第3章 勾股定理 单元复习讲义 2026—2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学勾股定理单元复习讲义以思维导图为核心构建知识体系，系统梳理勾股定理的探索过程、内容、证明方法及逆定理，通过层级结构呈现勾股数性质、实际应用模型等重难点，清晰展现知识内在逻辑与递进关系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础的第三边计算、勾股数判断，到中等的旗杆高度、梯子滑落问题，再到优质的折叠最值、赵爽弦图证明，培养数学眼光（抽象实际问题为直角三角形）和数学思维（推理与运算）。配套月考至期末覆盖题，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

第3章 勾股定理 思维导图 3.1 勾股定理的探究 3.1.1 勾股定理的探索过程 勾股定理的探究通常从特殊直角三角形入手，逐步推广到一般直角三角形，常见的探究方式有面积法： 1. 等腰直角三角形情形：在网格中分别以等腰直角三角形的三条边为边长向外作正方形，通过数方格或者割补法计算三个正方形的面积，可以发现：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。设等腰直角三角形的直角边长为(a)，斜边长为(c)，则可得到关系：。 2. 一般直角三角形情形：对任意直角三角形，同样用面积割补法验证三个正方形的面积关系，仍然可以得到“直角边对应的正方形面积和等于斜边对应的正方形面积”的结论，由此推导出三边的数量关系。 3.1.2 勾股定理的内容 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为(a)，(b)，斜边长为(c)，那么。 核心要点： 1. 勾股定理描述的是直角三角形三边之间的平方关系，只有在直角三角形中才能直接应用； 2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”，这也是“勾股定理”名称的由来； 3. 勾股定理的变形公式：已知任意两边，可以求出第三边： · 已知直角边求斜边： · 已知斜边和一条直角边求另一条直角边：， 3.1.3 勾股定理的证明 常用的证明方法为面积割补法，核心思路是通过同一个图形的不同面积表示方法，推导出三边的平方关系，常见的证明示例： 1. 赵爽弦图证法：用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间留出一个小正方形，大正方形面积可以表示为，也可以表示为四个直角三角形面积加上小正方形面积：，化简后即可得到。 2. 拼图证法：用两个全等的直角三角形和一个直角梯形拼接，通过梯形面积等于三个直角三角形面积和推导结论。 3.2 勾股定理的逆定理 3.2.1 勾股定理的逆定理内容 如果三角形的三边长(a)，(b)，(c)满足，那么这个三角形是直角三角形。 核心要点： 1. 勾股定理逆定理的作用是根据边长判断一个三角形是否为直角三角形，是直角三角形的一种判定方法； 2. 应用时需要先确定最长边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方：若相等，则最长边对的角是直角；若不相等，则不是直角三角形。 3.2.2 勾股数 满足的三个正整数，称为勾股数。 常见性质与要点： 1. 常见勾股数有：((3,4,5))、((5,12,13))、((6,8,10))、((7,24,25))、((8,15,17))、((9,12,15))等； 2. 一组勾股数中，所有数同时乘同一个正整数(k)，得到的新数组仍然是勾股数，例如(3,4,5)乘(2)得到(6,8,10)，仍然满足勾股数关系； 3. 勾股数必须是正整数，像(0.3,0.4,0.5)虽然满足，但不属于勾股数。 3.3 勾股定理的简单应用 3.3.1 勾股定理的基础应用 勾股定理可以解决直角三角形中已知两边求第三边的问题，常见应用场景： 1. 已知直角三角形的两条直角边，直接计算斜边长度； 2. 已知直角三角形的斜边和一条直角边，计算另一条直角边的长度； 3. 结合等腰三角形性质：已知等腰三角形的腰长和底边长，求底边上的高和面积。例如：等腰三角形腰长为(5)，底边长为(6)，作底边上的高将等腰三角形分为两个全等直角三角形，利用勾股定理可得高为，进而得到面积为(12)。 3.3.2 解决实际生活问题 勾股定理常用来解决生活中无法直接测量长度的问题： 1. 旗杆高度问题：已知旗杆顶端的绳子垂到地面还多出一段，把绳子下端拉开一段距离后刚好接触地面，求旗杆高度。将实际问题转化为直角三角形模型，设旗杆高为(x)，用勾股定理列方程即可求解； 2. 梯子滑动问题：已知梯子长度、梯子底端离墙的距离，求梯子顶端到地面的高度；或者梯子顶端下滑一段距离后，求底端滑动的距离； 3. 航海方向问题：已知轮船从港口出发向两个不同方向航行的路程，根据勾股定理逆定理判断航行方向是否垂直。 3.3.3 勾股定理逆定理的应用 1. 判断三角形形状：给定三角形三边长度，判断是否为直角三角形； 2. 解决实际问题：通过测量三角形三边长度，判断某个角是否为直角，例如工程中检测墙角是否垂直、判断零件是否符合直角要求。 【类型一】用勾股定理求第三边长 1．如图，在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（     ） A． B．3或 C．3或 D．或 3．中．，，边上的高为12，则边的长为________． 【类型二】数轴上表示无理数 1．如图，若边长为1的等腰直角三角形的一条直角边在数轴上，数轴上点所表示的数为，则为（     ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，与数轴垂直，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的负半轴交于点，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，线段于点，且线段长为个单位长度，若以点为圆心，长为半径作弧交数轴于和之间的点，则点表示的数为______． 【类型三】勾股数 1．勾股数又称毕达哥拉斯三元数，是指三个满足勾股定理的正整数，下列属于勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（     ） A．1，，2 B．8，9，10 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 3．清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【类型四】构成直角三角形的条件 1．在中，以下列各组数据为三边长，可以构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是______． 【类型五】用勾股定理求面积 1．一个等边三角形的边长为6，则该三角形的面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧分别交、于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的面积为（） A． B． C． D． 3．如图中，，，O为的中点，连接．点E为延长线上的一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转，点E的对应点F恰好落在边上．若，则的面积为_______． 【类型六】勾股树问题 1．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（     ） A．9 B．8 C．2 D．45 2．勾股树不仅展现了数学的对称美，更蕴含着深刻的数学原理．如图是勾股树的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，…，则第4个图形中正方形的个数是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 3．如图，是的边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．若，，则与之间满足的数量关系为______． 【类型七】赵爽弦图 1．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 3．如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形围成的大正方形．如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，若H是的中点，，则阴影部分的面积为______． 【类型八】勾股定理网格作图 1．在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小方格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求在网格中画出图形并回答问题． (1)在图中，以线段为一边画一个正方形，并写出所画正方形的面积； (2)在图中，画一个三边长分别为，，的三角形． 2．图1，图2均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形． (1)在图1中画一条长度等于的线段． (2)只用无刻度的直尺在图2中，画一格点，使得． 3．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： (1)在图中画出长为的线段； (2)在图中画出，满足，且面积为． 【类型一】勾股定理的应用一旗杆高度 1．如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为（     ）． A．8米 B．10米 C．15米 D．24米 2．如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为________． 3．【综合与实践】 【主题】测量旗杆高度 【素材】某校八年1班“项目式学习小组”要开展“测量旗杆高度”的项目式学习实践．小组成员来到学校升旗礼台前，发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面上（如图①），并多出了一段，经测量，多出的这段长为2米． 【实践探索】 如图②，小组成员站在旗杆左边，将绳子的下端拉开8米，此时，下端刚好接触地面，且绳子处于绷直状态．小组成员据此很快就计算出旗杆的高度． 思考：你是否也能计算出旗杆的高度？请写出你的解答过程． 【类型二】勾股定理的应用一梯子滑落 1．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（     ） A． B． C． D． 2．一架云梯长分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙分米，如果梯子的顶端下滑了分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 3．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【类型三】勾股定理的应用—大树折断 1．如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，若设折断处离地面的高度为尺，则根据勾股定理，可列方程为：______． 3．如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． (1)求木杆折断之前的高度； (2)如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 【类型四】勾股定理的应用—水中筷子 1．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是和．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，则铅笔的长是_________． 3．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？ 【类型五】勾股定理的应用—河宽 1．为测量河的宽度（垂直河岸），在地面上取参考点H，测得米，米，米，已知米，（M、P、N在同一直线上），求河宽（结果保留根号）． 2．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 3．综合实践 实践课题：测量河的宽度 测量工具：皮尺（测量长度），测角仪（测量角度） 方案设计：某科技小组设计了一个不完整的方案如下： 如图，选择河的某段两岸与平行的场地．在河岸侧一块平地上的点处观察对岸参照物点，测得视线与河岸的夹角为 问题解决： (1)任务一：请把上述测量方案补充完整，要求画出相应的示意图，用小写字母表示可以直接测量的线段的长度（所用字母不能与图中现有字母重复），用，等表示可以直接测量的角的度数（如果有直角可以直接用“”表示）； (2)任务二：根据你补充完整的设计方案，用你所标注的字母为已知数据，计算河的宽度．（结果用代数式表示） 【类型六】勾股定理的应用一台风 1．沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向由向移动，已知点为一城镇，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)请通过计算说明城镇是否会受到沙尘暴影响的原因？ (2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？ 2．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 3．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【类型七】勾股定理的应用一台阶地毯 1．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 2．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 3．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【类型八】勾股定理的应用一选址 1．如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 2．为扎实推进乡村振兴，改善农村居住条件，某乡镇正加快“天然气入户”工程建设．天然气主管道沿一条笔直公路单侧铺设，当前需完成公路同侧农户聚集区，的天然气管道接入任务．农户聚集区，的位置如图所示，区到公路的距离千米，区到公路的距离千米，且千米．工程需在主管道上选择一个接气点，铺设支线管道，．已知每米天然气管道费用为20元．（参考数据：） (1)如图1，若，求，两点之间的距离； (2)为节约建设成本，接气点应满足最小，请计算管道费用需要多少万元？（结果保留整数） 3．【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 【类型九】勾股定理逆定理的应用 1．已知在四边形空地中，米，米，，米，米．计算四边形空地的面积． 2．如图，某精密仪器的零件的平面图呈“飞镖”状（凹四边形），其中，，，，．若制作该零件的成本为20元，问每生产一个这种零件需要投入多少元？ 3．如图，某景区内有一个露营区C，河边上原有两个观景台A和B，且．为了方便游客观赏，现计划在河边新建一个观景台P（A、P、B在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： (1)试判断步道与的位置关系，并说明理由； (2)求观景台P与观景台B之间的距离的长．（结果保留到整数） 【类型十】勾股定理的应用一蚂蚁爬行 1．叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 2．如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． (1)蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； (2)另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 3．【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【类型一】勾股定理中的几何最值 1．如图，在等边中，于，为上一动点，以为一边作等边（，不在的同侧），点在边上，，，分别连接，．则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 2．如图，在等边和等边中，在直线上，，连接，，则的最小值是____． 3．问题探究 (1)如图①，已知中，，，平分．若为上一动点，连接，则的最小值为_____； (2)如图②，已知中，，，为中点，作，分别交边、于、两点，四边形的面积是否发生变化？若不变化请求出这个面积；若发生变化，请求出四边形的面积的最小值； 问题解决 (3)如图③，某公园中有一块四边形空地，经测量米，，．现计划对该空地进行重新规划，分别在边上选取点、，并沿，修两条休闲通道（通道的宽度忽略不计），设计要求四边形的面积为平方米，该区域将用于种植观赏花卉．为保障施工的安全，需在四边形的四周修建护栏．为了节约修建成本，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【类型二】勾股定理中的数形结合最值 1．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（    ） A．8 B．10 C．34 D． 2．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是_____． 3．按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 【类型三】勾股定理中的折叠问题 1．如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将长方形沿着折叠，点C恰好落在边上点F处，若，，则_______． 3．综合应用 已知：直角三角形纸板中，． (1)如图1，点在边上，将沿折叠，点落在点处．当时，线段的长度是多少？ (2)如图2，点是边上一动点（不与点A，C重合），将沿折叠，点落在点处．当与的边垂直时，线段的长度是多少？ (3)如图3，点为边的中点，点为边上一动点，将沿折叠，点落在点处．记的中点为，连接、．在点从点运动到点的过程中，的最小值是多少？ 【类型四】勾股定理的证明 1．综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 2．[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到． [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图，用个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用] (2)如图，用个全等直角三角形拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为，，求的值． 3．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【类型五】勾股定理的平方关系 1．已知等腰，，将一个含角的透明纸片的顶点放在处．将该纸片绕点旋转，设纸片角的两边分别交直线于，两点． (1)当点，在边上时（如图①），求证：； (2)当点在的延长线上，点在上时（如图②），求证：； (3)当点在上，点在的延长线上时（如图③），求证：． 2．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 3．在中，，为直线上的一个动点（不与点重合），连接，以为直角边作，且，连接． (1)如图，当点在边延长线上时，易证，且；此时，，三者之间的数量关系为：______． (2)如图，当点在边上（点不与点重合）时，（）中，，三者之间数量关系是否仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)类比构造：如图，在四边形中，．若，，直接写出边的长______． 【类型六】勾股定理中的等腰三角形 1．如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时． ①___________________（用含的代数式表示）； ②若是等腰三角形，求出此时的值； (2)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值． 2．如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿射线AC，以1cm/s的速度运动，设运动时间为t秒． (1)求AC的值； (2)当为直角三角形时，求t的值． (3)当为等腰三角形时，直接写出t的值； 3．如图，在中，，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)当点与点重合时，求的长； (2)设，用含的代数式表示线段的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【类型七】勾股定理中的直角三角形 1．如图，在中，，，，动点从点出发，沿边向点运动，到点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度． (1)______； (2)用含的代数式表示的长； (3)当为何值时，点与顶点的连线平分的周长； (4)直接写出当是直角三角形时，的取值范围为______． 2．【问题提出】 勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着极其广泛的应用．它架起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁．因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算． 在中，． 【新知初探】 （1）如图1，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，连接．当点运动_____秒时．． 【类比分析】 （2）如图2，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向向点运动，连接，当点运动_____秒时．点在的平分线上． 【学以致用】 （3）如图3，当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动．设运动的时间为． ①当为以为腰的等腰三角形时．求t的值； ②当为直角三角形时，直接写出的值． 3．已知：如图1，在中，，，，在下方作于点，，动点从点开始沿边以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： (1)则_______，用表示为_______； (2)连接，当为何值时，点在线段的垂直平分线上． (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (4)若将动点改为从以的速度运动，其它条件不变，问：点能否运动到的角平分线上？若能，则求出相应的值；若不能，则说明理由． 【类型八】勾股定理中的新定义 1．定义：如果一个三角形的三边长为x，y，z，满足（k为正整数），则称这个三角形为“k股三角形”． 例如：三边长为x，y，z，且，，，因为，所以为4股三角形． (1)下列三角形中一定是k股三角形的是_______（填序号）； ①锐角三角形    ②直角三角形    ③钝角三角形 (2)已知等腰是3股三角形，，，求的度数； (3)如图，CM是的中线，且，求证：是5股三角形． 2．定义：在四边形中，，则称这个四边形为“心半四边形” (1)探究发现：如图1，四边形中，，．求证：四边形为“心半四边形”． (2)拓展应用：如图2，四边形为“心半四边形”，，求的度数．（用含m的代数式表示） (3)变式思考：如图3，四边形为“心半四边形”，连接，交于点M，点N在上，连接，满足，若，，，求的长． 3．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形， 初步尝试 (1)如图1，在中，，，P为上一点，当的长为______时，与为偏等积三角形； 理解运用 (2)如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作平行，交的延长线于点E，求的长； 综合应用 (3)如图3，已知四边形，、是等腰直角三角形，，则与是偏等积三角形吗？请说明理由． 【类型九】最短路径综合 1．日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活． 主题    探究最短路径问题与用数学知识设计车位 活动一：如图1，点A、B是直线l上方两点，点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，在直线l上找一点P，使最短． (1)如图2，作点与点A关于直线l对称，连接交直线l于点O，连接交直线l于点P，连接，则点P即为所求，则______， _____ （选填或）； (2)如图3，过作，过B作于C，若，则____，_____； 活动二：某小区有一个矩形停车场，长，宽，大门设在处，如图4，小区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长为的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车场的边界及充电桩之间的距离都不小于，是两个充电桩的中心，叫做充电桩的中心距． (3)如图5，若沿方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距为_______； (4)调研发现，在停车场四个角落修4个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为，需在边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到的距离的和最短，则这个最短距离为__________． 2．综合与实践 如图1，点代表某工厂大门，水平直线代表一条笔直的道路，工厂计划在道路上建一个储物点． (1)如图，若车间在道路的另一侧点处． ①工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短，并说明画图的理论依据． ②如图3，在道路上增加一个储物点，要求储物点在储物点的右侧，两个储物点的间距固定，工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后沿着道路走到储物点取物品，最后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短． (2)如图4，若车间与大门在道路的同一侧，点、点到水平直线的距离分别为500米、300米，点、点之间的水平距离为700米，的长度为100米，工作人员所走的最短路程是多少？ 3．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)线段，于点A且，于点B且，点P为线段上任意一点，则图1中最小值为________；图2中最小值为________； (2)如图3，中，，，，点D是边的中点，点P是边上任意一点，则的最小值是________； (3)如图4，中，且，作于点D，过A点的射线m始终平行于，点E是高上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段上一点，且始终保持，则的最小值为________；则的最小值为________． 1．（25-26八年级下·新疆巴州·阶段检测）下列各组数，是勾股数的一组是（     ） A．6，8，10 B．13，14，15 C．3，5， D．2，， 2．（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）已知直角三角形两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）下列各组边长数据中，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·云南大理·阶段检测）在中，，，则_______． 6．（25-26八年级下·山西吕梁·阶段检测）明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为尺，则可列方程：________． 7．（25-26八年级下·安徽安庆·阶段检测）如图，在三角形纸片（）中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图）；将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图）． （1）若，则________°； （2）若，，则的长为________． 8．（25-26八年级下·福建厦门·阶段检测）中，，若，，D为的中点，求的长． 9．（25-26八年级下·山东日照·阶段检测）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b． (1)若，大正方形的面积为129，求小正方形的边长； (2)若大正方形的面积为17，小正方形的面积为5，求的值． 10．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，为边上的高，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)当，时，求的长． 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则第三边长是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·宁夏固原·期中）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C三点均在正方形的顶点上，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点A到直线的距离是2 4．（25-26八年级下·重庆璧山·期中）如图，在四边形中，，，连接，M为的中点，连接．若的面积为，则的长为（   ） A．12 B． C． D．16 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，则树折断之前有_______米． 6．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，在棱柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，需要爬行的最短路程是，则的值为______． 7．（25-26九年级下·河南周口·期中）如图，在中， ，，点在上， 交于点，交于点，则______． 8．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 9．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 10．（25-26八年级下·河南漯河·期中）定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． (1)如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是________； (2)如图2，在方格纸中，两点在格点上，请画出一个符合条件的对直四边形，且点都在格点上． 1．（25-26八年级下·广西百色·期末）在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）如图是来自希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．分别以直角三角形的边，，为直径画半圆，，，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·山东济南·期末）在等边三角形中，平分，，分别为边，上的点，且．若的最小值为，则等边三角形的边长为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·广西贵港·期末）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑥组勾股数为________ 6．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，，点是直线右侧一动点，且满足的面积是3，则的最小值为______． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点A、B均在格点上．分别在图甲、图乙中各找一个格点C，使得是以为一腰，顶角分别为直角和钝角的等腰三角形，并直接写出的面积． 9．（25-26八年级上·上海·期末）阅读以下素材并解决问题： “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上，向右平移直角使点B和E重合（图1），这时，，问题就变成“点 B 在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值是_____． (2)根据上述信息，求代数式的最小值． (3)已知正数满足，结合上述问题的方法，求的值． 10．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于（从该相邻两边的公共顶点引出的）一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)如图，已知点，，在的网格格点上（小正方形的顶点），若为格点，请在图的网格中直接画出所有以，为勾股边且对角线相等的勾股四边形； 【探究论证】 (2)如图，，且，连接，，，，当时，求证：，即四边形是勾股四边形； 【迁移探究】 (3)如图，和是等边三角形（），连接，当四边形是以、为勾股边的勾股四边形时，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理 思维导图 3.1 勾股定理的探究 3.1.1 勾股定理的探索过程 勾股定理的探究通常从特殊直角三角形入手，逐步推广到一般直角三角形，常见的探究方式有面积法： 1. 等腰直角三角形情形：在网格中分别以等腰直角三角形的三条边为边长向外作正方形，通过数方格或者割补法计算三个正方形的面积，可以发现：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。设等腰直角三角形的直角边长为(a)，斜边长为(c)，则可得到关系：。 2. 一般直角三角形情形：对任意直角三角形，同样用面积割补法验证三个正方形的面积关系，仍然可以得到“直角边对应的正方形面积和等于斜边对应的正方形面积”的结论，由此推导出三边的数量关系。 3.1.2 勾股定理的内容 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为(a)，(b)，斜边长为(c)，那么。 核心要点： 1. 勾股定理描述的是直角三角形三边之间的平方关系，只有在直角三角形中才能直接应用； 2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”，这也是“勾股定理”名称的由来； 3. 勾股定理的变形公式：已知任意两边，可以求出第三边： · 已知直角边求斜边： · 已知斜边和一条直角边求另一条直角边：， 3.1.3 勾股定理的证明 常用的证明方法为面积割补法，核心思路是通过同一个图形的不同面积表示方法，推导出三边的平方关系，常见的证明示例： 1. 赵爽弦图证法：用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间留出一个小正方形，大正方形面积可以表示为，也可以表示为四个直角三角形面积加上小正方形面积：，化简后即可得到。 2. 拼图证法：用两个全等的直角三角形和一个直角梯形拼接，通过梯形面积等于三个直角三角形面积和推导结论。 3.2 勾股定理的逆定理 3.2.1 勾股定理的逆定理内容 如果三角形的三边长(a)，(b)，(c)满足，那么这个三角形是直角三角形。 核心要点： 1. 勾股定理逆定理的作用是根据边长判断一个三角形是否为直角三角形，是直角三角形的一种判定方法； 2. 应用时需要先确定最长边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方：若相等，则最长边对的角是直角；若不相等，则不是直角三角形。 3.2.2 勾股数 满足的三个正整数，称为勾股数。 常见性质与要点： 1. 常见勾股数有：((3,4,5))、((5,12,13))、((6,8,10))、((7,24,25))、((8,15,17))、((9,12,15))等； 2. 一组勾股数中，所有数同时乘同一个正整数(k)，得到的新数组仍然是勾股数，例如(3,4,5)乘(2)得到(6,8,10)，仍然满足勾股数关系； 3. 勾股数必须是正整数，像(0.3,0.4,0.5)虽然满足，但不属于勾股数。 3.3 勾股定理的简单应用 3.3.1 勾股定理的基础应用 勾股定理可以解决直角三角形中已知两边求第三边的问题，常见应用场景： 1. 已知直角三角形的两条直角边，直接计算斜边长度； 2. 已知直角三角形的斜边和一条直角边，计算另一条直角边的长度； 3. 结合等腰三角形性质：已知等腰三角形的腰长和底边长，求底边上的高和面积。例如：等腰三角形腰长为(5)，底边长为(6)，作底边上的高将等腰三角形分为两个全等直角三角形，利用勾股定理可得高为，进而得到面积为(12)。 3.3.2 解决实际生活问题 勾股定理常用来解决生活中无法直接测量长度的问题： 1. 旗杆高度问题：已知旗杆顶端的绳子垂到地面还多出一段，把绳子下端拉开一段距离后刚好接触地面，求旗杆高度。将实际问题转化为直角三角形模型，设旗杆高为(x)，用勾股定理列方程即可求解； 2. 梯子滑动问题：已知梯子长度、梯子底端离墙的距离，求梯子顶端到地面的高度；或者梯子顶端下滑一段距离后，求底端滑动的距离； 3. 航海方向问题：已知轮船从港口出发向两个不同方向航行的路程，根据勾股定理逆定理判断航行方向是否垂直。 3.3.3 勾股定理逆定理的应用 1. 判断三角形形状：给定三角形三边长度，判断是否为直角三角形； 2. 解决实际问题：通过测量三角形三边长度，判断某个角是否为直角，例如工程中检测墙角是否垂直、判断零件是否符合直角要求。 【类型一】用勾股定理求第三边长 1．如图，在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得． 2．若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（     ） A． B．3或 C．3或 D．或 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质求出x和y的值，再分两种情况结合勾股定理计算第三边，需要考虑已知两边均为直角边，或较长边为斜边两种情况． 【详解】解：∵，，且 ∴，， 解得， 分两种情况计算第三边： (1)当，都为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得： 第三边长， (2)当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得： 第三边长， ∴此三角形第三边的边长为或． 3．中．，，边上的高为12，则边的长为________． 【答案】25或7 【分析】本题需分BC边上的高在内部和外部两种情况讨论，利用勾股定理分别计算和的长度，即可求出的长． 【详解】解：设边上的高为，为垂足， ①当、在点异侧时，高在内部， ∵是边上的高， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； ②当、在点同侧时，高在外部， ∵，，，， ∴，， ∴； 综上，的长为或． 【类型二】数轴上表示无理数 1．如图，若边长为1的等腰直角三角形的一条直角边在数轴上，数轴上点所表示的数为，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过图形可知，利用勾股定理求出，可以求出，即可解答． 【详解】解：由图可知， 由图形可知， 根据勾股定理得：， ∴， ∴A表示的数为，则． 2．如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，与数轴垂直，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的负半轴交于点，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理求得，由点A表示的数即可得到点D表示的数． 【详解】解：由题意知， ∵与数轴垂直，且， ∴， 设点D表示的数为d，则， ∴， 即点D表示的数为． 3．如图，在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，线段于点，且线段长为个单位长度，若以点为圆心，长为半径作弧交数轴于和之间的点，则点表示的数为______． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，再由题意得到，最后由数轴上的点表示对应的实数方法计算即可． 【详解】解：在中，，则由勾股定理可得， 以点为圆心，长为半径作弧， ， 则点表示的数为． 【类型三】勾股数 1．勾股数又称毕达哥拉斯三元数，是指三个满足勾股定理的正整数，下列属于勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，较小两数的平方和等于最大数的平方，逐一验证选项即可得到结果． 【详解】解：选项A，，不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意． 选项B，，，，故这组数不是勾股数，不符合题意． 选项C，，，三个数均为正整数且满足勾股定理，故这组数是勾股数，符合题意． 选项D，，，，故这组数不是勾股数，不符合题意． 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（     ） A．1，，2 B．8，9，10 C．0.3，0.4，0.5 D．5，12，13 【答案】D 【分析】勾股数需同时满足两个条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：根据勾股数的定义依次判断： 选项A中不是正整数，选项C中三个数都是小数，不是正整数，因此A、C不符合定义，排除； 选项B中，，，，不满足平方关系，因此B不符合定义，排除； 选项D中，，，都是正整数，且，满足勾股数的定义，故选D． 3．清代数学家罗士琳提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为________． 【答案】，， 【分析】观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为． 【类型四】构成直角三角形的条件 1．在中，以下列各组数据为三边长，可以构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题利用勾股定理的逆定理，通过验证两较短边长的平方和是否等于最长边长的平方，判断能否构成直角三角形； 【详解】解： A选项．∵ ，，∴ ，不能构成直角三角形，不符合题意； B选项． ∵ ，，∴ ，可以构成直角三角形，符合题意； C选项．∵ ，，∴ ，不能构成直角三角形，不符合题意； D选项． ∵ ，，∴ ，不能构成直角三角形，不符合题意； 2．将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解： A选项：∵，，∴， ∴不能组成直角三角形； B选项，∵，，∴，∴不能组成直角三角形； C选项，∵，，∴，∴能组成直角三角形； D选项，∵，，∴，∴不能组成直角三角形. 3．已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是______． 【答案】 等腰直角三角形 【分析】本题考查了绝对值非负性，利用算术平方根的非负性解题，判断三边能否构成直角三角形，等腰三角形的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个部分都为零，得出三边关系，再作出判断． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵a，b，c是的三边长， ∴满足勾股定理且有两边相等， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 【类型五】用勾股定理求面积 1．一个等边三角形的边长为6，则该三角形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等边三角形三线合一的性质，结合勾股定理求出三角形的高，再代入三角形面积公式即可计算出结果． 【详解】解：过等边三角形的一个顶点作对边的高，记高为， ∵等边三角形边长为，等边三角形三线合一， ∴高将底边平分，分割后每条线段长为， 由勾股定理得： ， ∴该三角形的面积． 2．如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧分别交、于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积公式．首先根据勾股定理求出的长，再根据尺规作图可知是的角平分线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，结合面积法求出点到的距离（即的长），最后计算的面积． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 由尺规作图可知，是的角平分线，过点作于点， ，即， ， ， ， 即， ， ，解得， ， ． 3．如图中，，，O为的中点，连接．点E为延长线上的一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转，点E的对应点F恰好落在边上．若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】过 作 于 ，过 作 于 ，先利用三线合一和勾股定理求出，进而求出即，再在 中求出，进而求出，再设 ，则 ，再在 中，由勾股定理解出，进而得到，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过 作 于 ，过 作 于 ， ∵ ，， 是 中点， ∴ ，平分 ， ∴，， 在 中，， ∴ ，， ， ∵， ∴， ∴在中，，， ∴， 在 中，由勾股定理： ， 故 ， 在 中： ，， ∴， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理 ，代入得： 展开化简得：，解得 （负的舍去）， 即 ， ∴ ， ∴的面积为：． 【类型六】勾股树问题 1．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（     ） A．9 B．8 C．2 D．45 【答案】A 【分析】直接根据勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由图和勾股定理可知，中间正方形的面积等于正方形A，B的面积之和，正方形D的面积等于中间正方形的面积加上正方形C的面积， 故正方形D的面积. 2．勾股树不仅展现了数学的对称美，更蕴含着深刻的数学原理．如图是勾股树的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，…，则第4个图形中正方形的个数是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【详解】解：由图可知：第一个图形有1（个）正方形， 第2个图形有（个）正方形， 第3个图形有（个）正方形， ∴第4个图形中共有（个）正方形． 3．如图，是的边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．若，，则与之间满足的数量关系为______． 【答案】 【分析】先根据正方形面积公式得到边长与面积的关系，再在和中用勾股定理得，，最后将数据代入化简即可． 【详解】由题意可知，，，，． 是的边上的高， 在和中，由勾股定理得，， 即，， 可得，， ，， ，即． 【类型七】赵爽弦图 1．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，，则大正方形的面积为（     ） A．25 B．16 C．20 D．27 【答案】A 【分析】由是小正方形对角线，用求小正方形面积；结合，算出四个直角三角形总面积；然后根据大正方形面积=小正方形面积四个直角三角形面积，求和得结果． 【详解】解：是中间小正方形的对角线，正方形对角线相等， ． ， ． 单个直角三角形面积为，， 四个直角三角形总面积． 大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和， ． 大正方形的面积是25． 3．如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形围成的大正方形．如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，若H是的中点，，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【分析】由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知分别为的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，结合勾股定理算出，所以得出正方形面积为5，即可作答． 【详解】解：∵四边形与四边形均为正方形，点H是的中点， ∴分别为的中点，， ，， ， 依题意，， ， ∵的长为5， ∴， ∴（负值已舍去）， 即， ∴， ． 【类型八】勾股定理网格作图 1．在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小方格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求在网格中画出图形并回答问题． (1)在图中，以线段为一边画一个正方形，并写出所画正方形的面积； (2)在图中，画一个三边长分别为，，的三角形． 【答案】(1)正方形即为所求，8 (2)即为所求 【分析】（1）观察网格，求出正方形面积，从点、点作垂直边，四点顺次连接即为以为边的格点正方形． （2）将无理数边长拆分为网格直角三角形斜边，是直角边1、3的斜边，是直角边2、3的斜边，3为整数格线段，取公共顶点拼接三边得到目标三角形． 【详解】（1）解：观察网格，点、横向差2格，纵向差2格，由勾股定理，正方形面积， 因此正方形面积为8． 从点向下平移2格、向右平移2格，同理从点作垂直边，四点顺次连接即为以为边的格点正方形． （2）解：，，另为横格线段， 在网格中取格点，距离为3； 另取一点使其满足上述勾股定理， 即得到三边长为、、的三角形． 2．图1，图2均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形． (1)在图1中画一条长度等于的线段． (2)只用无刻度的直尺在图2中，画一格点，使得． 【答案】(1)如图，线段即为所求； (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据作图即可； （2）根据网格和勾股定理构造等腰直角三角形即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴． 3．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： (1)在图中画出长为的线段； (2)在图中画出，满足，且面积为． 【答案】(1)线段即为所作 (2)即为所作 【分析】本题考查了网格图、勾股定理． （1）利用网格，结合，选择合适的网格点即可作图； （2）利用网格，结合，，选择合适的网格点即可作图． 【详解】（1）作图略 （2）作图略 【类型一】勾股定理的应用一旗杆高度 1．如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为（     ）． A．8米 B．10米 C．15米 D．24米 【答案】D 【分析】根据旗杆与地面垂直，可知是直角三角形，且直角边的长度分别为和，利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即为旗杆折断之前的高． 【详解】解：如下图所示， ，，， ， 旗杆折断之前的高为． 2．如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为________． 【答案】 【分析】设旗杆的高为，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设旗杆的高为， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，即旗杆的高为． 3．【综合与实践】 【主题】测量旗杆高度 【素材】某校八年1班“项目式学习小组”要开展“测量旗杆高度”的项目式学习实践．小组成员来到学校升旗礼台前，发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面上（如图①），并多出了一段，经测量，多出的这段长为2米． 【实践探索】 如图②，小组成员站在旗杆左边，将绳子的下端拉开8米，此时，下端刚好接触地面，且绳子处于绷直状态．小组成员据此很快就计算出旗杆的高度． 思考：你是否也能计算出旗杆的高度？请写出你的解答过程． 【答案】解：设旗杆高度为x米，则绳子长度为米， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即旗杆的高度为15米． 【分析】设旗杆高度为x米，则绳子长度为米，利用勾股定理解即可． 【详解】略 【类型二】勾股定理的应用一梯子滑落 1．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】梯子顶端沿墙下滑的距离为．利用勾股定理求出，．即可得到答案． 【详解】解：在中，根据勾股定理得， 在中，根据勾股定理得， 所以，． 因此，当梯子底端向外移动时，梯子顶端下滑． 2．一架云梯长分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙分米，如果梯子的顶端下滑了分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 【答案】 【分析】由题意知分米，分米，分米，由勾股定理求得分米，分米，然后通过线段的和与差即可求解． 【详解】解：如图，由题意知分米，分米，分米， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， ∴梯子的底端在水平方向滑动了分米． 3．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)21米 (2)6米 【分析】（1）在中，由勾股定理得；再加上消防车自身高度，即可得处到地面的距离； （2）先根据题意求出竖直高度，在中，由勾股定理得水平距离；则可得到消防车靠近的距离． 【详解】（1）解：根据题意可得，米，米，米， ∴在中，（米）， （米）， 答：B处与地面的距离是21米； （2）解：由题意得米． 米，（米）， （米）， （米）， 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为6米． 【类型三】勾股定理的应用—大树折断 1．如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出长度，即为这棵树折断的高度，再加上未折断的高度即可求出答案． 【详解】解：由图可知，，， 在中，， 这棵树折断前的高度为． 2．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，若设折断处离地面的高度为尺，则根据勾股定理，可列方程为：______． 【答案】 【分析】根据勾股定理建立方程即可求解. 【详解】解：设折断处离地面尺， 根据题意可得：. 3．如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． (1)求木杆折断之前的高度； (2)如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 【答案】(1)米 (2)小草不会被砸到 【分析】（）利用勾股定理求出即可求解； （）利用勾股定理求出，再与比较即可判断求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ∴木杆折断之前的高度为米； （2）解：如图，由题意得，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴小草不会被砸到． 【类型四】勾股定理的应用—水中筷子 1．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，水深为尺，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设芦苇的长度是尺，则水深为尺， 根据题意，得． 2．已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是和．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，则铅笔的长是_________． 【答案】/厘米 【分析】由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径的平方；第二个笔筒中：直径的平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为，由题意得，， 解得，， 故铅笔的长为． 3．如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？ 【答案】13尺 【分析】设这根芦苇的长度是x尺，则水深为尺，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：设这根芦苇的长度是x尺，则水深为尺， 由勾股定理得， 解得， 即这根芦苇的长度为13尺． 【类型五】勾股定理的应用—河宽 1．为测量河的宽度（垂直河岸），在地面上取参考点H，测得米，米，米，已知米，（M、P、N在同一直线上），求河宽（结果保留根号）． 【答案】这条河的宽度为米 【分析】根据勾股定理的逆定理，确定，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：米，米，米， ， 为直角三角形，且， 在中，米，米， 米， 米， 即这条河的宽度为米． 2．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】18米 【分析】可证明，则，据此利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵米， ∴米， ∴米， 答：点、之间的距离为18米． 3．综合实践 实践课题：测量河的宽度 测量工具：皮尺（测量长度），测角仪（测量角度） 方案设计：某科技小组设计了一个不完整的方案如下： 如图，选择河的某段两岸与平行的场地．在河岸侧一块平地上的点处观察对岸参照物点，测得视线与河岸的夹角为 问题解决： (1)任务一：请把上述测量方案补充完整，要求画出相应的示意图，用小写字母表示可以直接测量的线段的长度（所用字母不能与图中现有字母重复），用，等表示可以直接测量的角的度数（如果有直角可以直接用“”表示）； (2)任务二：根据你补充完整的设计方案，用你所标注的字母为已知数据，计算河的宽度．（结果用代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）构造直角三角形即可； （2）根据构造的图形结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，在b岸选择一点，使，测出的长为； （2）解：，， ， ， ， 即：河的宽度为． 【类型六】勾股定理的应用一台风 1．沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向由向移动，已知点为一城镇，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)请通过计算说明城镇是否会受到沙尘暴影响的原因？ (2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？ 【答案】(1)解：如图所示：过点作， ，，， ， 为直角三角形，， ， 即， ， 以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域，， 城镇会受到沙尘暴影响； (2) 【分析】（1）过点作，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，利用等面积法得出，根据题意以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域，即可得到城镇会受到沙尘暴的影响； （2）在边上找、两点，连接、，使，根据勾股定理可得，根据等腰三角形的性质求出，再由速度与时间、路程的关系即可得出影响的时间． 【详解】（1）略 （2）解：在边上找、两点，连接、，使， ， ，， ， ， 沙尘暴中心的移动速度为， ， 答：城镇会受到沙尘暴的影响，持续的时间为． 2．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)海港C受台风影响， 理由如下：过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港C受台风影响； (3)海港C受台风影响的时间会持续． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）略 （3）解：如图，当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， ， 答：海港C受台风影响的时间会持续． 3．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)见解析 (2)海港C受到台风影响，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）过点C作于D．根据直角三角形的面积，可得，即可求解； （3）在线段上取点E，F，使，，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口．根据等腰三角形的性质可得，然后根据勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵km，km，km， ∴． ∴是直角三角形， ∴； （2）解：海港C受台风影响．理由如下： 如图，过点C作于D． ∵， ∴． ∵， ∴海港C受到台风影响． （3）解：如图，在线段AB上取点E，F，使，，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口． ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∵台风的速度为， ∴． ∴台风影响该海港持续的时间为． 【类型七】勾股定理的应用一台阶地毯 1．某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160元 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：， 则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：． 故共需购买的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元， 则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 2．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 3．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为； (2)元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， ∴地毯的面积为， 每平方米地毯25元， 需要花费（元）； 答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶． 【类型八】勾股定理的应用一选址 1．如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处 【分析】设，可将和的长表示出来，然后根据勾股定理可得，即可列出方程进行求解． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 2．为扎实推进乡村振兴，改善农村居住条件，某乡镇正加快“天然气入户”工程建设．天然气主管道沿一条笔直公路单侧铺设，当前需完成公路同侧农户聚集区，的天然气管道接入任务．农户聚集区，的位置如图所示，区到公路的距离千米，区到公路的距离千米，且千米．工程需在主管道上选择一个接气点，铺设支线管道，．已知每米天然气管道费用为20元．（参考数据：） (1)如图1，若，求，两点之间的距离； (2)为节约建设成本，接气点应满足最小，请计算管道费用需要多少万元？（结果保留整数） 【答案】(1)0.6千米 (2)4万元 【分析】（1）设，由，得，根据，得 ，由，得，解方程即可； （2）作B关于l的对称点E，过E作交延长线于点F，连接交于P，此时，的值最小，根据，，得，即支线管道最少千米，求出费用为（万元）． 【详解】（1）解：设， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故，两点之间的距离为0.6千米； （2）作点B关于直线l的对称点E，过E作交延长线于点F，连接交于P， 则， ∴， ∴此时的值最小， ∵， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 即支线管道最少千米， 费用为（万元）， 故管道费用需要4万元． 【点睛】本题考查了最短路径问题．熟练掌握勾股定理，轴对称性质，矩形判定和性质，实数的运算，是解题的关键． 3．【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图放置，其三边长分别为，，．，点，，在一条直线上．请利用图证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为，，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，求的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（）． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3） 【分析】（1）通过表示四边形的面积（两种方法：梯形面积、三个三角形面积和），建立等式推导勾股定理． （2）设长度为未知数，利用结合勾股定理列方程求解． （3）将代数式转化为几何线段长度，通过轴对称找最短路径，利用勾股定理求最小值． 【详解】解：（1）∵四边形是梯形，， ∴． 又∵， ∴， 展开得， 化简得． （2）设千米，则千米． ∵，，， ∴， 即， 展开得， 化简得， ∴，即千米． （3）构造几何模型：设，点在上，，，作且，且，则代数式． 作点关于的对称点，连接交于点，过作于，则， ∴， ∴的长为的最小值． 在中，，， ∴， ∴代数式的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明与应用、轴对称最短路径问题，熟练掌握勾股定理的推导方法、利用几何模型转化代数问题是解题的关键． 【类型九】勾股定理逆定理的应用 1．已知在四边形空地中，米，米，，米，米．计算四边形空地的面积． 【答案】36平方米 【分析】利用勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式求解即可； 【详解】解：连接， ，米，米， （米）， 米，米． 且，， ， 是直角三角形， （平方米）， （平方米）， 四边形的面积为（平方米）． 2．如图，某精密仪器的零件的平面图呈“飞镖”状（凹四边形），其中，，，，．若制作该零件的成本为20元，问每生产一个这种零件需要投入多少元？ 【答案】480元 【分析】连接，根据勾股定理得到，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据割补法计算即可. 【详解】解：连接， 在中，， 又∵，，， ． 根据勾股定理的逆定理，得是直角三角形，且， ∴所需费用为（元）． 答：每生产一个这种零件需要投入480元． 3．如图，某景区内有一个露营区C，河边上原有两个观景台A和B，且．为了方便游客观赏，现计划在河边新建一个观景台P（A、P、B在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： (1)试判断步道与的位置关系，并说明理由； (2)求观景台P与观景台B之间的距离的长．（结果保留到整数） 【答案】(1)解：，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 即； (2)的长． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可得到是直角三角形，即； （2）设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵， ∴， ∵，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴的长． 【类型十】勾股定理的应用一蚂蚁爬行 1．叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 【答案】(1)蚂蚁需要爬行的最短路程为； (2)蚂蚁爬行的最短路程为； (3)蚂蚁爬行的最短路程是． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，找出最短路径，用勾股定理来解决路径长，在进行实数大小比较是解题关键． （1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求即可； （2）分两种情况讨论：①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求，②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求比较两种方法之下的，确定最短的即可． （3）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ； （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为． （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 2．如图，圆柱的高为，底面圆周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离下底面的点处（圆柱外表面）的食物． (1)蚂蚁不能从下底面通过时，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径； (2)另一只蚂蚁在点处，求蚂蚁从点爬到点时的最短路径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立体图形的平面展开图与最短路径问题，勾股定理，根据题意正确展开立体图形是解题关键． （1）圆柱的侧面展开图是矩形，用勾股定理计算即可； （2）题干没有规定不能从底面通过，因此可以有两种路径，分别按不同的方式展开，计算出结果后比较大小，得到答案． 【详解】（1）解：（1）将圆柱的侧面展开，如图所示： 连接AC，AC即为蚂蚁爬行的最短路程． ∵，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁爬行的最短路径是． （2）解：路径一：连接，即为蚂蚁爬行的一条路径． 如图所示： ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 即：蚂蚁沿此路径爬行的路程是． 路径二：把圆柱按如图方式展开， 此时，蚂蚁由到点所爬行的距离为， ∵是圆柱上底面圆直径，底面圆周长为， ∴， ∴， 此时，蚂蚁沿此路径爬行的路程是， 比较两条路径的大小： ， ∵， ∴，即：， ∴，即：， 综上所述，选择路径二，蚂蚁爬行的最短路径是． 3．【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）厘米；（3）； 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 【类型一】勾股定理中的几何最值 1．如图，在等边中，于，为上一动点，以为一边作等边（，不在的同侧），点在边上，，，分别连接，．则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为1 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】当时，有最小值，据此计算可判断选项A；连接，证明，推出，则当时，有最小值，据此计算可判断选项B；连接，得到当重合时，有最小值，最小值为的长，据此计算可判断选项C；作点关于的对称点，连接，，作于点，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此计算可判断选项D． 【详解】解：∵等边中，于， ∴， ∵为上一动点， ∴当时，有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为1，故选项A正确，不符合题意； 连接， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值， ∵等边中，于， ∴， ∴， ∴的最小值为2，故选项B正确，不符合题意； 连接， ∵， ∴当重合时，有最小值，最小值为的长， 作于点， 同理，， ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接，，作于点， ∵等边中，于， ∴点在上， ∴， ∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， ∴， 同理，， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意． 2．如图，在等边和等边中，在直线上，，连接，，则的最小值是____． 【答案】 【详解】解：如图，延长到T，使得，连接，作点B关于直线的对称点W，连接，，过点W作交的延长线于K． ∵，都是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵B，W关于直线对称， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 3．问题探究 (1)如图①，已知中，，，平分．若为上一动点，连接，则的最小值为_____； (2)如图②，已知中，，，为中点，作，分别交边、于、两点，四边形的面积是否发生变化？若不变化请求出这个面积；若发生变化，请求出四边形的面积的最小值； 问题解决 (3)如图③，某公园中有一块四边形空地，经测量米，，．现计划对该空地进行重新规划，分别在边上选取点、，并沿，修两条休闲通道（通道的宽度忽略不计），设计要求四边形的面积为平方米，该区域将用于种植观赏花卉．为保障施工的安全，需在四边形的四周修建护栏．为了节约修建成本，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的面积不会变化，面积的最小值为平方米 (3)存在，四边形的周长的最小值为米 【分析】（1）根据三线合一得到，，当时，的值最小，由等面积法即可求解； （2）根据题意，是等腰直角三角形，证明，得到，结合图形，面积的计算及等量代换即可求解； （3）如图所示，过点作于点，过点作于点，可算出（平方米），如图所示，过点E作于点K，设米，米，得到，则最小即可，点重合，点重合，此时的值最小，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，，平分， ∴，， ∴在中，， 为上一动点，连接， ∴当时，的值最小， ∵， ∴； （2）解：四边形的面积不会变化，面积为16平方米，理由如下， 如图所示，连接， ∵已知中，，，为中点， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积不会发生变化， ∵， ∴四边形的面积为； （3）解：存在，四边形的周长的最小值为米，理由如下， ∵米，，， ∴四边形是等腰梯形，， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形，则米， 在中，米，， ∴米，米， ∵米， 同理，米，米 ∴米， ∴（平方米）， ∵四边形的面积为平方米， ∴（平方米）， 如图所示，过点E作于点K，设米，米， ∴，则， ∴米，米， ∴（平方米），（平方米）， ∴， 化简得，， ∴米，则米， ∴当值最小时，四边形的周长存在最小值， 把绕点逆时针旋转，得到，作点关于射线的对称点，交于点，连接，如图所示， 由旋转可得，， ∵， ∴共线，米， ∵米， ∴米， ∵， 当共线时，取得最小值，最小值为的长，即米， ∴四边形的周长的最小值为（米）． 【类型二】勾股定理中的数形结合最值 1．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（    ） A．8 B．10 C．34 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及两点之间线段最短的知识，根据题意，将代数式转化为求两条线段之和的最小值，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，， 可将看作两直角边分别为和3的的斜边长，将看作两直角边分别为和5的的斜边长， 如图，构造图形，使，，且、在异侧， 设，，， ，即， 点在上，，， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 过点作于点，则四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 的最小值是10． 故选：B． 2．数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，仿照例题，可以看作两直角边分别是x和1的的斜边长，可以看作两直角边分别是和3的的斜边长，问题转化为求的最小值，利用两点之间线段最短和勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，可以看作两直角边分别是x和1的的斜边长，可以看作两直角边分别是和3的的斜边长， 故问题转化为求的最小值，则当与共线时，有最小值，最小值为的长， 则，，，，， ∴， ∴， ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 3．按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长．求的最小值 (2)类比迁移：已知，均为正数，且，求的最小值 【答案】(1)13； (2)17． 【分析】（1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）过点B作交AC延长线于点F，根据，，，，可推出的值最小，需的值最小，即当，，三点共线时，的值最小，最小值为，先证明四边形为长方形，再运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； （2）解：过点B作交延长线于点F，如图， ∵，，，， ∴在中，； 在中，， ∴， ∴当A，D，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为17． 【类型三】勾股定理中的折叠问题 1．如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵沿折叠，使点与点重合， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴． 2．如图，将长方形沿着折叠，点C恰好落在边上点F处，若，，则_______． 【答案】10 【分析】根据折叠的性质可得，由长方形的性质可得，从而得到，结合已知比例关系用表示出，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可 ． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∵四边形是长方形 ， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：（已舍去负值）． 3．综合应用 已知：直角三角形纸板中，． (1)如图1，点在边上，将沿折叠，点落在点处．当时，线段的长度是多少？ (2)如图2，点是边上一动点（不与点A，C重合），将沿折叠，点落在点处．当与的边垂直时，线段的长度是多少？ (3)如图3，点为边的中点，点为边上一动点，将沿折叠，点落在点处．记的中点为，连接、．在点从点运动到点的过程中，的最小值是多少？ 【答案】(1)3.2 (2)2或5 (3) 【分析】（1）先利用勾股定理求得，再利用三角形的等面积法求得的长，根据折叠性质得到即可求解； （2）分为当时和当时两种情况，利用折叠性质和勾股定理，以及等腰三角形的判定分别求解即可； （3）取的中点，连接，证明得到，则，可得当T、H、B三点共线时，有最小值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如答图1，在Rt中，， 即 解得 ∵折叠 的长度为3.2 ； （2）解：①如答图2，根据题意，分两种情况： 当时， 由折叠可知，， ， ， ， ， ； ②如答图3，当时，则 由折叠可知，， ， 设，则， 在Rt中，， ， 解得， ， 综上所述：的长度为2或5 ； （3）解：如答图4，取的中点，连接， 由折叠可知，， ， ， 分别是的中点， ， 又， ， ， ∴当T、H、B三点共线时，有最小值， 最小值． 的最小值为． 【点睛】本题考查折叠性质、勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握折叠性质和相关知识的联系与运用是解答的关键． 【类型四】勾股定理的证明 1．综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 【答案】解：选图1 ， ， ， ； 或选图2 ， ， ， ； 或选图3 ， ， ， ， ． 【分析】观察图形，通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，建立等量关系，化简即可． 【详解】略 2．[阅读理解]勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有种．如：美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为或者是，因此得到，运用乘法公式展开整理得到． [尝试探究] (1)其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图，用个全等的直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，请你根据古人的拼图证明勾股定理． [实践应用] (2)如图，用个全等直角三角形拼成如图的正方形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为，直角三角形的两条直角边分别为，，求的值． 【答案】(1)证明：∵四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为， ∴大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，即， ∴． (2) 【分析】（1）根据图形面积的不同求法即可得到结论； （2）分别用、表示出正方形和正方形，根据两正方形的面积，利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵直角三角形的两条直角边分别为，， ∴，， ∵正方形的面积为，中间空白处的正方形的面积为， ∴，， ∴， ∴． 3．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【答案】(1)； (2)新路比原路少千米 (3)设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； （2）解：设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）解：略. 【类型五】勾股定理的平方关系 1．已知等腰，，将一个含角的透明纸片的顶点放在处．将该纸片绕点旋转，设纸片角的两边分别交直线于，两点． (1)当点，在边上时（如图①），求证：； (2)当点在的延长线上，点在上时（如图②），求证：； (3)当点在上，点在的延长线上时（如图③），求证：． 【答案】(1)将绕点顺时针旋转（使与重合）到的位置，连接， ，，，， 等腰，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； (2)将绕点顺时针旋转（使与重合）到的位置，连接， ，，，， 等腰，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； (3)将绕点顺时针旋转（使与重合）到的位置，连接， ，，，， 等腰，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， . 【分析】（1）将绕点顺时针旋转（使与重合）到的位置，连接，进而证明，，得出，根据勾股定理可得，等量代换即可得证． （2）同（1）的方法证明即可． （3）同（1）的方法证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 3．在中，，为直线上的一个动点（不与点重合），连接，以为直角边作，且，连接． (1)如图，当点在边延长线上时，易证，且；此时，，三者之间的数量关系为：______． (2)如图，当点在边上（点不与点重合）时，（）中，，三者之间数量关系是否仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)类比构造：如图，在四边形中，．若，，直接写出边的长______． 【答案】(1) (2)仍成立；理由见解析 (3) 【分析】（）利用，在中和等腰中分别用勾股定理，推导出结论； （）先通过证明，得到且，再在两个直角三角形中用勾股定理，验证结论仍成立； （）通过构造等腰直角，先利用证明，得到；再结合与的角度关系，判定为直角三角形，用勾股定理求出；最后利用等腰直角中的关系，计算得出的长度． 【详解】（1）解：∵，，即， ∴在中：， ∵在中， ∴在中， ∴； （2）解：仍成立； 理由：∵中，， ∴； ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形 ， ∴， 代入得：， 又中， ∴，原关系仍成立； （3）解：∵ ∴，， 按照前两问构造：过作，且，连接， 同（）可证， 得， ∵，， ，即是直角三角形， 在中：， ∴， 又∵等腰中，代入得，， ∴． 【类型六】勾股定理中的等腰三角形 1．如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点出发，沿向终点运动，速度为；点从点出发，沿向终点运动，速度为两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在边上运动时． ①___________________（用含的代数式表示）； ②若是等腰三角形，求出此时的值； (2)当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，求出此时的值． 【答案】(1)①，；②秒 (2)11或12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，动点问题的存在性问题，掌握各个知识点的衔接性是解题关键． （1）①根据题意列代数式即可解答；②当点在边上运动时，是等腰三角形时，则，联立方程即可求解； （2）当点在边上运动时，分类讨论，①若是以为底边的等腰三角形； ②若是以为底边的等腰三角形；联立方程或中线即可求解． 【详解】（1）解：①当点在边上运动时，根据题意可得，，； 故答案为：，； ②，，， ， 为直角三角形，， 当点在边上运动时，是等腰三角形，则， ， 解得：； 当点Q在边上运动时，出发秒后，是等腰三角形； （2）解：当点在边上运动时， ①若是以为底边的等腰三角形 则， ， ，， ， ， ， 解得：， ②若是以为底边的等腰三角形， 则， ， 解得：， 综上为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 2．如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿射线AC，以1cm/s的速度运动，设运动时间为t秒． (1)求AC的值； (2)当为直角三角形时，求t的值． (3)当为等腰三角形时，直接写出t的值； 【答案】(1) (2)的值为4或 (3)的值为5或8或 【分析】（1）利用勾股定理解得即可； （2）依题意，，分情况讨论①，点与点重合，②，勾股定理即可求得的值； （3）分情况讨论：①，直接可得的值，②，根据三线合一可得，③，在中，勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵动点P从点A出发，沿射线以的速度运动， ， ①当时，如图，点与点重合， ， ， ②当时，，， 在中，， 在中，， ， 解得， 综上所述，或； （3）解：①当时，， ②当时， ， ， ③当时， ，， 在中，， ， 解得． 综上所述，当是等腰三角形时，或或． 3．如图，在中，，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)当点与点重合时，求的长； (2)设，用含的代数式表示线段的长； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、一元一次方程等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由题意可得，再求得，然后运用勾股定理求解即可； （2）如图：作垂足为，易得，运用勾股定理可得，再分别在和运用勾股定理求解即可； （3）分或两种情况，当时，利用（2）的结论即可解答；如图：当时，作直线于交于．作于，运用等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程等知识点求解即可． 【详解】（1）解：当点与点重合时， ， 点是中点， ， ， 在中，． （2）解：如图：作垂足为， 在中， ． 在中，． 在中，， ，， ，即． （3）解：是以DF为腰的等腰三角形 分两种情况或 ①当时 ， 结合（2）可得：，即，解得：． ． ②如图：当时，作直线于交于．作于， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 设 ，解得：， ∴． 综上，的长为或． 【类型七】勾股定理中的直角三角形 1．如图，在中，，，，动点从点出发，沿边向点运动，到点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度． (1)______； (2)用含的代数式表示的长； (3)当为何值时，点与顶点的连线平分的周长； (4)直接写出当是直角三角形时，的取值范围为______． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）直接用勾股定理求 ； （2）分两种情况：① 在 上时；② 在 上时； （3）分两种情况 ： 在 上时， 连线将周长分为 和 两部分； 在 上时，连线将周长分为 和 两部分； （4）分两种情况：在 上时，，此时 是斜边 上的高；在 上时，一直成立． 【详解】（1）解：在 中，，，， ． （2）解：当 在 上时（），，； 当 在 上时（），从 向 运动，． （3）解： 的周长 ，平分即每部分为 ． 情况一： 在 上，连线为 ， 周长被分为 和 两部分， 令 ，即 ，解得 ； 情况二：在 上，连线为 ， 周长被分为 和 两部分， 令 ，即 ，解得 ； 或 ． （4）解：情况一： 是斜边 上的高， ， ∴， 在中，， ， ， 解得：． 情况二： 在 上，走完 用秒，走完 用秒，从到 时， ， 的范围是 ． 综上，的取值范围为：或． 2．【问题提出】 勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着极其广泛的应用．它架起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁．因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算． 在中，． 【新知初探】 （1）如图1，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，连接．当点运动_____秒时．． 【类比分析】 （2）如图2，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向向点运动，连接，当点运动_____秒时．点在的平分线上． 【学以致用】 （3）如图3，当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动．设运动的时间为． ①当为以为腰的等腰三角形时．求t的值； ②当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①当为以为腰的等腰三角形时，的值为5或；②当为直角三角形时，的值为或3． 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用勾股定理求得，设，在中，由勾股定理列式计算即可求解； （2）利用勾股定理结合角平分线的性质列式计算即可求解； （3）①分两种情况讨论，当时，当时，分别列式计算即可求解；②分两种情况讨论，当时，当时，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∴点运动秒时，． 故答案为：； （2）如图，作， ∵点P恰好在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由题意得，， 由勾股定理得， 解得； ∴的值为． （3）①当时，则， 解得； 当时， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得：， 综上，当为以为腰的等腰三角形时，的值为5或； ②当，，， 在中，由勾股定理得， 在中，， ∴， 即， 解得； 当，则P与C重合，则， 解得； 综上，当为直角三角形时，的值为或3． 3．已知：如图1，在中，，，，在下方作于点，，动点从点开始沿边以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动．点和点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设动点的运动时间为，解答下列问题： (1)则_______，用表示为_______； (2)连接，当为何值时，点在线段的垂直平分线上． (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (4)若将动点改为从以的速度运动，其它条件不变，问：点能否运动到的角平分线上？若能，则求出相应的值；若不能，则说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，的值为2或 (4)能，的值为 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质可得的长；再根据解答即可； （2）根据建立方程，解方程即可； （3）分两种情况：①，②，根据的关系建立方程，解方程即可； （4）在图中画出是的角平分线，先求出的长，再求出点运动到点所需的时间，与进行大小比较即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 由题意得：， ∴． （2）解：由题意得：， 由（1）已得：， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴，即， 解得， 即当时，点在线段的垂直平分线上． （3）解：∵在中，，， ∴． ①如图，当时，是直角三角形， ∴， ∴，即， 解得，符合题意； ②如图，当时，是直角三角形， ∴， ∴，即， 解得，符合题意； 综上，存在某一时刻，使是直角三角形，此时的值为2或． （4）解：如图，是的角平分线， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点运动到点所需的时间为， ∵，即， ∴点能运动到的角平分线上，此时的值为． 【类型八】勾股定理中的新定义 1．定义：如果一个三角形的三边长为x，y，z，满足（k为正整数），则称这个三角形为“k股三角形”． 例如：三边长为x，y，z，且，，，因为，所以为4股三角形． (1)下列三角形中一定是k股三角形的是_______（填序号）； ①锐角三角形    ②直角三角形    ③钝角三角形 (2)已知等腰是3股三角形，，，求的度数； (3)如图，CM是的中线，且，求证：是5股三角形． 【答案】(1)② (2) (3)证明：作交延长线于， ∵CM是的中线，且， ∴，， 设 ∵， 即 ∴， ， ∵， ∴， ∴是5股三角形． 【分析】（1）根据“k股三角形”定义判断即可； （2）根据“k股三角形”分两类讨论，即可求解题目； （3）作交延长线于，根据题意可求，，利用勾股定理可求出，而，则题目可证． 【详解】（1）解：在直角三角形中，三边分别为a，b，c（斜边）， 根据勾股定理有：，此时k值为1， 即直角三角形为1股三角形； 而锐角三角形、钝角三角形都不一定为k股三角形， 故答案为：②； （2）解：∵，，且等腰是3股三角形， 若， 即， 不满足； 若， ∴， 即， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． （3）证明：略． 2．定义：在四边形中，，则称这个四边形为“心半四边形” (1)探究发现：如图1，四边形中，，．求证：四边形为“心半四边形”． (2)拓展应用：如图2，四边形为“心半四边形”，，求的度数．（用含m的代数式表示） (3)变式思考：如图3，四边形为“心半四边形”，连接，交于点M，点N在上，连接，满足，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，易证，再证，从而，即可求证； （2）根据“心半四边形”的定义，可得，再根据等腰三角形的性质，得，，再根据图形可得，等量代换，即可求解； （3）在上截取，连接，，作，垂足为，先说明是等边三角形，利用“”，可得，从而，进而利用的直角三角形，求出和的值，计算出，最后根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 四边形为“心半四边形”； （2）解：四边形为“心半四边形”， ， ，， ， ， ， ； （3）解：在上截取，连接，，作，垂足为， 四边形为“心半四边形”， ， ， ， ，， ，， ，则，即是等边三角形， ， ， 由（2）得， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，，， 即，解得， ， ， 在中，． 3．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形， 初步尝试 (1)如图1，在中，，，P为上一点，当的长为______时，与为偏等积三角形； 理解运用 (2)如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作平行，交的延长线于点E，求的长； 综合应用 (3)如图3，已知四边形，、是等腰直角三角形，，则与是偏等积三角形吗？请说明理由． 【答案】(1)3 (2)4 (3) 与是偏等积三角形，理由如下： 如图3， ， ， ， ， ，， 与不全等， 如图3：作于点F，交DC的延长线于点G，则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． 【分析】（1）如图：连接，由与在边上的高相等，可知当点P为中点时，与面积相等，再说明此时与不全等，即与是偏等积三角形，则； （2）先由与是偏等积三角形，且与在边上的高相等，得，再证明得，，由三角形的三边关系得，则，而AD是正整数，则，进而求得的长； （3）先证明，再由，，说明与不全等，如图3：作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，从而证明与是偏等积三角形． 【详解】（1）解：如图1，连接， 与在边上的高相等， 当，与面积相等， ， ， ， ，，， 与不全等， 此时与是偏等积三角形， 故答案为： （2）解：如图2，与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， ∵， ， 在和中， ， ， ，， ，且，， ， ， 线段AD的长度为正整数， ， （3）略 【类型九】最短路径综合 1．日常生活中经常会遇到最短路径问题，数学最值常用于生活． 主题    探究最短路径问题与用数学知识设计车位 活动一：如图1，点A、B是直线l上方两点，点A到直线l的距离为，点B到直线l的距离为，在直线l上找一点P，使最短． (1)如图2，作点与点A关于直线l对称，连接交直线l于点O，连接交直线l于点P，连接，则点P即为所求，则______， _____ （选填或）； (2)如图3，过作，过B作于C，若，则____，_____； 活动二：某小区有一个矩形停车场，长，宽，大门设在处，如图4，小区内电车日益增多，为满足电车充电需求，该小区准备在停车场地内修建相同的充电桩，每个充电桩是边长为的正方形（指修建时的占地面积，充电桩建在正方形中心点上），要求充电桩（正方形边缘）与停车场的边界及充电桩之间的距离都不小于，是两个充电桩的中心，叫做充电桩的中心距． (3)如图5，若沿方向修建一排充电桩，最多可以修建_______个充电桩，此时相邻两个充电桩的中心距为_______； (4)调研发现，在停车场四个角落修4个充电桩最合理，如图6，充电桩与停车场的边界的距离都为，需在边上修一个总电箱（视为一个点），使该电箱到的距离的和最短，则这个最短距离为__________． 【答案】(1)1， (2)4，5 (3)11，3 (4) 【分析】（1）根据轴对称的性质解答即可； （2）根据勾股定理解答即可； （3）根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留，充电桩的中心距最小为，再由，即可求解； （4）作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则，可得该电箱到的距离的和最短为的长，即可求解． 【详解】（1）解：由作法得：，； （2）解：根据题意得：， 在中，，， ， ∴； （3）解：根据题意得：沿方向修建一排充电桩，两边需要留， 充电桩的中心距最小为， 因为， 所以最多可以修建11个充电桩， 此时此时相邻两个充电桩的中心距为； （4）解：如图，作点关于的对称点G，连接，交于点L，连接交于点H，过点作，交于点K，则点H即为总电箱所在的位置，则， ∴，即该电箱到的距离的和最短为的长， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴该电箱到的距离的和最短为． 2．综合与实践 如图1，点代表某工厂大门，水平直线代表一条笔直的道路，工厂计划在道路上建一个储物点． (1)如图，若车间在道路的另一侧点处． ①工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短，并说明画图的理论依据． ②如图3，在道路上增加一个储物点，要求储物点在储物点的右侧，两个储物点的间距固定，工作人员每天进入工厂后，先到储物点处取物品，然后沿着道路走到储物点取物品，最后到车间，请画图说明，储物点设在道路的何处，工作人员所走的路程最短． (2)如图4，若车间与大门在道路的同一侧，点、点到水平直线的距离分别为500米、300米，点、点之间的水平距离为700米，的长度为100米，工作人员所走的最短路程是多少？ 【答案】(1)①图见解析；两点之间线段最短；②图见解析 (2)1100米 【分析】（1）①根据两点之间线段最短，直接连接，与直线的交点即为储物点的位置； ②将点向右平移的长度至点，连接，与直线的交点即为储物点的位置； （2）将点向右平移的长度至点，作点关于直线的对称点，连接，作，得到，进而得到当三点共线时，，即工作人员所走的路程最短，进行求解即可. 【详解】（1）解：①如图，点即为所求，理论依据为：两点之间线段最短； ②如图，点即为所求； （2）解：将点向右平移的长度至点，作点关于直线的对称点，连接，作，如图， 则：， ∴当三点共线时，，即工作人员所走的路程最短， 由题意，， ∴， ∴的最小值为； 答：工作人员所走的最短路程是1100米. 3．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)线段，于点A且，于点B且，点P为线段上任意一点，则图1中最小值为________；图2中最小值为________； (2)如图3，中，，，，点D是边的中点，点P是边上任意一点，则的最小值是________； (3)如图4，中，且，作于点D，过A点的射线m始终平行于，点E是高上任意一点，点F是射线m上一点，点G是线段上一点，且始终保持，则的最小值为________；则的最小值为________． 【答案】(1)5，5 (2) (3)， 【分析】（1）连接交于点P，由点、、三点共线时，最小，结合勾股定理即可求解；作点关于的对称点，连接交于点，连接，根据图形的对称性可知，当点、、三点共线时，最小，由此求解即可； （2）作点关于的对称点，连接交于点，连接，根据图形的对称性可得，即当点、、三点共线时，最小，由此求解即可； （3）先由边角边的证明方法证明与全等，即可得，再由由图形的对称性可知，当点、点、点三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可；作辅助线构造全等三角形，由此可得，再由点、点、点三点共线时，最小，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点P，过点C作交的延长线于点H，如图， ， 当点、、三点共线时，最小， ，， 由勾股定理可得，， 最小值为； 作点关于的对称点，连接交于点，连接，如图． 由图形的对称性可知，， ， 当点、、三点共线时，最小， 同理可求， 最小值为； 故答案为：；； （2）解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，过点作交于点，连接，如图， 由图形的对称性可知，，， 当点、、三点共线时，最小， 即 在中，，，， 由勾股定理可得， 点是边的中点，， 为等腰三角形，且， ， 在中，， ， 在中，， 则的最小值是； 故答案为：； （3）解：连接，作点关于射线的对称点，连接交射线于点，连接，如图， 中，且， 为等腰直角三角形， ，且， ， 为的角平分线，即， 射线， ， ， 在与中， ， （）， ， 由图形的对称性可知，，， 当点、点、点三点共线时，最小， 即， ， 又， ， 在中，， 最小值为， 作，使，连接，连接交于点，如图， ， ， 在与中， ， （）， ， 当点、点、点三点共线时，最小， 即， ，， ， ， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了勾股定理解三角形，图形对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作点关于直线的对称点转化边的关系，以及作辅助线构造全等三角形． 1．（25-26八年级下·新疆巴州·阶段检测）下列各组数，是勾股数的一组是（     ） A．6，8，10 B．13，14，15 C．3，5， D．2，， 【答案】A 【分析】根据勾股数是指三个正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方逐一验证即可得到结果． 【详解】解：根据勾股数定义，首先三个数必须都是正整数， ∵选项C中不是正整数，选项D中和不是正整数，∴排除C，D； 对选项B：最大数为15，计算得，，， 故选项B中三个数不是勾股数； 对选项A：6，8，10都是正整数，且，满足勾股数定义，∴选项A符合题意． 2．（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）已知直角三角形两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出斜边长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵直角三角形两条直角边长分别为和， ∴斜边， 又∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边上的中线长． 3．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）下列各组边长数据中，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解： A．∵，，，∴A不能构成直角三角形，不符合题意； B．∵，，∴，∴B能构成直角三角形，符合题意； C．∵，，，∴C不能构成直角三角形，不符合题意； D．最大边为，∵，，，∴D不能构成直角三角形，不符合题意． 4．（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；C选项中的图形不能证明勾股定理；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则，据此可判断D． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ， ， ， 故该选项能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； C、选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； D、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意． 5．（25-26八年级下·云南大理·阶段检测）在中，，，则_______． 【答案】 【分析】根据三角形边角对应关系，对边为斜边，利用勾股定理得到，可将原式整理为，再代入计算即可． 【详解】解：在中，， 故； ∴， ∵， 故， 即． 6．（25-26八年级下·山西吕梁·阶段检测）明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为尺，则可列方程：________． 【答案】 【分析】根据已知先表示出的长度，然后在中，利用勾股定理建立方程． 【详解】由题意可知：尺，尺，尺，尺， （尺）， 尺， 在中，， ． 7．（25-26八年级下·安徽安庆·阶段检测）如图，在三角形纸片（）中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是（如图）；将纸片复原，再次折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是（如图）． （1）若，则________°； （2）若，，则的长为________． 【答案】 【分析】（1）先求解，再结合折叠的性质可得答案． （2）根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，，，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，根据勾股定理得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ∴，， ∴． （2），，， ， 折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ，，，， ，， ， ， ， 折叠纸片，使得点落在边上的点处，折痕是， ，， ， ， ∴， ， ， ， ． 8．（25-26八年级下·福建厦门·阶段检测）中，，若，，D为的中点，求的长． 【答案】6.5 【分析】根据勾股定理求出，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， （负值舍去）， 又∵D为的中点， ． 9．（25-26八年级下·山东日照·阶段检测）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b． (1)若，大正方形的面积为129，求小正方形的边长； (2)若大正方形的面积为17，小正方形的面积为5，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，，再结合完全平方公式计算即可得出结果； （2）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴小正方形的边长为； （2）解：由题意可得：， ∴． 10．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，为边上的高，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 是等腰三角形． (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，根据余角的性质得出，从而证明，即可得出； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，再根据线段间的数量关系，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ， ． 由勾股定理可得， ， 解得：， ，， ． 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则第三边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为和， ∴第三边长为． 2．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短结合勾股定理求解． 【详解】解：如图所示：    由于圆柱体的底面周长为， 则． 由题意得，， 所以． 故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是． 3．（25-26八年级下·宁夏固原·期中）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C三点均在正方形的顶点上，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点A到直线的距离是2 【答案】A 【分析】先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 【详解】解：∵，，， ， ，故B，C选项的结论正确，不符合题意； ，故A选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 4．（25-26八年级下·重庆璧山·期中）如图，在四边形中，，，连接，M为的中点，连接．若的面积为，则的长为（   ） A．12 B． C． D．16 【答案】D 【分析】由直角三角形斜边中线性质可得，利用外角性质推出，通过作高构造含角的直角三角形，利用面积公式建立方程求解，进而求得． 【详解】解：∵，为的中点， ，， ， ，， ，， ， ， ， 过点作于，如图 ，， ，， 设，则， 在中，， ∴， ， ， ， 解得（负值舍去）， ． 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，则树折断之前有_______米． 【答案】16 【分析】树折断之前有x米，画出模型图，结合勾股定理即可作答． 【详解】解：树折断之前有x米，模型如图， 根据题意有：，，，， 即， 根据勾股定理有：， ∴， ， ∴， 解得：（负值舍去）， 即树折断之前有米． 6．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，在棱柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，需要爬行的最短路程是，则的值为______． 【答案】 【分析】将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：棱柱展开前面与右边如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴， ∴， 棱柱展开前面与上面如图所示， ∴， 棱柱展开左面与上面如图所示， ∴， ∵， ∴需要爬行的最短路程是． 7．（25-26九年级下·河南周口·期中）如图，在中， ，，点在上， 交于点，交于点，则______． 【答案】/ 【分析】连接，由勾股定理得，即得，由等腰三角形的性质得垂直平分，即得，又由可得，设，则，进而利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 8．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 【答案】折断前甲树的高度为 【分析】过点作交的延长线于点，在和中用勾股定理即可得到折断前甲树的高度． 【详解】解：过点作交的延长线于点，，， 由题可知， 在中，， ， 在中，， ， 折断前甲树的高度为． 9．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理，可求，再求两个直角三角形的面积，相加即可． 【详解】解：连接， 由题可知，和是直角三角形， 根据勾股定理，可得， ，，， ，解得， 则四边形的面积为：（）， 则这块草地的面积为． 10．（25-26八年级下·河南漯河·期中）定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． (1)如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是________； (2)如图2，在方格纸中，两点在格点上，请画出一个符合条件的对直四边形，且点都在格点上． 【答案】(1) (2)如图，（答案不唯一） 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，然后求出，利用勾股定理求解； （2）根据网格的特点和对直四边形的定义画图． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵四边形是对直四边形， ∴， ∴； （2）略 1．（25-26八年级下·广西百色·期末）在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题已知直角三角形的两条直角边长度，求斜边长，直接运用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴为斜边，，为直角边． 又∵，， ∴由勾股定理得． 2．（25-26八年级下·北京·期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：连接，由作图可知，， 在中，，， ∴. 3．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）如图是来自希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．分别以直角三角形的边，，为直径画半圆，，，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由直角三角形的性质得出，由勾股定理得，然后通过阴影部分的面积为，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴阴影部分的面积为 ． 4．（25-26七年级下·山东济南·期末）在等边三角形中，平分，，分别为边，上的点，且．若的最小值为，则等边三角形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作的平行线，在平行线上截取线段，容易证明，则，从而得到，结合线段公理可得当、、三点共线时，取得最小值，因此．容易判断是等腰直角三角形，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，在平行线上截取线段， ∵是等边三角形，平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当、、三点共线时，取得最小值， ∵的最小值为， ∴， 在中，， ∴， 解得． 5．（25-26八年级上·广西贵港·期末）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑥组勾股数为________ 【答案】13，84，85 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察勾股数序列，每组第一个数为奇数，且第n组第一个数为；设第二个数为x，第三个数为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意得，第⑥组第一个数为，设第二个数为x，则第三个数为， 由勾股定理得， 解得，则， 故第⑥组勾股数为13,84,85． 故答案为：13，84，85． 6．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，，点是直线右侧一动点，且满足的面积是3，则的最小值为______． 【答案】 【分析】首先根据勾股定理逆定理判定 为直角三角形，且 ；然后根据三角形面积公式求出点 到直线 的距离，确定点 的轨迹是一条平行于 的直线；最后利用轴对称性质（将军饮马模型），作点 关于该直线的对称点，发现对称点即为点 ，从而将 的最小值转化为线段 的长度 ． 【详解】解： 是直角三角形，且 ， ， 设点 到直线 的距离为 解得 点 在平行于 且到 距离为 的直线 上 ， 如图所示， 作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ， 直线 ， 直线 点 在直线 上 点 与点 关于直线 对称，且直线 到 的距离为 ， ， ，且点 在直线 右侧， 点 与点 重合， 的最小值 ． 8．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点A、B均在格点上．分别在图甲、图乙中各找一个格点C，使得是以为一腰，顶角分别为直角和钝角的等腰三角形，并直接写出的面积． 【答案】作图见解析，；或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，三角形的分类等知识点． 根据网格特征直接取点，即可作出等腰直角三角形，即可求解面积；取点，由勾股定理得，且符合顶角为钝角． 【详解】解：如图点即为所求； ∴的面积．     如图点即为所求； 的面积或的面积． 9．（25-26八年级上·上海·期末）阅读以下素材并解决问题： “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上，向右平移直角使点B和E重合（图1），这时，，问题就变成“点 B 在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． (1)代数式的最小值是_____． (2)根据上述信息，求代数式的最小值． (3)已知正数满足，结合上述问题的方法，求的值． 【答案】(1)41 (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1）解：如图2，根据题意得：，， ， ∴的最小值是41； （2）解：如图，，， 设，则， ∴， ∴的最小值是； （3）解：构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 10．（25-26八年级下·江西萍乡·期末）若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于（从该相邻两边的公共顶点引出的）一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)如图，已知点，，在的网格格点上（小正方形的顶点），若为格点，请在图的网格中直接画出所有以，为勾股边且对角线相等的勾股四边形； 【探究论证】 (2)如图，，且，连接，，，，当时，求证：，即四边形是勾股四边形； 【迁移探究】 (3)如图，和是等边三角形（），连接，当四边形是以、为勾股边的勾股四边形时，求证：． 【答案】(1)如图所示，四边形，即为所求； 连接，，， ，，， ， ， 四边形，即为所求； (2)， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即四边形是勾股四边形； (3)连接，， 和是等边三角形， ，，， ． 即， ， ， 四边形是以、为勾股边的勾股四边形，且， ， ， 是直角三角形，且， ． 【分析】（1）根据定义以及勾股定理画出图形； （2）根据全等三角形的性质得出相等的边和角，然后得出，然后利用勾股定理进行证明； （3）根据等边三角形的性质得出相等的角和边，证明，得出相等的边，根据新定义得出，得出直角三角形即可得出结论． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略； （3）证明：略． 学科网（北京）股份有限公司 $