5:令 到第7天的人数变化，如表2所示，如用x表 示第几天，y表示每天到图书馆的人数。 In x=u, 得∑u, =9.7,∑(u u) 表2 2 3 4 6 6 7 (y:-y)=0.93, ∑(u4-u)=0.05:b= i=1 12224268132202392 2(x-)(y-y (1)根据数据变化，判断模型y=a十bx =1 ,a=y-bx。 x,- 与y=c·d哪个更符合数据变化情况，不需 i=1 要说出理由； 解析：(1)已知可设lnx:=u:,所以b= (2)根据(1)的判断结果，求回归方程（保 26 解贤数碧提酒滑中学生教理化 留两位有效数字)，并预测第8天到图书馆看 中，通常利用换元法将幂函数关系转化为线性 书的人数 形式，从而将非线性回归问题转化为线性回归 参考数据和公式：10=6.9：令u:= 问题，再利用线性回归方法进行分析与求解。 1gy,得0=1.84，∑x0:=58.55;b= 例3直播带货是近年来的新兴行业， =1 我国在线直播购物也保持高速增长趋势，相关 部门对2021~2025年在直播间购物的用户（单 =1 -,a=0一bx。 位：亿人)进行统计，得到如表3所示的数据。 表3 解析：(1)根据数据变化趋势，呈现指数 年份代码x123 45 函数图像的变化规律，故选模型y=c·d。 市场规模y3.984.565.045.866.36 (2)由y=c·d两边取10为底的对数， 根据数据变化，发现符合模型y=b√ 得lgy=xlgd+lgc,令o=lgy。 十a,求回归方程，并利用回归方程预测2029 由数据得x=1+2+3十4+5+6+7 年我国在线购物规模（结果精确到0.01）。 7 参考数据和公式：y≈5.16；令0：= =4,∑x=1+2+3+4+5+6+7 √x:,得≈1.68， 20y:≈45.10b= 140,所以∑x-7x2=140-7×4°=28。 =1 2viyi-nvy 因为∑x,0:=58.55,所以∑x0, i= ,a=y-b0。 =1 7x0=58.55-7×4×1.84=7.03,则 - 解析：设o=√，则y=bu十a。 ∑xu:-7x0 7.03 Ig d= ≈0.25，所以 因为y≈5.16,0≈1.68，∑=∑ Ti= ∑x-7x: 28 =1 ∑y-5w d=100.25 1+2+3十4+5=15，所以b= 又因为1gc=o-x1gd=1.84-4× 2-5 0.25=0.84,所以c=10.4=6.9。 所以回归方程为y=6.9×10。 ≈45.105×1.68×5.16≈1.98，则a=y 15-5×1.68 当x=8时，y=6.9×105x8=690,所以 一b0≈5.16一1.98×1.681.83，所以y与 开学第8天预计到图书馆看书的人数为690。 x的回归方程为y=1.98√：+1.83。 点评：本题属于典型的指数函数型回归 当x=9时，y=1.98×3+1.83=7.77, 模型应用问题。解题的关键在于通过对方程 预测2029年我国在线购物大约有7.77亿人。 两边同时取对数，将非线性的指数模型转化 点评：本题属于典型的幂函数回归模型 为线性回归模型，进而利用线性回归的方法 问题，为简化求解过程，可通过变量代换将非 进行求解。在取对数的过程中，需结合题目 线性关系线性化。令。=√元，则原方程y= 所给的具体数据特点，合理选择以何种对数 b√：十a可转化为y=bo十a,从而将非线性 (如自然对数或常用对数)进行变换，以确保 的幂函数模型转化为线性回归模型。随后， 计算的准确性和简便性。 利用最小二乘法求出线性回归直线方程，再 题型三、幂函数型回归模型 这类问题的特点是：当数据变化呈现出 将变量口还原为√：，即可得到原始的幂函数 型回归方程，完成模型的建立与求解。 符合幂函数图像特征的规律时，可采用幂函 (责任编辑王福华)》 数型回归模型进行处理。在实际求解过程 27