专题02二次函数的性质(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026年浙教版八升九数学暑假预习讲义

专题02二次函数的性质暑假预习讲义 · 掌握基础形式图像对应性质 熟练掌握最简二次函数 y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2的开口、对称轴、顶点坐标；能根据a的正负判断开口方向，区分顶点是最高点还是最低点，会直接写出顶点与对称轴。 · 理解最值的含义与求法 明白抛物线顶点处取得函数最值：a>0 顶点为最小值点，a<0 顶点为最大值点；能根据解析式直接写出最大 / 最小值，理解自变量取何值时取得最值。 · 分清对称轴两侧增减变化规律 能以对称轴为分界，准确描述自变量增大时y的增减趋势；规范书写增减区间，不会笼统描述增减性，能结合图像解释增减变化。 · 掌握顶点式完整性质 针对顶点式 y=a(x-h)2+k，快速读出对称轴直线x=h、顶点(h,k)，结合a判断开口、最值、增减性，理清h、k分别控制顶点左右、上下位置。 · 建立数形结合识图能力 给出抛物线图像，能读出开口方向、对称轴、顶点、最值、增减区间；已知解析式能在脑中对应画出简易抛物线草图，实现解析式与图像互相转化。 · 会简单比较函数值大小 不用计算，借助抛物线对称性、增减性，比较同一抛物线上多个点的函数值大小；掌握 “点到对称轴距离越远，函数值越大(a>0)” 的快速判断技巧。 · 辨析易混易错点，带着问题听课 区分a、h、k各自作用，不混淆左右平移、上下平移对解析式的改变；区分最值有无、增减区间分界；梳理看不懂的图像与性质对应疑点，课堂针对性突破。 预习必备 知识梳理 1.二次函数的定义与解析式 2.二次函数的核心性质 3.二次函数图象与a，b，c的关系 4，三种特殊简化形式的性质对比 5.抛物线对称性 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.y=ax2+bx+c的最值 2.一次函数二次函数图象综合判断 3.反比例与二次函数图象综合判断 4.两个二次函数图象综合判断 5.由二次函数图象判断式子符号 6待定系数法求二次函数解析式 7.由抛物线上对称的两点求对称轴 8.由二次函数的对称性求，函数值 9.由二次函数对称性求最短路径 强化题型 解答题7题 知识点01.二次函数的定义与解析式 1.定义 一般地，形如y = ax² + bx + c (其中 a, b, c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数，叫做二次函数。 自变量：x 因变量：y 最高次数：自变量 x 的最高次数是 2。 2.解析式的三种形式 3.解题步骤（通用流程） 设：根据已知条件，选择合适的解析式形式设出函数； 代：将已知点的坐标代入解析式，得到关于未知系数的方程（组）； 解：解方程（组），求出未知系数 a,b,c（或 a,h,k、a,x1,x2）； 回代：将求出的系数代回所设解析式，整理成一般式或要求的形式。 知识点02.二次函数的核心性质 1.二次函数的增减性 （1）当 a>0 时：抛物线在对称轴左侧部分呈下降趋势，在对称轴右侧部分呈上升趋势。 即：x<−：y 随 x 增大而减小 x>−：y 随 x 增大而增大 （2）当 a<0 时：抛物线在对称轴左侧部分呈上升趋势，在对称轴右侧部分呈下降趋势。 即：x<−：y 随 x 增大而增大 x>−：y 随 x 增大而减小 2.二次函数最值 （1）当 a>0时：抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，也就是说二次函数有最小值 。 （2）当a<0 时：抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，也就是说二次函数有最大值。 知识点03：二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c的关系 【补充】 （1）若两条抛物线的形状与开口方向相同，则它们的二次项系数 a 必相同； （2）由 a 的符号与对称轴x = -的位置共同确定b的符号。 知识点04：三种特殊简化形式的性质对比（基础模型） 模型 1：y=ax2(h=0,k=0) 对称轴：直线 x=0（y 轴）；顶点 (0,0) a>0：x=0 时 y最小=0；x<0减，x>0 增 a<0：x=0 时 y最大=0；x<0增，x>0减 模型 2：y=ax2+k(h=0) 对称轴：直线 x=0；顶点 (0,k) 仅顶点上下移动，增减区间不变，最值变为 k。 模型 3：y=a(x-h)2(k=0) 对称轴：直线 x=h；顶点 (h,0) 顶点左右平移，最值为 0，增减分界变为 x=h。 知识点05：抛物线对称性拓展性质 1.对称点坐标规律 若抛物线上两点纵坐标相等，则两点关于对称轴对称； 若点 A(x1,y0)、B(x2,y0) 在抛物线上，则对称轴： x= 2.点到对称轴距离与函数值大小关系 a>0：点到对称轴越远，函数值越大； a<0：点到对称轴越远，函数值越小； 用途：不用代入计算，快速比较多个点的函数值大小。 知识点06：比较抛物线上点的函数值大小三种方法 1.代入求值法：把横坐标代入解析式算出 y 再比较（计算量大）； 2.对称轴距离法（最优）：计算各点横坐标与 h 的距离，结合 a 正负判断； 3.草图法：画出简易抛物线，标出各点直观比较。 知识点07：高频易错点 1.描述增减性不写区间，直接笼统说增减； 2.混淆最值：a>0 写成最大值，a<0 写成最小值； 3.顶点坐标符号出错：如 y=a(x+2)2+3，误写顶点 (2,3)，正确为 (-2,3)； 4.比较函数值时忽略 a 的正负，只看距离； 5.分不清 h 控制左右、k 控制上下，平移规律记反； 6.认为 |a| 影响开口方向（仅 a 正负控制方向）。 题型1.y=ax2+bx+c的最值 【典例】若某种礼炮的升空高度（）与飞行时间（）之间的函数关系式为，且礼炮升高到最高处时引爆，则礼炮引爆的时间为________． 【答案】 【分析】根据二次项系数小于，抛物线开口向下，最高点为二次函数的顶点，顶点的横坐标即为所求的引爆时间求解即可． 【详解】解：对函数解析式配方得． ∴抛物线开口向下，当时，取得最大值，即礼炮到达最高处引爆， ∴礼炮引爆的时间为． 【跟踪专练1】二次函数有最小值，则m等于（　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的最值公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵二次函数有最小值， ∴， 解得． 经检验是原方程的解， 故选：A． 【跟踪专练2】已知抛物线，当时，函数的最大值是_____． 【答案】6 【分析】先将抛物线解析式配方，得到抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，在给定范围内，代入端点计算后比较得到最大值． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 已知的取值范围为， 分别代入端点计算函数值：当时，， 当时，， 比较得， 因此的最大值为． 【跟踪专练3】已知二次函数（为常数），当时，函数值的最大值与最小值之和为15，则的值为（   ） A．0 B．8 C．0或8 D． 【答案】A 【分析】求出抛物线的对称轴为直线，可得当时，y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵且， 此时y随x的增大而增大， 当时，函数取得最小值，为， 当时，函数取得最大值，为， ∵函数值的最大值与最小值之和为15， ∴， 解得：（舍去）或0． 题型2.一次函数二次函数图象综合判断 【典例】如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为______． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程的解是解此题的关键．根据，两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D． 【跟踪专练2】若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 【答案】四 【分析】先根据二次函数的开口方向确定a的取值范围，再利用一次函数的图象与性质判断直线经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限． 【跟踪专练3】在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的a，c的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：∵一次函数与y轴交点坐标为，二次函数与y轴交点坐标为， ∴选项A、C的直线和抛物线与y轴交点坐标是同一点，不合题意， 选项B、D直线和抛物线与y轴交点坐标都是关于x轴对称， 但选项B观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 选项D观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； 故选：D 题型3.反比例与二次函数图象综合判断 【典例】方程的负实数根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了根据图象法解方程． 画出和的图象，找出所有使值为负的交点即可． 【详解】解：如图， 可知使值为负的交点有一个， 即方程的负实数根的个数为1． 故选：B． 【跟踪专练1】一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系． 根据一次函数与反比例函数图象找出的正负，再根据抛物线的对称轴为，找出二次函数对称轴在y轴左侧，与y轴交点在x轴上方，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数图象过第二、三、四象限， ∴，， ∴ ， ∴二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴左侧； ∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， ∴与y轴交点在x轴上方． 满足上述条件的函数图象只有选项． 故选：B． 【跟踪专练2】抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象判断的取值，利用数形结合即可求解． 【详解】解：A、由反比例函数图象得，，由抛物线得，可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项A不符合题意； B、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项B不符合题意； C、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项C不符合题意； D、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象可能在同一坐标系中，故选项D符合题意． 【跟踪专练3】如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象和性质，熟练掌握其图象和性质，根据图形确定出、的正负情况是解题的关键．先根据一次函数图象确定出，，即可确定双曲线经过的象限，再根据抛物线对称轴位置进行判断，即可得解． 【详解】 直线的函数图象经过二、三、四象限， ，． ∴， ∴二次函数的对称轴，在轴的左侧，图象在二，四象限，只有A选项符合题意， 故选：A． 题型4.两个二次函数图象综合判断 【典例】函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 【跟踪专练1】抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解． 【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和， 如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3， ∴AM=BM，AN=CN， ∴， ∵BC=10， ∴MN=5， ∴h+3=5， ∴h=2， ∵点B（3，3）， ∴3＝（3-2）2＋k，解得： ， ∴， ∵BC∥x轴， ∴点A、C的纵坐标为3， 令，则， 解得：， ∴点A（1，3）， 把点A（1，3）代入，得： ，解得： ，故①错误； ∵，且对称轴为直线x=2， ∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为， ∴p＜n＜m，故②正确； ∵， ∴， ∵y1≥y2， ∴， 整理得：， 解得：或，故③错误； ∵，， 当x=0时，，， ∴点， ∴，故④正确； ∴正确的有②④． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 【跟踪专练2】二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合题意，可知两个二次函数图象的开口向下，那么，当时，，从而得到，最后解得答案． 【详解】解：由题意可知，两个二次函数图象的开口向下，那么， 解得，； 根据图象，可知当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，； 故答案为：． 【跟踪专练3】已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 题型4.两个二次函数图象综合判断 【典例】已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与坐标轴的交点的位置确定二次函数解析式中各项系数的取值范围．根据抛物线的开口方向、对称轴的位置可以判断错误；根据对称轴为直线，通过变形可得正确；根据抛物线与轴的交点可得，可得错误；根据时，，可得错误． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴的右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 故错误； ∵对称轴为直线， ∴，变形得：，故正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故错误； ∵当时，， ∴，故错误； 故正确的有：，只有1个． 故选：B． 【跟踪专练1】抛物线如图，有下列四个结论：①；②；③．其中，错误的结论是________（只填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断二次函数系数的符号，以及式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．①根据开口方向，对称轴，以及与轴的交点位置，判断出的符号，即可得到的符号；②根据抛物线与轴的交点个数，进行判断即可；③求出二次函数的最值，进行判断即可． 【详解】解：∵由图可知抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴故①正确，不符合题意； ∵由图可知抛物线与轴有两个交点， ∴，即， ∴故②正确，不符合题意； ∵由图可知，当时，有最大值， 可以将看成，即当时，有最大值， 将看成，即当时，其值不是最大值， ∴， ， 即． ∴故③错误，符合题意． 故答案为：③． 【跟踪专练2】已知抛物线（a、b、c是常数，），经过点，；当时，与其对应的函数值．有以下结论：①；②；③．其中正确的结论有______．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】先利用抛物线上已知点得到a，b，c的关系，再结合时得到b的取值范围，逐一验证三个结论即可． 【详解】解：抛物线经过点，， 当时，， 将代入解析式得， 整理得， 当时，， ， 将，代入不等式得： ， 解得， ， ①，，， ，故①正确； ②， ， ，即，故②错误； ③， ， ， 即，故③正确． 故答案为：①③． 【跟踪专练3】已知二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线．现有下列结论，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象的开口方向和与轴交于负半轴，来判断出，再根据对称轴的得到求解A；根据对称轴来判断B，根据由图象可知，当时，，再结合来求解C；根据图象可知，当时，来求解D． 【详解】解：二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于负半轴， . 对称轴为直线，即， ， ，故A错误； ， ，故B错误； 由图象可知，当时，， ， ， 即，故C项错误； 由图象对称性可知，当时的函数值与时的函数值相等， 故由图象，时，与， ，故D项正确， 综上所述，正确的是D． 题型6待定系数法求二次函数解析式 【典例】若点是抛物线上一点，则________． 【答案】2或4/4或2 【分析】点在抛物线上，因此点的坐标满足抛物线的解析式，将点的坐标代入解析式，得到关于的一元二次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：点在抛物线上， 将，代入抛物线解析式得， ， 解得或， 故答案为或． 【跟踪专练1】已知二次函数（b、c是常数）的图象与x轴的交点的横坐标为和1，且二次函数的最小值为m，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用二次函数与x轴交点满足函数解析式，先求出b，c的值，再根据二次函数性质求出最小值m，最后计算即可； 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交点横坐标为和， ∴函数图象过点和， 将两点坐标代入解析式得：， 整理得， 解得，， ∴二次函数解析式为， 配方得， ∵二次项系数，函数开口向上， ∴最小值， 则． 【跟踪专练2】已知抛物线的对称轴为直线，且过点和，则这个二次函数的关系式是____________________ ． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴与已知点，利用二次函数的对称性得到另一个与x轴的交点，再设交点式代入求解即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴根据二次函数的对称性，可得抛物线经过点， 设抛物线的交点式 为， 将点 代入，得 ， 解得 ， ∴ ． 【跟踪专练3】若二次函数（为常数，且）中函数与自变量之间的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … 点、点，在该函数图象上，当，，与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用二次函数表格中的对称点确定对称轴，求出二次项系数判断开口方向，再根据点到对称轴的距离比较函数值大小，开口向下的抛物线，点离对称轴越远，函数值越小． 【详解】解：时，时， 抛物线的对称轴为直线， 把，；，；，；代入， 得，， 解得， 抛物线开口向下， ，点到对称轴的距离满足， ，点到对称轴的距离满足， 点比点离对称轴更远， 开口向下时，点离对称轴越远，函数值越小， ． 题型7.由抛物线上对称的两点求对称轴 【典例】已知抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【分析】抛物线与x轴的两个交点纵坐标相等，可知两个交点关于抛物线对称轴对称，根据交点横坐标即可计算出对称轴． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 和 ， ∴ 两个交点关于抛物线的对称轴对称， 抛物线对称轴为直线 ． 【跟踪专练1】已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】A、 B两点的纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，计算得到m的值． 【详解】解：由题意得，二次函数的对称轴为直线 ， ∵二次函数的图象上有两点，， ∴点A和点B关于对称轴对称， ∴， ∴． 【跟踪专练2】已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 【跟踪专练3】已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出的范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：当时，的取值范围是， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 点较点更靠近对称轴，即， 整理得， 当时，即，有，解得， 当时，即，有，解得， 综上，或， 只有D选项符合题意． 题型8.由二次函数的对称性求函数值 【典例】如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 【答案】 【分析】首先确定抛物线的对称轴，再求出点A的坐标，最后根据对称点的性质求解即可. 【详解】解：抛物线中，，， ∴抛物线的对称轴为， 将代入抛物线解析式，得， 点的坐标为， 点和点关于抛物线对称轴对称，对称点纵坐标相等，点，点到对称轴的距离相等， 设点的横坐标为，可得， 解得， 点的坐标为. 【跟踪专练1】点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点、（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为______． 【答案】 【分析】由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 【详解】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴． 【跟踪专练3】已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 【答案】D 【分析】先对二次函数配方得到对称轴，再根据给定区间的增减性确定开口方向，最后根据最值条件确定k的取值范围，选出符合条件的选项． 【详解】解：对二次函数配方得：， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵当时，随的增大而增大，且，说明对称轴左侧随增大而增大， ∴抛物线开口向下，即． 当时，代入得， 关于对称轴的对称点为， 即时． ∵开口向下时，点离对称轴越远函数值越小，且时，函数最大值为，最小值为， ∴， 观察选项，只有在范围内． 题型9.由二次函数对称性求最短路径 【典例】如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为________．    【答案】 【分析】根据抛物线的对称性，连接交对称轴于M，此时最短，利用待定系数法求得直线的解析式即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，    设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线经过、， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点M坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、最短路径问题，会利用抛物线的对称性解决最短路径问题是解答的关键． 【跟踪专练1】/如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【答案】C 【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离． 【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为，C(0，﹣2)， ∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)， 过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F， ∴CE=C'E， 则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值； ∵直线yx+3， 设直线C'F的解析式为， 将C'(﹣2，﹣2)代入得：， 解得：， ∴C'F的解析式为yx， 解方程组， 得：， ∴F(，)， ∴C'F． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 【跟踪专练3】如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称轴和点的坐标求出抛物线解析式，进而求出点和抛物线与轴另一交点的坐标；利用抛物线的对称性可知，将转化为，根据两点之间线段最短可知当、、三点共线时，最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】抛物线交轴于点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线解析式为， 令，得， ， 根据对称性可得，抛物线与轴另一交点为， 如图所示，连接， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， 的最小值为． 解答题 1．已知二次函数． (1)求出函数顶点坐标； (2)当时，随的增大而_____________（填“增大”或“减小”）； (3)当时，的取值范围为_____________． 【答案】(1) (2)增大 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）将一般式化为顶点式，即可得出结果； （2）根据二次函数的增减性进行判断即可； （3）根据二次函数的增减性求出函数值的范围即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：由（2）可知，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，值最大，为；当时，函数有最小值为， ∴． 2．已知二次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求一次函数和二次函数的交点坐标． 【答案】和 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，理解二次函数和一次函数的交点特征是解题关键．两个解析式联立方程组，解方程组即可求得其交点坐标． 【详解】解：联立方程组得， 解得，， ∴一次函数和二次函数的交点坐标为和． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点在第四象限，且开口向上，判断 与的符号． 【答案】， 【分析】考查二次函数图象性质，利用顶点纵坐标公式和开口方向判断符号．关键是掌握与a的符号关系，易错点是符号判断失误． 设二次函数，开口向上则，顶点在第四象限则顶点纵坐标．因，故，进而． 【详解】对于二次函数，开口向上则；顶点在第四象限，说明顶点的横坐标，纵坐标． 由且，可得，因此． 4．已知二次函数的图象经过、两点． (1)求该函数解析式； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识及二次函数的顶点坐标的知识，解答本题的关键是待定系数法的运用． （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据二次函数最小值、增减性等性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将点和点的坐标代入函数解析式，得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：二次函数的解析式为， 二次函数的对称轴为， ，二次函数的开口向上， 时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 时，取最小值，， 时，， 时，， 综上所述：当时，函数的取值范围为． 5．已知二次函数，，，都在二次函数的图象上． (1)若，求n、p、q的值； (2)若，求n的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由A、C纵坐标相同可得，对称轴是直线，再结合，得出，再把和分别代入进行计算，即可作答． （2）依题意，抛物线的图象开口向下，则抛物线上的点离对称轴越远就越小，反之越大，又因为，则，化简即可作答． 【详解】（1）解：由题意，由A、C纵坐标相同可得，对称轴是直线． ∵， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， 则把代入可得，， 则把代入可得，， （2）解：由题意，抛物线的图象开口向下， 抛物线上的点离对称轴越远就越小，反之越大． 则对称轴是直线， ，且当时，， ． ， 或． 6．在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上两点． (1)将写成的形式； (2)若，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法将二次函数一般式化为顶点式、函数值的比较等知识． （1）利用配方法进行变形即可求解； （2）当时，抛物线为，将点A、B的坐标代入求出，，问题得解． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，抛物线为， 则，， ∴． 7．如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，，最小值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 本题中，点与点关于抛物线的对称轴对称，根据“两点之间，线段最短”可知，抛物线的对称轴与直线的交点就是的值最小时点的位置，先求出直线的解析式，再求出点的坐标． 【详解】假设存在点，使得的值最小． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 令，则，解得，，∴，， 令可得，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次函数的性质暑假预习讲义 · 掌握基础形式图像对应性质 熟练掌握最简二次函数 y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2的开口、对称轴、顶点坐标；能根据a的正负判断开口方向，区分顶点是最高点还是最低点，会直接写出顶点与对称轴。 · 理解最值的含义与求法 明白抛物线顶点处取得函数最值：a>0 顶点为最小值点，a<0 顶点为最大值点；能根据解析式直接写出最大 / 最小值，理解自变量取何值时取得最值。 · 分清对称轴两侧增减变化规律 能以对称轴为分界，准确描述自变量增大时y的增减趋势；规范书写增减区间，不会笼统描述增减性，能结合图像解释增减变化。 · 掌握顶点式完整性质 针对顶点式 y=a(x-h)2+k，快速读出对称轴直线x=h、顶点(h,k)，结合a判断开口、最值、增减性，理清h、k分别控制顶点左右、上下位置。 · 建立数形结合识图能力 给出抛物线图像，能读出开口方向、对称轴、顶点、最值、增减区间；已知解析式能在脑中对应画出简易抛物线草图，实现解析式与图像互相转化。 · 会简单比较函数值大小 不用计算，借助抛物线对称性、增减性，比较同一抛物线上多个点的函数值大小；掌握 “点到对称轴距离越远，函数值越大(a>0)” 的快速判断技巧。 · 辨析易混易错点，带着问题听课 区分a、h、k各自作用，不混淆左右平移、上下平移对解析式的改变；区分最值有无、增减区间分界；梳理看不懂的图像与性质对应疑点，课堂针对性突破。 预习必备 知识梳理 1.二次函数的定义与解析式 2.二次函数的核心性质 3.二次函数图象与a，b，c的关系 4，三种特殊简化形式的性质对比 5.抛物线对称性 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.y=ax2+bx+c的最值 2.一次函数二次函数图象综合判断 3.反比例与二次函数图象综合判断 4.两个二次函数图象综合判断 5.由二次函数图象判断式子符号 6待定系数法求二次函数解析式 7.由抛物线上对称的两点求对称轴 8.由二次函数的对称性求，函数值 9.由二次函数对称性求最短路径 强化题型 解答题7题 知识点01.二次函数的定义与解析式 1.定义 一般地，形如y = ax² + bx + c (其中 a, b, c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数，叫做二次函数。 自变量：x 因变量：y 最高次数：自变量 x 的最高次数是 2。 2.解析式的三种形式 3.解题步骤（通用流程） 设：根据已知条件，选择合适的解析式形式设出函数； 代：将已知点的坐标代入解析式，得到关于未知系数的方程（组）； 解：解方程（组），求出未知系数 a,b,c（或 a,h,k、a,x1,x2）； 回代：将求出的系数代回所设解析式，整理成一般式或要求的形式。 知识点02.二次函数的核心性质 1.二次函数的增减性 （1）当 a>0 时：抛物线在对称轴左侧部分呈下降趋势，在对称轴右侧部分呈上升趋势。 即：x<−：y 随 x 增大而减小 x>−：y 随 x 增大而增大 （2）当 a<0 时：抛物线在对称轴左侧部分呈上升趋势，在对称轴右侧部分呈下降趋势。 即：x<−：y 随 x 增大而增大 x>−：y 随 x 增大而减小 2.二次函数最值 （1）当 a>0时：抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，也就是说二次函数有最小值 。 （2）当a<0 时：抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，也就是说二次函数有最大值。 知识点03：二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c的关系 【补充】 （1）若两条抛物线的形状与开口方向相同，则它们的二次项系数 a 必相同； （2）由 a 的符号与对称轴x = -的位置共同确定b的符号。 知识点04：三种特殊简化形式的性质对比（基础模型） 模型 1：y=ax2(h=0,k=0) 对称轴：直线 x=0（y 轴）；顶点 (0,0) a>0：x=0 时 y最小=0；x<0减，x>0 增 a<0：x=0 时 y最大=0；x<0增，x>0减 模型 2：y=ax2+k(h=0) 对称轴：直线 x=0；顶点 (0,k) 仅顶点上下移动，增减区间不变，最值变为 k。 模型 3：y=a(x-h)2(k=0) 对称轴：直线 x=h；顶点 (h,0) 顶点左右平移，最值为 0，增减分界变为 x=h。 知识点05：抛物线对称性拓展性质 1.对称点坐标规律 若抛物线上两点纵坐标相等，则两点关于对称轴对称； 若点 A(x1,y0)、B(x2,y0) 在抛物线上，则对称轴： x= 2.点到对称轴距离与函数值大小关系 a>0：点到对称轴越远，函数值越大； a<0：点到对称轴越远，函数值越小； 用途：不用代入计算，快速比较多个点的函数值大小。 知识点06：比较抛物线上点的函数值大小三种方法 1.代入求值法：把横坐标代入解析式算出 y 再比较（计算量大）； 2.对称轴距离法（最优）：计算各点横坐标与 h 的距离，结合 a 正负判断； 3.草图法：画出简易抛物线，标出各点直观比较。 知识点07：高频易错点 1.描述增减性不写区间，直接笼统说增减； 2.混淆最值：a>0 写成最大值，a<0 写成最小值； 3.顶点坐标符号出错：如 y=a(x+2)2+3，误写顶点 (2,3)，正确为 (-2,3)； 4.比较函数值时忽略 a 的正负，只看距离； 5.分不清 h 控制左右、k 控制上下，平移规律记反； 6.认为 |a| 影响开口方向（仅 a 正负控制方向）。 题型1.y=ax2+bx+c的最值 【典例】若某种礼炮的升空高度（）与飞行时间（）之间的函数关系式为，且礼炮升高到最高处时引爆，则礼炮引爆的时间为________． 【跟踪专练1】二次函数有最小值，则m等于（　） A．1 B． C． D． 【跟踪专练2】已知抛物线，当时，函数的最大值是_____． 【跟踪专练3】已知二次函数（为常数），当时，函数值的最大值与最小值之和为15，则的值为（   ） A．0 B．8 C．0或8 D． 题型2.一次函数二次函数图象综合判断 【典例】如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为______． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A．B． C． D． 【跟踪专练2】若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 【跟踪专练3】在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型3.反比例与二次函数图象综合判断 【典例】方程的负实数根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪专练1】一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图是直线 （，，是常数且，，），则二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能为（    ） A．B． C． D． 题型4.两个二次函数图象综合判断 【典例】函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【跟踪专练2】二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 【跟踪专练3】已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型4.两个二次函数图象综合判断 【典例】已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练1】抛物线如图，有下列四个结论：①；②；③．其中，错误的结论是________（只填序号）． 【跟踪专练2】已知抛物线（a、b、c是常数，），经过点，；当时，与其对应的函数值．有以下结论：①；②；③．其中正确的结论有______．（填序号） 【跟踪专练3】已知二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线．现有下列结论，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 题型6待定系数法求二次函数解析式 【典例】若点是抛物线上一点，则________． 【跟踪专练1】已知二次函数（b、c是常数）的图象与x轴的交点的横坐标为和1，且二次函数的最小值为m，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 【跟踪专练2】已知抛物线的对称轴为直线，且过点和，则这个二次函数的关系式是____________________ ． 【跟踪专练3】若二次函数（为常数，且）中函数与自变量之间的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … 点、点，在该函数图象上，当，，与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型7.由抛物线上对称的两点求对称轴 【典例】已知抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线________． 【跟踪专练1】已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（   ） A． B． C．3 D． 【跟踪专练2】已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【跟踪专练3】已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 题型8.由二次函数的对称性求函数值 【典例】如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 【跟踪专练1】点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点、（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为______． 【跟踪专练3】已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 题型9.由二次函数对称性求最短路径 【典例】如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为________．    【跟踪专练1】/如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【跟踪专练2】如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【跟踪专练3】如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 解答题 1．已知二次函数． (1)求出函数顶点坐标； (2)当时，随的增大而_____________（填“增大”或“减小”）； (3)当时，的取值范围为_____________． 2．已知二次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求一次函数和二次函数的交点坐标． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点在第四象限，且开口向上，判断 与的符号． 4．已知二次函数的图象经过、两点． (1)求该函数解析式； (2)当时，求的取值范围． 5．已知二次函数，，，都在二次函数的图象上． (1)若，求n、p、q的值； (2)若，求n的取值范围． 6．在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上两点． (1)将写成的形式； (2)若，比较，的大小，并说明理由． 7．如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $