5.2 算术平方根 教案——2026-2027学年青岛版八年级数学上册

该教案聚焦算术平方根核心知识，通过勾股定理求直角三角形边长的情境导入，衔接已学勾股定理，引出开平方运算，为后续平方根、立方根学习搭建基础支架。 资料以情境探究法抽象概念，如从正方形面积求边长问题抽象出算术平方根定义，培养数学抽象。通过小组讨论负数是否有算术平方根，发展逻辑推理。结合正方形边长的几何意义，提升直观想象。讲练结合法巩固运算能力，助力学生思维发展，也为教师提供结构清晰、重难点突出的教学方案。

AI 生成 课题 算术平方根 课型 新授课 课时 1课时 教材版本 青岛版数学八年级上册 教学方法 情境探究法、合作讨论法、讲练结合法 教学用具 多媒体课件、投影、方格纸 一、核心素养目标 • 【数学抽象】从正方形面积求边长的问题中抽象出算术平方根的概念，理解算术平方根的定义 • 【逻辑推理】理解算术平方根的双重非负性，会利用定义判断一个数是否有算术平方根 • 【数学运算】会根据定义求一个非负数的算术平方根，掌握算术平方根的运算性质 • 【直观想象】理解算术平方根的几何意义——面积为a的正方形的边长为，发展几何直观 二、教学重难点 教学重点：算术平方根的概念，会求一个非负数的算术平方根 教学难点：理解算术平方根的双重非负性，会利用非负性解决问题 三、教学过程 【导入：情境引入】（2分钟） 【教师活动】同学们，前面我们学习了勾股定理，可以用它求直角三角形的边长。今天我们来学习一种新的运算——开平方，首先学习它的基础：算术平方根。请大家看屏幕，根据图形填空。 【教师活动】在屏幕上的图形中，每个直角三角形都满足勾股定理。已知直角边为1，斜边为。同样地，以和1为直角边的直角三角形，斜边是。以此类推，我们可以得到、等。 【学生活动】观察图形，尝试填空：=____，=____=____，=____=____，=____=____。 【过渡语】根据勾股定理，这些边长的平方都是已知的，我们需要求边长。这就是我们今天要学习的内容——算术平方根。 【过渡语】首先进入任务一：了解算术平方根的概念及其性质。 【教师活动】我们先明确本节课的学习目标：1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个正数的算术平方根；2.理解算术平方根的双重非负性；3.会求一个非负数的算术平方根。 【任务一：了解算术平方根的概念】（5分钟） 【教师活动】活动：完成下列计算，找出运算的共同点。（1）一个正方形的面积是4，它的边长是多少？（2）一个正方形的面积是9，它的边长是多少？（3）一个正数的平方是16，这个数是多少？ 【学生活动】计算回答：（1）∵，∴边长为2。（2）∵，∴边长为3。（3）∵，∴边长为4。共同点：都是已知一个正数的平方，求这个正数。 【教师活动】同学们观察得很仔细！这三个题的共同点是：已知一个正数的平方，求这个正数。这个正数在数学上有一个专门的名称——算术平方根。 【过渡语】很好！我们给这样的正数一个名称——算术平方根。 【知识点】【算术平方根的定义】如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫作a的算术平方根。记作：，读作：根号a。特别地，0的算术平方根是0，即。 注意：定义条件：x必须是正数。0的算术平方根是0。。算术平方根符号中的a叫做被开方数。 易错点：算术平方根和平方运算是互逆的，但算术平方根必须是非负数。例如：25的算术平方根是5，不能写成。 【教师活动】请同学们完成以下填空：，则x=____；，则y=____；，则z=____；，则w=____。 【学生活动】填写：，，，。 【过渡语】请同学们完成填空练习，巩固概念。 【教师活动】请大家思考：算术平方根中的a叫什么？a的取值范围是什么？ 【学生活动】回答：a叫被开方数，a必须是非负数（）。 【教师活动】很好！下面我们来讨论一个问题：哪些数有算术平方根？哪些数没有？ 【讨论：算术平方根的存在性】（5分钟） 【教师活动】讨论：（1）一个正数的算术平方根有几个？（2）0的算术平方根有几个？（3）负数有算术平方根吗？ 【教师活动】请同学们先独立思考，再小组讨论，注意从定义出发来推理。 【学生活动】小组讨论后回答：（1）一个正数的算术平方根有1个。（2）0的算术平方根有1个，是0。（3）负数没有算术平方根。 【教师活动】追问：为什么负数没有算术平方根？请用定义解释。 【学生活动】回答：因为任何实数的平方都≥0，不存在一个数x使得=负数，所以负数没有算术平方根。 【知识点】【算术平方根的性质】1. 正数的算术平方根是正数；2. 0的算术平方根是0；3. 负数没有算术平方根。 【知识点】【算术平方根的双重非负性】，。 双重非负性：这是算术平方根最重要的性质：被开方数a非负，算术平方根本身也非负。后面学习中会反复用到。 【教师活动】再思考一个问题：如果我们知道，那么吗？a的取值范围是什么？ 【学生活动】回答：，a必须≥0。因为负数没有算术平方根，所以被开方数a必须是非负数。 【过渡语】请同学们思考：为什么负数没有算术平方根？因为任何实数的平方都是非负数，所以负数不可能等于任何实数的平方。 【思考：算术平方根的几何意义】（5分钟） 【教师活动】思考：如果将算术平方根定义中的等式左边的x换成，你能得到一个怎样的等式？a的取值范围是什么？这个等式表示什么几何意义？ 【学生活动】推导：，因为，而，所以。a必须是非负数，因为负数没有算术平方根。几何意义：面积为a的正方形的边长就是。 【知识点】【重要等式】对任意非负数a，都有。几何意义：面积为a的正方形的边长是。 重点：表示边长——面积为a的正方形的边长，这就是它的几何意义。正方形的边长必须是非负数，这正好与算术平方根的非负性一致。 技巧：判断是否有意义，只需看a是否≥0。有意义，无意义。注意：有意义（它是算术平方根的相反数），无意义（a为正时）。 【过渡语】现在我们来看哪些数有算术平方根。 【学生活动】判断：、、、 中，哪些有意义？哪些没有意义？ 【学生活动】回答：有意义，没有意义（被开方数负），有意义，有意义（表示3的算术平方根的相反数）。 【教师活动】追问：与有什么区别？是什么关系？ 【学生活动】思考并回答：先平方再开方，先开方再平方。当时，。 【教师活动】很好！总结：只有被开方数时，才有意义。请大家记住：和是不同的运算，但当时它们的结果相等。 【教师活动】例题：判断下列各式是否有意义，并说明理由：(1)；(2)；(3)；(4)（a为任意实数）。 【学生活动】(1)有意义，。(2)无意义，。(3)有意义，先求，再取相反数得。(4)有意义，因为恒成立。 【任务二：会求一个数的算术平方根】（3分钟） 【教师活动】前面我们认识了算术平方根的概念和性质，现在我们来看如何求一个数的算术平方根。总结性质：正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根；被开方数越大，其算术平方根也越大。 【教师活动】请同学们思考：怎么求一个正数的算术平方根？方法是什么？ 【学生活动】回答：找哪个正数的平方等于这个数，那个正数就是它的算术平方根。 【过渡语】下面我们来看例题。 【例题1：长方形面积问题】（6分钟） 【教师活动】活动2：用一根绳子围成一个长、宽之比为3:1，面积为75 的长方形，你能求出长方形的长和宽吗？ 【教师活动】请同学们先设未知数，根据面积公式列出方程。 【思路分析】设长为3x ，宽为x 。由面积公式得3，即，所以，所以长=15 ，宽=5 。 【教师活动】解：设长方形的长为3x ，宽为x 。根据面积公式，得3，即，所以。因此长方形的长为15 ，宽为5 。 【学生活动】跟随教师完成求解过程，理解如何利用算术平方根解决边长问题。 【教师活动】追问：这里为什么x取正值而不是负值？ 【学生活动】回答：因为边长必须为正数，这里求的是算术平方根，所以而不是x=。 【过渡语】下面来看变式题。 【变式：正方形面积问题】（4分钟） 【教师活动】变式：用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形的面积，你能求出正方形的边长吗？ 【学生活动】回答：长方形面积是75，所以正方形面积也是75，正方形边长是 。 【教师活动】追问：正方形的边长是 ，这个结果准确吗？为什么不用小数表示？ 【学生活动】回答：是一个无理数，无法用有限小数或循环小数精确表示，所以用表示准确值，需要时再取近似值。 【过渡语】很好！就是正方形的边长，这是一个准确值。后面我们会学习如何化简。 【过渡语】下面我们来做练习。 【例题2：求算术平方根】（5分钟） 【教师活动】求下列各数的算术平方根：（1）121；（2）；（3）；（4）。 【思路分析】根据定义，找一个正数x使，则x就是a的算术平方根。关键在于找到一个数的平方等于已知数。 【教师活动】解：（1）∵，∴121的算术平方根是11，即。（2）∵，∴的算术平方根是，即。注意：小数点的位置要仔细——。（3）∵，∴的算术平方根是，即。分数求算术平方根时，可以分别求分子分母的算术平方根。（4）∵，∴的算术平方根是，即。 【学生活动】跟随教师完成每一题，理解求算术平方根的方法，特别注意小数点和分数的处理。 【教师活动】总结方法：求算术平方根时，先看被开方数是整数、小数还是分数。整数找平方数，小数注意小数点位置，分数分别求分子分母的算术平方根。 【过渡语】下面我们通过课堂练习巩固所学内容。 【练习巩固】（6分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习。 【教师活动】1. 求下列各数的算术平方根：（1）100；（2）169；（3）；（4）。 【学生活动】解：（1）∵，∴。（2）∵，∴。（3）∵，∴。（4），∵，∴。 【教师活动】追问：为什么的算术平方根是6而不是？ 【学生活动】回答：因为算术平方根必须是正数（或0），所以，不能是。 【教师活动】2. 若一个自然数的算术平方根是a，则这个自然数是____，比这个自然数大1的数的算术平方根是____。 【学生活动】解：若自然数的算术平方根是a，则这个自然数是，比它大1的数是，算术平方根是。 【教师活动】3. 已知有意义，求x的取值范围。 【学生活动】解：由被开方数非负，得，所以。 【教师活动】追问：如果题目是，你能求出x的值吗？ 【学生活动】解：由定义，，即，所以。 【过渡语】很好！下面我们来做课堂小结。 【课堂小结】（4分钟） 【教师活动】针对本课关键词'算术平方根'，你能说一说学到了哪些知识吗？ 【学生活动】自由发言：定义——如果（），则x是a的算术平方根，记作；性质——正数有一个算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根；双重非负性——，；。 【教师活动】请一位同学完整地复述算术平方根的定义。 【学生活动】复述：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记作，读作根号a。0的算术平方根是0。 【教师活动】请另一位同学说说算术平方根有哪些性质？ 【学生活动】回答：正数有一个正算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。双重非负性：，。 【知识点】【知识梳理】1. 定义：（）→，。2. 性质：正数→一个正的算术平方根；0→算术平方根是0；负数→没有算术平方根。3. 双重非负性：，。4. 重要等式：（）。 【教师活动】今天我们也学习了如何求一个数的算术平方根。方法是什么？ 【学生活动】回答：找哪个正数的平方等于这个数，用定义法。整数找平方数，小数注意小数点，分数分别求分子分母。 【教师活动】同学们，算术平方根是学习实数和二次根式的基础，大家一定要熟练掌握定义和性质，特别是双重非负性，这在后面的学习中会经常用到。课后请完成作业，下节课我们继续学习平方根和立方根。 四、板书设计 算术平方根 一、定义 如果（），则x叫作a的算术平方根，记作，a叫作被开方数 二、性质 1. 正数 → 一个正算术平方根 2. 0 → 算术平方根是0 3. 负数 → 没有算术平方根 4. 双重非负性：， 三、重要等式 （） 四、几何意义 表示面积为a的正方形的边长 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $