2.2.2 直线的方程（第一课时）——2026-2027学年高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修第一册（共33页PPT）

该高中数学课件聚焦直线的方程概念及点斜式、斜截式方程，通过爬山斜坡的陡峭程度引出斜率，以“仅知斜率能否确定直线”“斜率与定点结合能否确定直线”的问题链，搭建旧知（斜率）到新知（直线方程）的学习支架。 其亮点在于以“尝试与发现”活动引导学生自主探究，通过四个条件判断直线唯一性培养推理能力（数学思维），结合生活实例抽象出直线方程概念发展抽象能力（数学眼光），例题与练习结合强化方程应用形成模型意识（数学语言）。学生能深化概念理解，教师可提升教学效率。

人教B版(2019)选择性必修第一册 2.2.2 直线的方程 （第一课时） 第二章 平面解析几何 1 学习目标 结合具体实例，理解直线的方程和方程的直线的概念，体现逻辑推理能力（重点） 会求直线的点斜式方程和斜截式方程，体现数学计算能力（重难点） 2 新课导入 爬山、走斜坡的时候，会直观感受到坡面有的平缓、有的陡峭.在平面直角坐标系中，直线的陡峭程度我们用斜率来表示，那么如果我只知道一条直线的斜率，能不能唯一确定这条直线？ 如果既知道直线的斜率，又知道这条直线经过的一个固定点，此时能不能唯一确定一条直线？ 3 新课学习 尝试与发现：设l1，l2是平面直角坐标系中的直线，分别判断满足下列条件的l1，l2是否唯一.如果唯一，作出相应的直线，并思考直线上任意一点的坐标(x，y)应满足什么条件. (1)已知l1的斜率不存在； 满足条件(1)的直线l1有无数条. (2)已知l1的斜率不存在且l1过点A(-2，1). 满足条件(2)的直线l1是唯一的，如图所示. 4 新课学习 满足条件(3)的直线l2，只要倾斜角为60°即可，因此l2也有无数条. 满足条件(4)的直线l2是唯一的，如图所示. 5 新课学习 容易验证，B(1,2)的坐标也能使上式成立，因此直线l2上的点都使得上式成立； 6 新课学习 思考一下：通过尝试与发现的4个条件得到的直线方程，你可以得到什么结论？ 7 新课学习 直线的方程的概念 一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解，而且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x,y)=0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x,y)=0的直线. “直线l ”也可说成“直线F(x,y)=0”，并且记作l：F(x,y)=0. 8 新课学习 思考一下：根据上面的定义，如何判定一个点是否在直线上？ 9 新课学习 点斜式方程 在平面直角坐标系中，已知P0(x0,y0)是直线l上一点： 1.如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=x0. y−y0=k(x−x0)， 而且P0(x0,y0)的坐标也能使上式成立. 10 新课学习 点斜式方程 11 新课学习 点斜式方程 直线的点斜式方程还可以用方向向量来得到： 如果已知P0(x0,y0)是直线l上一点，而且l的斜率为k，则直线的一个方向向量为a=(1,k)； y−y0=k(x−x0). 12 新课学习 例1：已知直线l经过点P，且l的斜率为k，分别根据下列条件求直线l的方程： (1)P(0,3)，k=2； 根据已知可得直线l的点斜式方程为 y−3=2×(x−0)， 化简得 y=2x+3. 13 新课学习 例1：已知直线l经过点P，且l的斜率为k，分别根据下列条件求直线l的方程： (2)P(1,0)，k=-3. 根据已知可得直线l的点斜式方程为 y−0=(−3)×(x−1)， 化简得 y=−3x+3. 例1说明，在直线的点斜式方程中，如果已知的点是坐标轴上的点，则点斜式方程可以方便地化为y=kx+b 的形式. 14 新课学习 直线的截距的定义 一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0,b) ，则称l在y轴上的截距为b . 一条直线在y轴上的截距简称为截距. 15 新课学习 斜截式方程的定义 已知直线的斜率为k ，截距为b ，则意味着这条直线过点(0,b) ，从而可知直线的方程为y−b=k(x−0)，化简可得 y=kx+b. 方程y=kx+b由直线的斜率和截距确定，因此通常称为直线的斜截式方程. 16 新课学习 思考一下：根据斜截式方程和两点，如何求出直线的斜率和截距？ 从直线的斜截式方程y=kx+b，可以方便地看出直线的斜率k和截距b. 事实上，此时若(x1,y1)，(x2,y2)是直线上两个不同的点，则 第二式减去第一式可得y2−y1=k(x2−x1)，因此当 x2−x1≠0 时有 从而k就是直线的斜率. 在方程y=kx+b中，令x=0得y=b，因此直线与y轴的交点为(0,b)，这就是说，b为直线的截距（即直线在y轴上的截距）. 17 新课学习 注意： 平面直角坐标系中的直线方程，要么写成x=x0的形式，要么写成y=kx+b的形式，正因为如此，在求直线的方程时，如果直线的斜率存在，最后总将直线的方程写成斜截式的形式. 18 新课学习 想一想：直线的斜截式方程与一次函数有什么联系与区别？ 斜截式方程 一次函数 关系 O x y (0，b) l O x y (0，b) y=kx+b 直线方程：y=kx+b 函数解析式：y = kx+b b：截距 b：函数与 y 轴的交点的纵坐标 19 新课学习 例2：已知直线l经过点P(−2,3)，且l的倾斜角为45∘，求直线l的方程，并求直线l的截距. 因为直线l的斜率k=tan45∘=1 ，所以可知直线l的方程为 y−3=1×[x−(−2)] ， 即y=x+5. 因此直线l的截距为5. 20 课堂练习 C 21 课堂练习 22 课堂练习 C 23 课堂练习 24 课堂练习 B 25 课堂练习 C 26 课堂练习 27 课堂练习 A 28 课堂练习 29 课堂练习 y=x+1 30 课堂总结 1.点斜式方程 2.斜截式方程 31 谢 谢 观 看 32 尝试与发现：(3)已知l2的斜率为 ； (4)已知l2的斜率为 且l2过点B(1，2). 若P(x，y)为直线l2上不同于B的点，则 ，即 ， 化简可得 . 另外，如果x，y能使得上式成立，则要么 就是 点 ，要么 ，也就是说，点P一定在直线l2 上. (4)已知l2的斜率为 且l2过点B(1，2). 如果我们将x=-2与 都看成关于x，y的方程，则由上面可以看出，平面内的点是否在直线 ， 上，只要看坐标是否满足对应的方程即可. 直线 的方程为x=-2，直线 的方程为 ，由直线方程的定义可以看出：平面直角坐标系中的一个点是否在直线上，只要看它的坐标是否是直线方程的解即可. 例如：点 不在直线 上，因为 . 另一方面，设P(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则P在直线l上的 充要条件是 与a共线，又因为 ，所以 解析：直线方程为 ，斜率为2， 选项A中 ， 选项B中 ， 选项D中 ， 选项C中斜率为 .所以该直线的一个方向向量为C.故选：C. 2.方程 表示( ) A.过点 的所有直线 B.过点 且不垂直于y轴的所有直线 C.过点 且不垂直于x轴的所有直线 D.过点 且除去x轴的所有直线 解析： 为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点 .故选C. 解析：直线 的斜率是1.故选:B. 3.直线 的斜率是( ) A. B.1 C. D. 解析：由直线 得出直线斜率为： ， 设直线的倾斜角为 ，所以 ， 故选：C. 5.直线 的倾斜角为( ) A. B. C. D. 解析：因为直线l的倾斜角为 ，所以直线l的斜率 ，所以直线l的方程为 ，即 ，故答案为： . 6.经过点 ，且倾斜角为 的直线的斜截式方程为_____. $