第十七章 因式分解 暑假预习讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十七章 因式分解 七升八暑假预习讲义 学习目标 1.理解因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的区别与联系. 2.掌握提公因式法分解因式，能正确找出多项式的公因式. 3.掌握运用平方差公式分解因式，能识别符合平方差公式特征的多项式. 4.掌握运用完全平方公式分解因式，能识别符合完全平方公式特征的多项式. 5.能综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解. 知识点一、因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 注意： 1.因式分解的对象是多项式，结果必须是整式的积的形式. 2.因式分解与整式乘法互为逆变形. 整式乘法：整式 × 整式 → 多项式 因式分解：多项式 → 整式 × 整式 3.因式分解的结果中每个因式必须是整式，且不能再分解为止（即分解要彻底）. 【例1】 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【例2】 若多项式 可分解为 ，则 的值为_________. 【变式1】 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【变式2】 若 可分解为 ，则 的值为_________. 知识点二、提公因式法 1. 公因式的定义 多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式. 2. 确定公因式的方法 系数：取各项系数的最大公约数. 字母：取各项相同的字母. 指数：取相同字母的最低指数. 3. 提公因式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 即： 注意： 1.当多项式的首项系数为负数时，一般要提出“－”号，使括号内首项系数为正. 2.提公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数相同. 3.公因式可以是单项式，也可以是多项式（整体思想）. 【例3】 找出下列各多项式的公因式，并用提公因式法分解因式. （1）； （2）； （3）； （4）. 【例4】 用提公因式法计算： 【变式3】 用提公因式法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【变式4】 计算：. 知识点三、平方差公式分解因式 1. 平方差公式 即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 2. 公式特征 （1）左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反. （2）右边是两个数的和与这两个数的差的积. 3. 应用步骤 （1）将两项写成平方差的形式： （2）套用公式： 注意： 公式中的 和 可以代表数、字母，也可以代表单项式或多项式. 【例5】 用平方差公式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【例6】 用平方差公式简便计算： （1）； （2） 【变式5】 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【变式6】 利用平方差公式简便计算：. 知识点四、完全平方公式分解因式 1. 完全平方公式 即：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 2. 公式特征 （1）左边是三项式，首尾两项是平方项且符号相同，中间项是首尾两项底数积的2倍. （2）右边是两数和（或差）的平方. 3. 判断方法 对于二次三项式 ： 若 ，则可以用完全平方公式分解. 【例7】 用完全平方公式分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【例8】 已知 是完全平方式，求 的值. 【变式7】 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【变式8】 若 是一个完全平方式，则 的值为（ ） A.6 B. C.12 D. 知识点五、综合运用提公因式法与公式法 因式分解的一般步骤（口诀） “一提二套三检查” 一提：先看多项式中是否有公因式，若有则先提公因式. 二套：再看能否套用公式（平方差公式或完全平方公式）. 三检查：检查每个因式是否还能继续分解，直到不能再分解为止. 【例9】 综合运用因式分解： （1）； （2）； （3）； （4） 【例10】 先分解因式，再求值：，其中 【变式9】 分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【变式10】 已知 ，，求 的值. 知识点六、十字相乘法（补充） 对于二次三项式 ，若存在两个数 、 满足 ，，则 口诀： 首尾分解，交叉相乘，求和凑中. 【例11】 用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【变式11】 分解因式： （1）； （2）. 【变式12】 若 可分解为 ，则 的值为_________. 综合测评 1.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2.多项式 的公因式是（ ） A. B. C. D. 3.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 4.下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 5.分解因式 的结果是（ ） A. B. C. D. 6.计算 的结果是（ ） A. B. C. D. 7.下列多项式分解因式的结果中，与 相同的是（ ） A. B. C. D. 8.分解因式： = _________. 9.分解因式： = _________. 10.若在多项式x2+4中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是　 　 （写出一个即可）． 11.若 ，，则 的值为_________. 12.若 ，，则 的值为 _________. 13.计算： = _________. 14.若 是完全平方式，则 的值为 _________. 15.分解因式： （1）; （2）; （3）; （4）. 16.下面是小贤同学对多项式（y+3x）2﹣（x+3y）2因式分解的过程： 解：原式＝[（y+3x）+（x+3y）][（y+3x）﹣（x+3y）]…第一步 ＝（y+3x+x+3y）（y+3x﹣x﹣3y）…第二步 ＝（4x+4y）（2x﹣2y）…第三步 ＝8（x+y）（x﹣y）…第四步 ＝8x2﹣8y2．…第五步 （1）第一步所依据的数学公式用含字母a，b的式子表示为　 　 ； （2）第　 　 步出现错误，错误的原因是　 　 ； （3）请用另一种解法将多项式（y+3x）2﹣（x+3y）2因式分解． 17.已知 、、 是 的三边长，且满足 ，试判断 的形状. 18.如图1，有A型正方形卡片，B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张． （1）如图2，用1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形．用两种方法计算这个正方形的面积，可以得到一个等式，请你写出该等式：　 　 ； （2）根据图2所得的等式，若a+b＝8，ab＝12，求（a﹣b）2的值； （3）如图3，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AB＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE区域内种草．经测量，种草区域的面积和为60平方米，AC＝18米，请根据图2所得的等式求种花区域的面积和． 19．现有如图所示A、B、C三类纸片各若干张，A、B类纸片是边长分别为a，2的正方形，C类纸片是长、宽分别为a，2的矩形纸片（a＞2）． （1）若取A、B类纸片各1张，C类纸片2张可拼成一个面积为64的大正方形，求a的值； （2）若取3张A类纸片，2张B类纸片，5张C类纸片可拼成一个大长方形， ①在下面的方框中画出拼图； ②若大长方形面积为65，求所拼大长方形的长． 20．项目式学习 素材1：用配方法分解二次三项式 对于某些二次三项式ax2+bx+c，我们可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方，再进行因式分解，这种方法称作“配方法”． 例如，把x2+8x﹣9分解因式，我们可以这样进行： x2+8x﹣9 ＝x2+2•x•4+42﹣42﹣9（加上42，再减去42） ＝（x+4）2﹣52（完全平方公式） ＝（x+4+5）（x+4﹣5）（平方差公式） ＝（x+9）（x﹣1）． 配方法是代数变形时常用的一种重要方法，我们在今后会继续学到. 素材2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2 再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法. （1）任务目标1：根据素材1，把x2+2x﹣3分解因式. （2）任务目标2：结合素材1和素材2，完成下面小题： ①分解因式：（x﹣2y）2﹣2（x﹣2y）﹣3； ②分解因式：（x2+2x）（x2+2x﹣2）﹣3. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案与解析 知识点一、因式分解的概念 【例1】A 解析：A.，符合因式分解的定义；B.是整式乘法，不是因式分解；C.，符合因式分解的定义；D.结果不是整式的积的形式，不是因式分解. 【例2】 解析：，与对比，得. 【变式1】C 解析：A.是整式乘法；B.，不是因式分解；C.，是因式分解；D.结果不是整式的积的形式. 【变式2】 解析：，与对比，得，即. 知识点二、提公因式法 【例3】 （1）公因式为， （2）公因式为， （3） （4） 【例4】 【变式3】 （1） （2） （3） （4） 【变式4】 知识点三、平方差公式分解因式 【例5】 （1） （2） （3） （4） 【例6】 （1） （2） 【变式5】 （1） （2） （3） （4） 【变式6】 知识点四、完全平方公式分解因式 【例7】 （1） （2） （3） （4） 【例8】 由完全平方式的性质： 展开，得 解得，即或. 【变式7】 （1） （2） （3） （4） 【变式8】D 解析：，得，即. 知识点五、综合运用提公因式法与公式法 【例9】 （1） （2） （3） （4） 【例10】 当时，原式 【变式9】 （1） （2） （3） （4） 【变式10】 当，时，原式 知识点六、十字相乘法（补充） 【例11】 （1） （2） （3） （4） 【变式11】 （1） （2） 【变式12】 解析：，与对比，得. 综合测评 1.A 解析：A.，符合因式分解定义；B.是整式乘法；C.结果不是整式的积的形式；D.结果中含有分式，不是整式. 2.A 解析：与的公因式：系数最大公约数为4，相同字母取最低指数1，相同字母取最低指数2，故公因式为. 3.C 解析：平方差公式要求两项均为平方且符号相反.符合条件. 4.A 解析：完全平方公式要求三项：首尾为平方且同号，中间为积的2倍.符合条件. 5.B 解析：. 6.D 解析：. 7.C 解析：. 8. 解析：. 9. 解析：. 10.（或或） 解析：若；若.也可填（但通常填即可）. 11.18 解析：，代入，，得. 12.2 解析：，故，. 13.1 解析：. 14.或 解析：是完全平方式，则，解得，即或. 15.分解因式： （1） （2） （3） （4） 16.（1） （2）第五步，错误的原因是：没有分解彻底，最终结果应为整式的积的形式，而不是多项式. （3）另解： 17.两边同乘以2，得： 平方非负，，， ，即是等边三角形. 18.解：（1）大正方形的边长为（a+b），则大正方形的面积为（a+b）2， ∵用1张A型卡片，1张B型卡片，2张C型卡片拼成一个正方形， ∴大正方形的面积为a2+2ab+b2， ∴等式为（a+b）2＝a2+2ab+b2； 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）∵a+b＝8，ab＝12，（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴82＝a2+b2+2×12，则a2+b2＝40， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝40﹣2×12＝16； （3）某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AB＝DE，BE＝CE． 设AE＝DE＝m米，EC＝BE＝n米， 由题意得，AE+EC＝AC＝18米，平方米， 即m+n＝18，mn＝60， ∵（m+n）2＝m2+n2+2mn， ∴182＝m2+n2+2×60， 解得m2+n2＝204， ∴种花区域的面积和为（平方米）． 19.（1）由题意，拼成的大正方形面积为，得（），. （2）①拼图如下： ②由题意可知：3a2+8+10a＝65， 整理得3a2+10a﹣57＝0， 因式分解得（3a+19）（a﹣3）＝0， 解得或a＝3， ∵a＞2， ∴a＝3， ∴大长方形的长为：3a+4＝13． 20.（1）任务目标1： （2）①令，则 原式 ②令，则 原式 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $