专题06 万有引力与宇宙航行 专项训练——备战2027届高考高分突破系列（全国适用）

**基本信息** 以神舟二十一号航天案例为载体，构建"问题探究-方法提炼-多维拓展"的万有引力专项训练体系，融合科学思维与物理观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例剖析|1题|通过地球自转差异建立引力与重力关系模型|从地表重力差异切入，推导地球半径与质量计算方法| |深度探究|3探究6设问|提炼"万有引力提供向心力"核心公式组|构建"地表重力-轨道运动-天体参量"逻辑链| |类题拓展|6题|总结椭圆轨道、多星系统等6类变式解法|实现从单一轨道到复杂系统的认知进阶| |秘法提炼|2情形3公式|区分万有引力是否满足向心力的两种情形|建立"概念-公式-应用"三层知识架构| |巩固提升|16题|整合冲日现象、双星系统等实际问题|覆盖高考高频考点，强化模型建构与科学推理|

专题06万有引力与宇宙航行 典例剖析：万有引力与宇宙航行 2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船被长征二号F遥二十一运载火箭成功送入太空，11月1日3时22分，神舟二十一号成功相会“天宫”（空间站天和核心舱），天和核心舱距离地面约，地球北极的重力加速度为g，地球赤道表面的重力加速度为，地球自转的周期为T，引力常量为G。天和核心舱轨道为正圆，地球为球体。根据题目的已知条件，下列说法错误的是（　　） A．可以求出地球的半径 B．天和核心舱在轨运行的线速度大于第一宇宙速度 C．可以求出天和核心舱的周期 D．可以求出地球质量 深度探究 探究1：试题点拨 万有引力与宇宙航行问题分析的基本思路？ 探究2：拓展设问 设问1：已知万有引力常量G，地球半径R，地球表面重力加速度g（忽略地球自转），能计算出地球的密度吗？ 设问2：已知万有引力常量G，人造地球卫星绕地做圆周运动的速度v和周期T，能计算出地球的质量吗？ 设问3：已知万有引力常量G，月球绕地球做圆周运动的周期T及月球的中心与地心间的距离r，能计算出地球的质量吗？ 设问4：已知万有引力常量G，地球绕太阳做圆周运动的周期T及地心与太阳中心间的距离r，能计算出地球的质量吗？ 探究3：类题拓展 1．（考向拓展：天体质量——天体密度）郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（   ） A． B． C． D． 2．（考点拓展：单一考点——多个考点）2025年5月14日，我国成功将太空计算卫星星座发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，标志着我国首个整轨互联的太空计算星座正式进入组网阶段。如图所示，假设其中一颗太空计算卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，距地面的高度为h，观察发现每经过时间t，该卫星绕地球转过的圆心角为θ（弧度）。已知地球半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（     ） A．该卫星的线速度大小为 B．该卫星的向心加速度大小为 C．地球的质量为 D．地球的第一宇宙速度大小为 3．（轨道拓展：圆形轨道——椭圆轨道）如图1，某人造卫星绕地球运动，其所受地球引力大小随时间变化的规律如图2所示，t为已知量。已知地球的半径为R，近地点离地面的高度也为R，引力常量为G，假设卫星只受地球引力，下列说法正确的是（     ） A．卫星在近地点与远地点离地的高度之比为 B．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为 C．卫星在近地点与远地点的速度之比为 D．地球的质量为 4．（表征拓展：文字表征——图像表征）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a—x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的2倍，则（　　） A．星球M与N重力加速度之比为 B．星球M与N的第一宇宙速度之比 C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍 D．Q下落过程中弹簧的最大弹性势能是P的6倍 5．（对象拓展：单星问题——多星问题）“双星系统”是指在相互间万有引力的作用下，绕连线上某点O做周期性运动的两个孤立星球组成的系统。若忽略其他星球的影响，可以将A星球和B星球看成“双星系统”，它们始终绕着O点在两个不同轨道上做匀速圆周运动，如图所示为A星球和B星球的运行轨迹，已知，则（     ） A．A星球的运行周期小于B星球的运行周期 B． C．A星球和B星球的加速度大小之比为 D．A星球和B星球的动量大小之比为 6．（思维拓展：直接使用——类比对比）北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度高可靠定位、导航、授时服务。如图所示，a为北斗组网卫星中的极地卫星、b为组网中的地球静止卫星，c为赤道上随地球一起转动的物体。已知地球自转周期为T，地球半径为R，赤道上重力加速度为g，引力常量为G，则（     ） A．地球的质量为 B．b卫星距地面高度为 C．a、b、c的线速度大小关系为 D．a、b、c的周期大小关系为 秘法提炼 1.基本思想 分析万有引力问题的基本思想就是万有引力作用下的天体圆周运动。具体可以分为以下情形： （1） 万有引力满足天体做圆周运动的向心力要求。此时，天体做圆周运动，分析相关问题时，按照圆周运动基本规律进行分析即可。 （2） 万有引力不满足天体做圆周运动的向心力要求。此时，分为两种情况，一个是万有引力小于理论上的向心力，一个是万有引力大于理论上的向心力。具体表现有两类：一类是自然天体的椭圆轨道运动；一类是人造天体的变轨问题。 2.核心规律 （1）天体运动都可以近似看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即，一般有以下几种表达形式： （2）在地面附近万有引力近似等于物体的重力，，即，整理得。 3.考查形式 万有引力与航天技术相结合，是高考对本专题知识的重要考查形式之一。近几年的高考多以选择题的形式出现，但部分省份也有以计算题形式出现的，主要考查万有引力定律及开普勒行星运动定律的应用，天体质量和平均密度的计算、天体（卫星）运行参量的比较、卫星的变轨和对接等。 专题巩固提升 一、单选题 1．太阳系各行星几乎在同一水平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行至某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。北京时间2022年9月27日，我们迎来了一次特别的木星冲日。这次冲日时，木星正好运行至近日点附近，这意味着木星距离地球更近，看起来也更大、更亮。已知地球和各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。地球公转轨道半径在天文学上常用来作为长度单位，叫作天文单位，符号“AU”，即天文单位。根据以上信息分析下列选项，其中说法正确的是（     ） 行星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．各地外行星中火星受太阳引力最大 B．木星公转周期不到11年 C．各地外行星中海王星两次冲日的时间间隔最长 D．2023年会再次出现木星冲日现象 2．开普勒定律发现之后，人们开始更深入地思考：是什么原因使行星绕太阳运动？牛顿结合他提出的力和运动的概念认为行星绕太阳运动是因为太阳对它有引力。若把质量为的行星围绕质量为M的太阳的运动近似看作匀速圆周运动，行星离太阳的距离为，运用开普勒第三定律，则可推得（     ） A．行星受到太阳的引力为 B．行星受到太阳的引力为 C．行星绕太阳做匀速圆周运动时，受到太阳的引力处处相同 D．不同质量的行星受到太阳的引力大小不同，质量越大的行星受太阳的引力一定越大 3．牛顿用月-地检验来验证万有引力中引力与距离的二次方成反比的正确性。当时已知地球半径，地面物体由引力产生的加速度，月球公转周期，地月距离。下面是月-地检验的重要步骤。 ①求出 ②假设月球和地面物体所受地球的引力均满足二次方反比定律 ③由假设推出月球的加速度和（为引力常量，为地球质量） ④用和计算出月球的加速度与之比为 ⑤比较①、④完成月-地检验 符合逻辑的月-地检验的顺序是（　　） A．①②③④⑤ B．②①③④⑤ C．②③①④⑤ D．①③②④⑤ 4．“地球隧道”作为物理思想实验，一经提出受到广泛关注。现一质量为的列车从点由静止开始仅在万有引力作用下沿隧道、运动。地球可视作质量分布均匀的半径为的球体，地心在点，。已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零，引力常量为，地表重力加速度为。不考虑地球的自转，下列说法正确的是（　　） A．列车在点的速度大小为 B．列车在点的速度大小为 C．列车在点的加速度大小为 D．列车在点的加速度大小为 5．中国载人登月工程规划在2030年前实现航天员登月。假设航天员登月后，在月球表面尝试估测月球质量。已知月球半径和引力常量。航天员分别用到如下器材，其中无法实现目标的是（　　） A．一个质量已知的钩码和一个弹簧测力计 B．一个质量已知的钩码、一把刻度尺和一块停表 C．一个质量未知的钩码、一把刻度尺和一块停表 D．一个质量未知的钩码、一根长度未知的细线和一块停表 6．近年来我国的火星探测工程和探月工程都取得了巨大进展。已知火星和月球的半径分别为和，质量分别为和，表面重力加速度分别为和，第一宇宙速度分别为和，近火轨道的卫星周期和近月轨道的卫星周期分别为和，忽略自转效应，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，某卫星发射后进入椭圆轨道。测得该卫星在椭圆轨道上运动的最大速度是最小速度的3倍，运行的周期为，离地心的最近距离为，引力常量为，则地球的质量为（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，两颗已发射的卫星A、B在同一轨道平面内绕地球沿逆时针方向做匀速圆周运动，某时刻两者与地心连线夹角为，轨道半径分别为。已知引力常量为G，地球质量为M，下列说法正确的是（　　） A．两卫星的线速度之比为 B．两卫星的加速度之比为 C．再经过时间，两卫星相距最近 D．两卫星经过相同的时间，卫星B与地心连线扫过的面积更大 9．“天问一号”是中国首次自主火星探测任务，成功实现了火星的环绕、着陆和巡视，标志着中国在深空探测领域的重要进展。如图所示，“天问一号”通过调相轨道2在点进入火星的停泊轨道1，轨道1和轨道2在点相切，为轨道2的远火点，为轨道2的近火点，则“天问一号”（     ） A．在地球的发射速度介于与之间 B．在轨道2运动的周期小于在轨道1运动的周期 C．在轨道2运动的机械能小于在轨道1运动的机械能 D．在轨道2经过点的速度小于在轨道1经过点的速度 10．设想在赤道上建造“太空电梯”，站在太空舱里的宇航员可通过竖直的电梯缓慢直通太空站。如图所示，为宇航员到地心的距离，为地球半径，曲线为地球引力对宇航员产生的加速度大小与的关系，直线为宇航员由于地球自转而产生的向心加速度大小与的关系。关于相对地面静止在不同高度的宇航员，下列说法正确的是（　　） A．宇航员在处的线速度小于地球同步卫星的线速度 B．宇航员在处的角速度大于地球同步卫星的角速度 C．图中的为地球同步卫星离地面的高度 D．太空舱对宇航员的支持力与地球对宇航员的吸引力为平衡力 11．地球有周期性的潮汐现象，研究表明潮汐力会耗散地球自转能量，缓慢降低地球自转速度，若仅考虑这一影响因素，则多年以后与现在相比，下列说法正确的是（     ） A．地球表面赤道处的重力加速度减小 B．地球表面两极处的重力加速度增大 C．地球同步卫星的轨道高度降低 D．地球的第一宇宙速度大小不变 12．在利用地月系统计算引力常量G时，有两种方法：①地球视为静止，月球绕地球转动，计算出的引力常量为；②地、月看成双星系统，绕二者连线上一点转动，计算出的引力常量为。已知地球质量为，月球质量为。则（　　） A． B． C． D． 二、解答题 13．我国计划于2026年下半年发射嫦娥七号探测器，对月球地形地貌、物质成分、空间环境进行综合探测。已知月球质量为，月球半径为，引力常量为，忽略月球自转。 (1)求月球表面的重力加速度大小； (2)求月球的第一宇宙速度； (3)若在月球表面上方高处，以初速度竖直向上抛出一小球，求小球从最高点落回月球表面所用的时间（重力加速度不变）。 14．如图所示，宇航员在某质量分布均匀的星球表面，从一斜坡上的P点沿水平方向以初速度v0抛出一小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，引力常量为G，忽略星球自转的影响，求： (1)该星球表面的重力加速度大小； (2)该星球的密度； (3)该星球的第一宇宙速度。 15．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。彗星作为太阳系中的小天体，其运动轨道是一个非常扁的椭圆，如图所示。 (1)已知某彗星在近日点与太阳中心的距离为，线速度大小为；在远日点与太阳中心的距离为，线速度大小为。 a.请比较和的大小； b.求该彗星在近日点加速度的大小和在远日点加速度的大小之比。 (2)地球及地外行星（轨道半径大于地球轨道半径的行星）绕太阳运动的轨道半径如下表所示。 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 a.已知万有引力常量，地球公转周期，日地距离取3.14，请估算太阳的质量（保留一位有效数字）； b.当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。通过计算分析说明，地外行星相邻两次冲日的时间间隔最短的是哪颗行星。 16．利用不同的模型可以探索地月系统的奥秘。已知引力常量为G，地球半径为R，地球质量是月球质量的k倍，地球和月球两球心的距离为d，忽略其他星球的影响。回答下列问题： (1)在地球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为，不计空气阻力，忽略地球自转，求地球的质量M及月球绕地球做匀速圆周运动的角速度ω0； (2)实际上地球和月球构成双星系统，共同绕地月球心连线上的O点做匀速圆周运动，求该匀速圆周运动的角速度ω； (3)在地月系统中存在五个拉格朗日点，在拉格朗日点的航天器与地球、月球始终保持相对静止，即航天器在地球和月球引力的作用下以角速度ω绕O点做匀速圆周运动。其中L4点与地球、月球构成等边三角形，如图甲所示。L2点在地月延长线上，如图乙所示。航天器的质量远小于地球、月球的质量。[可能用到的数学工具：余弦定理；当时，可作近似处理] ①求在L4点的航天器做匀速圆周运动的半径r； ②设L2点与月球球心的距离为x，我们无法求出x的解析解，但如果作近似处理，认为，则可以计算出，求系数k0的值。 试卷第8页，共22页 试卷第9页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06万有引力与宇宙航行 典例剖析：万有引力与宇宙航行 2025年10月31日23时44分，神舟二十一号载人飞船被长征二号F遥二十一运载火箭成功送入太空，11月1日3时22分，神舟二十一号成功相会“天宫”（空间站天和核心舱），天和核心舱距离地面约，地球北极的重力加速度为g，地球赤道表面的重力加速度为，地球自转的周期为T，引力常量为G。天和核心舱轨道为正圆，地球为球体。根据题目的已知条件，下列说法错误的是（　　） A．可以求出地球的半径 B．天和核心舱在轨运行的线速度大于第一宇宙速度 C．可以求出天和核心舱的周期 D．可以求出地球质量 【答案】B 【详解】A．在地球北极，万有引力完全等于重力，得 在赤道处，万有引力分解为重力和地球自转的向心力 化简得 可解得地球半径，故A正确； B．第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，是绕地球做圆周运动的最大环绕速度，由环绕速度公式 可知：轨道半径越大，线速度越小。天和核心舱轨道半径，因此它的线速度小于第一宇宙速度，故B错误； C．对天和核心舱，万有引力提供圆周运动向心力 整理得 ，代入，均已知，因此可以求出核心舱的周期，故C正确； D．由得地球质量，已求出，已知，因此可以求出地球质量，故D正确。 本题选择错误选项，故选B。 深度探究 探究1：试题点拨 万有引力与宇宙航行问题分析的基本思路？ 【答案】万有引力作用下的天体运动问题，核心本质是圆周运动规律的基本应用，即天体所受到的万有引力充当其做圆周运动的向心力。因此，利用 和进行合理组合，基本上就可以解决绝大多数万有引力问题。 探究2：拓展设问 设问1：已知万有引力常量G，地球半径R，地球表面重力加速度g（忽略地球自转），能计算出地球的密度吗？ 【答案】由得地球质量，而球体的体积V=，根据，即可以求得地球的密度。 设问2：已知万有引力常量G，人造地球卫星绕地做圆周运动的速度v和周期T，能计算出地球的质量吗？ 【答案】由 和，联列就可以求解得到地球的质量。 设问3：已知万有引力常量G，月球绕地球做圆周运动的周期T及月球的中心与地心间的距离r，能计算出地球的质量吗？ 【答案】根据，有了题干中的条件，可以求得地球的质量。 设问4：已知万有引力常量G，地球绕太阳做圆周运动的周期T及地心与太阳中心间的距离r，能计算出地球的质量吗？ 【答案】不能。环绕天体的质量在相应表达式里都会被约掉，只有中心天体的质量才能够被求解。 探究3：类题拓展 1．（考向拓展：天体质量——天体密度）郭守敬望远镜是我国首个天文领域大科学装置，积累了大量的观测数据。分析观测数据表明，某行星绕一恒星做匀速圆周运动的周期为T，轨道半径为该恒星半径的n倍。不考虑其他星体的影响，引力常量为G，则该恒星的平均密度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设恒星半径为R，由题意得行星轨道半径r = nR 行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 整理得恒星质量 恒星为均匀球体，体积，平均密度，将r = nR代入得 故选C。 2．（考点拓展：单一考点——多个考点）2025年5月14日，我国成功将太空计算卫星星座发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，标志着我国首个整轨互联的太空计算星座正式进入组网阶段。如图所示，假设其中一颗太空计算卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动，距地面的高度为h，观察发现每经过时间t，该卫星绕地球转过的圆心角为θ（弧度）。已知地球半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（     ） A．该卫星的线速度大小为 B．该卫星的向心加速度大小为 C．地球的质量为 D．地球的第一宇宙速度大小为 【答案】D 【详解】A．该卫星绕地球做圆周运动的角速度为 卫星的线速度大小为，故A错误； B．该卫星的向心加速度大小为，故B错误； C．根据万有引力提供向心力得 可得地球的质量为，故C错误； D．地球的第一宇宙速度等于表面轨道卫星的运行速度，根据万有引力提供向心力得 联立可得地球的第一宇宙速度大小为，故D正确。 故选D。 3．（轨道拓展：圆形轨道——椭圆轨道）如图1，某人造卫星绕地球运动，其所受地球引力大小随时间变化的规律如图2所示，t为已知量。已知地球的半径为R，近地点离地面的高度也为R，引力常量为G，假设卫星只受地球引力，下列说法正确的是（     ） A．卫星在近地点与远地点离地的高度之比为 B．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为 C．卫星在近地点与远地点的速度之比为 D．地球的质量为 【答案】C 【详解】A．设近地点和远地点到地心的距离分别为、，根据万有引力公式，可得卫星在近地点和远地点时分别有， 解得 已知近地点离地面的高度为，则近地点到地心的距离为 所以远地点到地心的距离为 则远地点距地面的高度为 所以卫星在近地点与远地点离地的高度之比为，故A错误； B．由牛顿第二定律有 解得 可知卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为，故B错误； C．根据开普勒第二定律，卫星在近地点与远地点时有 可知近地点与远地点的速度之比为，故C正确； D．对于圆轨道上的卫星，根据万有引力提供向心力得 整理可得 由图2可知卫星的周期为 该卫星的半长轴 结合开普勒第三定律有 解得地球的质量为，故D错误。 故选C。 4．（表征拓展：文字表征——图像表征）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a—x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的2倍，则（　　） A．星球M与N重力加速度之比为 B．星球M与N的第一宇宙速度之比 C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍 D．Q下落过程中弹簧的最大弹性势能是P的6倍 【答案】C 【详解】A．由牛顿第二定律可知物体下落的加速度 可知两星球表面的重力加速度之比为，故A错误； B．星球M的半径是星球N的2倍，由第一宇宙速度可知星球M与星球N的第一宇宙速度之比为，故B错误； C．由物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系图，结合公式可知图像面积代表，P下落过程中的最大动能 Q下落过程中的最大动能 又由可知两图线斜率绝对值之比为质量反比，即 可得，即Q下落过程中的最大动能是P的4倍，故C正确； D．由运动的对称性，对P物体，下落速度最大，下落2速度变为0，弹簧压缩量达到最大；对Q物体，下落2速度最大，下落4速度变为0，弹簧压缩量达到最大，故Q的弹簧最大压缩量是P的2倍，由可知Q下落过程中弹簧的最大弹性势能是P的4倍，故D错误。 故选C。 5．（对象拓展：单星问题——多星问题）“双星系统”是指在相互间万有引力的作用下，绕连线上某点O做周期性运动的两个孤立星球组成的系统。若忽略其他星球的影响，可以将A星球和B星球看成“双星系统”，它们始终绕着O点在两个不同轨道上做匀速圆周运动，如图所示为A星球和B星球的运行轨迹，已知，则（     ） A．A星球的运行周期小于B星球的运行周期 B． C．A星球和B星球的加速度大小之比为 D．A星球和B星球的动量大小之比为 【答案】D 【详解】A．A星球与B星球是一个双星系统，它们始终绕着O点在两个不同圆轨道上运动，可知A星球与B星球始终在O点的两侧，且两星与O点始终在一条直线上，因此可知A星球与B星球运行的角速度相同，周期相同，故A错误； B．认为A、B在做圆周运动，设A的质量为、轨道半径为，B的质量为、轨道半径为，两星之间的距离为，两星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，则有， 其中 解得 显然，B星球的轨道半径大于A星球的轨道半径，因此可知A星的质量大于B星的质量，即，故B错误； C．由万有引力提供向心力有， 解得， 则A星球和B星球的加速度大小之比为b∶1，故C错误； D．由B选项可知 又因为，双星的周期和角速度相同，得动量关系为 即A星球和B星球的动量大小之比为1∶1，故D正确。 故选D。 6．（思维拓展：直接使用——类比对比）北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度高可靠定位、导航、授时服务。如图所示，a为北斗组网卫星中的极地卫星、b为组网中的地球静止卫星，c为赤道上随地球一起转动的物体。已知地球自转周期为T，地球半径为R，赤道上重力加速度为g，引力常量为G，则（     ） A．地球的质量为 B．b卫星距地面高度为 C．a、b、c的线速度大小关系为 D．a、b、c的周期大小关系为 【答案】B 【详解】A．对物体c，根据万有引力与重力的关系 解得地球质量，故A错误； B．设同步卫星距地面的高度为H，则有 解得HR，故B正确； C．根据，解得 因为a的轨道半径低于b的轨道半径，则有va＞vb，同步卫星和赤道上物体的周期相同，由，则有vb＞vc，综合以上有va＞vb＞vc，故C错误； D．由万有引力提供向心力，解得 因为a的轨道半径低于b的轨道半径，则有Tb＞Ta，即Tc＝Tb＞Ta，故D错误。 故选B。 秘法提炼 1.基本思想 分析万有引力问题的基本思想就是万有引力作用下的天体圆周运动。具体可以分为以下情形： （1） 万有引力满足天体做圆周运动的向心力要求。此时，天体做圆周运动，分析相关问题时，按照圆周运动基本规律进行分析即可。 （2） 万有引力不满足天体做圆周运动的向心力要求。此时，分为两种情况，一个是万有引力小于理论上的向心力，一个是万有引力大于理论上的向心力。具体表现有两类：一类是自然天体的椭圆轨道运动；一类是人造天体的变轨问题。 2.核心规律 （1）天体运动都可以近似看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即，一般有以下几种表达形式： （2）在地面附近万有引力近似等于物体的重力，，即，整理得。 3.考查形式 万有引力与航天技术相结合，是高考对本专题知识的重要考查形式之一。近几年的高考多以选择题的形式出现，但部分省份也有以计算题形式出现的，主要考查万有引力定律及开普勒行星运动定律的应用，天体质量和平均密度的计算、天体（卫星）运行参量的比较、卫星的变轨和对接等。 专题巩固提升 一、单选题 1．太阳系各行星几乎在同一水平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行至某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。北京时间2022年9月27日，我们迎来了一次特别的木星冲日。这次冲日时，木星正好运行至近日点附近，这意味着木星距离地球更近，看起来也更大、更亮。已知地球和各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。地球公转轨道半径在天文学上常用来作为长度单位，叫作天文单位，符号“AU”，即天文单位。根据以上信息分析下列选项，其中说法正确的是（     ） 行星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A．各地外行星中火星受太阳引力最大 B．木星公转周期不到11年 C．各地外行星中海王星两次冲日的时间间隔最长 D．2023年会再次出现木星冲日现象 【答案】D 【详解】A．太阳对行星的引力为，题目仅给出各行星轨道半径，未给出行星质量，无法判断引力大小，故A错误； B．根据开普勒第三定律，可得木星公转周期，故B错误； C．冲日时间间隔满足地球比地外行星多公转1圈，即 整理得，地外行星周期越大，越接近1年（越小）。 由开普勒第三定律可知海王星轨道半径最大，周期最大，故冲日间隔最短，故C错误； D．代入木星周期可得冲日间隔，2022年9月27日加1.09年约为2023年10月末，属于2023年，故D正确。 故选D。 2．开普勒定律发现之后，人们开始更深入地思考：是什么原因使行星绕太阳运动？牛顿结合他提出的力和运动的概念认为行星绕太阳运动是因为太阳对它有引力。若把质量为的行星围绕质量为M的太阳的运动近似看作匀速圆周运动，行星离太阳的距离为，运用开普勒第三定律，则可推得（     ） A．行星受到太阳的引力为 B．行星受到太阳的引力为 C．行星绕太阳做匀速圆周运动时，受到太阳的引力处处相同 D．不同质量的行星受到太阳的引力大小不同，质量越大的行星受太阳的引力一定越大 【答案】B 【详解】AB．行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供向心力，可得 结合开普勒第三定律可得，故A错误，B正确； C．引力是矢量，行星在不同轨道位置受到的太阳引力方向均指向太阳，方向不同，因此引力不相同，故C错误； D．由可知引力F与距离r和行星的质量m有关；m越大，F不一定越大，故D错误。 故选B。 3．牛顿用月-地检验来验证万有引力中引力与距离的二次方成反比的正确性。当时已知地球半径，地面物体由引力产生的加速度，月球公转周期，地月距离。下面是月-地检验的重要步骤。 ①求出 ②假设月球和地面物体所受地球的引力均满足二次方反比定律 ③由假设推出月球的加速度和（为引力常量，为地球质量） ④用和计算出月球的加速度与之比为 ⑤比较①、④完成月-地检验 符合逻辑的月-地检验的顺序是（　　） A．①②③④⑤ B．②①③④⑤ C．②③①④⑤ D．①③②④⑤ 【答案】C 【详解】月地检验的核心逻辑是“提出假设→推导理论值→实际观测计算实际值→比较验证”，步骤如下： ②假设月球和地面物体所受地球的引力均满足二次方反比定律 ③由假设推出月球的加速度和（为引力常量，为地球质量） ①求出 ④用和计算出月球的加速度与之比为 ⑤比较①、④完成月-地检验 故符合逻辑的月-地检验的顺序是②③①④⑤。 故选C。 4．“地球隧道”作为物理思想实验，一经提出受到广泛关注。现一质量为的列车从点由静止开始仅在万有引力作用下沿隧道、运动。地球可视作质量分布均匀的半径为的球体，地心在点，。已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零，引力常量为，地表重力加速度为。不考虑地球的自转，下列说法正确的是（　　） A．列车在点的速度大小为 B．列车在点的速度大小为 C．列车在点的加速度大小为 D．列车在点的加速度大小为 【答案】C 【详解】CD．设地球的密度为，因为质量均匀球壳对其内部物体的引力为零，所以列车在距离地心处，只受到来自以地心为球心、半径为、质量为的球体的万有引力，可得 可知地心内的列车受到的力与列车相对于地心的距离成正比，在地球表面列车受到的万有引力 列车在点受到的万有引力大小为 由牛顿第二定律可得 解得列车在点的加速度大小为 在地球表面有 化简可得 故C正确，D错误； AB．由于地心内的列车受到的力与列车相对于地心的距离成正比，从点运动到点的过程中，由动能定理可得 解得 故AB错误。 故选C。 5．中国载人登月工程规划在2030年前实现航天员登月。假设航天员登月后，在月球表面尝试估测月球质量。已知月球半径和引力常量。航天员分别用到如下器材，其中无法实现目标的是（　　） A．一个质量已知的钩码和一个弹簧测力计 B．一个质量已知的钩码、一把刻度尺和一块停表 C．一个质量未知的钩码、一把刻度尺和一块停表 D．一个质量未知的钩码、一根长度未知的细线和一块停表 【答案】D 【详解】月球表面物体所受万有引力近似等于重力，由 推导得 已知月球半径和引力常量，只需测得月球表面重力加速度即可求出月球质量。 A．弹簧测力计可测得已知质量钩码的重力，由 得，可求出进而得到，故A不符合题意； B．利用自由落体运动规律 用刻度尺测下落高度、停表测下落时间，可求出进而得到，故B不符合题意； C．自由落体运动求不需要钩码质量，仍可通过刻度尺测高度、停表测时间得到，进而求出，故C不符合题意； D．无刻度尺，既无法测量自由落体的下落高度，也无法测量单摆的摆长，无法求出，因此不能得到月球质量，故D符合题意。 故选D。 6．近年来我国的火星探测工程和探月工程都取得了巨大进展。已知火星和月球的半径分别为和，质量分别为和，表面重力加速度分别为和，第一宇宙速度分别为和，近火轨道的卫星周期和近月轨道的卫星周期分别为和，忽略自转效应，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．忽略自转效应，在星球表面有 可得表面重力加速度为 则有，故A错误； B．第一宇宙速度等于表面轨道卫星的运行速度，则有 可得 则有，故B错误； C．对于近轨卫星，由万有引力提供向心力得 可得 则有，故C正确； D．对于近轨卫星，有 可得 则有，故D错误。 故选C。 7．如图所示，某卫星发射后进入椭圆轨道。测得该卫星在椭圆轨道上运动的最大速度是最小速度的3倍，运行的周期为，离地心的最近距离为，引力常量为，则地球的质量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设最大速度为、最小速度为，离地心最远距离为，根据开普勒第二定律有 解得，则椭圆的半长轴 设卫星在半径为的圆轨道上运行的周期为，根据开普勒第三定律有 根据万有引力公式 解得 故选C。 8．如图所示，两颗已发射的卫星A、B在同一轨道平面内绕地球沿逆时针方向做匀速圆周运动，某时刻两者与地心连线夹角为，轨道半径分别为。已知引力常量为G，地球质量为M，下列说法正确的是（　　） A．两卫星的线速度之比为 B．两卫星的加速度之比为 C．再经过时间，两卫星相距最近 D．两卫星经过相同的时间，卫星B与地心连线扫过的面积更大 【答案】C 【详解】AB．根据 可得 可知两卫星的线速度之比为 两卫星的加速度之比为，AB错误； C．根据可得， 两卫星相距最近时，则 解得再经过时间，C正确； D．根据，卫星与地心连线扫过的面积 可知经过相同的时间，卫星A与地心连线扫过的面积较大，D错误。 故选C。 9．“天问一号”是中国首次自主火星探测任务，成功实现了火星的环绕、着陆和巡视，标志着中国在深空探测领域的重要进展。如图所示，“天问一号”通过调相轨道2在点进入火星的停泊轨道1，轨道1和轨道2在点相切，为轨道2的远火点，为轨道2的近火点，则“天问一号”（     ） A．在地球的发射速度介于与之间 B．在轨道2运动的周期小于在轨道1运动的周期 C．在轨道2运动的机械能小于在轨道1运动的机械能 D．在轨道2经过点的速度小于在轨道1经过点的速度 【答案】D 【详解】A．“天问一号”绕火星运动，因此发射速度须介于第二宇宙速度与第三宇宙速度之间，即介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A错误； B．根据开普勒第三定律有（为半长轴，为周期，为常量），轨道2的半长轴大于轨道1的半长轴，因此轨道2的周期大于轨道1的周期，故B错误； C．“天问一号”从调相轨道2进入停泊轨道1，需要在P点减速，动能瞬间变小，引力势能不变，机械能减小，因此轨道2的机械能大于轨道1的机械能，故C错误； D． 设火星质量为，若“天问一号”绕火星做匀速圆周运动，根据万有引力定律有 得 “天问一号”在点做近心运动，因此（是到火星中心的距离）； 轨道1的点，“天问一号”做离心运动，因此（是到火星中心的距离，且） 因此可得 即“天问一号”在轨道2经过点的速度小于在轨道1经过点的速度，故D正确。 故选D。 10．设想在赤道上建造“太空电梯”，站在太空舱里的宇航员可通过竖直的电梯缓慢直通太空站。如图所示，为宇航员到地心的距离，为地球半径，曲线为地球引力对宇航员产生的加速度大小与的关系，直线为宇航员由于地球自转而产生的向心加速度大小与的关系。关于相对地面静止在不同高度的宇航员，下列说法正确的是（　　） A．宇航员在处的线速度小于地球同步卫星的线速度 B．宇航员在处的角速度大于地球同步卫星的角速度 C．图中的为地球同步卫星离地面的高度 D．太空舱对宇航员的支持力与地球对宇航员的吸引力为平衡力 【答案】A 【详解】C．由题图知当时，万有引力产生的加速度等于宇航员做圆周运动的向心加速度，即万有引力提供做圆周运动的向心力，所以宇航员相当于卫星，此时宇航员的角速度跟地球的自转角速度一致，此时宇航员可以看作是地球的静止卫星，所以题图中的为地球同步卫星的轨道半径，而不是地球同步卫星离地面的高度，C错误； AB．宇航员在处位于地面上，随地球一起自转，角速度与地球同步卫星的角速度相同，由于，根据，可知宇航员在处的线速度小于地球同步卫星的线速度，正确、错误； D．太空舱对宇航员的支持力与地球对宇航员的吸引力的合力提供向心力，它们不是一对平衡力，错误。 故选A。 11．地球有周期性的潮汐现象，研究表明潮汐力会耗散地球自转能量，缓慢降低地球自转速度，若仅考虑这一影响因素，则多年以后与现在相比，下列说法正确的是（     ） A．地球表面赤道处的重力加速度减小 B．地球表面两极处的重力加速度增大 C．地球同步卫星的轨道高度降低 D．地球的第一宇宙速度大小不变 【答案】D 【详解】A．赤道处物体的万有引力分为重力和自转向心力，满足 推导得 地球自转速度减慢则减小，增大，故A错误； B．两极处物体无自转向心力，万有引力全部等于重力，即 得 与自转速度无关，因此两极处重力加速度不变，故B错误； C．同步卫星周期等于地球自转周期，地球自转速度减慢则周期增大，根据万有引力提供向心力 整理得 增大则轨道半径增大，轨道高度增大，故C错误； D．第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据万有引力提供向心力 得 、地球质量、地球半径均与地球自转速度无关，因此第一宇宙速度大小不变，故D正确。 故选D。 12．在利用地月系统计算引力常量G时，有两种方法：①地球视为静止，月球绕地球转动，计算出的引力常量为；②地、月看成双星系统，绕二者连线上一点转动，计算出的引力常量为。已知地球质量为，月球质量为。则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设地、月中心间的距离为l，月球的公转周期为T。 ①地球视为静止，月球绕地球转动，由万有引力提供向心力，有 解得 ②地、月看成双星系统，由万有引力提供向心力，有 其中 联立解得 则有 故选B。 二、解答题 13．我国计划于2026年下半年发射嫦娥七号探测器，对月球地形地貌、物质成分、空间环境进行综合探测。已知月球质量为，月球半径为，引力常量为，忽略月球自转。 (1)求月球表面的重力加速度大小； (2)求月球的第一宇宙速度； (3)若在月球表面上方高处，以初速度竖直向上抛出一小球，求小球从最高点落回月球表面所用的时间（重力加速度不变）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在月球表面，万有引力近似等于重力，即                  解得 （2）由万有引力提供向心力得                  解得 （3）小球竖直上抛，设小球上升的最大高度为H，由运动学公式得 小球自由下落，由运动学公式得 解得 14．如图所示，宇航员在某质量分布均匀的星球表面，从一斜坡上的P点沿水平方向以初速度v0抛出一小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，引力常量为G，忽略星球自转的影响，求： (1)该星球表面的重力加速度大小； (2)该星球的密度； (3)该星球的第一宇宙速度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据小球做平抛运动的规律可得x＝v0t， 且 解得g＝ （2）根据 解得 解得密度 （3）根据星球表面附近万有引力近似等于重力，该力提供向心力，可得 解得 15．太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。彗星作为太阳系中的小天体，其运动轨道是一个非常扁的椭圆，如图所示。 (1)已知某彗星在近日点与太阳中心的距离为，线速度大小为；在远日点与太阳中心的距离为，线速度大小为。 a.请比较和的大小； b.求该彗星在近日点加速度的大小和在远日点加速度的大小之比。 (2)地球及地外行星（轨道半径大于地球轨道半径的行星）绕太阳运动的轨道半径如下表所示。 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 a.已知万有引力常量，地球公转周期，日地距离取3.14，请估算太阳的质量（保留一位有效数字）； b.当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。通过计算分析说明，地外行星相邻两次冲日的时间间隔最短的是哪颗行星。 【答案】(1)， (2)，海王星 【详解】（1）a.根据开普勒第二定律，彗星与太阳的连线单位时间内扫过面积相等，近日点距离太阳更近，因此线速度更大，故 b.彗星在近日点和远日点的加速度由万有引力提供，根据万有引力定律提供向心力有 可得 因此 ， 所以加速度大小之比 （2）a.地球绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力 整理得 代入数据得 b.设地球周期为，地外行星周期为，相邻两次冲日时间间隔为。相邻冲日时地球比行星多转一圈，满足 可得 解得 根据开普勒第三定律可知，轨道半径越大，行星公转周期越大，结合上式可知，越大，越小， 表格中海王星的轨道半径最大，因此海王星相邻两次冲日的时间间隔最短。 16．利用不同的模型可以探索地月系统的奥秘。已知引力常量为G，地球半径为R，地球质量是月球质量的k倍，地球和月球两球心的距离为d，忽略其他星球的影响。回答下列问题： (1)在地球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，物体上升的最大高度为，不计空气阻力，忽略地球自转，求地球的质量M及月球绕地球做匀速圆周运动的角速度ω0； (2)实际上地球和月球构成双星系统，共同绕地月球心连线上的O点做匀速圆周运动，求该匀速圆周运动的角速度ω； (3)在地月系统中存在五个拉格朗日点，在拉格朗日点的航天器与地球、月球始终保持相对静止，即航天器在地球和月球引力的作用下以角速度ω绕O点做匀速圆周运动。其中L4点与地球、月球构成等边三角形，如图甲所示。L2点在地月延长线上，如图乙所示。航天器的质量远小于地球、月球的质量。[可能用到的数学工具：余弦定理；当时，可作近似处理] ①求在L4点的航天器做匀速圆周运动的半径r； ②设L2点与月球球心的距离为x，我们无法求出x的解析解，但如果作近似处理，认为，则可以计算出，求系数k0的值。 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【详解】（1）根据竖直上抛运动规律可得 根据万有引力与重力的关系 联立解得 对月球，根据万有引力提供向心力 解得 （2）根据万有引力提供向心力， 根据几何关系可得 联立解得 （3）①由以上分析可得 根据余弦定理可得 解得 ②由以上分析可得 根据牛顿第二定律可得 联立可得 等式两边同时乘以d2得 由于，则 所以 又 联立解得 试卷第8页，共22页 试卷第9页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $