预习专题1.3 空间向量基本定理（5类必考点）讲义-2026年高一升高二暑期自救计划（人教A版选择性必修第一册）

专题1.3 空间向量基本定理 【知识梳理】 1 【考点1：基底的概念与辨析】 2 【考点2：用基底表示向量】 3 【考点3：利用空间向量的基本定理解决角度问题】 6 【考点4：利用空间向量的基本定理解决长度问题】 9 【考点5：空间向量基本定理中的参数问题】 11 【知识梳理】 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，不能含有其他形式的向量． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 4．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 5．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【考点1：基底的概念与辨析】 1．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知向量是空间中的一组基底，则也是空间中的一组基底 C．若，则是锐角 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 2．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26高二下·江苏徐州·期中）（多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏苏州·期中）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏徐州·期末）（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【考点2：用基底表示向量】 1．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）如图在三棱锥 中，是的中点，若，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·新疆喀什·期末）如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使，用向量，，表示向量为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖南岳阳·开学考试）如图，空间四边形中，，且，则（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在三棱柱中，G是与的交点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河北保定·期中）在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，已知四棱锥是阳马，平面，且．若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·山东潍坊·期末）如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河南新乡·期末）如图，在三棱台中，分别为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【考点3：利用空间向量的基本定理解决角度问题】 1．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正四面体中，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 2．（25-26高三下·重庆沙坪坝·期中）正三棱柱中，，，为棱的中点，则异面直线与成角的大小为_______． 3．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，，与所成角的余弦值为______． 4．（25-26高二上·四川绵阳·期中）在平行六面体中，底面为正方形，，且，则异面直线与所成角的余弦值为______. 5．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______. 6．（25-26高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 7．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在矩形和中，，，，，，，记，，． (1)将用表示出来； (2)当时，求与夹角的余弦值. 8．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【考点4：利用空间向量的基本定理解决长度问题】 1．（25-26高二上·浙江台州·期末）在平行六面体中，已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·期中）两条异面直线所成的角为，在直线上取点，在直线上取点，使，且．已知，则线段的长为（    ） A． B． C．1或 D．1或 4．（2026·新疆·一模）在平行六面体中，．若，则___________． 5．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知四棱锥，底面是边长为的菱形，不是钝角，，，为中点，在上的投影向量的模为，则_____. 6．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. (1)求； (2)求. 7．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 8．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图， D是正四面体的棱的中点， 点E在线段上，点P在线段上， 且， ，设向量， ， . (1)用向量，，表示和; (2)若正四面体的棱长为4，求线段DP的长度. 【考点5：空间向量基本定理中的参数问题】 1．（25-26高二上·河南开封·期中）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北·期中）在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 5．（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）在三棱锥中，为平面内一点，且，则______. 8．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）正四棱锥中，点、分别是棱，上一点，且，，平面交棱于点，若，则的值为______ 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 空间向量基本定理 【知识梳理】 1 【考点1：基底的概念与辨析】 2 【考点2：用基底表示向量】 8 【考点3：利用空间向量的基本定理解决角度问题】 13 【考点4：利用空间向量的基本定理解决长度问题】 21 【考点5：空间向量基本定理中的参数问题】 29 【知识梳理】 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，不能含有其他形式的向量． 3．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 4．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 5．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【考点1：基底的概念与辨析】 1．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知向量是空间中的一组基底，则也是空间中的一组基底 C．若，则是锐角 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】C 【详解】A选项，设两个共线的向量为和，第三个向量为， 因为和共线，所以存在实数使得：，那么：， 根据向量共面定理，向量、、共面，所以A选项正确； B选项，若是共面的向量，则存在实数，使得：， 即，与不共面矛盾，所以B选项正确； C选项，若，则，当时，也满足条件，即不一定为锐角，所以C选项错误； D选项，由空间向量四点共面定理，对于空间中任意一点，若满足：，且， 则四点共面， 因为D选项中 ，所以四点共面，所以D选项正确. 2．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 3．（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】三向量可作为基底等价于不共面，待定系数后方程组有解则共面. 【详解】对于A，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于B，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底. 对于D，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 4．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基本定理判断各选项中的每组向量是否共面可得结论. 【详解】对于A，因为，所以是共面向量， 故不能作为空间中的一组基底，故A不符合题意； 对于B，因为，所以是共面向量， 故不能作为空间中的一组基底，故B不符合题意； 对于C，若共面， 则存在实数，使得， 因为为空间中的一组基底，所以，无解， 所以不共面， 所以能作为空间中的一组基底，故C符合题意； 对于D，因为， 所以是共面向量， 所以不能作为空间中的一组基底，故D不符合题意. 故选：C. 5．（2026·浙江·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据空间向量的基底向量的定义，及共面向量的定义逐项分析判断即可． 【详解】对于选项A，假设存在实数，，使得， 则，方程无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底，故A正确； 对于选项B，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故B错误； 对于选项C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故C错误； 对于选项D，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故D错误． 6．（25-26高二下·江苏徐州·期中）（多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】选项A，因为，所以共面，所以A错误； 选项B，因为与互为相反向量，又为空间的一个基底， 所以能构成空间的一个基底，故B正确； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，进而则可得， 得到共面，与已知矛盾，所以C正确； 选项D，因为，所以共面，所以D错误. 7．（25-26高二下·江苏苏州·期中）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由空间向量共面的判断定理判断即可. 【详解】对于A：，可以由和线性表示，所以共面. 对于B：假设，可得，此方程组无解， 所以不能用和线性表示，故不共面. 对于C：，可以由和线性表示，所以共面. 对于D：假设， 可得，此方程组无解，所以不能用和线性表示，故不共面. 8．（25-26高二下·江苏徐州·期末）（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 【考点2：用基底表示向量】 1．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）如图在三棱锥 中，是的中点，若，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，由空间向量的运算求解即可； 【详解】是的中点，所以， 故选：A. 2．（25-26高二上·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 3．（25-26高二下·新疆喀什·期末）如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使，用向量，，表示向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的运算法则得到，再次代换即可. 【详解】 ， 故选：C 4．（25-26高二下·湖南岳阳·开学考试）如图，空间四边形中，，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，结合求解即可. 【详解】如图所示， 因为， 又因为， 所以. 故选：A. 5．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在三棱柱中，G是与的交点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量线性运算即可求解. 【详解】因为为三棱柱，所以， . 故选：. 6．（25-26高二上·河北保定·期中）在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，已知四棱锥是阳马，平面，且．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知条件，根据空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 因为， 所以. 故选：A 7．（25-26高二上·山东潍坊·期末）如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，利用空间向量的线性运算即得. 【详解】在平行六面体中， 因为，，，点在上，且， 所以. 故选：A 8．（25-26高二上·河南新乡·期末）如图，在三棱台中，分别为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的线性运算求解即可. 【详解】在三棱台中，， 所以， 则，， 所以， 故选：A 【考点3：利用空间向量的基本定理解决角度问题】 1．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正四面体中，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】/ 【分析】以、、作为一组基底表示出、，再根据空间向量法计算可得. 【详解】因为，所以， 又， 设正四面体的棱长为，则， 所以 ， ， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 2．（25-26高三下·重庆沙坪坝·期中）正三棱柱中，，，为棱的中点，则异面直线与成角的大小为_______． 【答案】 【分析】利用向量的方法，以为基底表示，，并计算，然后根据空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】如图，   ， ， 由侧棱和底面垂直，所以 且， ∴ ， ∴，且， ∴， ∴异面直线与成角的大小为． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用向量的方法求解异面直线所成的角，本题关键在于选择合适的向量作为基底，考查计算能力，属基础题. 3．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，，与所成角的余弦值为______． 【答案】/ 【分析】取，分别求得和，将与分别用表示出来，再利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】 如图，分别取，则， 且， 而 由， ， ， 设与的所成角为， 则. 故答案为：. 4．（25-26高二上·四川绵阳·期中）在平行六面体中，底面为正方形，，且，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】/ 【分析】设，分别用表示和，利用空间向量的夹角公式计算即可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】 如图所示，不妨设， 依题意，令，则. 由图知： 则， 即， ，即， 故得：， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______. 【答案】 【分析】根据向量数量积、模的运算、夹角等知识来求得正确答案. 【详解】由于底面，平面，所以， 而底面是矩形，所以， ， ， 所以， . 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 6．（25-26高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到； （2）两边平方，求出，得到，并求出，，利用异面直线向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）， 故 ； （2）由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 7．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在矩形和中，，，，，，，记，，． (1)将用表示出来； (2)当时，求与夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用空间向量的加减运算法则化简即得； (2)分别求得，，利用向量数量积的运算律求得，，利用空间向量的夹角公式计算即得结果. 【详解】（1）由图知， ； （2）当时，由（1）知，，， 因 故 ， 且 ， 设与的夹角为， 则. 8．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用空间向量的基本定理及线性运算可得，可得从而证得； （2）由向量的线性运算可得，，再根据异面直线与所成角的余弦值的公式求解即可. 【详解】（1）由已知该几何体是三棱柱， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以， 故，即. 所以四边形为矩形. （2）由已知， 又， ； 同理， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【考点4：利用空间向量的基本定理解决长度问题】 1．（25-26高二上·浙江台州·期末）在平行六面体中，已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果. 【详解】在平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 故选：C 2．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合，可知点在平面内，所以当平面时，最小，再根据即可求得结果. 【详解】设，则 ，， 所以点在平面内， 依题意当平面时，最小， 四面体为正四面体，为底面的中心，如图，连接并延长交于点，则为的中点. 则， 所以， 即的最小值为， 又，所以，即的最小值为． 故选：B． 3．（25-26高二上·广东广州·期中）两条异面直线所成的角为，在直线上取点，在直线上取点，使，且．已知，则线段的长为（    ） A． B． C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】画出图形，根据向量的线性运算结合向量的数量积运算，结合题意已知可得即可算出线段的长. 【详解】由题意如图所示： 由， 则， 即，① 因为，， 所以， 又异面直线所成的角为， 所以或， 当时， ①化为：， 解得， 同理当时， ①化为：， 解得， 故选：D. 4．（2026·新疆·一模）在平行六面体中，．若，则___________． 【答案】3 【分析】利用空间向量的运算表示出，根据长度和角求出，再利用向量模长公式可求答案. 【详解】在平行六面体中， 因为， 所以，， ， 因为，所以， 所以， 整理可得，解得或（舍）. . 所以. 故答案为：3    5．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知四棱锥，底面是边长为的菱形，不是钝角，，，为中点，在上的投影向量的模为，则_____. 【答案】 【分析】可将、、当作空间中一组基底，从而可表示出向量、，再利用投影向量定义计算得到，最后利用模长与数量积的关系计算即可得解. 【详解】由为中点，则， 设，由在上的投影向量的模为， 则 ， 化简得，即， 整理得，即或， 又不是钝角，，故， 则 . 故答案为：. 6．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)三个不共面的向量作为基底，再用基底表示,再用模长公式.         (2)用基底表示,用数量积计算得出结果就行. 【详解】（1）设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底， 则，，， 因为， 所以 （2）由（1）可知， 同理可得， . 所以 . 7．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，，利用数量积运算性质即可得出． （2）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明. 【详解】（1）因为，且，， 故， 又，故 ， 由于， 所以 ， （2） ， 所以． 8．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图， D是正四面体的棱的中点， 点E在线段上，点P在线段上， 且， ，设向量， ， . (1)用向量，，表示和; (2)若正四面体的棱长为4，求线段DP的长度. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可以得到向量之间的线性关系，利用空间向量的基本定理及线性运算进行求解； （2）根据空间向量的模的性质及空间向量数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为 D是正四面体的棱的中点，， 所以， 所以 ， 所以 （2）由正四面体的棱长为4，可知，且两两夹角为. 由（1）知 . 【考点5：空间向量基本定理中的参数问题】 1．（25-26高二上·河南开封·期中）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用向量的减法运算和空间向量基本定理即可求出. 【详解】因点在平面内，则使得， 则， 即， 因是平面外一点，则不共面， 则由以及空间向量基本定理可知， ，得. 故选：B 2．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用空间向量的基本定理可求出的值. 【详解】因为、、三点不共线，点在平面外，点满足， 设， 由题意可知、、不共面，所以，故. 故选：A. 3．（25-26高二上·湖北·期中）在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共面的条件，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为的重心，所以 ， 又，，，， 所以， 因为点在平面内， 所以，得，且. 所以 当且仅当时等号成立. 故选：D. 4．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 5．（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量的线性运算以及空间向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以， 因为、、不共面，所以，所以，故. 6．（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将用平行六面体的棱向量表示，可由线性表示，建立向量等式，根据向量相等时对应系数相等，列方程求解. 【详解】设基底，以为原点，令，则，因此，D点，， 是中点，，因此， 是中点，，因此， 因为在平面上，所以可表示为平面内的向量的线性组合，， 即：， 代入，整理得：， ，解得，代入得，即. 7．（25-26高二上·安徽马鞍山·期末）在三棱锥中，为平面内一点，且，则______. 【答案】2 【分析】根据空间向量共面定理可知，为平面内一点的充要条件是中，列方程求解即可，也可通过向量的线性运算，列方程组求解. 【详解】方法一：在三棱锥中，为平面内一点，即四点共面， 又， 由空间向量共面定理可知，解得. 故答案为：2. 方法二：因为为平面内一点，所以存在实数，使得， 所以，移项得 ， 在三棱锥中，是不共面的向量， 由空间向量基本定理知用表示唯一， 与的系数对比得， 所以. 故答案为：2. 8．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）正四棱锥中，点、分别是棱，上一点，且，，平面交棱于点，若，则的值为______ 【答案】/0.4 【分析】根据空间向量的线性运算、空间基底等知识列方程，化简求得的值. 【详解】 由题知四点共面，可设， 则， 又由题可知，，， 且， 所以有 整理可得，. 又不共面，所以有， 解得. 故答案为：. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $