识别模型 解答排列问题-《中学生数理化》高二数学2026年6月刊

中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年6月 识别模型 解答排列问题 ■张家口市第一中学 杨乐 排列与组合是两类特殊的计数问题，是 通部分，避免漏解或重复。 两个计数原理的典型应用。解决具体问题 例2某班有甲、乙、丙、丁四名学生依 时，需要将实际计数问题抽象为排列或组合， 次参加4×100m接力比赛，已知甲不能站在 建立恰当的问题模型，然后分类或分步，用排 第一位，乙不能站在第二位，则可能的排列顺 列数或组合数公式进行计算。下面就排列问 序有( )。 题，梳理模型，归纳核心特征，给出解题策略， A.8种 B.14种 以期对同学们的学习有所帮助。 C.18种 D.24种 一、无约束条件的基础排列模型 解析：分甲站在第二位和不站在第二位 核心特征：元素不同、无顺序之外的约 两种情况讨论。 束。 ①当甲站在第二位时，余下三人可以全 解题策略：只需考虑“选”与“排”的双重 排列，此时共有A=6(种)情况； 逻辑。 ②当甲不站在第二位时，甲有2个位置 例1为了丰富学生的课余生活，某校 可选，此时乙也有2个位置可选，余下两人可 拟开展课外实践活动，有6种实践活动可供 以全排列，则共有2×2×A=8(种)情况。 选择。若甲、乙、丙三名学生每人从中选择1 综上，一共有6+8=14（种）情况。选B。 种，且3人选择的实践活动不同，则不同的选 点评：对于涉及特殊元素或特殊位置的 法共有( )。 排列问题，常常运用优先法求解。对于特殊 A.60种 B.80种 元素（位置），需先考虑有限制条件的元素（位 C.120种 D.150种 置)，再对其他元素（位置）进行排列，最后用 解析：甲、乙、丙三名学生每人从6种实践 分步计数原理求出总排列数。 活动中选择1种，3人选择的实践活动不同，则 三、相邻问题捆绑法模型 选法共有A=6×5×4=120(种)。选C。 核心特征：某些元素必须相邻。 点评：这是排列问题的最基本形式，核心 解题策略：将相邻元素视为一个整体，转 是“从n个不同元素中任取n个，无额外限 化为整体与其他元素的排列问题。 制地排列”，可直接套用排列公式计算。 例3有5本不同的书，其中语文书2 二、特殊元素（位置）优先模型 本，数学书2本，物理书1本。若将其随机摆 核心特征：存在“特殊元素”（如指定某元 放到书架的同一层，则相同科目的书相邻的 素必须在或不在某位置)或“特殊位置”（如指 排法有( )。 定某位置必须排或不排某元素)。 A.12种 B.18种 解题策略：优先处理特殊部分，再处理普 C.24种 D.36种 32 解登餐来方青中学生表理化 解析：将2本语文书捆绑、2本数学书捆 的4本书占有4个位置，优先考虑有A:种放 绑，则相同科目的书相邻的排法有AAA= 法，剩下的5个位置按原有顺序放原来的5 2×2×6=24(种)。选C。 本书，故共有A=3024(种)放法。 点评：对于要求元素相邻的排列问题，需 点评：有顺序模型的插空问题，是排列组 采用捆绑法求解。先把相邻的若干个元素 合中一种具有结构化思维特征的题型。解题 “捆绑”，组成一个大元素，再与其余元素一起 的核心逻辑在于对“顺序约束”的敏感识别， 排列，最后运用分步计数原理求出结果。在 以及对插入过程的动态建模。解题的关键在 解题时，还需注意将捆绑起来的元素“松绑”， 于将复杂的整体变化过程，拆解为“按顺序一 并对这些元素的顺序进行排列。 步步插入”的递进过程，每插入一个元素，系 四、不相邻问题插空法模型 统状态就会发生一次结构性更新，后续的插 核心特征：某些元素不能相邻 入空间也会随之变化。 解题策略：先排无约束元素，再将不相邻 六、正难则反，化难为简 元素插入空隙中，避免相邻。 核心特征：含有“至多”“至少”等词语。 例4某校举办运动会，某班级选出跑 解题策略：考虑反面，利用正难则反原则。 步较好的4人参加4×100m接力赛，其中 例6地面上有并排的七个汽车位，现 甲、乙两人不跑相邻棒的排法有( )。 有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入 A.8种 B.12种 库。当停车完毕后，恰有两个连续的空车位， C.16种 D.24种 且红、白两车互不相邻的情况有种。 解析：先对剩下两个人进行全排列，有 解析：根据题意从反面考虑，先算出恰有 A种排法，此时有3个空位置，再对甲、乙两 两个连续空车位的情况，再算出恰有两个连 人进行排列，有A种排法，根据分步乘法计 续空车位，且红、白两车相邻的情况，两数作 差即可求解。 数原理，共有AA=12(种)排法。选B。 从反面考虑，恰有两个连续空车位的情 点评：某些元素不能相邻，可采用插空法 况有A·A=480(种)。 来求这些元素的排列数。先把没有位置要求 恰有两个连续空车位，且红、白两车相邻 的元素进行排列，再把不能相邻的元素插入 的情况有A·A·A=144(种)。 排好的队列中间或两端，最后运用分步乘法 故所求情况有480一144=336（种）。 计数原理计算总排列数。 点评：解答这类复杂问题，可以采用间接 五、定序问题倍缩或空位插入模型 法。先读懂题意，求出所有元素的排列数，然 核心特征：某些元素的排列顺序固定，无 后减掉反面情况的排列数，即可得出问题的 须额外排列定序元素。 答案。 解题策略：通过“倍缩”消除顺序影响，或 总之，解决排列问题的关键的是识别模 直接用空位法分配定序元素。 型一一先判断是否有约束（相邻、不相邻、定 例5书架上原有5本书，再放上4 序等)，再对应选择捆绑、插空、倍缩等方法， 本，但要求原有的顺序保持不变，则不同的方 优先处理特殊部分，最后用分步乘法计数原 法有多少种？ 理整合结果。解题时，同学们要认真研读题 解析：方法一：对全部的9本书全排列， 目，找到所有限制条件，以两个计数原理为指 有A:种排法，已排定顺序的5本书的全排列 导，综合直接法和间接法，转化为基本模型， 采用位置优先或元素优先的处理策略，采取 数为A,所以满足题意的插入方法有A 相邻问题“捆绑法”，不相邻问题“插空法”，定 3024(种)。 序问题“比值法”等，合理分类和分步。 方法二：9本书占有9个位置，其中后放 (责任编辑徐利杰) 33