专题05随机事件及简单随机概率(知识梳理+常考题型精析+强化巩固) 2026年浙教版八升九数学暑假预习讲义

专题05随机事件及简单随机概率暑假预习讲义 · 掌握事件分类概念：理解必然事件、不可能事件、随机事件的定义，能准确区分生活情境中的三类事件，了解随机事件发生有不确定性。 · 理解概率的意义：知道概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，掌握概率取值范围：(0 P(A) 1)，明白必然事件概率为 1、不可能事件概率为 0、随机事件概率在 0～1 之间。 · 掌握简单随机事件概率公式：理解并熟记概率计算公式，会判断试验结果是否为等可能结果，能利用公式求一步简单事件的概率。 · 会分析基本事件：能正确找出一次试验中所有等可能结果数、符合条件的结果数，不重不漏，规范书写概率解题步骤。 · 能结合实际情境求概率：会解决摸球、掷骰子、抽卡片、转盘等基础题型，能结合生活实际解释概率大小的意义。 · 初步感知频率与概率的区别：知道频率是试验结果，概率是理论定值，理解试验次数越多，频率越接近概率。 · 养成规范答题习惯：预习时熟悉概率标准答题格式，标记易错点：结果不等可能、数错总情况、漏写步骤等。 · 形成随机观念：感受随机现象的特点，能用概率思维分析生活中的不确定事件，初步建立数据分析与随机思想。 预习必备 知识梳理 1.事件的分类 2.条件对事件类型的影响 3.随机事件发生可能性大小 4.频数频率概念与计算公式 5.频率概率对比 6.等可能试验判定标准 7.等可能，非等可能试验分类 8.简单随机事件概率计算 9.几何概率 10高频易错汇总 常考题型 精讲精练 1.事件的分类 2.事件可能性大小判定 3.调整条件使事件可能性相同 4.概率的意义理解 5.事件概率大小关系判定 6.列举试验全部可能结果 7.判断试验结果是否等可能 8.由概率公式计算概率 9.根据概率作判断 10.已知概率求数量 11.几何概率 12.列举法求概率 13.列表法或树状图求概率 强化题型 解答题7题 知识点01:事件的分类 核心结论：事件分确定事件和随机事件，确定事件又分 2 种，判断关键看 “结果是否可预判” 分类 定义 概率取值 典型例子 易错提醒 必然事件 一定条件下，事先确定必然发生 P=1 抛出石块下落 P=1不代表是随机事件 不可能事件 一定条件下，必然不会发生 P=0 袋中全红球，摸出白球 P=0无发生可能性 随机事件 无法预先确定是否发生，可能发生、可能不发生 0＜P＜1 掷硬币正面向上 取值介于 0 和 1 之间 补充：确定性事件 = 必然事件 + 不可能事件，考试选择常考概念辨析。 知识点 02 条件对事件类型的影响 事件的属性不能脱离试验条件单独判断，条件发生改变，事件所属类别会变化。 举例： “纯水沸腾”：常温环境下是不可能事件；标准大气压、100℃环境下是必然事件； “摸出黑球”：全红袋子是不可能事件；装有黑白混合球袋子是随机事件。 知识点 03 随机事件发生可能性大小 1.不同随机事件，发生可能性存在明显大小差异； 2.判定规律：同等等可能试验中，符合事件要求的结果数量越多，发生可能性越大，概率数值越靠近 1；符合条件结果越少，可能性越小，数值越靠近 0； 3.作用：搭建直观感受与概率数值之间的桥梁，为概率定量计算做铺垫。 例：袋内 5 红 1 白共 6 个相同小球，摸到红球可能性远大于白球。 知识点 04 频数、频率基础概念与计算公式 频数：相同条件下重复试验，某随机事件实际发生的次数，记作字母m； 总试验次数：完整开展试验的总次数，记作字母n； 频率计算公式：频率=； 补充：频率是一个比值，取值范围0频率1。 知识点 05 频率稳定性定理 + 频率与概率区分对照表 1. 频率稳定性核心内容 少量重复试验时，频率数值波动幅度大，每次试验算出的频率不固定；当试验重复次数持续大量增加，随机事件的频率会逐步稳定在某一个固定常数附近，这个稳定常数就是该事件的理论概率。 2. 频率、概率对比表格 对比维度 频率 概率 本质属性 实际试验计算得出的比值，属于统计结果 事件本身自带固定常数，理论定值 数值特点 随试验总次数变化，数值不唯一 固定不变，不受试验次数影响 获取方式 动手重复试验，统计频数后计算 通过理论分析、公式计算得出 联系 试验次数足够大时，频率无限接近概率 是频率最终趋近的稳定值 知识点 06 等可能试验判定标准（两个条件缺一不可） 想要使用古典概率公式计算概率，试验必须同时满足以下两条要求： 条件①：一次试验所有可能出现的结果总数是有限个； 条件②：每一种结果出现的可能性大小完全相等。 知识点 07等可能、非等可能试验分类表格 类别 常见试验道具 满足条件说明 能否使用P(A)= 标准等可能试验 均匀硬币、均匀正方体骰子、大小质地完全相同小球、无差别卡片、均匀等分转盘 结果有限，每种结果机会均等 可以直接套用公式计算 非等可能试验 质地不均匀骰子、大小重量不同小球、面积不等分区转盘、偏向性抽奖道具 每种结果出现机会不相等 不可以直接使用古典概率公式 知识点08:简单随机事件概率计算（核心考点） 1. 通用计算公式 若一次试验共有n种等可能的结果，事件A包含其中m种结果，则： P(A)=： n所有等可能结果总数；m：事件A包含的结果数mn 2. 常用列举方法（解答题必考） 方法 适用场景 解题要点 直接列举法 结果数量少（3 种及以内） 逐一写出所有可能结果，数清\(m、n\) 列表法 两步试验、结果较多 行列分别表示两步试验，不重不漏 树状图法 两步及以上试验 分层梳理所有结果，多步试验首选 解题规范要求 先说明 “所有等可能结果” 总数； 再找出目标事件包含的结果数； 代入公式计算概率，书写格式统一。 知识点09：几何概率 1. 几何概型适用条件（三大条件，缺一不可） ① 试验结果有无限多个； ② 每个结果出现的可能性均等； ③ 所有结果可以用线段长度、平面图形面积、立体体积等几何度量表示。 2. 几何概率通用计算公式 P(A)= 3. 几何概率三大常见类型表格 类型 度量依据 典型题型 计算关键 长度型几何概率 线段长度 1. 数轴上随机取点2. 线段上随机截取一段 准确算出目标线段长、整条线段总长 面积型几何概率（考试高频） 平面图形面积 1. 不规则转盘、不等分圆盘2. 正方形 / 长方形 / 圆内随机投点3. 阴影区域概率 正确计算阴影面积、整体图形总面积 体积型几何概率 立体体积 容器内随机取液体、几何体内部投点 初中考查极少，了解即可 4. 几何概率标准解题步骤 ① 判断试验属于几何概型 ② 确定整体图形总度量（总长 / 总面积）； ③ 求出符合事件要求区域的度量； ④ 代入公式约分计算； ⑤ 写出文字结论。 知识点10：高频易错点汇总 易错板块 细分详细易错点 错误示范 标准正确做法 事件分类判断 1. 忽略 “固定条件” 前提判断事件2. 把确定事件误判为随机事件 判定 “骰子点数小于 7” 为随机事件 先锁定试验条件，点数 1~6，小于 7 一定发生，属于必然事件 等可能试验判定 默认所有试验结果等可能，不等可能道具强行套公式 面积不等的转盘直接使用P= 先验证 “结果有限、每种结果可能性相等”，不满足不能用古典公式；面积不等转盘用几何概率计算 计数m、n（古典概型） 列举结果重复、遗漏，有利结果数错 袋 3 红 2 白，摸红球记作m=2 有序逐条列举全部结果，分类清点，做到不重不漏 概率取值理解 1. 随机事件概率写成 0 或 12. 认为概率数值可以大于 1 随机事件概率P=0 随机事件满足0<P<1；P=0、P=1分别对应不可能、必然事件，概率范围仅 01 频率与概率混淆 少量试验的频率直接等同于固定概率 10 次摸球 6 次红球，直接写P= 频率随试验次数改变，概率固定不变；仅大量重复试验后，频率才稳定趋近概率 对立事件计算 只会枚举反面所有结果，不会使用1-P(A)简化运算 求 “不摸到白球” 重新数全部红球数量 优先计算正面事件概率，利用对立公式快速减法计算 答题书写规范 1. 不说明试验类型（古典 / 几何）2. 不标注度量 / 总数直接写分数3. 分数不化简、无文字答句 直接写P= 古典概型标注m、n；几何概型写明面积 / 长度，严格遵循答题流程，结果化为最简分数 几何概率典型错点 不等分转盘直接数份数算概率；重叠区域重复计算 圆盘 4 块面积不等扇形，直接P= 面积不等转盘采用面积比值计算，不依靠扇形个数 概念文字描述 定义表述缺少“在一定条件下”关键语句 随机事件是可能发生的事件 标准完整表述：在固定不变的条件下，可能发生也可能不发生的事 题型1.事件的分类 【典例】投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，属于___________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 【跟踪专练1】下列事件中，是随机事件的是（     ） A．任意画一个三角形，其内角和为 B．一标准大气压下，通常加热到时，水沸腾 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．掷一次骰子，出现的点数为 【跟踪专练2】给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是________（填序号）． 【跟踪专练3】下列事件：同位角相等；标准大气压下，水在零下会结冰；任意画一个三角形，内角和是；任意买一张电影票，座号是偶数；在同一个月出生的个人中，至少有两个人的生日在同一天；任意三条线段可以组成一个三角形．其中是确定事件的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型2.事件可能性大小判定 【典例】袋子里有15个红球和20个白球，球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，那么摸出______球的可能性大． 【跟踪专练1】若宇宙中飞来一块陨石砸到地球上，则事件“陨石没有砸中人”是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．极大概率事件 D．极小概率事件 【跟踪专练2】盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到_______球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加_______个这种颜色的球． 【跟踪专练3】学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 题型3.调整条件使事件可能性相同 【典例】有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 【跟踪专练1】一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 【跟踪专练2】袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练3】事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°；事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯；则下列说法正确的是（　　） A．事件①和②都是随机事件 B．事件①是随机事件，事件②是必然事件 C．事件①和②都是必然事件 D．事件①是必然事件，事件②是随机事件 题型4.概率的意义理解 【典例】将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，将这枚硬币再抛掷一次，第5次正面朝上的可能性是________． 【跟踪专练1】已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（　　） A．连续抛一枚均匀硬币2次，必有1次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币10次，都可能正面朝上 C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 【跟踪专练2】投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a、b．那么方程有解的概率是_______． 【跟踪专练3】气象台预测“本市降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是（　　） A．本市明天将有90%的地区降雨 B．本市明天将有90%的时间降雨 C．明天出行不带雨具肯定会淋雨 D．明天出行不带雨具可能会淋雨 题型5.事件概率大小关系判定 【典例】随机事件的概率是（   ） A．1 B．0 C．大于0且小于1 D．大于1 【跟踪专练1】一个不透明的袋子中有1个白球、1个红球和4个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同，搅均匀后从中任意摸出1个球，摸出白球的可能性____摸出黄球的可能性(填“等于”或“小于”或“大于”)． 【跟踪专练2】从一副扑克牌中级抽取一张，①抽到王牌；②抽到Q；③抽到梅花．上述事件，概率最大的是_____． 【跟踪专练3】抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，下列说法正确的是（   ） A．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次 B．连续抛掷10次不可能都正面朝上 C．抛掷硬币确定谁先发球的规则是公平的 D．连续抛掷2次必有1次正面朝上 题型6.列举试验全部可能结果 【典例】班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【跟踪专练1】在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有________种张开方式． 【跟踪专练2】第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为__________ ． 【跟踪专练3】无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 题型7.判断试验结果是否等可能 【典例】小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 【跟踪专练1】彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【跟踪专练2】在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 题型8.由概率公式计算概率 【典例】四张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3、4，从中随机一次抽出一张，这张卡片上的数字是偶数的概率是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一个不透明的笔袋中有支黑笔和支红笔，这些笔除颜色外无其他差别．从笔袋中随机取出一支笔，已知它是红笔的概率是，则的值为______． 【跟踪专练2】体育课上、、三人练习踢足球，足球从一人传到另一个人就记为踢一次．若踢了三次后，要使踢到处的概率最小，应该从______开始踢． 【跟踪专练3】如图，一只蚂蚁在如图所示位置向上爬，在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每一个岔路口都会随机地选择一条路径，那么这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率的大小关系是（    ） A．F的概率大 B．E的概率大 C．同样大 D．无法比较 题型9.根据概率作判断 【典例】某超市在一个不透明盒子中装了个小球，其中个小球上写着过桥米线，个小球上写着鲜花饼，个小球上写着普洱茶，个小球上写着宣威火腿，每个小球除文字外其它完全相同．凡是在该超市消费满元的客户就可以从盒中随机摸出一个小球，根据小球上的文字，免费领取一盒对应的礼品．小智摸出一个球后，最有可能领取的礼品是（    ） A．过桥米线 B．普洱茶 C．宣威火腿 D．鲜花饼 【跟踪专练1】用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（　　） A．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是 C．摸到黄球、红球、白球的概率是 D．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 【跟踪专练2】一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要（     ）位． A．3位 B．2位 C．9位 D．10位 【跟踪专练3】将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型10.已知概率求数量 【典例】一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的乒乓球，其中有个白色乒乓球．每次摸球前先将盒子里的乒乓球摇匀，任意摸出一个乒乓球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白色乒乓球的频率稳定在，那么估计盒子中乒乓球的个数为___________个． 【跟踪专练1】一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，n个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为，则n的值是（   ） A．3 B．4 C．1 D．6 【跟踪专练2】在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为______． 【跟踪专练3】如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形，若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型11.几何概率 【典例】如图的转盘，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是________． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形纸片上随机做扎针实验，则针头恰好扎在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正方形中，对角线和相交于点，点在线段上，连接，过点作交于点．小明向正方形内随意投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是__________． 【跟踪专练3】如图，在中，，是边上的中线，点E、F、M、N是上的四点，现向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 题型12.列举法求概率 【典例】在“石头剪刀布”的游戏中，当你出“剪刀”时，对手与你打平的概率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某同学计划购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率为_____． 【跟踪专练2】从，1，2中取两个不同的数，分别记为a 和b，则a，b是方程的两个根的概率是_________． 【跟踪专练3】在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，两盏灯都不发光的概率是（   ） A． B． C． D． 题型13.列表法或树状图求概率 【典例】甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是_________． 【跟踪专练1】每周五下午的社团课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“篮球课”“思辨课”“机器人课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“马”、“到”、“成”、“功”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“成功”的概率是________． 【跟踪专练3】中国邮政于2025年3月14日发行《数学之美》特种邮票1套4枚，邮票图案名称分别为：圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．小明从上述4种不同图案的邮票中随机选择2种购买，购买的邮票图案恰好是勾股定理和圆周率的概率是（　　） A． B． C． D． 解答题 1．2025年10月，第二届越野族江西大余森林英雄会在大余县未来汽车新媒体中心举办，活动设置了3个官方指定沉浸式体验项目（A：星空露营，B：南安家宴品鉴，C：汽车影院观影），甲、乙两人从3个项目中随机抽取1个项目参与． (1)“甲抽到南安家宴品鉴项目”是______事件（随机、必然、不可能）； (2)请用列表或画树状图的方法，求两人抽到同一种项目的概率． 2．一只不透明的袋子中装有个白球、个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出个球． (1)（摸到黑球）______； (2)估计以下事件的可能性大小：①摸到白球，②摸到黄球，③摸到红球，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排序； (3)怎样改变袋子中白球、黄球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相等？ 3．除夕夜，妈妈为江华准备了4个红包，分别为：A：10元、B：20元、C：20元和D：50元，红包外观无差别． (1)江华随机从妈妈准备的红包中抽一个，金额是20元的概率是：________； (2)江华先随机抽取一个红包，记下金额，然后放回，再随机抽一个红包，请用树状图或列表法求两次红包金额一共30元的概率． 第二次第一次 10 20 20 50 10 20 30 30 60 20 30 40 40 70 20 30 40 40 70 50 60 70 70 100 因为共有16种等可能性结果，其中金额一共为30元有4种， 所以． 答：金额一共30元的概率为． 4．某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． (1)甲选择“食品安全”主题的概率为_______； (2)若我们学校现有九年级900人，请你估算出选择交通安全的同学有_______人； (3)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率（主题可用A、B、C、D表示）． 5．图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． (2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率． (3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 6．平遥古城非遗店铺推出剪纸纪念品盲抽活动，柜台里有四种山西特色剪纸，分别是“晋商票号”、“五台山佛光寺”、“应县木塔”、“黄河壶口瀑布”，每种剪纸各有1张，共4张，打乱后供游客抽取．游客小王随机抽取2张作为纪念． (1)小王第一次抽取就拿到“应县木塔”剪纸的概率是______． (2)请用列表或画树状图的方法，求小王抽到的2张剪纸中恰好有“黄河壶口瀑布”的概率． 7．一个不透明的袋中装有4个球，分别标有1、2、3、4四个号码，这些球除号码外都相同．甲同学每次从袋中搅匀后任意摸出一个球后再放回，并计划摸取球10次，现已摸取了8次，取出的结果如表所列： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 号码 2 2 4 4 2 1 4 1 若每次取球时，且取出的号码即为得分，请回答下列问题： (1)乙同学说：“甲同学前8次摸球都没有得3分，因此第9次摸球一定得3分．”请分析乙的说法是否正确，说明理由． (2)请求出第1次至第8次得分的平均数． (3)甲同学依计划继续从袋中再取球2次，这两次取球得分之和为a，若发生“这10次得分的平均数不小于，且不大于”的情况， ①a的取值范围是：________； ②请通过列表法或树状图计算发生这种情况的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05随机事件及简单随机概率暑假预习讲义 · 掌握事件分类概念：理解必然事件、不可能事件、随机事件的定义，能准确区分生活情境中的三类事件，了解随机事件发生有不确定性。 · 理解概率的意义：知道概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，掌握概率取值范围：(0 P(A) 1)，明白必然事件概率为 1、不可能事件概率为 0、随机事件概率在 0～1 之间。 · 掌握简单随机事件概率公式：理解并熟记概率计算公式，会判断试验结果是否为等可能结果，能利用公式求一步简单事件的概率。 · 会分析基本事件：能正确找出一次试验中所有等可能结果数、符合条件的结果数，不重不漏，规范书写概率解题步骤。 · 能结合实际情境求概率：会解决摸球、掷骰子、抽卡片、转盘等基础题型，能结合生活实际解释概率大小的意义。 · 初步感知频率与概率的区别：知道频率是试验结果，概率是理论定值，理解试验次数越多，频率越接近概率。 · 养成规范答题习惯：预习时熟悉概率标准答题格式，标记易错点：结果不等可能、数错总情况、漏写步骤等。 · 形成随机观念：感受随机现象的特点，能用概率思维分析生活中的不确定事件，初步建立数据分析与随机思想。 预习必备 知识梳理 1.事件的分类 2.条件对事件类型的影响 3.随机事件发生可能性大小 4.频数频率概念与计算公式 5.频率概率对比 6.等可能试验判定标准 7.等可能，非等可能试验分类 8.简单随机事件概率计算 9.几何概率 10高频易错汇总 常考题型 精讲精练 1.事件的分类 2.事件可能性大小判定 3.调整条件使事件可能性相同 4.概率的意义理解 5.事件概率大小关系判定 6.列举试验全部可能结果 7.判断试验结果是否等可能 8.由概率公式计算概率 9.根据概率作判断 10.已知概率求数量 11.几何概率 12.列举法求概率 13.列表法或树状图求概率 强化题型 解答题7题 知识点01:事件的分类 核心结论：事件分确定事件和随机事件，确定事件又分 2 种，判断关键看 “结果是否可预判” 分类 定义 概率取值 典型例子 易错提醒 必然事件 一定条件下，事先确定必然发生 P=1 抛出石块下落 P=1不代表是随机事件 不可能事件 一定条件下，必然不会发生 P=0 袋中全红球，摸出白球 P=0无发生可能性 随机事件 无法预先确定是否发生，可能发生、可能不发生 0＜P＜1 掷硬币正面向上 取值介于 0 和 1 之间 补充：确定性事件 = 必然事件 + 不可能事件，考试选择常考概念辨析。 知识点 02 条件对事件类型的影响 事件的属性不能脱离试验条件单独判断，条件发生改变，事件所属类别会变化。 举例： “纯水沸腾”：常温环境下是不可能事件；标准大气压、100℃环境下是必然事件； “摸出黑球”：全红袋子是不可能事件；装有黑白混合球袋子是随机事件。 知识点 03 随机事件发生可能性大小 1.不同随机事件，发生可能性存在明显大小差异； 2.判定规律：同等等可能试验中，符合事件要求的结果数量越多，发生可能性越大，概率数值越靠近 1；符合条件结果越少，可能性越小，数值越靠近 0； 3.作用：搭建直观感受与概率数值之间的桥梁，为概率定量计算做铺垫。 例：袋内 5 红 1 白共 6 个相同小球，摸到红球可能性远大于白球。 知识点 04 频数、频率基础概念与计算公式 频数：相同条件下重复试验，某随机事件实际发生的次数，记作字母m； 总试验次数：完整开展试验的总次数，记作字母n； 频率计算公式：频率=； 补充：频率是一个比值，取值范围0频率1。 知识点 05 频率稳定性定理 + 频率与概率区分对照表 1. 频率稳定性核心内容 少量重复试验时，频率数值波动幅度大，每次试验算出的频率不固定；当试验重复次数持续大量增加，随机事件的频率会逐步稳定在某一个固定常数附近，这个稳定常数就是该事件的理论概率。 2. 频率、概率对比表格 对比维度 频率 概率 本质属性 实际试验计算得出的比值，属于统计结果 事件本身自带固定常数，理论定值 数值特点 随试验总次数变化，数值不唯一 固定不变，不受试验次数影响 获取方式 动手重复试验，统计频数后计算 通过理论分析、公式计算得出 联系 试验次数足够大时，频率无限接近概率 是频率最终趋近的稳定值 知识点 06 等可能试验判定标准（两个条件缺一不可） 想要使用古典概率公式计算概率，试验必须同时满足以下两条要求： 条件①：一次试验所有可能出现的结果总数是有限个； 条件②：每一种结果出现的可能性大小完全相等。 知识点 07等可能、非等可能试验分类表格 类别 常见试验道具 满足条件说明 能否使用P(A)= 标准等可能试验 均匀硬币、均匀正方体骰子、大小质地完全相同小球、无差别卡片、均匀等分转盘 结果有限，每种结果机会均等 可以直接套用公式计算 非等可能试验 质地不均匀骰子、大小重量不同小球、面积不等分区转盘、偏向性抽奖道具 每种结果出现机会不相等 不可以直接使用古典概率公式 知识点08:简单随机事件概率计算（核心考点） 1. 通用计算公式 若一次试验共有n种等可能的结果，事件A包含其中m种结果，则： P(A)=： n所有等可能结果总数；m：事件A包含的结果数mn 2. 常用列举方法（解答题必考） 方法 适用场景 解题要点 直接列举法 结果数量少（3 种及以内） 逐一写出所有可能结果，数清\(m、n\) 列表法 两步试验、结果较多 行列分别表示两步试验，不重不漏 树状图法 两步及以上试验 分层梳理所有结果，多步试验首选 解题规范要求 先说明 “所有等可能结果” 总数； 再找出目标事件包含的结果数； 代入公式计算概率，书写格式统一。 知识点09：几何概率 1. 几何概型适用条件（三大条件，缺一不可） ① 试验结果有无限多个； ② 每个结果出现的可能性均等； ③ 所有结果可以用线段长度、平面图形面积、立体体积等几何度量表示。 2. 几何概率通用计算公式 P(A)= 3. 几何概率三大常见类型表格 类型 度量依据 典型题型 计算关键 长度型几何概率 线段长度 1. 数轴上随机取点2. 线段上随机截取一段 准确算出目标线段长、整条线段总长 面积型几何概率（考试高频） 平面图形面积 1. 不规则转盘、不等分圆盘2. 正方形 / 长方形 / 圆内随机投点3. 阴影区域概率 正确计算阴影面积、整体图形总面积 体积型几何概率 立体体积 容器内随机取液体、几何体内部投点 初中考查极少，了解即可 4. 几何概率标准解题步骤 ① 判断试验属于几何概型 ② 确定整体图形总度量（总长 / 总面积）； ③ 求出符合事件要求区域的度量； ④ 代入公式约分计算； ⑤ 写出文字结论。 知识点10：高频易错点汇总 易错板块 细分详细易错点 错误示范 标准正确做法 事件分类判断 1. 忽略 “固定条件” 前提判断事件2. 把确定事件误判为随机事件 判定 “骰子点数小于 7” 为随机事件 先锁定试验条件，点数 1~6，小于 7 一定发生，属于必然事件 等可能试验判定 默认所有试验结果等可能，不等可能道具强行套公式 面积不等的转盘直接使用P= 先验证 “结果有限、每种结果可能性相等”，不满足不能用古典公式；面积不等转盘用几何概率计算 计数m、n（古典概型） 列举结果重复、遗漏，有利结果数错 袋 3 红 2 白，摸红球记作m=2 有序逐条列举全部结果，分类清点，做到不重不漏 概率取值理解 1. 随机事件概率写成 0 或 12. 认为概率数值可以大于 1 随机事件概率P=0 随机事件满足0<P<1；P=0、P=1分别对应不可能、必然事件，概率范围仅 01 频率与概率混淆 少量试验的频率直接等同于固定概率 10 次摸球 6 次红球，直接写P= 频率随试验次数改变，概率固定不变；仅大量重复试验后，频率才稳定趋近概率 对立事件计算 只会枚举反面所有结果，不会使用1-P(A)简化运算 求 “不摸到白球” 重新数全部红球数量 优先计算正面事件概率，利用对立公式快速减法计算 答题书写规范 1. 不说明试验类型（古典 / 几何）2. 不标注度量 / 总数直接写分数3. 分数不化简、无文字答句 直接写P= 古典概型标注m、n；几何概型写明面积 / 长度，严格遵循答题流程，结果化为最简分数 几何概率典型错点 不等分转盘直接数份数算概率；重叠区域重复计算 圆盘 4 块面积不等扇形，直接P= 面积不等转盘采用面积比值计算，不依靠扇形个数 概念文字描述 定义表述缺少“在一定条件下”关键语句 随机事件是可能发生的事件 标准完整表述：在固定不变的条件下，可能发生也可能不发生的事 题型1.事件的分类 【典例】投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，属于___________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 【答案】随机 【分析】根据事件的分类方法，进行判断即可． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，得到的点数是奇数，可能发生也可能不发生，是随机事件． 【跟踪专练1】下列事件中，是随机事件的是（     ） A．任意画一个三角形，其内角和为 B．一标准大气压下，通常加热到时，水沸腾 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．掷一次骰子，出现的点数为 【答案】C 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，判断各选项事件的类型，选出随机事件即可． 【详解】解： A选项，任意三角形的内角和为，任意画一个三角形，其内角和为必然事件，故A选项不符合题意； B选项，在一标准大气压下，通常加热到时，水沸腾，是一定发生的事件，属于必然事件，故B选项不符合题意； C选项，经过有交通信号灯的路口，可能遇到红灯也可能不遇到红灯，是随机事件，故C选项符合题意； D选项，骰子最大点数为，掷一次骰子出现点数为7是一定不发生的事件，属于不可能事件，故D选项不符合题意． 【跟踪专练2】给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是________（填序号）． 【答案】① 【分析】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，分别进行判定即可． 【详解】解：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件，故①正确，符合题意； ②可能性很大的事件是随机事件，只是发生的概率较大，不一定发生，故②错误，不符合题意； ③如果一个事件不是必然发生的，那么它就可能发生也可能不发生，故③错误，不符合题意； 故答案为：①． 【跟踪专练3】下列事件：同位角相等；标准大气压下，水在零下会结冰；任意画一个三角形，内角和是；任意买一张电影票，座号是偶数；在同一个月出生的个人中，至少有两个人的生日在同一天；任意三条线段可以组成一个三角形．其中是确定事件的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了确定事件的定义，掌握确定事件是指必然事件和不可能事件的总称，是解题的关键．根据确定事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：同位角相等只有在两直线平行时成立，否则不一定，是随机事件，不是确定事件； 标准大气压下，水在零下会结冰，是必然事件，是确定事件； 三角形内角和恒为，不是，是不可能事件，是确定事件； 电影票座号可能是偶数或奇数，是随机事件，不是确定事件； 一个月最多天，在同一个月出生的个人中至少两人生日相同，是必然事件，是确定事件； 三条线段需满足三角形三边关系才能组成三角形，是随机事件，不是确定事件． 确定事件有，共个． 故选：C． 题型2.事件可能性大小判定 【典例】袋子里有15个红球和20个白球，球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，那么摸出______球的可能性大． 【答案】 白 【分析】本题主要考查了可能性的大小，根据数量多则可能性大，即可解答． 【详解】解：袋中有红球15个，白球20个， ∵， ∴摸出白球的可能性大． 故答案为：白． 【跟踪专练1】若宇宙中飞来一块陨石砸到地球上，则事件“陨石没有砸中人”是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．极大概率事件 D．极小概率事件 【答案】C 【分析】本题考查了事件的判断，理解题意是解决本题的关键． 根据地球表面人类居住面积占比极小的事实，陨石砸中人的概率极低，则“陨石没有砸中人”的概率极高，属于极大概率事件． 【详解】解：∵地球表面无人居住区域占绝大多数， ∴陨石砸中人的概率极小， ∴事件“陨石没有砸中人”是极大概率事件． 故选C． 【跟踪专练2】盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，摸到_______球的可能性最小．如果要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加_______个这种颜色的球． 【答案】 红 6 【分析】本题主要考查了可能性大小的实际应用，掌握可能性大小的比较方法是解题的关键． 比较盒子里白球、黄球、红球的数量多少，数量最多的，摸到的可能性最大；反之，数量最少的，摸到的可能性就最小．要使拿到这种颜色的球可能性最大，则其个数至少要比7多1，据此即可确定需要增加的个数． 【详解】解：∵， ∴红球的数量最少，所以从中任意摸一个球，摸到红球的可能性最小． ∵（个）， ∴要使拿到这种颜色的球可能性最大，至少需要增加6个这种颜色的球． 故答案为：红，6． 【跟踪专练3】学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 【答案】D 【分析】本题考查了可能性的大小，明确可能性的大小与数量的多少有关，数量多的可能性大一点，数量少的可能性小一点，据此即可解答． 【详解】解：，蝴蝶琥珀昆虫吊坠最多，蝎子琥珀昆虫吊坠最少， 菲菲随机领取一个盲袋，领取蝴蝶的可能性最大，蝎子的可能性最小， 故选：D． 题型3.调整条件使事件可能性相同 【典例】有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 【答案】D 【分析】需使不可能事件与必然事件的数量相等，从而概率相同. 【详解】解：原卡片中不可能事件有3个（水中捞月、一步登天、刻舟求剑），必然事件有2个（水满则溢、水涨船高），增加一张卡片后总数为6张；若新增卡片为必然事件，则必然事件数量变为3，与不可能事件数量3相等，此时两者的概率均为； 选项D“瓮中捉鳖”是必然事件，满足条件； 故选：D. 【跟踪专练1】一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 【答案】2 【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解． 【详解】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大， ∴n的最小值等于3+1-2=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解． 【跟踪专练2】袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据概率公式求出白球的取值范围即可得出结论． 【详解】解：若要使取到白球的概率较大，则白球的个数＞红球的个数 由各选项可知，只有D选项符合 故选D． 【点睛】此题考查的是比较概率的大小，掌握概率公式是解决此题的关键． 【跟踪专练3】事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°；事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯；则下列说法正确的是（　　） A．事件①和②都是随机事件 B．事件①是随机事件，事件②是必然事件 C．事件①和②都是必然事件 D．事件①是必然事件，事件②是随机事件 【答案】D 【分析】根据随机事件和必然事件的概念判断可得． 【详解】解：事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°，这是必然事件； 事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯，这是随机事件； 故选：D． 【点睛】本题考查的是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 题型4.概率的意义理解 【典例】将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，将这枚硬币再抛掷一次，第5次正面朝上的可能性是________． 【答案】 【分析】本题考查概率的基本性质，注意独立事件概率不会因为之前的实验结果发生改变．硬币抛掷是独立事件，每次正面朝上的概率均为，与前次结果无关． 【详解】解：∵硬币质地均匀， ∴每次抛掷正面朝上的概率均为， ∵各次抛掷相互独立， ∴第5次正面朝上的概率为． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（　　） A．连续抛一枚均匀硬币2次，必有1次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币10次，都可能正面朝上 C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 【答案】A 【分析】本题考查概率的意义． 根据概率的意义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．连续抛一枚均匀硬币2次，都可能反面朝上，原说法错误，符合题意； B．连续抛一枚均匀硬币10次，都可能正面朝上，原说法正确，不符合题意； C．大量反复抛一枚均匀硬币，大约每1000次出现正面朝上500次，原说法正确，不符合题意； D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，原说法正确，不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a、b．那么方程有解的概率是_______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，事件发生的概率，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据题意得出恒成立，即可解答． 【详解】解：∵方程有解， ∴， ∵向上一面的点数a、b都是正数， ∴恒成立， ∴有解的概率是1． 故答案为：1． 【跟踪专练3】气象台预测“本市降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是（　　） A．本市明天将有90%的地区降雨 B．本市明天将有90%的时间降雨 C．明天出行不带雨具肯定会淋雨 D．明天出行不带雨具可能会淋雨 【答案】D 【分析】根据概率的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】“本市降雨的概率是90%”，是说明天下雨发生的可能性很大，但不一定就一定会发生．所以A、B、C三个选项中的说法都不正确，只有D符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了概率的意义，掌握概率的意义是解题的关键，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生． 题型5.事件概率大小关系判定 【典例】随机事件的概率是（   ） A．1 B．0 C．大于0且小于1 D．大于1 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的可能性，随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，故随机事件的概率是大于0且小于1． 【详解】解：随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，故随机事件的概率是大于0且小于1， 故选：C． 【跟踪专练1】一个不透明的袋子中有1个白球、1个红球和4个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同，搅均匀后从中任意摸出1个球，摸出白球的可能性____摸出黄球的可能性(填“等于”或“小于”或“大于”)． 【答案】小于 【分析】分别求出摸出白色和黄色球的概率，再比较摸出两种颜色球的可能性大小即可． 【详解】∵摸出白球的可能性为，摸出黄球的可能性为 ∴摸出白球的可能性小于摸出黄球的可能性． 故答案为：小于． 【点睛】本题主要考查了可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可，求概率时，应注意熟练概率公式是解题的关键． 【跟踪专练2】从一副扑克牌中级抽取一张，①抽到王牌；②抽到Q；③抽到梅花．上述事件，概率最大的是_____． 【答案】③抽到梅花． 【分析】根据概率公式先求出各自的概率，再进行比较，即可得出答案． 【详解】∵一副扑克牌有54张，王牌有2张，抽到王牌的可能性是； Q牌有4张，抽到Q牌的可能性是； 梅花有13张，抽到梅花牌的可能性是； ∴概率最大的是抽到梅花； 故答案为③抽到梅花． 【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【跟踪专练3】抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，下列说法正确的是（   ） A．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次 B．连续抛掷10次不可能都正面朝上 C．抛掷硬币确定谁先发球的规则是公平的 D．连续抛掷2次必有1次正面朝上 【答案】C 【分析】根据概率的意义逐一判断即可得． 【详解】A. 大量反复抛掷每100次出现正面朝上接近50次，此选项错误； B. 连续抛掷10次可能都正面朝上，但可能性较小，此选项错误； C. 通过抛掷硬币确定两人谁先发球的比赛规则是公平的，此选项正确； D. 连续抛掷2次可能有1次正面朝上，此选项错误. 故选C 【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． 题型6.列举试验全部可能结果 【典例】班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】本题考查列举法，通过列举法，进行求解即可． 【详解】解：由题意，他的选法有：文学类、历史类；文学类、哲学类；文学类，自然类；历史类、哲学类；历史类、自然类；哲学类、自然类，共6种； 故选：C． 【跟踪专练1】在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有________种张开方式． 【答案】10 【分析】此题考查了列举法求可能的情况，设5指分别为1，2，3，4，5，根据题意列举出所有可能得情况即可求解． 【详解】解：设5指分别为1，2，3，4，5 根据题意得，可能的情况有： ①1，2，3；②1，2，4；③1，2，5；④1，3，4；⑤1，3，5；⑥1，4，5； ⑦2，3，4；⑧2，3，5；⑨2，4，5；⑩3，4，5． ∴一共有10种张开方式． 故答案为：10． 【跟踪专练2】第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为__________ ． 【答案】12 【分析】本题考查列举法所有等可能情况，把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为，共有六种站法，再利用插空法即可求解，掌握例举法是解题的关键． 【详解】解：把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为， 则将三个吉祥物进行排列，有： ，，，，，， 共种站法， 再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则有： ，，，，， 共有种不同的站法， 故答案为：12． 【跟踪专练3】无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】A 【分析】本题主要考查了列举法求随机事件所有出现的结果等知识点，利用已知条件，通过分类求解即可，熟练掌握用列举法求随机事件所有出现的结果是解决此题的关键． 【详解】解：设无人机三种颜色为A，B，C， 由题意知，编号1至5号的无人机颜色和编号7、8号的无人机颜色之间可以相同，但编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同， ∴可画树状图如下， ∴共有12种． 故选：A． 题型7.判断试验结果是否等可能 【典例】小梅随机选择在下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，则她选择在周二去打疫苗的概率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意中从下周一至周五的某一天去打新冠疫苗，共有5种情况，且每种情况的可能性相同，即可得出选择周二打疫苗的概率． 【详解】解：小梅选择周一到周五共有5种情况，且每种情况的可能性相同，均为， ∴选择周二打疫苗的概率为：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查简单概率的计算，理解题意是解题关键． 【跟踪专练1】彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【答案】D 【分析】根据等可能事件的意义解答即可． 【详解】解：抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同， 每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上， 故选：D． 【点睛】本题考查了等可能事件的定义，能够正确判断事件发生的概率是解本题的关键． 【跟踪专练2】在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 题型8.由概率公式计算概率 【典例】四张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3、4，从中随机一次抽出一张，这张卡片上的数字是偶数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵共有4张外观相同的卡片，随机抽出一张，所有等可能的结果共4种，其中卡片上的数字是偶数的结果共2种， ∴这张卡片上的数字是偶数的概率是． 【跟踪专练1】一个不透明的笔袋中有支黑笔和支红笔，这些笔除颜色外无其他差别．从笔袋中随机取出一支笔，已知它是红笔的概率是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据取出红笔的概率列出等式，整理即可得到的值． 【详解】解：由题意可得，笔袋中笔的总数量为，根据概率公式，随机取出一支为红笔的概率为． 已知取出红笔的概率为，可得 交叉相乘得 去括号得 移项合并同类项得 等式两边同时除以得． 【跟踪专练2】体育课上、、三人练习踢足球，足球从一人传到另一个人就记为踢一次．若踢了三次后，要使踢到处的概率最小，应该从______开始踢． 【答案】 【分析】本题考查的是概率计算，灵活运用列举法分析所有等可能路径是解题的关键。根据列举法分别列出从、、三处开始踢三次后球回到 A 处的路径数，进而求出对应概率，再比较概率大小，得出使踢到处概率最小的起始位置． 【详解】解：从开始踢时，共有种等可能路径，其中三次后球在处的路径有种，概率为； 从开始踢时，共有种等可能路径，其中三次后球在处的路径有种，概率为； 从开始踢时，共有种等可能路径，其中三次后球在处的路径有种，概率为． 由于，因此从开始踢时，踢到处的概率最小． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，一只蚂蚁在如图所示位置向上爬，在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每一个岔路口都会随机地选择一条路径，那么这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率的大小关系是（    ） A．F的概率大 B．E的概率大 C．同样大 D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，分别求出这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率，比较大小即可得出结果，解题的关键是熟练掌握两步完成的事件的概率第一步事件的概率与第二步事件的概率的乘积． 【详解】解：这只蚂蚁爬到树枝头E的概率为， 这只蚂蚁爬到树枝头F的概率为， ∵， 故这只蚂蚁爬到树枝头E和F的概率的大小关系是同样大， 故选：C． 题型9.根据概率作判断 【典例】某超市在一个不透明盒子中装了个小球，其中个小球上写着过桥米线，个小球上写着鲜花饼，个小球上写着普洱茶，个小球上写着宣威火腿，每个小球除文字外其它完全相同．凡是在该超市消费满元的客户就可以从盒中随机摸出一个小球，根据小球上的文字，免费领取一盒对应的礼品．小智摸出一个球后，最有可能领取的礼品是（    ） A．过桥米线 B．普洱茶 C．宣威火腿 D．鲜花饼 【答案】A 【分析】本题主要考查概率的基本意义，通过比较不同礼品对应小球的数量，最有可能领取的礼品对应小球数量最多的那种，因为概率与数量成正比． 【详解】解：∵小球总数为，过桥米线小球数为，鲜花饼为，普洱茶为，宣威火腿为， ∴过桥米线的小球数量最多，概率最大，为． 故选：A． 【跟踪专练1】用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（　　） A．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是 C．摸到黄球、红球、白球的概率是 D．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 【答案】B 【分析】 由概率公式求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】 解：A、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，概率和为1，可以成功； B、摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是，概率和为，肯定不能成功； C、摸到黄球、红球、白球的概率是，概率和为1，可以成功； D、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，概率和为1，可以成功． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查对于概率的理解，一件事情发生所有情况的概率和为1，掌握相关基础知识是解题的关键． 【跟踪专练2】一个密码箱的密码，每个位数上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要（     ）位． A．3位 B．2位 C．9位 D．10位 【答案】A 【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据小于所在的范围解答即可． 【详解】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为，取两位数时一次就拨对密码的概率为，取三位数时一次就拨对密码的概率为，故密码的位数至少需要3位． 故答案为：3． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 【跟踪专练3】将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据题意，设正面朝上记为，反面朝上记为，根据其和的奇偶性，以及每次同时翻转个不同的硬币，每次不改变和的奇偶性，根据所有的硬币都正面朝上，其和的奇偶性进行判断即可求解． 【详解】解：①如果，而， 则, ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次都改变硬币的正反，不论怎么操作总有个硬币反面朝上或朝下， ∴不能实现目标；故①正确 ②如果，而， 设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数， ∴不能实现目标； 故②不正确； ③如果且（为正整数），若， 同②可知，设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为，是奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数，而目标的结果为偶数， ∴不能实现目标； 故③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了逻辑推理，概率，能够将问题转化是解题的关键． 题型10.已知概率求数量 【典例】一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的乒乓球，其中有个白色乒乓球．每次摸球前先将盒子里的乒乓球摇匀，任意摸出一个乒乓球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白色乒乓球的频率稳定在，那么估计盒子中乒乓球的个数为___________个． 【答案】 【分析】当试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，结合概率公式列方程求解即可． 【详解】解：通过大量重复试验后，摸到白色乒乓球的频率稳定在， 摸到白色乒乓球的概率约为， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 【跟踪专练1】一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，n个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为，则n的值是（   ） A．3 B．4 C．1 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了概率的求法，熟练掌握其求法是解题的关键． 利用概率公式，结合摸出黄球的概率列方程求解即可． 【详解】解：∵袋中总球数为个，黄球有个，且摸出黄球的概率为， ∴有， 解得． 故选：A． 【跟踪专练2】在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球．若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，设红球的个数为x个，根据概率计算公式结合蓝球的概率建立方程求出x的值，进而求出摸出红球的概率即可． 【详解】解：设红球的个数为x个， 由题意得，， 解得 经检验，是原方程的根且符合题意， ∴红球的个数为3个， ∴随机摸出一个红球的概率为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形，若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．设涂上红色的小扇形的个数为个，根据概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设涂上红色的小扇形的个数为个， 由题意得：， 解得， 所以涂上红色的小扇形的个数为3个， 故选：C． 题型11.几何概率 【典例】如图的转盘，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是________． 【答案】 【详解】解：指针落在阴影区域内的概率． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形纸片上随机做扎针实验，则针头恰好扎在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平行四边形的面积分成4等份，阴影面积的和占其中的1等份，根据概率等于阴影面积的等可能性除以总可能性计算即可． 【详解】解：针头恰好扎在阴影部分的概率为； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，正方形中，对角线和相交于点，点在线段上，连接，过点作交于点．小明向正方形内随意投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，几何概率：事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示． 由正方形的性质求得，从而得出阴影面积面积=正方形面积，再由几何概率计算求值即可． 【详解】解：是正方形，则， ，则， ∴， ∴， ∴面积等于面积， ∴阴影面积面积=正方形面积， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为： 【跟踪专练3】如图，在中，，是边上的中线，点E、F、M、N是上的四点，现向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率，涉及等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中线性质，能得到各三角形面积之间的关系是解答的关键．由题意易得是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可得，进而得到，进而得到，利用几何概率公式求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为． 故选：A． 题型12.列举法求概率 【典例】在“石头剪刀布”的游戏中，当你出“剪刀”时，对手与你打平的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过列举所有等可能结果，找出符合打平条件的结果，再利用概率公式求解即可. 【详解】解：∵对手可以出的手势共有石头、剪刀、布3种等可能的结果. 又∵你出剪刀时，要打平需要对手也出剪刀，符合条件的结果只有1种. ∴根据概率公式，对手与你打平的概率为． 故选：A． 【跟踪专练1】某同学计划购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率为_____． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了列举法求事件的概率． 根据题意，该同学购买车票的位置共有种情况，其中车票座位靠过道座位有种，从而可得“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是． 【详解】解： 根据题意，随机选择一个座位，有共5种情况， 其中车票座位靠过道座位有种， “该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是． 故答案为：． 【跟踪专练2】从，1，2中取两个不同的数，分别记为a 和b，则a，b是方程的两个根的概率是_________． 【答案】 【分析】先解一元二次方程得到其两根，再列举出从三个数中任取两个不同数的所有有序等可能结果，最后依据概率公式计算对应概率． 【详解】解：解方程得，， 从，，中任取两个不同的数分别记为和，所有有序等可能结果为，，，，，，共6种， 其中满足，是方程的两个根的结果为，，共2种， 所以a，b是方程的两个根的概率是． 【跟踪专练3】在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，两盏灯都不发光的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率计算与简单电路分析，解题的关键是先列出所有等可能的开关组合，再根据电路原理判断两盏灯都不发光的情况数，最后计算概率． 列出随机闭合两个开关的所有等可能结果；根据电路图判断每种结果下两盏灯的发光情况；用符合条件的结果数除以总结果数得到概率． 【详解】解：随机闭合开关中的两个，所有等可能的结果有：、、，共种． 闭合 ：电路断路，两盏灯都不发光． 闭合 ：绿灯发光． 闭合 ：红灯发光． 其中，两盏灯都不发光的结果有 种． ． 故选：C． 题型13.列表法或树状图求概率 【典例】甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率是_________． 【答案】 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：记甲骨文“美”、“丽”、“山”、“河”分别为A、B、C、D， 列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的有2种， ∴抽取两张卡片正面恰好是甲骨文“美”和“丽”的概率． 【跟踪专练1】每周五下午的社团课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“篮球课”“思辨课”“机器人课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出树状图，先确定所有等可能的选择结果数，再找出两人恰好选择同一种课程的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】记三种课程分别为篮球课，思辨课，机器人课， 画树状图为： ∵共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一课程的结果数为3， ∴两人恰好选择同一课程的概率． 【跟踪专练2】2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“马”、“到”、“成”、“功”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“成功”的概率是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率．分别记“马”、“到”、“成”、“功”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找恰好组成“成功”字样的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：分别记“马”、“到”、“成”、“功”为A，B，C，D，画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“成功”字样的结果数有2种结果， 所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“成功”字样的概率为：， 故答案为：． 【跟踪专练3】中国邮政于2025年3月14日发行《数学之美》特种邮票1套4枚，邮票图案名称分别为：圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．小明从上述4种不同图案的邮票中随机选择2种购买，购买的邮票图案恰好是勾股定理和圆周率的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：用A表示圆周率、B表示勾股定理、C表示欧拉公式、D表示莫比乌斯带，画出树状图，如图所示： ∵有12种等可能的情况，其中购买的邮票图案恰好是勾股定理和圆周率的有2种情况， ∴购买的邮票图案恰好是勾股定理和圆周率的概率是． 解答题 1．2025年10月，第二届越野族江西大余森林英雄会在大余县未来汽车新媒体中心举办，活动设置了3个官方指定沉浸式体验项目（A：星空露营，B：南安家宴品鉴，C：汽车影院观影），甲、乙两人从3个项目中随机抽取1个项目参与． (1)“甲抽到南安家宴品鉴项目”是______事件（随机、必然、不可能）； (2)请用列表或画树状图的方法，求两人抽到同一种项目的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】本题考查了事件的分类，树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据随机事件的定义进行判断即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵甲从3个项目中随机抽取1个项目参与， ∴“甲抽到南安家宴品鉴项目”是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两人抽到同一种项目的结果数有3种， ∴两人抽到同一种项目的概率是． 2．一只不透明的袋子中装有个白球、个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出个球． (1)（摸到黑球）______； (2)估计以下事件的可能性大小：①摸到白球，②摸到黄球，③摸到红球，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排序； (3)怎样改变袋子中白球、黄球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相等？ 【答案】(1) (2)摸到白球的可能性是；摸到黄球的可能性是；摸到红球的可能性是；③②① (3)加白，黄，让三种球数量相等 【分析】本题考查概率公式，可能性的大小，熟练掌握可能性大小和概率的定义是解题的关键． （1）由袋子中黑球个数为，即可得出（摸到黑球）； （2）先求可能性的大小，再比较即可； （3）要使摸到这三种颜色的球的概率相等，则三种颜色的球数量相同，按此改变即可． 【详解】（1）解：∵袋子中黑球个数为， ∴（摸到黑球）， 故答案为：； （2）解：∵袋子中装有个白球、个黄球和个红球， ∴摸到白球的可能性是；摸到黄球的可能性是；摸到红球的可能性是； ∴这些事件的序号按发生的可能性从大到小排序为③②①， 故答案为：摸到白球的可能性是；摸到黄球的可能性是；摸到红球的可能性是；③②①； （3）解：要使摸到这三种颜色的球的概率相等，则三种颜色的球数量相同， ∴可以加白，黄，让三种球数量相等． 3．除夕夜，妈妈为江华准备了4个红包，分别为：A：10元、B：20元、C：20元和D：50元，红包外观无差别． (1)江华随机从妈妈准备的红包中抽一个，金额是20元的概率是：________； (2)江华先随机抽取一个红包，记下金额，然后放回，再随机抽一个红包，请用树状图或列表法求两次红包金额一共30元的概率． 【答案】(1) (2)金额一共30元的概率为 【分析】（1）概率公式=事件发生的可能情况数所有可能的情况总数，即可求解； （2）用表格描述所有情况，找出30元的情况即可求解． 【详解】（1）解：抽一个红包共有4种情况，其中20元的有2种情况，则概率为：； （2）解：列表如图： 第二次第一次 10 20 20 50 10 20 30 30 60 20 30 40 40 70 20 30 40 40 70 50 60 70 70 100 因为共有16种等可能性结果，其中金额一共为30元有4种， 所以． 答：金额一共30元的概率为． 4．某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． (1)甲选择“食品安全”主题的概率为_______； (2)若我们学校现有九年级900人，请你估算出选择交通安全的同学有_______人； (3)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率（主题可用A、B、C、D表示）． 【答案】(1) (2)225 (3) 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率的公式计算即可； （2）先求出选择交通安全的概率，再乘以900即可求解； （3）根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】（1）解：共有4种等可能结果，甲选择“食品安全”主题的结果只有1种， ∴甲选择“食品安全”主题的概率为； 故答案为：； （2）解：选择交通安全的概率为， （人）， ∴估算出选择交通安全的同学有225人； 故答案为：225； （3）解：列表如下： 由表格可得，共有16种等可能的结果，甲和乙选择不同主题的情况有12种， ∴甲和乙选择不同主题的概率． 5．图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． (2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率． (3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3)概率不发生变化，阴影部分概率的公式为 【分析】本题主要考查了几何概率的求法，解题的关键是掌握简单概率公式． （1）利用简单概率公式求解即可； （2）根据概率公式画出图形即可； （3）根据简单概率公式判断即可． 【详解】（1）解：大正方形包含的小正方形个数为（个） 图①阴影部分的正方形个数为8个， 投中纸板上阴影部分的概率为； 图②阴影部分可以看作是矩形的对角线和小正方形的对角线构成的三角形， 每一个阴影三角形的面积等于的矩形面积的一半，即为2个小正方形的面积， 图②阴影部分的正方形个数为个， 投中纸板上阴影部分的概率为； （2）解：涂色如下： （3）解：概率不发生变化， 阴影部分概率的公式为． 6．平遥古城非遗店铺推出剪纸纪念品盲抽活动，柜台里有四种山西特色剪纸，分别是“晋商票号”、“五台山佛光寺”、“应县木塔”、“黄河壶口瀑布”，每种剪纸各有1张，共4张，打乱后供游客抽取．游客小王随机抽取2张作为纪念． (1)小王第一次抽取就拿到“应县木塔”剪纸的概率是______． (2)请用列表或画树状图的方法，求小王抽到的2张剪纸中恰好有“黄河壶口瀑布”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列举法求概率，列表法或画树状图求概率，掌握知识点是解题的关键． （1）根据列举法求概率进行解答即可； （2）根据列表法或画树状图求概率进行解答即可． 【详解】（1）解：小王第一次抽取的结果有“晋商票号”、“五台山佛光寺”、“应县木塔”、“黄河壶口瀑布”，共4种等可能性的结果，其中拿到“应县木塔”剪纸的概率是． 故答案为：． （2）解：将“晋商票号”、“五台山佛光寺”、“应县木塔”、“黄河壶口瀑布”剪纸依次记作A、B、C、D，画树状图如下： 共有12种等可能性的结果，其中恰好有“黄河壶口瀑布”剪纸的结果有6种， ∴P（恰好有“黄河壶口瀑布”剪纸）， 答：小王抽到的2张剪纸中恰好有“黄河壶口瀑布”的概率是． 7．一个不透明的袋中装有4个球，分别标有1、2、3、4四个号码，这些球除号码外都相同．甲同学每次从袋中搅匀后任意摸出一个球后再放回，并计划摸取球10次，现已摸取了8次，取出的结果如表所列： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 号码 2 2 4 4 2 1 4 1 若每次取球时，且取出的号码即为得分，请回答下列问题： (1)乙同学说：“甲同学前8次摸球都没有得3分，因此第9次摸球一定得3分．”请分析乙的说法是否正确，说明理由． (2)请求出第1次至第8次得分的平均数． (3)甲同学依计划继续从袋中再取球2次，这两次取球得分之和为a，若发生“这10次得分的平均数不小于，且不大于”的情况， ①a的取值范围是：________； ②请通过列表法或树状图计算发生这种情况的概率． 【答案】(1)乙同学的说法错误．理由见解析 (2) (3)①；②． 【分析】本题主要考查了列表法求概率、算术平均数的计算、一元一次不等式组的应用等知识点，根据题意正确列出表格是解题的关键． （1）由于有四种球，因此每次摸到3为其中一种可能，虽然前8次都没有摸到3，但是第9次也不可能一定摸到3，据此即可解答； （2）根据算术平均数的计算公式求解即可； （3）①根据题意列出关于a的不等式组，再解不等式组即可；②先根据题意列出表格，然后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：乙同学的说法错误．理由：摸球共有四种可能，每种可能性相同，摸到3为其中一种可能，故得3分的概率为，故乙同学的说法错误． （2）解：第1次至第8次得分的平均数为． （3）解：①根据题意得：， 解得：． 故答案为：． ②列表得 第10次     第9次 1 2 3 4 1 2 3 4 ∵最后两次摸球得分共有16种情况，每种情况可能性相同，符合要求的共有6种情况， ∴发生这种情况的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $