2027届高考数学一轮复习----6.第1课时　椭圆及其简单几何性质

**基本信息** 以“定义-方程-性质-应用”为逻辑主线，通过基础到提升的分层训练，系统覆盖椭圆核心考点，提炼定义法、参数方程法等解题技巧，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|13题（含全国甲卷真题）|定义法求轨迹、离心率计算、参数方程求最值、焦点三角形余弦定理应用|从椭圆定义生成方程，通过a,b,c关系推导离心率，结合几何性质解决距离、面积问题| |素养提升|3题（含跨学科情境题）|圆柱截面椭圆与三角函数关联、光学性质应用、向量与椭圆综合|拓展椭圆在空间几何、物理光学中的应用，深化数形结合与模型构建能力|

微练(六十五)　椭圆及其简单几何性质 　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.已知M,N两点的坐标分别为(-2,0),(2,0).直线MK,NK相交于点K,且它们的斜率之和是3,则点K的轨迹方程为(　　) A.3x2-2xy-12=0(x≠±2) B.3y2-2yx-12=0(x≠±2) C.+=1(x≠±2) D.-=1(x≠±2) 2.若椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 3.设abc≠0,“曲线ax2+by2=c为椭圆”是“ac>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2026·大同模拟)已知点A,B,C为椭圆D的三个顶点,若△ABC是正三角形,则D的离心率是(　　) A. B. C. D. 5.(2023·全国甲卷)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|=(　　) A. B. C. D. 6.设B是椭圆C:+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为(　　) A. B. C. D.2 二、多项选择题 7.已知椭圆C:x2+4y2=16的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的任意一点,则(　　) A.C的离心率为 B.|PF1|+|PF2|=8 C.|PF1|的最大值为4+2 D.使∠F1PF2为直角的点P有4个 8.(2026·南宁模拟)已知以F1,F2为左右焦点的椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,点P是椭圆C上的一个动点,且点P到F2的最大距离是点P到F2的最小距离的3倍,连接PF2,并延长PF2与椭圆C相交于点Q,其中说法正确的是(　　) A.椭圆的方程为+=1 B.三角形PF1F2的面积的最大值为2 C.三角形PQF1的周长为8 D.+=2 三、填空题 9.若椭圆+=1(m>0)的离心率为,则该椭圆的长轴长为　　　　　.  10.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线交椭圆于A,B两点,若F2为线段AB的中点,则△AF1B的面积为　　　　.  11.(2026·上海春季高考)椭圆Γ1:+y2=1(a>1)与椭圆Γ2:+=1相交于A,B,C,D四点,A,B,C,D与Γ1和Γ2的四个焦点在同一个圆上,b2=　　　　.  四、解答题 12.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,|F1F2|=2,M为C上一点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若P为C上一点,且PF1⊥F1F2,求△F1PF2的面积. 13.已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),长轴长为2,短轴长为2,O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程和离心率; (2)设点A(3,0),动点B在y轴上,动点P在椭圆C上,且P在y轴的右侧,若|BA|=|BP|,求四边形OPAB面积的最小值. 素养提升 14.(2026·黄山模拟)如图,在圆柱中过AD作与轴截面ABDC垂直的一个平面,所得截面图形为椭圆,将圆柱侧面沿母线AB展开,该椭圆曲线在展开图中恰好为函数y=2sinx一个周期的图象,则该截面椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 15.(多选题)如图,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C:+y2=1,其左、右焦点分别是F1,F2,P为椭圆C上任意一点,直线l与椭圆C相切于点P,过点P与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M,∠F1PM=∠F2PM,点Q(0,),给出下列四个结论,正确的是(　　) A.△PF1F2面积的最大值为 B.|PQ|+|PF2|的最大值为8 C.若|PM|=|MF2|,则|PF1|=3|PF2| D.若F2R⊥l,垂足为R(x0,y0),则+=4 16.(2026·信阳模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2和上顶点A的直线l交C于另外一点B,若=λ,且△F1F2B的面积为,则实数λ的值为(　　) A.3 B. C.3或7 D.或7 微练(六十五)　椭圆及其简单几何性质 1.A　解析　设K(x,y),则直线KM的斜率为kKM=,直线KN的斜率为kKN=,依据题意可知,kKM+kKN=+=3,化简得3x2-2xy-12=0,因为直线KM,KN的斜率存在,所以x≠±2,所以3x2-2xy-12=0(x≠±2),故选A. 2.C　解析　依题意可知c=b,又a==c,所以椭圆的离心率e==.故选C. 3.A　解析　若曲线ax2+by2=c为椭圆,则椭圆的标准方程为+=1(a≠b).因为椭圆中分母须大于0,所以>0且>0,又因为abc≠0,那么ac>0且bc>0,所以由“曲线ax2+by2=c为椭圆”可以推出“ac>0”,充分性成立;当ac>0时,比如a=b=1,c=1,此时曲线方程为x2+y2=1,它表示的是圆,而不是椭圆,所以由“ac>0”不能推出“曲线ax2+by2=c为椭圆”,必要性不成立;所以“曲线ax2+by2=c为椭圆”是“ac>0”的充分不必要条件.故选A. 4.C　解析　解法一:无论椭圆焦点位于x轴还是y轴,根据点A,B.C为椭圆D的三个顶点,△ABC是正三角形,可得2b=,即a2=3b2,故a2=3(a2-c2),即2a2=3c2,则e2==,所以e=,故选C. 解法二:无论椭圆焦点位于x轴还是y轴,根据点A,B,C为椭圆D的三个顶点,△ABC是正三角形,得tan 60°==,所以=,所以e===,故选C. 5.B　解析　依题意a=3,b=,c==.如图,不妨令F1(-,0),F2(,0).设|PF1|=m,|PF2|=n,在△F1PF2中,cos∠F1PF2==　①,由椭圆的定义可得m+n=2a=6　②.由①②,解得mn=. 解法一:设|OP|=x.在△F1OP和△F2OP中,∠F1OP+∠F2OP=π,由余弦定理得=-,得x2===,所以|OP|=. 解法二:因为=(+),所以||2=(m2+n2+2mncos∠F1PF2)==,所以|PO|=. 6.A　解析　解法一(消元转化法):设点P(x,y),则根据点P在椭圆+y2=1上可得x2=5-5y2.易知点B(0,1),所以根据两点间的距离公式得|PB|2=x2+(y-1)2=5-5y2+(y-1)2=-4y2-2y+6=-4+.当y+=0,即y=-(满足|y|≤1)时,|PB|2取得最大值,所以|PB|max=.故选A. 解法二(利用椭圆的参数方程):因为点P在椭圆+y2=1上,所以可设点P(cos θ,sin θ).易知点B(0,1),所以根据两点间的距离公式得|PB|2=(cos θ)2+(sin θ-1)2=4cos2θ-2sin θ+2=-4sin2θ-2sin θ+6=-4+.易知当sin θ+=0,即sin θ=-时,|PB|2取得最大值,所以|PB|max=.故选A. 7.BCD　解析　由原方程可得椭圆标准方程为+=1,所以a=4,b=2⇒c=2,所以e==,故A错误;由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=8,故B正确;由椭圆的性质知|PF1|max=a+c=4+2,故C正确;易知以线段F1F2为直径的圆(因为b<c<a)与C有4个交点,故满足∠F1PF2为直角的点P有4个,故D正确.故选BCD. 8.AC　解析　如图,对于选项A,由于⇒+=1,所以A正确;对于选项B,·2c·b=,所以B错误;对于选项C,△PQF1的周长=|PF1|+|PF2|+|QF1|+|QF2|=4a=8,所以C正确;对于选项D,当直线PQ方程为x=1时,由通径的概念可得|PF2|=|QF2|==,所以+=2×=,所以+=2不能恒成立,故D错误.故选AC. 9.4或2　解析　由椭圆+=1的离心率为,当m>2时,椭圆焦点在x轴上,==,解得m=4,所以椭圆的长轴长为4;当0<m<2时,椭圆焦点在y轴上,==,得m=1,所以椭圆的长轴长为2. 10.　解析　由题意可知F1(-,0),F2(,0),因为点F2为线段AB的中点,所以AB⊥F1F2,所以|AB|==1,所以=|AB||F1F2|=. 11.　解析　椭圆Γ1的焦点(±,0),椭圆Γ2的焦点(0,±),由四个焦点在同一圆上,得=,所以a2=3,圆的半径为.联立椭圆Γ1与圆的方程代入椭圆Γ2,得+=1,解得b2=. 12.解　(1)设椭圆C的焦距为2c,因为|F1F2|=2,可得c=1,所以F1(-1,0),F2(1,0),则|MF1|==,|MF2|==,由椭圆的定义可得a===,所以b==2,故椭圆C的标准方程为+=1. (2)因为PF1⊥F1F2,所以xP=-c=-1,所以yP=±=±,所以=×|PF1|×|F1F2|=××2=. 13.解　(1)依题意可得所以椭圆C的方程为+=1,则c==2,所以离心率e===. (2)设线段AP的中点为D,连接BD,因为|BA|=|BP|,所以BD⊥AP.由题意知直线BD的斜率存在,设点P的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0≠0),则点D的坐标为,直线AP的斜率kAP=,所以直线BD的斜率kBD=-=,故直线BD的方程为y-=.令x=0,得y=,故B.由+=1,得=6-3,化简得B.因此S四边形OPAB=S△OAP+S△OAB=×3×|y0|+×3×==×2=3.当且仅当2|y0|=时,即y0=±∈[-,]时等号成立.故四边形OPAB面积的最小值为3. 14.B　解析　由题知AB=4,且函数的周期T==4π ,设底面半径为r,则2πr=4π,解得r=2.设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,则有4a2=4r2+|AB|2=4×12+16,得到a2=16,又2b=2r=4,得到b=2,所以椭圆的离心率为e====. 15.ACD　解析　由椭圆方程可知:a=2,b=1,c==.对于A:当点P为短轴顶点时,△PF1F2的面积最大,最大值为×2×1=,故A正确;对于B:因为|PF1|+|PF2|=2a=4,则|PF2|=4-|PF1|,可得|PQ|+|PF2|=4+|PQ|-|PF1|≤4+|F1Q|=4+=7,当且仅当P为射线QF1与椭圆的交点时,取到最大,所以|PQ|+|PF2|的最大值为7,故B错误;对于C:由椭圆的光学性质,得过点P与l垂直的直线为∠F1PF2的平分线,则==,设==k,则|PF1|=k|PF2|,|F1M|=k|F2M|,可得|MF2|=,|MF1|=,|F1P|=,|F2P|=,则cos∠F1PM=cos∠MPF2,即=,整理可得k2-4k+3=0,解得k=1或k=3,当k=1时,==1,M与O重合,不合题意,所以k=3,即|PF1|=3|PF2|,故C正确;对于D:如图,延长F2R,F1P交于点G,则在△PF2G中,PR⊥GF2,∠F2PR=∠GPR,则|PF2|=|PG|且R为F2G的中点,连OR,在△F1F2G中,|OR|=|F1G|=(|PF1|+|PG|)=(|PF1|+|PF2|)=a=2,则点R在以原点为圆心,2为半径的圆上,即+=4,故D正确.故选ACD. 16.D　解析　由题意可知|AF1|=|AF2|=a,因为=λ,则|F2B|=,|F1B|=2a-,|AB|=a+.设∠F1AF2=θ∈(0,π),在△F1AB中,由余弦定理可得|BF1|2=|AF1|2+|AB|2-2|AF1|·|AB|cos θ,即=a2+-2a·cos θ,解得cos θ=.又因为=-,则=asin θ-a2sin θ,解得sin θ=,可得θ=或θ=.若θ=,则cos θ==,解得λ=,符合题意;若θ=,则cos θ==-,解得λ=7,符合题意.综上所述,实数λ的值为或7. 学科网（北京）股份有限公司 $