第10卷 平面向量 2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦平面向量核心考点，以“一考一讲”模式实现概念-运算-应用的递进检测，强化45分钟高效复习闭环。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-3题|考查单位向量、共线向量等基本概念的理解与辨析|从向量基本属性（模、方向）出发，构建概念认知基础| |基本运算|单选4-7、填空11-14题|涉及模、夹角、共线垂直的坐标与非坐标运算|以向量运算律为核心，衔接代数表达与几何意义| |几何应用|单选5、8-10、填空15、解答16-18题|结合梯形、菱形等图形考查向量表示与关系证明|通过图形情境实现从运算到实际应用的迁移，发展几何直观与推理能力|

编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第10卷 平面向量 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．下列说法错误的是（   ） A．若向量与都是单位向量，则 B．零向量与任意向量都共线 C．两个共线向量一定平行 D．相等向量一定共线 【答案】A 【分析】根据单位向量、零向量、共线向量以及相等向量的定义求解即可. 【详解】选项A.向量与都是单位向量，则它们的模都为1，但它们的方向可能不同，错误. 选项B.零向量与任意向量都共线，正确. 选项C.两个共线向量一定平行，正确. 选项D.相等向量一定共线. 故选：A. 2．若向量满足，且，则向量的模是（    ） A． B．2 C． D．8 【答案】C 【分析】根据向量的运算法则以及垂直的性质求解即可. 【详解】. 因为，所以. 所以，进而. 故选：C. 3．在四边形中，，若，则四边形的形状为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 【答案】B 【分析】由平面向量的线性运算，向量的相等及向量的模的定义即可得解. 【详解】∵在四边形中，. ∴.且. ∴四边形为平行四边形． ∵. ∴. ∴四边形的对角线长度相等. ∴平行四边形为矩形． 故选：. 4．已知向量，若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算的坐标表示求出，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】向量， 则， 因为，则， 解得. 故选：B. 5．如图，在梯形中，，，对角线与的交于点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质得到，再根据向量的线性运算即可求解. 【详解】因为，， 所以，则，， 因为，， 故， 则， 故选：B. 6．已知向量的夹角为，且，则（   ） A． B． C．2 D．19 【答案】B 【分析】根据向量内积的运算，代数求解即可. 【详解】由题干可知， ， 所以， 故选：B. 7．设向量满足及，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对两边平方求出的值，然后利用求向量夹角的公式进行求解. 【详解】设与的夹角为， 由题意得：，对方程两边平方得 ，又， ，即 又，的夹角为. 故选：A. 8．已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】C 【分析】根据题意，结合向量共线定理，及向量运算，即可判断求解. 【详解】因为，，不存在实数使得， 故、、三点不共线，故A错误； 因为，，不存在实数使得， 故、、三点不共线，故B错误； 因为，，则， 故、、三点共线，故C正确； 因为，， 不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C. 9．已知菱形的边长是4，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的夹角，然后利用内积公式可求. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以， 向量的夹角为，向量的夹角为， 因为，所以的夹角为， 所以； 故选：D. 10．已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，转化为且不共线，根据向量内积及共线的坐标表示，列不等式可求解. 【详解】要使与夹角为钝角，则满足且不共线. 由，可得，解得； 由不共线，可得，解得. 所以的取值范围为. 故选：C 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．已知向量，则___________． 【答案】 【分析】根据向量内积的公式，分析求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以方向相反，即夹角为， 所以. 故答案为：. 12．已知向量、不共线，实数、满足，则__________． 【答案】3 【分析】根据两向量相等，由待定系数法列方程组求解即可. 【详解】解：因为，且不共线， 所以，解得，所以． 故答案为：. 13．已知， ， 则点D的坐标是_____. 【答案】 【分析】根据相等向量的定义即可求解. 【详解】已知， ， 设，则， 因为则， 即，所以， 则的坐标为. 故答案为：. 14．已知，则向量的最大值是______. 【答案】8 【分析】将向量先平方后开方，根据向量的运算性质和模的性质，当向量和同向时，二者夹角的余弦值最大，此时取得最大值. 【详解】因为，设向量和向量夹角为， 所以， 所以当与同向时，即时，取得最大值，为. 故答案为：8. 15．已知正方形的边长为2，点P满足，则______． 【答案】 【分析】根据题意，可以点B为原点，建立直角坐标系，表示出的坐标，结合向量的坐标表示及线性运算的坐标表示，向量模长的坐标计算，即可求解. 【详解】 由题意，如图所示以点B为原点，建立直角坐标系，则, 所以， 所以， 所以点坐标为， 所以， 所以. 故答案为：. 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．已知. (1)当为何值时，与共线？ (2)若且三点共线，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示列出与的坐标，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. （2）由向量线性运算的坐标表示列出的坐标，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】（1）已知， , ，因为与共线， ，即，得. （2）已知， 则， ， 三点共线， 即，解得. 17．已知向量与满足：，，且． (1)求与的夹角 (2)求与的夹角的余弦值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示求出，再利用向量夹角公式求解. （2）利用向量数量积的运算律及向量夹角公式求解. （1）由，，得，解得， 又，因此，而， 所以与的夹角. （2）由（1）得， ， ， 所以与的夹角的余弦值. 18．设平面三点，，，试求： (1)向量与的夹角的余弦值； (2)与垂直的单位向量的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据向量夹角公式求解； （2）根据向量垂直的坐标表示及单位向量的定义求解. 【详解】（1）已知，，，可得，， 则，，， 根据向量夹角公式. （2）由，，可得， 设与垂直的单位向量为， 因为单位向量的模长为，所以，即①， 又因为，所以，即，化简得②， 联立①②解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第10卷 平面向量 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．下列说法错误的是（   ） A．若向量与都是单位向量，则 B．零向量与任意向量都共线 C．两个共线向量一定平行 D．相等向量一定共线 2．若向量满足，且，则向量的模是（    ） A． B．2 C． D．8 3．在四边形中，，若，则四边形的形状为（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 4．已知向量，若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 5．如图，在梯形中，，，对角线与的交于点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．已知向量的夹角为，且，则（   ） A． B． C．2 D．19 7．设向量满足及，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 9．已知菱形的边长是4，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．已知，，若与夹角为钝角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．已知向量，则___________． 12．已知向量、不共线，实数、满足，则__________． 13．已知， ， 则点D的坐标是_____. 14．已知，则向量的最大值是______. 15．已知正方形的边长为2，点P满足，则______． 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．已知. (1)当为何值时，与共线？ (2)若且三点共线，求的值. 17．已知向量与满足：，，且． (1)求与的夹角 (2)求与的夹角的余弦值. 18．设平面三点，，，试求： (1)向量与的夹角的余弦值； (2)与垂直的单位向量的坐标． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $