4.2.2　第1课时　指数函数的图象和性质 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的图象和性质，通过画出y=2^x、y=(1/2)^x等具体函数图象，引导学生观察分布象限、升降趋势，搭建从具体实例归纳一般性质的学习支架，衔接课前预习与新知探究。 其亮点是以直观想象为基础，通过情境画图、问题链引导培养逻辑推理，典型例题（如比较底数大小、求定义域值域）强化数学运算。采用分层结构与通性通法总结，帮助学生构建知识体系，教师可直接用于课堂教学提升效率。

4.2.2　 指数函数的图象和性质 新课程标准解读 核心素养 1.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象 直观想象 2.探索并理解指数函数的单调性与特殊点 逻辑推理、 数学运算 第1课时　 指数函数的图象和性质 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　如图，在同一平面直角坐标系内画出 y ＝2 x 与 y ＝ 的图象及 y ＝3 x 与 y ＝ 的图象，通过观察具体的指数函数的图象，归纳、抽 象出 y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）的图象与性质. 目录 数学·必修第一册 【问题】　（1）图象分布在哪几个象限？说明了什么？ （2）猜想图象的上升、下降与底数 a 有怎样的关系？对应的函数的单 调性如何？ ⁠ 目录 数学·必修第一册 知识点　指数函数的图象和性质 a ＞1 0＜ a ＜1 图象 性 质 定义域 R 值域 （0，＋∞） 过定点 过定点 ，即 x ＝ 时， y ＝ ⁠ （0，1）　 0　 1　 目录 数学·必修第一册 a ＞1 0＜ a ＜1 性 质 函数值的变化 当 x ＞0时， ；当 x ＜0时， ⁠ 当 x ＞0时 ⁠ ；当 x ＜0时， ⁠ 单调性 在R上是 ⁠ 在R上是 ⁠ ⁠ 对称性 y ＞1　 0＜ y ＜1　 0＜ y ＜1 y ＞1　 增函数　 减函数 目录 数学·必修第一册 提醒　（1）函数图象只出现在 x 轴上方；（2）当 x ＝0时，有 a0＝ 1，故过定点（0，1）；（3）当0＜ a ＜1时，底数越小，图象越靠近 y 轴；（4）当 a ＞1时，底数越大，图象越靠近 y 轴. 目录 数学·必修第一册 【想一想】 　指数函数 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）的图象“升”“降”主要取决 于什么？ 提示：指数函数 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）的图象“升”“降”主要取决 于字母 a .当 a ＞1时，图象具有上升趋势；当0＜ a ＜1时，图象具有下 降趋势. 目录 数学·必修第一册 1. 函数 y ＝（ ） x 的图象是（　　） 目录 数学·必修第一册 2. 若指数函数 y ＝（ a －1） x 在R上是减函数，则实数 a 的取值范围 是 ⁠. 解析：因为指数 y ＝（ a －1） x 在R上是减函数，则0＜ a －1＜1， 即1＜ a ＜2. 3. 函数 f （ x ）＝2 x ＋3的值域为 ⁠. （1，2）　 （3，＋∞）　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 指数函数的图象 【例1】　如图是指数函数① y ＝ ax ，② y ＝ bx ，③ y ＝ cx ，④ y ＝ dx 的图象，则 a ， b ， c ， d 与1的大小关系是（　　） A. a ＜ b ＜1＜ c ＜ d B. b ＜ a ＜1＜ d ＜ c C. 1＜ a ＜ b ＜ c ＜ d D. a ＜ b ＜1＜ d ＜ c 目录 数学·必修第一册 解析： 　作直线 x ＝1，由下到上分别与②，①，④，③相交，所以 b ＜ a ＜1＜ d ＜ c . 目录 数学·必修第一册 通性通法 解决指数函数图象问题的注意点 （1）熟记当底数 a ＞1和0＜ a ＜1时，图象的大体形状； （2）在 y 轴右侧，指数函数的图象“底大图高”. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　已知0＜ m ＜ n ＜1，则指数函数① y ＝ mx ，② y ＝ nx 的图象为 （　　） 解析： 　由于0＜ m ＜ n ＜1，所以 y ＝ mx 与 y ＝ nx ，都是减函数，所 以排除A、B；作直线 x ＝1与两条曲线相交，交点在下面的函数是 y ＝ mx 的图象，故选C. 目录 数学·必修第一册 题型二 指数型函数的定义域和值域 【例2】　求下列函数的定义域和值域： （1） y ＝ ； 解： 要使函数有意义，则1－3 x ≥0，即3 x ≤1＝30，因为函 数 y ＝3 x 在R上是增函数，所以 x ≤0.故函数 y ＝ 的定义 域为（－∞，0]. 因为 x ≤0，所以0＜3 x ≤1，所以0≤1－3 x ＜1， 即函数 y ＝ 的值域为[0，1）. 目录 数学·必修第一册 （2） y ＝ . 解： 定义域为R. 因为｜ x ｜≥0，所以 y ＝ ＝ ≥ ＝1， 所以此函数的值域为[1，＋∞）. 目录 数学·必修第一册 通性通法 函数 y ＝ af（ x）定义域、值域的求法 （1）形如 y ＝ af（ x）的定义域就是 f （ x ）的定义域； （2）形如 y ＝ af（ x）的值域，应先求出 f （ x ）的值域，再由函数的单 调性求出 af（ x）的值域.若 a 的取值范围不确定，则需对 a 进行分 类讨论； （3）形如 y ＝ f （ ax ）的值域，要先求出 u ＝ ax 的值域，再结合 y ＝ f （ u ）确定出 y ＝ f （ ax ）的值域. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】   解析：因为指数函数 y ＝3 x 在区间[－1，1]上单调递增，所以3－ 1≤3 x ≤31，于是3－1－2≤3 x －2≤31－2，即－ ≤ f （ x ）≤1. 2. 若函数 f （ x ）＝ 的定义域是[1，＋∞），则 a 的取值范围 是 ⁠. 解析：∵ ax － a ≥0，∴ ax ≥ a ，∴当 a ＞1时， x ≥1.故函数定义域 为[1，＋∞）时， a ＞1. 　 （1，＋∞）　 目录 数学·必修第一册 题型三 指数函数图象的应用 【例3】　（1）若函数 f （ x ）＝2 ax＋ m － n （ a ＞0，且 a ≠1）的图象 恒过点（－1，4），则 m ＋ n ＝（　　） A. 3 B. 1 C. －1 D. －2 解析：C　由函数 f （ x ）＝2 ax＋ m － n （ a ＞0，且 a ≠1）的图 象恒过（－1，4），得 m －1＝0，2－ n ＝4，解得 m ＝1， n ＝ －2，∴ m ＋ n ＝－1. 解析： 　由函数 f （ x ）＝2 ax＋ m － n （ a ＞0，且 a ≠1）的图 象恒过（－1，4），得 m －1＝0，2－ n ＝4，解得 m ＝1， n ＝ －2，∴ m ＋ n ＝－1. 目录 数学·必修第一册 （2）已知直线 y ＝2 a 与函数 y ＝｜2 x －2｜的图象有两个公共点，求 实数 a 的取值范围. 解：函数 y ＝｜2 x －2｜的图象如图所示.要 使直线 y ＝2 a 与该图象有两个公共点，则有0＜2 a ＜2，即0＜ a ＜1，故实数 a 的取值范围为（0，1）. 目录 数学·必修第一册 通性通法 1. 解决指数型函数图象过定点问题的思路：指数函数 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）的图象过定点（0，1），据此可解决形如 y ＝ k · ax＋ c ＋ b （ k ≠0， a ＞0， a ≠1）的函数图象过定点的问题，即令指数 x ＋ c ＝0，即 x ＝－ c ，得 y ＝ k ＋ b ，函数图象过定点（－ c ， k ＋ b ）. 2. 利用函数的图象可解决与方程和不等式有关的问题，如观察两个函 数 y ＝ f （ x ）和 y ＝ g （ x ）的图象的交点个数可确定方程 f （ x ） ＝ g （ x ）的解的个数，观察函数 y ＝ f （ x ）的图象与 x 轴的交点 情况，可以确定不等式 f （ x ）＞0或 f （ x ）＜0的解集等. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 函数 y ＝ a｜ x｜（ a ＞1）的图象是（　　） 解析： 　该函数是偶函数.可先画出 x ≥0时， y ＝ ax 的图象，然 后沿 y 轴翻折过去，便得到 x ＜0时的函数图象. 目录 数学·必修第一册 2. 函数 f （ x ）＝ ax－ b 的图象如图所示，其中 a ， b 为常数，则下列结 论正确的是（　　） A. a ＞1， b ＜0 B. a ＞1， b ＞0 C. 0＜ a ＜1， b ＞0 D. 0＜ a ＜1， b ＜0 解析： 　从曲线的变化趋势，可以得到函数 f （ x ）为减函数，从 而有0＜ a ＜1；从曲线位置看，是由函数 y ＝ ax （0＜ a ＜1）的图 象向左平移｜－ b ｜个单位长度得到，所以－ b ＞0，即 b ＜0. 目录 数学·必修第一册 1. 函数 y ＝ 的定义域是（　　） A. （－∞，0） B. （－∞，0] C. [0，＋∞） D. （0，＋∞） 解析： 　由2 x －1≥0，得2 x ≥20，∴ x ≥0. 目录 数学·必修第一册 2. 指数函数 y ＝ ax 与 y ＝ bx 的图象如图所示，则（　　） A. a ＜0， b ＜0 B. a ＜0， b ＞0 C. 0＜ a ＜1， b ＞1 D. 0＜ a ＜1，0＜ b ＜1 解析： 　结合指数函数图象的特点可知0＜ a ＜1， b ＞1. 目录 数学·必修第一册 3. 函数 f （ x ）＝ a1－ x ＋5（ a ＞0且 a ≠1）的图象必过定点 ⁠ ⁠. 解析：由1－ x ＝0，得 x ＝1.此时 f （ x ）＝6.所以函数 f （ x ）＝ a1 － x ＋5（ a ＞0且 a ≠1）的图象必过定点（1，6）. 4. 当 x ∈[－2，2）时，求 y ＝3－ x －1的值域. 解： y ＝3－ x －1＝ －1在 x ∈[－2，2）上单调递减， ∴3－2－1＜ y ≤32－1，即－ ＜ y ≤8. ∴函数的值域为 . （1， 6）　 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 函数 y ＝3｜ x｜－2的值域是（　　） A. R B. （－2，＋∞） C. [－2，＋∞） D. [－1，＋∞） 解析： 　令｜ x ｜＝ t ， t ≥0，则 y ＝3 t －2，因为3 t ≥1，所以 y ≥－1.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 函数 f （ x ）＝ ax 与 g （ x ）＝－ x ＋ a 的图象大致是（　　） 解析： 当 a ＞1时，函数 f （ x ）＝ ax 为增函数，当 x ＝0时， g （0）＝ a ＞1，此时两函数的图象大致为选项A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. （多选）若 a ＞1，－1＜ b ＜0，则函数 y ＝ ax ＋ b 的图象一定过 （　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 　∵ a ＞1，且－1＜ b ＜0，∴函数的图 象如图所示.故图象过第一、二、三象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 已知函数 y ＝ ax－ m ＋2的图象过定点（2，3），则实数 m ＝ ⁠. 解析：由得 m ＝2. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 函数 y ＝ 的定义域是 ⁠. 解析：由1－ ≥0得 ≤1＝ ，∴ x ≥0，∴函数 y ＝ 的定义域为[0，＋∞）. [0，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. 设函数 f （ x ）＝则满足 f （ x ＋1）＜ f （2 x ）的 x 的取值范围是（　　） A. （－∞，0） B. （0，＋∞） C. （－∞，1） D. （0，1） 解析： 　函数 f （ x ）＝的图象如 图，显然函数 f （ x ）在R上为减函数，∵ f （ x ＋ 1）＜ f （2 x ），∴ x ＋1＞2 x ，解得 x ＜1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 若函数 y ＝｜2 x －1｜在（－∞， m ]上单调递减，则 m 的取值范 围是 ⁠. 解析：在平面直角坐标系中作出 y ＝2 x 的图象， 把图象沿 y 轴向下平移1个单位得到 y ＝2 x －1的 图象，再把 y ＝ －1的图象在 x 轴下方的部分关 于 x 轴翻折，其余部分不变，如图实线部分，得 到 y ＝｜2 x －1｜的图象.由图可知 y ＝｜2 x －1｜ 在（－∞，0]上单调递减，所以 m ∈（－∞， 0]. （－∞，0]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 8. 已知函数 f （ x ）＝若存在 x1， x2， x3（ x1 ＜ x2＜ x3），使 f （ x1）＝ f （ x2）＝ f （ x3），则 f （ x1＋ x2＋ x3） 的取值范围是（　　） A. （0，1] B. [0，1] C. （－∞，1] D. （－∞，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　作出 f （ x ）与直线 y ＝ a 的大致图 象如图，交点横坐标为 x1， x2， x3，自左向右 依次排列，由图可知， x1， x2关于 x ＝－1对 称， x3＞0，即 x1＋ x2＝－2，则 x1＋ x2＋ x3＞ －2.由图象知，当 x ＞－2时， f （ x ）∈[0，1]，所以 f （ x1＋ x2＋ x2）∈[0，1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $