2027届高考数学一轮复习----8.第1课时　双曲线及其简单几何性质

**基本信息** 聚焦双曲线定义、几何性质及综合应用，通过基础到素养的层级训练，提炼定义法、公式法、几何分析法等解题策略，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|13题|定义法求焦半径、公式法求渐近线/离心率、几何法分析焦点三角形|从双曲线定义出发，推导a,b,c关系，延伸至渐近线、离心率等性质，结合余弦定理、点到直线距离等解决应用问题| |素养提升|3题|综合几何性质判断、实际问题建模、参数方程转化|深化双曲线与圆、函数图象的联系，通过实际场景（道路规划）培养模型观念，提升复杂问题的数学表达能力|

微练(六十七)　双曲线及其简单几何性质 　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.(2026·北京模拟)双曲线E:-=1(a>0),焦距为10,左右焦点分别为F1,F2,M为E上一点满足|MF1|=7,则|MF2|=(　　) A.13 B.1或13 C.10 D.4或10 2.(2025·八省联考)双曲线x2-=1的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±2x C.y=±3x D.y=±4x 3.(2026·兰州模拟)已知双曲线E1:-=1(a>0,b>0)与双曲线E2:-=1的离心率相同,且双曲线E1的顶点是双曲线E2的焦点,则双曲线E1的虚轴长为(　　) A. B. C. D.10 4.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=(　　) A. B. C. D. 5.已知双曲线C:-=1(b>0),以C的焦点为圆心,3为半径的圆与C的渐近线相交,则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D.(1,) 6.(2026·天津模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点(2,)为双曲线右支上一点,以坐标原点O为圆心,以|OF1|为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点P,同时点P在线段OF2的中垂线上,则该双曲线的标准方程为(　　) A.x2-=1 B.-y2=1 C.-=1 D.-=1 二、多项选择题 7.(2026·长沙模拟)已知双曲线C1:-=1和C2:-=1,其中a>0,b>0,且a≠b,则(　　) A.C1与C2有相同的实轴 B.C1与C2有相同的焦距 C.C1与C2有相同的渐近线 D.C1与C2有相同的离心率 8.已知点P在左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:-y2=1上,|PF1|+|PF2|=12,则(　　) A.渐近线方程为y=±2x B.离心率为 C.cos∠F1PF2= D.= 三、填空题 9.若双曲线经过点(3,),且渐近线方程是y=±x,则双曲线的标准方程是　　　　　　.  10.(2026·南昌模拟)已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别是F1,F2,点P在双曲线C上,且满足=9,则点P到双曲线C两条渐近线的距离之和为　　　　.  11.(2026·福州模拟)双曲线C的渐近线方程为y=±x,一个焦点为F(0,-),点A(,0),点P为双曲线第一象限内的点,则当点P的位置变化时,△PAF周长的最小值为　　　　.  四、解答题 12.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与双曲线-=1有相同的渐近线,且经过点M(,-). (1)求双曲线C的方程; (2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离. 13.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2. (1)若点M在双曲线上,且=0,求点M到x轴的距离; (2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程. 素养提升 14.(2026·石家庄模拟)(多选题)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C的右支上,且不与C的顶点重合,则下列命题中正确的是(　　) A.若a=3,b=2,则C的两条渐近线方程是y=±x B.若点P的坐标为(2,4),则C的离心率大于3 C.若PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积等于b2 D.若C为等轴双曲线,且|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2= 15.已知反比例函数y=(k≠0)的图象是双曲线,其两条渐近线分别为x轴和y轴,两条渐近线的夹角为,将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y=±x,由此可求得其离心率为.已知函数y=x+的图象也是双曲线,其两条渐近线为直线y=x和y轴,则该双曲线的离心率是(　　) A. B.2 C. D. 16.如图,某市在城市东西方向主干道边有两个景点A,B,它们距离城市中心O的距离均为8 km,C是正北方向主干道边上的一个景点,且距离城市中心O的距离为4 km,为改善市民出行,准备规划道路建设,规划中的道路M-N-P如图所示,道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16 km,其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6 km,道路NP段上的任意一点到O的距离都相等,以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy. (1)求道路M-N-P对应的曲线方程; (2)现要在M-N-P上建一站点Q,使得Q到景点C的距离最近,问如何设置站点Q的位置(即确定点Q的坐标)? 微练(六十七)　双曲线及其简单几何性质 1.A　解析　由题意知双曲线E:-=1(a>0),焦距为10,故2c=10,c=5,则a2=c2-b2=25-16=9,所以a=3,由||MF1|-|MF2||=2a=6,|MF1|=7,得|MF2|=1或|MF2|=13,结合|MF1|=7<a+c=8,则M在双曲线左支上,故|MF2|=13,故选A. 2.C　解析　由题知,a=1,b=3,所以渐近线方程为y=±x=±3x,故选C. 3.B　解析　由题知==,所以=,易知双曲线E2的右焦点为(5,0),所以a=5,b=a=,则双曲线E1的虚轴长2b=,故选B. 4.C　解析　由x2-y2=2,知a=b=,c=2.由双曲线定义,知|PF1|-|PF2|=2a=2,又|PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=4,|PF2|=2,在△PF1F2中,|F1F2|=2c=4,由余弦定理,得cos∠F1PF2==.故选C. 5.B　解析　由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y=x,即bx-2y=0,又该圆的圆心为(c,0),故圆心到渐近线的距离为,则由题意可得<3,即b2c2<9(b2+4),又b2=c2-a2=c2-4,则(c2-4)c2<9c2,解得c2<13,即c<,则e==<,又e>1,故离心率的取值范围是. 6.C　解析　如图,根据圆的性质可知∠OF2P=∠OPF2.又点P在线段OF2中垂线上,则∠OF2P=∠POF2,则△OPF2是等边三角形,故双曲线浙近线OP的倾斜角为60°.所以=tan 60°=,即b2=3a2,则双曲线方程为-=1.将点(2,)代入双曲线方程,得-=1,解得a2=3,则双曲线方程为-=1,故选C. 7.BC　解析　对于选项A,双曲线C1:-=1的实轴在x轴上,实轴长为2a,双曲线C2:-=1的实轴在y轴上,实轴长为2b,所以选项A错误,对于选项B,双曲线C1:-=1和C2:-=1焦距均为2c=2,所以选项B正确,对于选项C,双曲线C1:-=1的渐近线为y=±x,双曲线C2:-=1的渐近线为y=±x,所以选项C正确,对于选项D,双曲线C1:-=1的离心率为e==,双曲线C2:-=1的离心率为e==,所以选项D错误,故选BC. 8.BCD　解析　因为a=2,b=1,所以c==,C的渐近线方程为y=±x,离心率e=,故A错误,B正确;不妨设点P在C的右支上,则|PF1|-|PF2|=4.因为|PF1|+|PF2|=12,所以|PF1|=8,|PF2|=4.在△PF1F2中,cos∠F1PF2==,故C正确;因为∠F1PF2∈(0,π),则sin∠F1PF2===,所以△PF1F2的面积=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=×8×4×=,故D正确. 9.y2-=1　解析　设双曲线的方程是y2-=λ(λ≠0).因为双曲线过点(3,),所以λ=2-=1,故双曲线的标准方程为y2-=1. 10.2　解析　由题意可知,F1(-2,0),F2(2,0),由双曲线的对称性,不妨设点P在双曲线的第一象限内,设P(x0,y0),且x0>0,y0>0,则=(x0+2,y0),=(x0-2,y0).由=9,得-4+=9,即+=13　①.又点P在双曲线上,所以-=1　②,由①②得即P(2,3).又双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±x,化为一般式为x-y=0,x+y=0,则点P(2,3)到两条渐近线的距离之和为+=2. 11.10　解析　由已知得双曲线方程为-=1,设双曲线的另一个焦点为F',则|PF|=|PF'|+4,△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF'|+4+|PA|+3,当F',P,A三点共线时,|PF'|+|PA|有最小值,最小值为|AF'|=3,故△PAF的周长的最小值为10. 12.解　(1)在双曲线-=1中,a'=2,b'=,则渐近线方程为y=±x=±x,因为双曲线C:-=1与双曲线-=1有相同的渐近线,所以=,所以方程可化为-=1,又双曲线C经过点M(,-),代入方程得-=1,解得a=1,故b=,所以双曲线C的方程为x2-=1. (2)由(1)知双曲线C的方程为x2-=1,因为a=1,b=,c=,所以实轴长2a=2,离心率e==,设双曲线C的一个焦点为(-,0),一条渐近线方程为y=x,所以焦点到渐近线的距离d==. 13.解　(1)不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,因为=0,所以MF1⊥MF2.设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线的定义知m-n=2a=8　①.在Rt△F1MF2中,由勾股定理得m2+n2=(2c)2=80　②,由①②得m·n=8.因为=mn=4=×2ch,所以h=.即点M到x轴的距离为. (2)设双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16).因为双曲线C过点(3,2),所以-=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),所以双曲线C的方程为-=1. 14.BC　解析　当a=3,b=2时,双曲线的渐近线的斜率k=±=±,A错误;因为点P(2,4)在C上,则-=1,得=+8>8,所以e=>3,B正确;因为|PF1|-|PF2|=2a,若PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,即(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|=4c2,即4a2+2|PF1||PF2|=4c2,得|PF1||PF2|=2(c2-a2)=2b2,所以=|PF1||PF2|=b2,C正确;若C为等轴双曲线,则a=b,从而|F1F2|=2c=2a.若|PF1|=2|PF2|,则|PF2|=2a,|PF1|=4a.在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2===,D错误.故选BC. 15.C　解析　如图,在第一象限内,函数y=x+的图象位于直线y=x的上方.直线y=x的倾斜角为,y轴的倾斜角为.设双曲线y=x+两条渐近线的夹角为α,则α=-=.将双曲线y=x+,所得双曲线的焦点在x轴上,则旋转后的双曲线的渐近线较小的倾斜角为α=.设旋转后双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),半焦距为c,离心率为e,则===tan=,解得e=.故选C. 16.解　(1)根据题意,道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16 km,则道路MN所在的曲线是以定点A,B为左、右焦点的双曲线的右支,其方程为x2-y2=64(8≤x≤10,0≤y≤6).又由道路NP段上的任意一点到O的距离都相等,则道路NP所在的曲线为以O为圆心,ON为半径的圆,其方程为x2+y2=64(-8≤y≤0).故道路M-N-P对应的曲线方程为MN段:x2-y2=64(8≤x≤10,0≤y≤6),NP段:x2+y2=64(-8≤y≤0). (2)当点Q在道路MN上时,设Q1(x0,y0),又由C(0,4),则|CQ1|=,由(1)可得-=64,则|CQ1|==,可得当y0=2时,|CQ1|有最小值,且|CQ1|min=6;当点Q在道路NP上时,设Q2(x1,y1),又由C(0,4),则|CQ2|=,由(1)可得+=64,则|CQ2|=,可得当y1=0时,|CQ2|有最小值,且|CQ2|min=4.因为6<4,所以|CQ|的最小值为6,此时y0=2,x0=2,即点Q的坐标为(2,2)时,Q到C的距离最小. 学科网（北京）股份有限公司 $