3.1.2 函数的表示方法 2026-2027学年高一上学期数学必修一例题讲解及课时精练

该高中数学讲义通过“基础回顾”模块系统构建函数表示方法的知识体系，用表格对比解析法、列表法、图像法的优缺点，框架图呈现分段函数的定义与注意事项，思维导图归纳待定系数法、换元法等五种求解析式的方法，清晰展现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于题型分层设计，从基础的表示方法辨析（如列表法与图像法结合的函数值求解）到综合的分段函数不等式及最值求参，结合“构造方程组求解析式”等题型培养数学思维，通过“分段函数图像绘制”发展几何直观。练习涵盖选择、填空、解答题，基础题巩固知识，综合题提升能力，助力学生自主复习，教师可实施精准化分层教学。

3.1.2 函数的表示方法 【题型一】解析法、列表法和图像法表示函数 1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】C 4.【答案】C 5.【答案】C 6.【答案】D 7.【答案】A 8.【答案】AD 9.【答案】BD 10.【答案】AC 【题型二】常见函数及分段函数的图像 1． 【答案】(1）作图见解析 (2) 【分析】（1）根据二次函数的图像及分段函数画出图像； （2）根据端点值和单调性，再结合图像分析求解范围即可。 【详解】（1）画出的图像，如图所示。    (2),,. 因为在上的值域为， 所以结合图像可得，即的取值范围为. 2.【答案】，图像见解析。 【分析】分，以及讨论并写成分段函数形式即可。 【详解】当时，设直线与线段分别交于点， 因为，则， 设直线的方程为，代入得， 则直线的方程为，则， 此时. 当时，设直线与线段分别交于点， 则，，， 则， 当时，此时. 则函数的解析式为. 做出函数图像如下： 3.【答案】(1)； (2) 图像见解析，定义域为，值域为. 【详解】（1）当， ；当，. 故； （2） 根据函数图像可知：函数定义域为，值域为. 4．【答案】(1）答案见解析； (2); (3). 【分析】（1）分段做出函数图像即可； （2）利用分段函数求函数值即可； （3）利用范围求函数值，列方程组即可求解。 【详解】（1）作出函数的图象如图所示：    (2), （3）因为，所以， 即， 又因为，所以，即， 消元得：， 解得或，因为，所以. 5．【答案】(1)， (2)或4 （3）作图见解析，值域为 【分析】（1）根据自变量的范围代入对应的解析式即可求解； （2）分类讨论的范围即可； （3）画出分段函数的图像，数形结合即可求出值域。 【详解】（1）因为函数， 所以，， 所以； （2）①当时，， 解得，不满足，故舍去； ②当时，，解得， 又因为，所以， ③当时，，解得， 综上所述，的值为或4； （3）函数的图像，如下图所示： 由图像可知，函数的值域为． 6.【答案】(1）作图见解析； （2）作图见解析。 【分析】（1）（2）写出函数的分段形式，再结合一次函数、二次函数的性质画出函数图像。 【详解】（1）由，其函数图像如下， （2）由， 所以函数在（上单调递减，在（上单调递增，函数图像如下， 7.【答案】(1) (2) 值域. 【分析】（1）设，利用待定系数法，求出a，b的值，根据，可得c值，即可得答案。 （2）由（1）可得解析式，分别求出和的解析式，根据一次函数的单调性，可得的值域，作出图像即可。 【详解】（1）由题意，设， 则， 整理得，即， 则，解得， 又，所以. （2）由（1）得，定义域为R， 当时，，单调递减，所以； 当时，，单调递增，所以， 综上，的值域为， 的图像如图， 8.【答案】(1) (2)或0 （3）答案见解析 【分析】（1）根据分段函数计算函数值； （2）分段应用函数值得出自变量； （3）根据解析式做出函数图像。 【详解】（1）； （2）当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍）， 综上可得或0； （3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图像性质做出函数图像如下所示：    9.【答案】(1）作图见解析； (2)； (3)，. 【分析】（1）利用轴对称作出图像。 （2）在所求函数图像上任取点（，利用轴对称求出解析式。 （3）结合（2）中信息，解一元二次不等式即可得解。 【详解】（1）利用轴对称作出函数的图像，如图： （2）在函数的图像上任取点（， 因为函数的图像与的图像关于轴对称， 点（关于轴的对称点（必在函数的图像上， 则， 所以的解析式为. （3）由，得，解得； 由及（2），得，解得， 所以当时，的取值范围是；当时，的取值范围是. 10．【答案】(1) （2）答案见解析 (3) 【分析】（1）根据定义，先解，进而求解； （2）由（1）结合分段函数定义域可得函数图像； （3）根据分段函数，分类讨论，即可求解。 【详解】（1）， 则或. 则 （2）由（1）可得图像如下： （3）当时，，即，所以； 当时，，即，所以； 当时，，即，所以 综上所述：. 【题型三】分段函数函数值及分段函数值求参数 1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】D 4.【答案】D 5.【答案】D 6.【答案】D 7.【答案】C 8.【答案】AC 9.【答案】AC 10.【答案】ACD 【题型四】解分段函数不等式及最值求参 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】A 5.【答案】D 6.【答案】D 7.【答案】A 8.【答案】CD 9.【答案】BCD 10.【答案】ACD 【题型五】待定系数法求解析式 1.【答案】A 2.【答案】B 3. 【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】B 6.【答案】C 7.【答案】A 8.【答案】AB 9.【答案】BC 10.【答案】ABC 【题型六】换元法或配凑法求解析式 1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】A 6.【答案】A 7.【答案】D 8.【答案】BCD 9.【答案】ABD 10.【答案】ACD 【题型七】构造方程组求解析式 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】D 7.【答案】C 8.【答案】ABC 9.【答案】AC 10.【答案】BD 【题型八】抽象函数赋值法求解析式 1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】C 5.【答案】C 6.【答案】D 7.【答案】D 课时精练 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】A 6.【答案】D 7.【答案】D 8.【答案】B 9.【答案】B 10.【答案】ABD 11.【答案】ACD 12.【答案】BCD 13.【答案】 2 【分析】第一个问题通过图像找函数值计算即可；第二个问题通过的对应关系去解不等式即可。 【详解】由图知：，所以； 由题知：函数的全部对应关系如表中所示， 所以时，或， 故不等式的解集为｛. 故答案为：2；｛ 14.【答案】 【分析】令求出，即可得对应的函数值。 【详解】令，可得，所以. 故答案为： 15.【答案】 （只需满足即可） 【分析】当时，化简函数的解析式，分别求出在、上的值域，即可得出函数的值域；分析可知，讨论不符合题意，则，可知函数在、上都单调，分别求出方程在和时的解，可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围。 【详解】当时，， 当时，， 当时，. 故当时，函数的值域为； 由题意可知， 当时，， 当时，由可得， 当时，恒成立，此时无解， 故当时，方程有且只有一个实数解，不合乎题意； 因为函数在上单调递增， 当时，函数在上单调， 因为方程有两个不同的解，所以方程在和时各有一解， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以，解得， 综上所述，. 故实数a的一个取值可以是（只需满足即可）。 16.【答案】图像见解析 【分析】先作的图像，保留轴上方的图像，把轴下方的图像对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位，即得到的图像。 【详解】先作函数的图像，保留轴上方的图像，把轴下方的图像对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位， 即得到的图像，如下图所示： 17.【答案】(1）答案见解析，最大值为 (2)或 【分析】（1）由解析式即可画出图像，由图即可得最大值； （2）分、及讨论即可得。 【详解】（1）根据分段函数的解析式， 画出函数的图像如图：    由图可得，当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 18.【答案】(1) (2) （3）当时，取得最小值为. 【分析】（1）利用十字形地域的面积表达式，可求得关于的函数解析式； （2）分别求出三部分造价并相加即可得出关于的函数表达式； （3）利用基本不等式可求得当时，取得最小值为. 【详解】（1）根据题意可知十字形地域的面积为4个阴影部分面积加上一个正方形的面积， 因此，即，因为，所以； 可知. （2）由题意可知正方形的造价为元， 花岗岩地坪造价为， 草坪造价为； 所以总造价. 因此关于的函数关系式为； （3）易知; 当且仅当时，即时，等号成立； 因此当时，取得最小值为. 19.【答案】(1) (2)①若；②；③ (3) 【分析】（1）换元法即可求解； （2）因式分解，再讨论根的大小即可； （3）按照二次项系数是否为零，分情况讨论即可。 【详解】（1）因为，令则，化简得，所以. （2）即，即，即，当时； 当； 当 综上：当时原不等式的解集为； 当时原不等式的解集为； 当时原不等式的解集为. （3）由题意得恒成立， 当时显然成立； 当，即，解得. 综上：的取值范围是 20.【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出的值，再令，求出即可； （2）令，即可求出的解析式； （3）令，得到，再运用均值不等式即可求出。 【详解】（1）令，则，即， 解得或， 当时，令，则，即（舍去）， 当时，令，则， 又，， . （2）令，得， 即， 故的解析式为. （3）由题意得，， 令，，，， ，. , 当且仅当，即时等号成立。 此时，解得. 故的最小值为. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 函数的表示方法 【题型一】解析法、列表法和图像法表示函数 2 【题型二】常见函数及分段函数的图像 5 【题型三】分段函数函数值及分段函数值求参数 9 【题型四】解分段函数不等式及最值求参 10 【题型五】待定系数法求解析式 12 【题型六】换元法或配凑法求解析式 13 【题型七】构造方程组求解析式 15 【题型八】抽象函数赋值法求解析式 17 【基础回顾】 知识点 1: 函数的表示方法 （1）解析式法： 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 优点：① 简明、全面概括了变量间的关系；②利用解析式可求任意函数值。 缺点：不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式。 （2）列表法：列表格来表示两个变量之间的对应关系。 优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值； 缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。 （3）图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系。 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。 知识点 2: 分段函数 若函数在其定义域内， 对于定义域内的不同取值区间， 有着不同的对应关系， 这样的函数通常叫作分段函数。 分段函数的定义域是每个函数的定义域的并集， 分段函数的值域是每个函数值域的并集。 注意： 分段函数是一个函数而不是几个函数。 知识点 3: 求函数解析式的方法 （1）待定系数法 若已知函数的类型 （如一次函数、二次函数等）， 可用待定系数法。 （2）配凑法 由已知条件 ，可将 改写成关于 的表达式，然后以 替代 ，便得 的解析式。 （3）换元法 主要用于解决已知 的解析式，求函数 的解析式的问题。 （与配凑法相似） （4）构造方程组法 主要解决已知 与 、 、 的方程，求 解析式。 （5）抽象函数赋值法 针对没有具体解析式，通过赋特殊值，达到消元的目的，使其转化为只关于 的表达式，进而求出解析式。 【题型一】解析法、列表法和图像法表示函数 1.（25-26高一上·河南·月考）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 2.（25-26高一上·广西·期中）根据表中数据，可得（    ） 10 11 12 13 12 11 10 12 A．12 B．10 C．11 D．13 3.（25-26高一上·安徽宿州·期中）用列表法表示函数与函数，如下表所示，若，则的值不可能为（   ） 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 A． B． C． D． 4.（25-26高一上·广东广州·期中）如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图像大致是（     ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·河南漯河·月考）周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 （学校） 的距离 与时间 的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高三·全国·一轮复习）所给4个图像中，与下列所给3件事吻合最好的顺序为（   ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； （2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进。 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．④①② 7.（2025高二下·湖南·学业考试）一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（  ）（默认） A． B． C． D． (多选）8．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． （多选）9．（25-26高一上·辽宁·月考）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图像是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 （多选）10．（25-26高一上·陕西汉中·期末）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示。某天从到，该水池的蓄水量如图丙所示，则下列说法正确的有（    ） A．到只进水不出水 B．到不进水只出水 C．到有一个进水口关闭 D．到不进水不出水 【题型二】常见函数及分段函数的图像 描点法作函数图像的注意点： 1. 画函数图像时首先关注函数的定义域； 2. 要标出某些关键点， 例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等， 要分清这些关键点是实心点还是空心圈。 分段函数处理方法是在相应的定义域内画出相应的函数图像， 对于含绝对值的函数， 往往采用零点分段法 （在解绝对值不等式中有介绍），进行分类讨论，从而将绝对值转化为简单的不等式组。 进而画出相应的函数图像。 1．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知函数    （1）在答题卡中相应的位置画出的图像； （2）若在上的值域为，求的取值范围。 2.（25-26高一上·新疆昌吉·期末）如图，梯形是直角梯形，．记梯形位于直线左侧的图形的面积为．试求函数的解析式，并画出函数的图像。 3.（25-26高一上·四川眉山·期中）已知函数． （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图像（不写画法），写出该函数的定义域、值域。 4．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数    （1）在所给坐标系中，画出的图像。 （2）求，的值。 (3）若，，，求. 5．（25-26高一上·天津宝坻·月考）已知函数 (1）求，的值； (2）若，求的值； （3）在给定的坐标系中画出此函数的图像，并根据图像写出函数的值域（无需写出理由）。 6.（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图像： (1); (2). 7.（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知二次函数满足且． （1）求的解析式； （2）画出函数的简图并求出该函数的值域。 8.（25-26高一上·陕西宝鸡·月考）已知函数    (1）求 （2）若，求实数的值； （3）作出函数在区间内的图像。 9.（25-26高一上·西藏昌都·期中）已知函数的图象如图所示，另一个函数的图像与的图像关于轴对称。 （1）在坐标系中作出函数的图像； （2）求的解析式； （3）分别求、时的取值范围。 10．（25-26高一上·浙江·期中）定义运算，函数. （1）写出的解析式； （2）在坐标系中画出的图像 （3）若时恒成立，求实数的取值范围。 【题型三】分段函数函数值及分段函数值求参数 分段求解是解决分段函数问题的基本原则； 求 的值时，要先判断 属于定义域中的 “哪段”，然后再代入相应的解析式求解。 1．（25-26高一上·山东德州·期末）设函数，则（　　 ） A． B． C． D． 2.（2026高二上·北京·学业考试）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．3 D． 3．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数，则（    ） A．1 B． C．0 D． 4．（25-26高一上·湖南张家界·期中）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5.（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C． D．1或 6．（25-26高一上·江西九江·期末）已知函数若，则（   ） A．或1 B．或0 C．或0 D．或 7．（25-26高一上·河南·期末）设函数，若，则（    ） A．0或3 B．2或4 C．0或4 D．3或4 （多选）8．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数，则的解是（   ） A．-1 B．0 C．2 D．3 （多选）9．（25-26高一上·河南信阳·期中）已知函数，若，求实数的值（    ） A．0 B．-2 C．2 D．1 （多选）10．（25-26高一上·安徽滁州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【题型四】解分段函数不等式及最值求参 有关分段函数的不等式问题， 要先按照分段函数的 “分段” 进行分类讨论， 从而将问题转化为简单的不等式组来解。最值求参，要画出分段函数的图像观察。 1.（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·四川凉山·期中）已知函数，若恰有8个整数解，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·北京·期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（2025高三·全国·专题练习）设函数，使得的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6.（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7.（天津市和平区2025-2026学年高三年级第二学期第二次质量调查数学科试卷）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·江西赣州·月考）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，则 C．的解集为 D．，则 （多选）9．（25-26高二上·吉林·月考）已知函数，且，则（    ） A．的值域为 B．不等式的解集为 C． D． （多选）10．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若为上的增函数，则a的值可以为1 C．当时，函数的单调递增区间为和 D．若的值域为，则a的取值范围为 【题型五】待定系数法求解析式 若已知函数的类型 （如一次函数、二次函数等）， 可用待定系数法。 （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 1.（2026高三·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏·月考）已知常数，函数的图像经过点，若，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3.（25-26高一上·四川泸州·期中）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 4.（25-26高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·天津滨海新·月考）已知函数为一次函数，且，，则（   ） A． B．11 C． D．15 6.（25-26高一上·山东枣庄·月考）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 7.（25-26高一上·全国·单元测试）已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·广东广州·期中）下列说法正确的有（    ） A．若二次不等式恒成立，则实数a的取值范围为 B．函数的定义域是 C．函数的值域为 D．已知是一次函数且，则 （多选）9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列各选项给出的命题中，正确的有（   ） A．的解集为 B．已知的定义域为，则的定义域为 C．化简结果为 D．若为一次函数，满足，则 （多选）10．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列说法正确的有（  ） A．已知，则 B．定义在上的函数满足，则 C．已知一次函数满足，则或 D．已知，则 【题型六】换元法或配凑法求解析式 换元法：主要用于解决已知 的解析式，求函数 的解析式的问题。 （1）先令 ，注意分析 的取值范围； （2）反解出 ，即用含 的代数式表示 ; （3）将 中的 替换为 的表示，可求得 的解析式，从而求得 . 配凑法：由已知条件 ，可将 改写成关于 的表达式，然后以 替代 ，便得 的解析式。 1．（25-26高三·全国·二轮复习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高一上·全国·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一·全国·寒假作业）设函数，记，，…，，则（ ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·福建三明·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）若，则（    ） A． B． C． D．11 7.（25-26高一上·贵州六盘水·期中）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·云南昆明·期中）下列叙述正确的是（    ） A．两个函数，表示的是同一个函数 B．函数的值域为 C．已知幂函数过点，则 D．若函数，则 （多选）9．（25-26高一上·山东济南·月考）已知函数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当时，在上单调递增 （多选）10．（25-26高一上·广东·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．已知，则 【题型七】构造方程组求解析式 主要解决已知 与 、 、 的方程，求 解析式。 若条件是关于 与 的条件（或者与 ）的条件，可把 代为 （或者把 代为 ）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 . 1.（25-26高一上·重庆·月考）定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2.（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数的定义域为R，且对，则（   ） A． B． C． D．3 3.（25-26高一上·山东聊城·期中）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·重庆·期中）若函数，满足，且，则（   ） A． B．6 C．7 D． 5．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数满足，，且，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 6.（25-26高一上·河北沧州·月考）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 7.（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数满足，则等于（    ） A． B．1 C．5 D．9 （多选）8．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的有（   ） A．若二次不等式恒成立，则实数的取值范围为（ B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的值域为（ D．定义在上的函数满足，则 （多选）9．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·月考）下列说法正确的有（ ） A．函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．若函数，则 D．函数满足，则 （多选）10．（25-26高一上·江苏南京·期中）下列命题为真命题的是（ ） A．命题“”的否定是“” B．“”是“”的必要不充分条件 C．二次函数的零点为（和（ D．已知函数满足，则 【题型八】抽象函数赋值法求解析式 针对没有具体解析式，通过赋特殊值，达到消元的目的，使其转化为只关于 的表达式，进而求出解析式。 1.（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2.（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 3.（25-26高三上·河南·期中）已知定义在上的函数满足对任意恒成立，且，则（    ） A．200 B．210 C．110 D．220 4．（2025高三·全国·专题练习）若函数满足对任意，都有，且，则（    ） A．4032 B．4036 C．4039 D．4042 5.（2025·陕西西安·模拟预测）已知表示不小于x的最小整数，如，，已知定义在R上的函数满足，，，且，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 6.（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，，则等于（    ） A．33 B．32 C．31 D．30 7．（25-26高一上·浙江·月考）已知函数满足，若，则（    ） A．128 B．4096 C．8192 D．16384 课时精练 一、单选题 1.（25-26高一上·湖南永州·期中）下列命题正确的是（   ）。 A．是函数 B．与是相同函数 C．设集合，，则右图是从集合到集合的一个函数   D．函数的图像与直线的交点最多有1个 2.（25-26高一上·河南信阳·期中）若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 3．（2027高三·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高三上·广东佛山·月考）设，其中及都是非零常数。若，则（　　） A． B． C．2 D．7 5．（25-26高一上·重庆·期中）设函数满足等式，则的值域为（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高一上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·贵州·期中）已知函数，则（   ） A． B．方程的解集为 C．定义域为 D．值域为 8.（25-26高一下·重庆·月考）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9.（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （多选）10．（25-26高一上·江西·期中）与的对应关系如下表所示，则（    ） 100 200 300 400 A． B．的定义域是 C．在定义域内单调递增 D．的值域是 （多选）11．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数，则（　　） A． B．在上单调递减 C．的最大值为2 D．的解集为 （多选）12．（25-26高一上·浙江杭州·期中）设，若满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13.（25-26高一上·北京·期中）已知函数的全部对应关系如下表，函数的图像是如图所示的曲线，其中，则__________，不等式的解集为__________. 1 2 3 2 3 0    14.（25-26高一上·天津南开·月考）若函数，则_____。 15.（2026·北京石景山·一模）设函数，当时，的值域为______；若方程有两个不同的解，则实数的一个取值可以是______. 四、解答题 16.（2025高一上·全国·专题练习）作出函数的图像。 17.（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数的解析式为.    （1）画出这个函数的图像，并写出的最大值； （2）解不等式； 18.（25-26高一上·浙江杭州·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个全等的矩形和构成的面积为的十字形地域。计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元．设长为（单位：m） （1）设长为（单位：m），求出关于的函数解析式； （2）设总造价为（单位：元），求出关于的函数关系式； （3）当为何值时，总造价最小，并求出这个最小值。 19.（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知 （1）求函数的解析式。 （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若，成立，求的取值范围。 20.（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数的定义域为R，且，若. （1）求的值； （2）求的解析式； (3）已知，，求的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 函数的表示方法 【题型一】解析法、列表法和图像法表示函数 2 【题型二】常见函数及分段函数的图像 8 【题型三】分段函数函数值及分段函数值求参数 20 【题型四】解分段函数不等式及最值求参 24 【题型五】待定系数法求解析式 30 【题型六】换元法或配凑法求解析式 35 【题型七】构造方程组求解析式 39 【题型八】抽象函数赋值法求解析式 44 【基础回顾】 知识点 1: 函数的表示方法 （1）解析式法： 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 优点：① 简明、全面概括了变量间的关系；②利用解析式可求任意函数值。 缺点：不够形象、直观，而且并不是所有函数都有解析式。 （2）列表法：列表格来表示两个变量之间的对应关系。 优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值； 缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。 （3）图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系。 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。 知识点 2: 分段函数 若函数在其定义域内， 对于定义域内的不同取值区间， 有着不同的对应关系， 这样的函数通常叫作分段函数。 分段函数的定义域是每个函数的定义域的并集， 分段函数的值域是每个函数值域的并集。 注意： 分段函数是一个函数而不是几个函数。 知识点 3: 求函数解析式的方法 （1）待定系数法 若已知函数的类型 （如一次函数、二次函数等）， 可用待定系数法。 （2）配凑法 由已知条件 ，可将 改写成关于 的表达式，然后以 替代 ，便得 的解析式。 （3）换元法 主要用于解决已知 的解析式，求函数 的解析式的问题。 （与配凑法相似） （4）构造方程组法 主要解决已知 与 、 、 的方程，求 解析式。 （5）抽象函数赋值法 针对没有具体解析式，通过赋特殊值，达到消元的目的，使其转化为只关于 的表达式，进而求出解析式。 【题型一】解析法、列表法和图像法表示函数 1.（25-26高一上·河南·月考）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义求值即可。 【详解】因为，所以． 故选：C． 2.（25-26高一上·广西·期中）根据表中数据，可得（    ） 10 11 12 13 12 11 10 12 A．12 B．10 C．11 D．13 【答案】A 【分析】根据表先计算出，然后可得的结果。 【详解】由表中数据可知，，所以， 故选：A. 3.（25-26高一上·安徽宿州·期中）用列表法表示函数与函数，如下表所示，若，则的值不可能为（   ） 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的表格找出满足时的取值，再根据的表格求出当取这些值时的取值，最后判断选项。 【详解】观察的表格： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以满足的取值为； 当时，由表格可知； 当时，由表格可知； 当时，由表格可知； 所以的值可以是，或. 故选：C. 4.（25-26高一上·广东广州·期中）如图，为直角梯形，，，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图像大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，当时，，则， 当时，， 所以，显然只有C满足。 5.（25-26高一上·河南漯河·月考）周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 （学校） 的距离 与时间 的函数图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同，直接确定对应函数图像即可。 【详解】第一段时间，该同学骑行共享单车由学校往漯湾古镇方向匀速骑行，前进了，则该同学离起点（学校）的距离与时间的函数图像应是一段上升的线段； 第二段时间休息了半小时，随时间变化，该同学离起点的距离并没有发生变化，因此该同学离起点（学校）的距离与时间的函数图像应是一条平行于x轴的线段； 第三段时间，原路返回，其距离起点应越来越近，因此该同学离起点（学校）的距离与时间的函数图像应是一段下降的线段； 第四段时间，调转车头继续向漯湾古镇方向前进，该部分对应的图像应和第一段时间的相似； 因此只有C选项符合。 故选：C. 6.（25-26高三·全国·一轮复习）所给4个图像中，与下列所给3件事吻合最好的顺序为（   ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学； （2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进。 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．④①② 【答案】D 【分析】先逐一分析各事件对应的距离和时间的关系，找出与之相对应的图像，再根据事件的顺序对相应的图像进行排序，从而判断选项。 【详解】事件（1）：离开家返回家找作业本上学，距离变化为“上升下降为0保持为0上升”，对应图像为④； 事件（2）：匀速行驶堵车继续匀速行驶，距离变化为“匀速上升水平不变匀速上升”，对应图像为①； 事件（3）：缓缓加速，速度逐渐增大，距离关于时间的曲线斜率（速度）递增，对应图像为②； 综上，与所给3件事吻合最好的顺序为④①②，故D正确。 故选：D． 7.（2025高二下·湖南·学业考试）一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（  ）（默认） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的周长可列出之间的关系式，求出x的范围，即得答案。 【详解】由题意可得，则， 其中，则，则， 故矩形的长关于宽的函数解析式为. 故选：A (多选）8．（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定的函数式，逐项计算判断即可。 【详解】对于AB，，A正确，B错误； 对于CD，由，得，C错误，D正确。 故选：AD （多选）9．（25-26高一上·辽宁·月考）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图像是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据函数的定义，结合函数表格与函数图像，运用枚举法逐一判断即可。 【详解】对于A：当时，，不符合题意，故A错误； 对于B：当时，，符合题意，故B正确； 对于C：当时，，不符合题意，故C错误； 对于D：当时，，符合题意，故D正确， 故选：BD. （多选）10．（25-26高一上·陕西汉中·期末）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示。某天从到，该水池的蓄水量如图丙所示，则下列说法正确的有（    ） A．到只进水不出水 B．到不进水只出水 C．到有一个进水口关闭 D．到不进水不出水 【答案】AC 【分析】根据图甲、图乙得到进水速度和出水速度，再结合图丙中不同时间段蓄水量的变化情况，对每个选项分析判断。 【详解】由甲、乙两图可得进水速度为1，出水速度为2， 由图丙知到的蓄水量为，即每小时的进水量为， 所以到只进水不出水，A正确； 由图丙知，到蓄水量减少了， 所以有一个进水口进水，同时出水口出水，即有一个进水口关闭，故B错误，C正确； 由图丙知，到蓄水量不变，所以可能是不进水也不出水， 也可能是2个进水口进水，同时1个出水口出水，故D错误。 故选：AC. 【题型二】常见函数及分段函数的图像 描点法作函数图像的注意点： 1. 画函数图像时首先关注函数的定义域； 2. 要标出某些关键点， 例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等， 要分清这些关键点是实心点还是空心圈。 分段函数处理方法是在相应的定义域内画出相应的函数图像， 对于含绝对值的函数， 往往采用零点分段法 （在解绝对值不等式中有介绍），进行分类讨论，从而将绝对值转化为简单的不等式组。 进而画出相应的函数图像。 1．（25-26高一上·江西南昌·期末）已知函数    （1）在答题卡中相应的位置画出的图像； （2）若在上的值域为，求的取值范围。 【答案】(1）作图见解析 (2) 【分析】（1）根据二次函数的图像及分段函数画出图像； （2）根据端点值和单调性，再结合图像分析求解范围即可。 【详解】（1）画出的图像，如图所示。    (2),,. 因为在上的值域为， 所以结合图像可得，即的取值范围为. 2.（25-26高一上·新疆昌吉·期末）如图，梯形是直角梯形，．记梯形位于直线左侧的图形的面积为．试求函数的解析式，并画出函数的图像。 【答案】，图像见解析。 【分析】分，以及讨论并写成分段函数形式即可。 【详解】当时，设直线与线段分别交于点， 因为，则， 设直线的方程为，代入得， 则直线的方程为，则， 此时. 当时，设直线与线段分别交于点， 则，，， 则， 当时，此时. 则函数的解析式为. 做出函数图像如下： 3.（25-26高一上·四川眉山·期中）已知函数． （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图像（不写画法），写出该函数的定义域、值域。 【答案】(1)； (2) 图像见解析，定义域为，值域为. 【详解】（1）当， ；当，. 故； （2） 根据函数图像可知：函数定义域为，值域为. 4．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数    （1）在所给坐标系中，画出的图像。 （2）求，的值。 (3）若，，，求. 【答案】(1）答案见解析； (2); (3). 【分析】（1）分段做出函数图像即可； （2）利用分段函数求函数值即可； （3）利用范围求函数值，列方程组即可求解。 【详解】（1）作出函数的图象如图所示：    (2), （3）因为，所以， 即， 又因为，所以，即， 消元得：， 解得或，因为，所以. 5．（25-26高一上·天津宝坻·月考）已知函数 (1）求，的值； (2）若，求的值； （3）在给定的坐标系中画出此函数的图像，并根据图像写出函数的值域（无需写出理由）。 【答案】(1)， (2)或4 （3）作图见解析，值域为 【分析】（1）根据自变量的范围代入对应的解析式即可求解； （2）分类讨论的范围即可； （3）画出分段函数的图像，数形结合即可求出值域。 【详解】（1）因为函数， 所以，， 所以； （2）①当时，， 解得，不满足，故舍去； ②当时，，解得， 又因为，所以， ③当时，，解得， 综上所述，的值为或4； （3）函数的图像，如下图所示： 由图像可知，函数的值域为． 6.（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图像： (1); (2). 【答案】(1）作图见解析； （2）作图见解析。 【分析】（1）（2）写出函数的分段形式，再结合一次函数、二次函数的性质画出函数图像。 【详解】（1）由，其函数图像如下， （2）由， 所以函数在（上单调递减，在（上单调递增，函数图像如下， 7.（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知二次函数满足且． （1）求的解析式； （2）画出函数的简图并求出该函数的值域。 【答案】(1) (2) 值域. 【分析】（1）设，利用待定系数法，求出a，b的值，根据，可得c值，即可得答案。 （2）由（1）可得解析式，分别求出和的解析式，根据一次函数的单调性，可得的值域，作出图像即可。 【详解】（1）由题意，设， 则， 整理得，即， 则，解得， 又，所以. （2）由（1）得，定义域为R， 当时，，单调递减，所以； 当时，，单调递增，所以， 综上，的值域为， 的图像如图， 8.（25-26高一上·陕西宝鸡·月考）已知函数    (1）求 （2）若，求实数的值； （3）作出函数在区间内的图像。 【答案】(1) (2)或0 （3）答案见解析 【分析】（1）根据分段函数计算函数值； （2）分段应用函数值得出自变量； （3）根据解析式做出函数图像。 【详解】（1）； （2）当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍）， 综上可得或0； （3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图像性质做出函数图像如下所示：    9.（25-26高一上·西藏昌都·期中）已知函数的图象如图所示，另一个函数的图像与的图像关于轴对称。 （1）在坐标系中作出函数的图像； （2）求的解析式； （3）分别求、时的取值范围。 【答案】(1）作图见解析； (2)； (3)，. 【分析】（1）利用轴对称作出图像。 （2）在所求函数图像上任取点（，利用轴对称求出解析式。 （3）结合（2）中信息，解一元二次不等式即可得解。 【详解】（1）利用轴对称作出函数的图像，如图： （2）在函数的图像上任取点（， 因为函数的图像与的图像关于轴对称， 点（关于轴的对称点（必在函数的图像上， 则， 所以的解析式为. （3）由，得，解得； 由及（2），得，解得， 所以当时，的取值范围是；当时，的取值范围是. 10．（25-26高一上·浙江·期中）定义运算，函数. （1）写出的解析式； （2）在坐标系中画出的图像 （3）若时恒成立，求实数的取值范围。 【答案】(1) （2）答案见解析 (3) 【分析】（1）根据定义，先解，进而求解； （2）由（1）结合分段函数定义域可得函数图像； （3）根据分段函数，分类讨论，即可求解。 【详解】（1）， 则或. 则 （2）由（1）可得图像如下： （3）当时，，即，所以； 当时，，即，所以； 当时，，即，所以 综上所述：. 【题型三】分段函数函数值及分段函数值求参数 分段求解是解决分段函数问题的基本原则； 求 的值时，要先判断 属于定义域中的 “哪段”，然后再代入相应的解析式求解。 1．（25-26高一上·山东德州·期末）设函数，则（　　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数， . 2.（2026高二上·北京·学业考试）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 3．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的解析式和自变量的范围计算函数值即可。 【详解】. 故选：D 4．（25-26高一上·湖南张家界·期中）已知函数，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】设，则，根据分段函数分类讨论计算推得，再由，同法讨论计算即得的值。 【详解】设，则， 当时，，不合题意； 当时，由，解得，不合题意； 当时，由，解得，因，则， 即，若，则，不合题意； 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得，不合题意。 综上，可得. 故选：D. 5.（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C． D．1或 【答案】D 【分析】根据分段函数的定义，分与两种情况讨论即可求解。 【详解】当时，，得到，负根舍去； 当时，，得到，符合题意； 综上所述，或. 故选：D 6．（25-26高一上·江西九江·期末）已知函数若，则（   ） A．或1 B．或0 C．或0 D．或 【答案】D 【分析】令，可得或，结合的取值范围分析求解。 【详解】令，则，若，则，解得， 若，则，解得， 故或， 当时，，与或矛盾， 故，所以， 所以或，解得或. 故选：D. 7．（25-26高一上·河南·期末）设函数，若，则（    ） A．0或3 B．2或4 C．0或4 D．3或4 【答案】C 【分析】由得，分，，三种情况求得或，代入分段函数计算即可求解。 【详解】因为函数， 若，则，解得， 当时，， 若，则，解得； 当时，， 若，则，解得或（舍去）； 当时，， 若，则，此时无解， 综上，实数或， 当时，，当时，， 所以或. 故选：C （多选）8．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数，则的解是（   ） A．-1 B．0 C．2 D．3 【答案】AC 【分析】讨论的取值，然后得到对应方程，并求解即可得结果。 【详解】因为， 所以，当时，，即， 当时，，即， 故选：AC. （多选）9．（25-26高一上·河南信阳·期中）已知函数，若，求实数的值（    ） A．0 B．-2 C．2 D．1 【答案】AC 【分析】分和两种情况求解即可。 【详解】因为， 当时，解得，符合题意； 当时，解得，又，所以. 综上所述或. 故选：AC. （多选）10．（25-26高一上·安徽滁州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则的值是或 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】A：根据自变量所对应范围直接计算出函数值；B：分类讨论求解出自变量的值；C：分别求解出两段函数的值域，然后取并集可得结果；D：分别计算出每段函数所对应不等式的解集，然后取并集可得结果。 【详解】对于A：因为，故正确； 对于B：当时，，解得（舍去）； 当时，，解得或（舍去）， 所以的值是，故错误； 对于C：当时，；当时，， 且，所以的值域为，故正确； 对于D：当时，，解得； 当时，，解得， 所以不等式的解集是，故正确； 故选：ACD. 【题型四】解分段函数不等式及最值求参 有关分段函数的不等式问题， 要先按照分段函数的 “分段” 进行分类讨论， 从而将问题转化为简单的不等式组来解。最值求参，要画出分段函数的图像观察。 1.（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的特点，分段列不等式求解最后取并集即可。 【详解】当时，， 令，即，解得（舍去）或； 当时，， 令，即，解得. 综上，的x的取值范围是. 2.（25-26高一上·四川凉山·期中）已知函数，若恰有8个整数解，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图像，根据图像分析求解。 【详解】由，作出其图像如下图， 令，得和； 令，得， ，； 令，得，，； 令，得，，； 当时，满足有9个整数解； 当时，满足有8个整数解； 当时，满足有7个整数解； 所以恰有8个整数解的的取值范围为. 故选：C.    3.（25-26高一上·北京·期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合，作出两个函数图像，再对其定义域讨论分析即可。 【详解】作出函数的图像，如下图：    可求得两图像交点坐标分别为， 当时，解得， 所以当时，由在定义域的值域是， 但是当时，由在定义域的值域就是的真子集， 而此时在定义域的值域为， 此时不满足题意，故AC错误； 又当，解得或 再当时，在定义域的值域为， 而在定义域的值域就是， 此时满足题意，故B错误，D正确； 故选：D. 4.（2025高三·全国·专题练习）设函数，使得的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况解不等式即可得解。 【详解】当时，，即显然恒成立，所以； 当时，，解得； 综上，的取值范围是． 故选：A. 5.（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可。 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 6.（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出和时，的解集，综合即可得答案。 【详解】当时，，得，则，不符合题意； 当时，，则， 解得或，则或， 综上，不等式的解集为. 7.（天津市和平区2025-2026学年高三年级第二学期第二次质量调查数学科试卷）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的解析式，再分、两种情况解不等式即可。 【详解】解：由，则， ，解得， ，解得， 综上，不等式的解集是． （多选）8．（25-26高一上·江西赣州·月考）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，则 C．的解集为 D．，则 【答案】CD 【分析】对于A，代入计算函数值即可判断；对于B，分为和分别解出即可判断；对于C，分为和分别解不等式即可判断；对于D，求出的值域即可判断。 【详解】对于A，，，所以，故A错误； 对于B，当时，，解得，符合题意， 当时，，解得或（舍去）， 所以若，则或，故B错误； 对于C，当时，，解得， 当时，，解得或（舍去）， 所以的解集为，故C正确； 对于D，当时，在上单调递增，则， 当时，在上单调递减，则， 综上，， 若，则，故D正确。 故选：CD. （多选）9．（25-26高二上·吉林·月考）已知函数，且，则（    ） A．的值域为 B．不等式的解集为 C． D． 【答案】BCD 【分析】作出函数的图像，即可看出函数的值域可判断A；求出时的解，即可根据图像写出不等式的解集可判断B；令，根据函数图像即可得出a，b，c的关系和取值范围，可判断CD. 【详解】作出函数的图像如下图所示： 对于A，由图知函数的值域为，A错误； 对于B，当时，有或，解得，，， 因此不等式的解集为，B正确； 对于C，令，则为函数和直线交点的横坐标， 由图知a，b关于对称，则，即，C正确； 对于D，为函数和直线交点的横坐标，由图知，而， 因此，而，D正确。 故选：BCD （多选）10．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若为上的增函数，则a的值可以为1 C．当时，函数的单调递增区间为和 D．若的值域为，则a的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A：根据分段函数的解析式，代入值，可得答案；对于B：根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案；对于C：根据复合函数的单调性分析判断；对于D：根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案。 【详解】因为函数， 对于选项A：可得，则，解得，故A正确； 对于选项B：若在上单调递增，则，解得， 显然，故B错误； 对于选项C：若，则函数， 当时，令，解得，且在内单调递增； 当时，则，且在内单调递增； 则函数的定义域为，且在定义域内单调递增， 所以函数的单调递增区间为和，故C正确； 对于选项D：若的值域为，则，得在上单调递增。 当时，则在上单调递增， 可得，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，可得恒成立，符合题意； 综上所述：的取值范围为，D正确。 故选：ACD. 【题型五】待定系数法求解析式 若已知函数的类型 （如一次函数、二次函数等）， 可用待定系数法。 （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 1.（2026高三·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论。 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误。 故选：A. 2．（25-26高三上·江苏·月考）已知常数，函数的图像经过点，若，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】将点代入函数解析式，得，整理得，再结合求得即可。 【详解】因为函数的图像经过点 所以，整理得，即， 所以，又，代入得，， 又，所以. 故选：B 3.（25-26高一上·四川泸州·期中）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解。 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 4.（25-26高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案。 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 5.（25-26高一上·天津滨海新·月考）已知函数为一次函数，且，，则（   ） A． B．11 C． D．15 【答案】B 【分析】先求出函数的解析式，再计算. 【详解】设，则，解得， 所以，. 故选：B. 6.（25-26高一上·山东枣庄·月考）若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法可求答案。 【详解】令，则， 即为， 所以. 故选：C. 7.（25-26高一上·全国·单元测试）已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求解。 【详解】由为一次函数，设， 依题意，，整理得， 因此，解得，所以． 故选：A （多选）8．（25-26高一上·广东广州·期中）下列说法正确的有（    ） A．若二次不等式恒成立，则实数a的取值范围为 B．函数的定义域是 C．函数的值域为 D．已知是一次函数且，则 【答案】AB 【分析】对于A，根据一元二次不等式恒成立的条件求解即可；对于B，根据函数有意义的条件即可求出定义域；对于C，求出，进而求出函数的值域；对于D，利用待定系数法即可求出的解析式。 【详解】对于A，由于二次不等式恒成立， 由于是二次不等式，所以， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为，故A正确； 对于B，令，解得且， 所以函数的定义域是，故B正确； 对于C，，故， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，因为是一次函数，故设， 由题意得，， 即， 所以，解得， 所以，故D错误。 （多选）9．（25-26高一上·浙江杭州·期中）下列各选项给出的命题中，正确的有（   ） A．的解集为 B．已知的定义域为，则的定义域为 C．化简结果为 D．若为一次函数，满足，则 【答案】BC 【详解】选项A,分式不等式等价于， 解得，故A错误； 选项B，已知定义域为（，则满足，解得，故B正确； 选项C，由二次根式有意义得，即， 因此： ，故C正确。 选项D，设一次函数， 则， 可得方程组： ，解得或， 即或，故D错误。 （多选）10．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列说法正确的有（  ） A．已知，则 B．定义在上的函数满足，则 C．已知一次函数满足，则或 D．已知，则 【答案】ABC 【分析】直接求出的表达式判断A；利用方程组法求解析式判断B；利用待定系数法判断C；利用换元法判断D. 【详解】对于A：若，则，故A正确； 对于B：定义在上的函数满足①，故有②， 将①式②式，可得，解得，故B正确； 对于C：设一次函数，则：， 由，得：， 若，则，解得，即； 若，则，解得，即. 综上，则或，故C正确； 对于D：若，令， 则，故有， 综上，故D错误。 故选：ABC. 【题型六】换元法或配凑法求解析式 换元法：主要用于解决已知 的解析式，求函数 的解析式的问题。 （1）先令 ，注意分析 的取值范围； （2）反解出 ，即用含 的代数式表示 ; （3）将 中的 替换为 的表示，可求得 的解析式，从而求得 . 配凑法：由已知条件 ，可将 改写成关于 的表达式，然后以 替代 ，便得 的解析式。 1．（25-26高三·全国·二轮复习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，，代入化简即可求解。 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将代入函数解析式计算得解。 【详解】将代入， 得到，解得. 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得，表示出即可得到的解析式。 【详解】令，则，， ∴, ∴． 故选：B． 4．（25-26高一·全国·寒假作业）设函数，记，，…，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出前3项，归纳规律得出，进而得出答案并判断选项。 【详解】， ，， ,, ，， 观察前几项可得， ，，故A正确。 故选：A． 5.（25-26高一上·福建三明·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配方法，将化为，再结合换元法即可求得答案。 【详解】由题意知，即， 令，因为，故， 则可得， 故， 故选：A 6．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）若，则（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】利用换元法求得解析式为，即可求解。 【详解】由题意知，， 所以，则. 故选：A 7.（25-26高一上·贵州六盘水·期中）已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求出的解析式，即可求出的解析式。 【详解】因为，令，则， 所以，即， 由，所以， 所以. 故选：D （多选）8．（25-26高一上·云南昆明·期中）下列叙述正确的是（    ） A．两个函数，表示的是同一个函数 B．函数的值域为 C．已知幂函数过点，则 D．若函数，则 【答案】BCD 【分析】根据函数的定义域判断A，根据函数的单调性求值域判断B，利用待定系数法求出解析式判断C，利用换元法求解析式判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为且，函数的定义域为，二者定义域不同，故不是同一个函数，故A错误： 对于B，由函数的定义域为，且函数在定义域上单调递增可知，，即值域为，故B正确； 对于C，由幂函数过点，可得，即，所以，故C正确； 对于D，令，则，所以，故，故D正确。 故选：BCD. （多选）9．（25-26高一上·山东济南·月考）已知函数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当时，在上单调递增 【答案】ABD 【分析】应用换元法得出解析式判断A，再应用解析式计算求解B，C，根据解析式判断单调性判断D. 【详解】由题意，令，则，即，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，所以，故C错误； 当时，在上单调递增，故D正确。 故选：ABD． （多选）10．（25-26高一上·广东·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．已知，则 【答案】ACD 【分析】根据具体函数的定义域的求解判断A；利用同一函数的定义判断B；利用二次函数的性质先求，再求得的值域，判断C；利用换元法求解析式判断D. 【详解】对于A，由题意，得且， 则的定义域为，故A正确； 对于B，的定义域为的定义域为， 定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 对于C，因为，所以， 则函数的值域为，故C正确； 对于D，令，则， 所以， 函数的解析式为，故D正确。 故选：ACD. 【题型七】构造方程组求解析式 主要解决已知 与 、 、 的方程，求 解析式。 若条件是关于 与 的条件（或者与 ）的条件，可把 代为 （或者把 代为 ）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 . 1.（25-26高一上·重庆·月考）定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据，想到令得到关于与的方程组，解方程组得到抽象函数的解析式，进而可求函数值。 【详解】因为，① 令，可得.② ①②得，所以.所以. 故选：B. 2.（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数的定义域为R，且对，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】通过赋值法构造方程组，解方程组即可求解. 【详解】已知对， 令得：； 令得：. 由，解得：，即. 故选：C 3.（25-26高一上·山东聊城·期中）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在条件式中以替代，得，代入原条件式，再令，求得答案。 【详解】由，代替，得， , 令，得，解得. 故选：B. 4．（25-26高一上·重庆·期中）若函数，满足，且，则（   ） A． B．6 C．7 D． 【答案】D 【分析】利用方程组法计算函数解析式再求值即可。 【详解】由，可知，联立解得， 所以，则. 故选：D 5．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数满足，，且，则的最大值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】交换可得，进而可得再令可得，最后根据基本不等式可得答案。 【详解】，①。 则交换可得，, 化为② 由①②可得③， ③中令可得， 化简可得，当时等号成立， 所以的最大值等于． 故选：A 6.（25-26高一上·河北沧州·月考）已知函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程组法求解出的解析式。 【详解】因为，所以， 两式联立可得， 故选：D. 7.（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数满足，则等于（    ） A． B．1 C．5 D．9 【答案】C 【分析】应用赋值法计算求解。 【详解】令得， 令得， 联立解得. 故选：C. （多选）8．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的有（   ） A．若二次不等式恒成立，则实数的取值范围为（ B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．函数的值域为（ D．定义在上的函数满足，则 【答案】ABC 【分析】对于A选项，直接根据一元二次不等式恒成立的条件进行求解即可；对于B选项，直接根据抽象函数定义域的要求进行求解即可；对于C选项，首先根据的范围求解的取值范围，进而求解函数值域即可；对于D选项，直接根据方程组法求解解析式即可。 【详解】对于A，由于二次不等式恒成立， 由于是二次不等式，所以，因此可得：解得. 所以实数的取值范围为（，故A正确； 对于B，函数的定义域为，则， 得，因此函数的定义域为，故B正确； 对于C，已知，由二次函数性质得， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，将代入原式得， 由方程组，解得：，故D错误。 故选：ABC （多选）9．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·月考）下列说法正确的有（ ） A．函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．若函数，则 D．函数满足，则 【答案】AC 【分析】根据函数的定义和换元法、方程组法求解析式逐项判断即可。 【详解】对于A：由等价于， 解得：或， 所以函数的定义域为 ，故A正确； 对于B：的定义域为 ，的定义域为，定义域不相同， 所以和不是同一个函数，故B错误； 对于C： 对于C项，令，则，所以，所以，正确； 对于D：因为函数f（x）满足， 所以， 由，解得，故D错误； 故选：AC. （多选）10．（25-26高一上·江苏南京·期中）下列命题为真命题的是（ ） A．命题“”的否定是“” B．“”是“”的必要不充分条件 C．二次函数的零点为（和（ D．已知函数满足，则 【答案】BD 【分析】根据存在量词命题的否定的定义可判断A，根据充分性和必要性的概念可判断B，根据函数零点的定义解方程可判断C，利用换元法列方程组求解析式可判断D. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A为假命题； 对于B，若，则或，故充分性不成立；若，则，故必要性成立。 所以“”是“”的必要不充分条件，故B为真命题； 对于C，令，即， 解得或，所以二次函数的零点为和，故C为假命题； 对于D，因为①，所以②， 得，解得，故D为真命题。 故选：BD. 【题型八】抽象函数赋值法求解析式 针对没有具体解析式，通过赋特殊值，达到消元的目的，使其转化为只关于 的表达式，进而求出解析式。 1.（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得， 因为，所以， 则. 2.（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用置换求出，换元法研究的最大值。 【详解】因为，① 用置换得，② ①-②得. 设当时， 当时，可转化为函数， 又因为， 所以当时，，， 当时，，， 所以当，即时，取得最大值， 对应地，当时，取得最大值. 综上，函数的最大值为， 故选：A. 3.（25-26高三上·河南·期中）已知定义在上的函数满足对任意恒成立，且，则（    ） A．200 B．210 C．110 D．220 【答案】B 【分析】赋值法，依次令，，，即可求出的解析式。 【详解】令，则， 因，则， 令，则， 令，则，得， 则，得. 故选：B 4．（2025高三·全国·专题练习）若函数满足对任意，都有，且，则（    ） A．4032 B．4036 C．4039 D．4042 【答案】C 【分析】分别赋值，根据的任意性可得， 令，，得，累加可求. 【详解】令，则， 令，则， 根据的任意性可得， 不妨令，，得， 所以 ， 故选：C． 5.（2025·陕西西安·模拟预测）已知表示不小于x的最小整数，如，，已知定义在R上的函数满足，，，且，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用赋值法探讨求得函数解析式，再按定义求得结果。 【详解】定义在上的函数满足， 取，得，则， 取，得，于是， 而，则， 当时，， 因此，， 则， 所以，. 故选：C 6.（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，，则等于（    ） A．33 B．32 C．31 D．30 【答案】D 【分析】先令和代入已知等式可得，进而得到①；再结合已知等式得到②，解方程组①②得到解析式可得。 【详解】令，则， 令，则，则，所以①。 所以，则， 又因为，所以，，所以②。 ①－②，得，所以．所以． 故选：D． 7．（25-26高一上·浙江·月考）已知函数满足，若，则（    ） A．128 B．4096 C．8192 D．16384 【答案】D 【分析】根据题设令，可得，结合，利用等差数列的求和公式，即可求解。 【详解】由，， 令，则， 即， 所以 . 故选：D. 课时精练 一、单选题 1.（25-26高一上·湖南永州·期中）下列命题正确的是（   ）。 A．是函数 B．与是相同函数 C．设集合，，则右图是从集合到集合的一个函数   D．函数的图像与直线的交点最多有1个 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项分析判断。 【详解】对于A，由，得，此不等式组无解，不是函数，A错误； 对于B，的值域为，的值域为R，它们不是相同函数，B错误； 对于C，由给定的图知，集合中没有元素与集合中元素2对应， 因此给定图形不是从集合到集合的函数，C错误； 对于D，函数的图像与垂直于轴的直线最多1个交点， 因此函数的图像与直线的交点最多有1个，D正确。 故选：D 2.（25-26高一上·河南信阳·期中）若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据对应法则找到对应的值即可。 【详解】由表可知：， 故选：C. 3．（2027高三·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将已知表达式通分后配方，发现它是中间变量的平方，再通过换元得到函数的解析式。 【详解】，所以． 故选：D. 4.（25-26高三上·广东佛山·月考）设，其中及都是非零常数。若，则（　　） A． B． C．2 D．7 【答案】B 【分析】根据条件，即可列式求解。 【详解】，得. 故选：B 5．（25-26高一上·重庆·期中）设函数满足等式，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方程组法求得，进而得到，即可求解。 【详解】由可得： , 两式联立可得：， 所以，， 因为， 所以， 所以的值域为， 故选：A 6.（25-26高一上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 7．（25-26高一上·贵州·期中）已知函数，则（   ） A． B．方程的解集为 C．定义域为 D．值域为 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，结合选项，逐项求解，即可得到答案。 【详解】由函数， 对于A，由，所以A不正确； 对于B，当时，令，解得； 当时，令，解得， 综上可得，方程的解集为，所以B不正确； 对于C，由函数，可得定义域为，所以C不正确； 对于D，当时，函数为单调递增函数，所以； 当时，函数为单调递增函数，可得， 综上可得，函数的值域为，所以D正确。 故选：D. 8.（25-26高一下·重庆·月考）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当时，，此时， 当时，， 所以的最大值为． 因为对任意恒成立， 所以，即， 整理得，用数轴穿根法解得或， 即实数的取值范围是． 9.（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以当时，单调递增，则.又函数的值域为， 所以当，函数的值要取到内的所有实数，所以. 当，即时，函数在上单调递增，时，， 当趋近于1时，，即，所以，即实数a的取值范围是. （多选）10．（25-26高一上·江西·期中）与的对应关系如下表所示，则（    ） 100 200 300 400 A． B．的定义域是 C．在定义域内单调递增 D．的值域是 【答案】ABD 【分析】结合表格数据分析求解即可。 【详解】由题意知，，，则，故A正确； 的定义域是，故B正确； 在定义域内不单调，故C错误； 的值域是，故D正确。 故选：ABD （多选）11．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知函数，则（　　） A． B．在上单调递减 C．的最大值为2 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据二次函数和一次函数的性质，结合最值的定义、单调递减函数的定义逐一判断即可。 【详解】A：因为，正确； B：二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，二次函数单调递减，此时， 当时，一次函数单调递减，此时， 所以在上不是单调递减的，不正确； C：由上可知：当时，一次函数单调递减，此时，此时函数没有最值； 当二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，二次函数单调递增， 当时，二次函数单调递减， 当时，函数有最大值，所以的最大值为2，正确； D：当时，（舍）或， 当时，， 综上所述：的解集为，正确， 故选：ACD （多选）12．（25-26高一上·浙江杭州·期中）设，若满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用初等函数的性质，求得函数的单调性和值域，画出函数的图像，设，得到，求得，结合换元法和函数的单调性，求得函数的值域，即可求解。 【详解】当时，，可得在（上单调递减，且值域为（， 当时，， 若，可得，此时在（上单调递减，且值域为， 若，可得，此时在（上单调递增，且值域为（， 画出函数的图像，如图所示， 设，则，其中，，， 由，可得；由，可得； 由，可得， 所以， 令，则且，代入可得， 因为在上为单调递增函数， 当时，，当时，，所以， 所以，结合选项，可得，即B、C、D选项符合题意。 三、填空题 13.（25-26高一上·北京·期中）已知函数的全部对应关系如下表，函数的图像是如图所示的曲线，其中，则__________，不等式的解集为__________. 1 2 3 2 3 0    【答案】 2 【分析】第一个问题通过图像找函数值计算即可；第二个问题通过的对应关系去解不等式即可。 【详解】由图知：，所以； 由题知：函数的全部对应关系如表中所示， 所以时，或， 故不等式的解集为｛. 故答案为：2；｛ 14.（25-26高一上·天津南开·月考）若函数，则_____。 【答案】 【分析】令求出，即可得对应的函数值。 【详解】令，可得，所以. 故答案为： 15.（2026·北京石景山·一模）设函数，当时，的值域为______；若方程有两个不同的解，则实数的一个取值可以是______. 【答案】 （只需满足即可） 【分析】当时，化简函数的解析式，分别求出在、上的值域，即可得出函数的值域；分析可知，讨论不符合题意，则，可知函数在、上都单调，分别求出方程在和时的解，可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围。 【详解】当时，， 当时，， 当时，. 故当时，函数的值域为； 由题意可知， 当时，， 当时，由可得， 当时，恒成立，此时无解， 故当时，方程有且只有一个实数解，不合乎题意； 因为函数在上单调递增， 当时，函数在上单调， 因为方程有两个不同的解，所以方程在和时各有一解， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以，解得， 综上所述，. 故实数a的一个取值可以是（只需满足即可）。 四、解答题 16.（2025高一上·全国·专题练习）作出函数的图像。 【答案】图像见解析 【分析】先作的图像，保留轴上方的图像，把轴下方的图像对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位，即得到的图像。 【详解】先作函数的图像，保留轴上方的图像，把轴下方的图像对称翻到轴上方，再把它向上平移1个单位， 即得到的图像，如下图所示： 17.（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数的解析式为.    （1）画出这个函数的图像，并写出的最大值； （2）解不等式； 【答案】(1）答案见解析，最大值为 (2)或 【分析】（1）由解析式即可画出图像，由图即可得最大值； （2）分、及讨论即可得。 【详解】（1）根据分段函数的解析式， 画出函数的图像如图：    由图可得，当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 18.（25-26高一上·浙江杭州·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个全等的矩形和构成的面积为的十字形地域。计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元．设长为（单位：m） （1）设长为（单位：m），求出关于的函数解析式； （2）设总造价为（单位：元），求出关于的函数关系式； （3）当为何值时，总造价最小，并求出这个最小值。 【答案】(1) (2) （3）当时，取得最小值为. 【分析】（1）利用十字形地域的面积表达式，可求得关于的函数解析式； （2）分别求出三部分造价并相加即可得出关于的函数表达式； （3）利用基本不等式可求得当时，取得最小值为. 【详解】（1）根据题意可知十字形地域的面积为4个阴影部分面积加上一个正方形的面积， 因此，即，因为，所以； 可知. （2）由题意可知正方形的造价为元， 花岗岩地坪造价为， 草坪造价为； 所以总造价. 因此关于的函数关系式为； （3）易知; 当且仅当时，即时，等号成立； 因此当时，取得最小值为. 19.（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知 （1）求函数的解析式。 （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若，成立，求的取值范围。 【答案】(1) (2)①若；②；③ (3) 【分析】（1）换元法即可求解； （2）因式分解，再讨论根的大小即可； （3）按照二次项系数是否为零，分情况讨论即可。 【详解】（1）因为，令则，化简得，所以. （2）即，即，即，当时； 当； 当 综上：当时原不等式的解集为； 当时原不等式的解集为； 当时原不等式的解集为. （3）由题意得恒成立， 当时显然成立； 当，即，解得. 综上：的取值范围是 20.（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数的定义域为R，且，若. （1）求的值； （2）求的解析式； (3）已知，，求的最小值。 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出的值，再令，求出即可； （2）令，即可求出的解析式； （3）令，得到，再运用均值不等式即可求出。 【详解】（1）令，则，即， 解得或， 当时，令，则，即（舍去）， 当时，令，则， 又，， . （2）令，得， 即， 故的解析式为. （3）由题意得，， 令，，，， ，. , 当且仅当，即时等号成立。 此时，解得. 故的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $