湖南怀化市2025-2026学年高一下学期期末测试数学试题

温馨提示： (1)本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分150分. (2)请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上， (3)请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效， 2026年上学期高一年级期末测试试题 数学 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. 若复数z满足z=(1-i,i为虚数单位，求z= A.2 B.√2 C.1 D.√5 2. 已知园=1，=2，a与6夹角为60°，则a.6= A.3 B.-1 C.1 D.3 3.为了调查某校高一学生心理健康情况，计划采用分层随机抽样的方法抽取100名学生进行调 查，已知该校高一学生中男生、女生人数分别490,510名，则应抽取男生的人数为 A.50 B.51 C.68 D.49 4. 在△ABC中，设AB=a,AC=b,若BM=3M元，则AM= A2a+36 B.3a+6 3 c.4a+6 D.a+46 4 5 5 5.将一个棱长为2的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为 A若 B.元 C32 3 6.i 知向量a,b满足a=(-1,1),b=(-2,4),则6在a上的投影向量为 A.（-3,3) B.（-4,8) D.（-2,2) 7.设a,b是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是 A.若alla,bla,则allb B.若a⊥a,allB,则a⊥B C.若a⊥a,a⊥b,则blla D.若alla,allB,则allp 8.棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，2为正方体表面的动点，O为正方体外接球的球心， 满足O可=V2,则点2的运动轨迹的长度 A.2π B.4π C.6元 D.12m 高一数学第1页（共4页) 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法中，不正确的是 A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B.一个多面体至少有4个面 C.有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 10.设A,B,C是样本空间中三个概率都大于0的随机事件，则下列选项正确的是 A.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B.事件A与事件C中至少有一个发生的概率不小于A与C中恰有一个发生的概率 C.事件A,C相互独立与A,C互斥不能同时成立 D.若P(ABC=P(A)P(B)P(C成立，则事件A,B,C一定两两独立 11.复数z=a+bi（a,beR,i为虚数单位)的三角形式为z=r(cos0+isin),我们把这个结论： [r(cos0+isin0)]”=r"(cosn0+isinn)（n∈N',r是复数z的模，0是复数z的辐角)，叫做 棣莫弗定理根据以上信息判断下列选项正确的是 A若z=0os20+isim20,则2+z+1=0 3 3 B.若z=os+isn子则-g-k- 3 z=1+cos0+isin8,8∈（亿，2，则g=2 D.若n≤2026，n∈N*,存在0∈R满足(sin0+icos)"=sinn0+icosne0,这样的n共有507个 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.已知两个非零向量a,b,且a=(x,1),b=(2x,x),若a/b,则x= 13.有一组样本数据：6，，2，，x4,5,6,己知它的平均数为6，方差为10，则新数据 为，x2,为，x4,本5的方差为 14.已知一个圆锥的底面半径为6，侧面积为72π，若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋 转的正方体（圆锥表面厚度忽略不计)，则该正方体体积的最大值为 高一数学第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。 15.(本小题满分13分)抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子（标记为I号和Ⅱ号），分别观察底 面上的数字（各面分别印有“1”“2”“3”“4”四个数字）.设事件A=“两个数字之和是5”， B=“两个数字之积不小于6”. (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； (2)求事件A及事件B的概率，判断这两个事件是否独立，并说明理由. 及 16.(本小题满分15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2=b2+c2-bc, √2 bsin C=c. (1)求角C; (2)点D在AB的延长线上，若△ACD是斜边为2的直角三角形，求△BCD的面积. 17.（本小题满分15分)某市政府为了鼓励居民节约用水，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)， 一户居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.通过抽样，获得 了100户居民的月均用水量（单位：吨），将数据分成5组制成了下方所示的频率分布表 (1)若该市有140万户居民，请估计全市月均用水量不低于19吨的户数； (2)若该市政府希望使80%的居民的月均用水量不超过标准x(吨)，请估计x的值； (3)现拟定收费标准如下：月用水量不超过x吨的部分按3元/吨收费，超出x吨的部分按 4元/吨收费.若取x=19，试利用该样本数据估计该市每户居民月均水费的平均值（每组 数据用区间中点值作为该组居民的月均用水量)， 分组 频率 [1,7) 0.10 [7,13) 0.25 [13,19) 0.40 [19,25) 0.20 [25,31] 0.05 高一数学第3页（共4页) 18.(本小题满分17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方 形，E,F分别是AB,PB的中点. (1)求证：EF⊥CD; (2)设面PBC∩面PAD=I (i)求证：ADWl; ()若直线EF与直线I所成角为？，求直线EF与平面PBD所成角的正弦值. h P D E 19.（本小题满分17分)已知a=(:,),方=(：2，y2),定义运算a⑧bxy2-y1.设0为坐标 原点，A,B为平面直角坐标系中的两点，且a=OA,b=OB. (1)求证1a1=(a⑧2+(a-b; (2)若A(cos0,sin8),B(cos(0+p),sin(0+p).设M=a⑧b,求证M是一个仅与p有关的量； (3)0设4(，y),B(2,2),利用(1)的结论证明△40B的面积为%-· ()已知A(L,1),B(cos8,0),C(0,sin0).设△ABC的面积为f(0),若V0∈R, f()≤m(sin0+cosB+2)恒成立，求m的取值范围. 高一数学第4页（共4页)