专题05 三角形（5年汇编）（河南专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦三角形专题，整合5年河南中考真题与1年模拟题，覆盖与三角形有关的角、全等判定等5大核心考点，基础题与综合题梯度分布，注重几何模型与实际情境应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|每题3分|三角形内角和、全等判定SSS/SAS、等腰三角形分类讨论|结合高压线结构（2026真题）、网格求值（2023真题）| |解答题|3-10分|直角三角形性质、勾股定理及逆定理、几何变换（旋转/折叠）|手拉手全等模型（2024真题）、折叠求线段长度（2026模拟）|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05三角形 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 考点01与三角形有关的角 1.B 2.50 考点02三角形全等的判定 3.(1)OD=CG+OE (2) 不成立，OD=CG-OE, 证明：如图，过点C作CQ⊥OA于点Q, .OC平分∠AOB,CD⊥OB,CQ⊥OA, ∴CQ=CD, 在Rt△QOC和Rt△DOC中， .OC=OC,CP=CD, ∴.Rt△QOC≌Rt△DOC, ∴.OQ=OD .DE⊥OA,CG⊥DE,CP⊥OA, ∴.∠CQE=∠QEG=∠CGE=90°， 119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.四边形CQEG是矩形， ..QE=CG, ..OD=OQ=QE-OE=CG-OE. 33 4.(1)②④ ②)D2 ACD=∠ACB 理由： 延长CB至点E,使BE=DC,连接AE, D A ABCD E<--- B 四边形 是邻等对补四边形， ∴.∠ABC+∠D=180°. :∠ABC+∠ABE=180°， ∠ABE=∠D, ..AB=AD. ∴.△ABE≌△ADC|SAS, .∠E=∠ACD,AE=AC, .∠E=∠ACB ∴.∠ACD=∠ACB ②m+n 2c0s0 622或122 5 7 5.(1) 如图所示，即为所求， 2/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2) 证明：，AE平分∠BAC, .∠BAE=∠DAE, .AB=AD,AE=AE, .△BAE≌△DAE SAS, ∴DE=BE 考点03等腰三角形 6.22或102 3 7.(1)60°；4 (2)两个结论仍然成立.证明如下： .四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，AB=4, .AB=AD=BC=4,AD‖BC, .∠ABC=180°-∠BAD=60°， AB=AE, .∴.AD=AE=AB, .∠BAE=a,则∠EAD=∠BAD-∠BAE=120°-a, ∠AEB1800-∠BAE=90-受 ∠AED=180-∠EAD=引180-120-a=30+受 BEH=180-AEB-∠n2D=18n-90-受}-30+g}60o .BE=BH, 3/9 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△BEH为等边三角形， ∴.∠EBH=60°， ∴.∠ABC=∠EBH,则∠ABC-∠CBE=∠EBH-∠CBE, .∠ABE=∠CBH, .BE=BH,AB=CB, ∴.△ABE2△CBH SAS, .∴.AE=CH, ∴.CH=4. 6)15或1050 考点04直角三角形 9.V5或V13V13或V5 考点05勾股定理及其逆定理 10.C 11.D 12.3,10 9 一年模拟练测园 1.c 2.B 3.C 4.C 5.B 6.C 7.C 419 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.B 9.C 10.A 11.B 12.B 13.D 14.B 15.B 16合 17. 2V2或210 18号8 。,2成4 20.9V73 21. AM=CN 22.20°或100° 23.3-3 24.3或33-3 2 25名 26.3 27. 22.5 1 29.5-V2或5+V2 30.2或2V3 5/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 32. 0sa,号 3.26-22或43 3 34.1或3+2 35.12,35,37 4 36. 0.8 212 22 3705 38.1)①AD=CE;②120° (2) (1)中的结论不完全成立，理由如下， .∠ACB=60°， .∠ACP=180°-60°=120°， .CE平分∠ACP, ∠ACE=∠ACP=-60 .∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°， ,∠ABC=∠DBE=90, .∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE,即∠ABD=∠CBE, 在△ABC和△DBE中， :∠ABC=∠DBE=90°，∠ACB=∠DEB=60°， .△ABC-△DBE, .AB=BC >3=BpA三=23 BC BE ,∠ABD=∠CBE, ∴△ABD一△CBE, .AD=AB ∠BAD=∠BCE, CE BC 在Rt△ABC中，∠ACB=60°， 6/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =tan60=/3, BC ..AD=3CE, .∠BCE=120°， ∴.∠BAD=120°， ∴.(1)中的结论不成立，正确的结论是AD=V3CE,∠BAD=120°： 3)4V5或3 39.I)∠PNM,∠DMN (2) 证明：，四边形ABCD是矩形， .AD‖BC, ∴.∠MAO=∠NCO,∠DMN=∠PNM, 由翻折的性质得：∠DMN=∠PMN, .∠PMN=∠PNM, ∴.PM=PN, .AM=CN,∠AOM=∠CON, ∴.△AMO≌△CNO AAS, ..OM=ON,AO=CO, .OP⊥MN: 6)BP=5或13 40.(1)5 2)4+97 3 8)15或219-93 ⊙ 41.(1)CEG,ASA (2)不成立，见解析 6)83或23 3 42.(1)等腰直角三角形 719 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)MW=33 B)MN的长为V37或2/13 号 C)OCD_V2 gH_v10 AF 2 AF 4 44.1)菱形 (②)四边形AMCN为平行四边形，理由见解析 唱* 45.(1)30: 2)景点c与景点D之间的距离为6-23km' 46.1)等边三角形： (②)DGQ的长度为3m:②存在，“菱六边形ABCDEF”的面积 9+92m. 16 47.)0不可能② (②3V6 3)10+2V13或10+4V13或10+73 48.47m 49.1)①见解析：②V3 (2)不发生变化.理由见解析 6)AM的长为2/13或22 50.a)DF‖BE,理由见解析 2)AE=25 8 6)AE的长为4 51.1)2 (2) 819 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①EF=3-CP,理由如下： .EF⊥CD, ∴.∠PFE=90°， .∠APE=90°， ∴.∠APD+∠EPF=90°， .∠APD+∠DAP=90°， .∴.∠DAP=∠EPF, 在△ADP和△PFE中， b, ∴.△ADP≌△PFE(AAS), ∴EF=DP, .点P在边DC上，CD=3, ∴.DP=CD-CP=3-CP, ∴.EF=3-CP; F E ②不成立，EF=3+CP 。7面3 2 919 专题05 三角形 5年真题1年模拟 考点分类 河南考情（2022-2026） 命题规律 考点01与三角形有关的角 近5年每年必考，选择/填空基础题，分值3分；常搭配内角和、外角定理、角平分线综合考查，2023、2025年单独出小题，其余年份融入几何大题第一问 以基础计算为主，核心考查三角形内角和180°、外角等于不相邻两内角和；常结合平行线、角平分线、三角板拼图模型；难度极低，属于送分基础考点；极少单独出压轴，多作为复杂几何题的前置计算步骤 考点02 三角形全等的判定 5年全覆盖考查，题型包含选择填空（添加判定条件）、解答证明大题，分值3-8分；解答题固定在几何证明板块，2024、2026年结合旋转模型综合考查 必考SSS、SAS、ASA、AAS四大判定，直角三角形额外考查HL；高频考"补充一个条件证全等"类选择题；大题常搭配平移、旋转、折叠几何变换模型；注重规范推理书写，是几何证明核心基础；手拉手全等模型为高频压轴载体 考点03 等腰三角形 近5年高频考查，5年8考，选择填空+解答综合，分值3-7分；2022、2026年压轴几何大题涉及等腰分类讨论；2026年填空压轴结合角平分线考查线段求值 核心考查等边对等角、三线合一两大性质；易错点为等腰三角形边长/角度的分类讨论（多解问题）；常结合全等、勾股定理、坐标系动点出题；近年侧重多解题型，区分基础与拔高学生；等边三角形常与旋转结合命题 考点04 直角三角形 年年考查，5年11考，分散在选择、填空、解答全题型，分值3-9分；常与勾股、三角函数、四边形综合，2025年单独出填空压轴 重点考查直角两锐角互余、30°直角边性质、斜边中线等于斜边一半；常结合折叠、动点、圆的切线模型；命题倾向几何综合串联，是连接全等与勾股、解直角三角形的桥梁考点；斜中半性质为高频隐藏条件 考点05 勾股定理及其逆定理 5年必考核心计算考点，填空、解答高频出现，分值3-10分；几何大题、网格作图、实际应用题均会涉及，2023、2026年结合折叠求线段长度 勾股定理用于线段长度计算，逆定理判定直角三角形；高频考网格求值、折叠求边长、航海/梯子实际情境；常与等腰、直角三角形、四边形、圆综合；几何压轴题线段最值、存在性问题均依赖勾股计算；是几何计算的核心工具性考点 考点01 与三角形有关的角 1．（2026·河南·中考真题）如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·河南·中考真题）如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】由圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 考点02 三角形全等的判定 3．（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． (2)类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) 不成立，， 证明：如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． (3) 或． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． （2）略 （3）解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 4．（2024·河南·中考真题）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）． (3)拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2)①． 理由： 延长至点E，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ② (3)或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可； （3）分，，，四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等， 故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）解：①略 ②过A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时，如图，连接，过N作于H， ∴， 在中， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 当时，连接，过N作于H， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 5．（2023·河南·中考真题）如图，中，点D在边上，且．     (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：． 【答案】(1) 如图所示，即为所求，    (2) 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键． 考点03 等腰三角形 6．（2026·河南·中考真题）如图，在中，，，是角平分线．点为边上一点，连接，交于点，连接．若，则的长为_____． 【答案】或 【分析】过点作于点，先由等腰三角形的性质求出，则，然后分点在点的左侧和右侧两种情况，构造相似三角形求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴ 当点在左侧时，记作点， ∴ ∴， ∵平分 ∴ 过点作于点，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 当点在右侧时，记作点，则同理， ∴ 过点作交延长线于点，则， ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 同理可得， ∴ ∴， ∴ ∴， 综上：的长为或． 7．（2026·河南·中考真题）在菱形中，，．将边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．作射线，在射线上取一点，使，连接． (1)【观察猜想】 当时，如图1，的度数为_________，的长为_________． (2)【探究证明】 当时，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． (3)【拓展延伸】 当时，若的面积为，请直接写出此时旋转角的度数． 【答案】(1)； (2)两个结论仍然成立．证明如下： 四边形是菱形，，， ，， ， ， ， ，则， ，， ， ， 为等边三角形， ， ，则， ， ，， ， ， ． (3)或． 【分析】（1）根据菱形的性质得到，由旋转的性质，三角形内角和定理得到，是等腰直角三角形，根据平角得到，结合题意得到是等边三角形，再证明得到； （2）根据菱形的性质，旋转的性质得到，根据平角得到，结合题意得到是等边三角形，再证明得到； （3）结合（1），（2）的解析分类讨论：当点H在左边时，过点作延长线于点，由面积公式得到，根据解直角三角形的计算得到，由平角的定义即可求解；当点H在右边时，同理得到，由即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵将边绕点逆时针旋转至，旋转角， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设交于点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，则是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由上述证明得到，，， ∴，， 第一种情况，当点H在左边时，如图所示，过点作延长线于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况，当点H在右边时，如图所示，过点作延长线于点， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________． 【答案】或 【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：①当时，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，证明，得到，即可求出的长；②当时，过点作交于点，由等角对等边得到，再证明，设，进而得出，，根据求出的值，即可求出的长；③当时，利用锐角三角函数，得出，，即此种情况不存在；④当时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 若为“反直角三角形”， ①当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②当时，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ； ③当时， ，，且， ， ， 若，则，即， 此种情况不存在； ④当时， 当点与点重合时，最小，此时， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 考点04 直角三角形 9．（2022·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 【答案】或/或 【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可． 【详解】如图，连接， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，， ，， ， 根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且， ， 如图，在中，， 在中， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键． 考点05 勾股定理及其逆定理 10．（2026·河南·中考真题）如图，与关于直线对称，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质得到，再在中利用勾股定理求出斜边的长，即可得到的长度． 【详解】解：，，， 在中，， 与关于直线对称， ． 11．（2025·河南·中考真题）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键． 12．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 【答案】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 13．（2023·河南·中考真题）如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，证明，设，则，再证明，列出比例式计算即可． 【详解】如图，连接， ∵与相切于点A， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 解得， 故的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 一、单选题 1．（2026·河南平顶山·一模）如图，直线，直线．若，则（     ）． A．48° B．58° C．62° D．52° 【答案】C 【分析】利用对顶角相等可得，再结合垂直的定义、直角三角形两锐角互余可得，最后根据两直线平行同位角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴． 2．（2026·河南新乡·一模）我们在探究两个三角形全等的过程中，知道两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等．如图，点B、C、D、E在同一直线上，，，，但与不全等，因为，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．若，，则图中与是“伪全等三角形”的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵，，，但， ∴与是“伪全等三角形”； ∵， ∴， ∵，但， ∴与是“伪全等三角形”； 综上，图中与是“伪全等三角形”的有2个． 3．（2026·河南平顶山·一模）如图1，在菱形中， 将沿直线向左平移，得到，O为的中点，连接，如图2，当时，的长为（     ）    A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据菱形性质求出的度数及的长，由平移性质知 ，，在中解直角三角形可求得的长，再根据O为中点建立方程求解即可． 【详解】解：∵ 四边形是菱形，， ∴，， ∴， 如图：过点 C作 于 H，则，    在中，， ∴， 由平移可知：，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·河南平顶山·一模）如图，直线，是等边三角形，点A，C分别在直线m，n上，交直线m于点D．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，，再结合角的和差运算即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．（2026·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 的中心与原点O重合，轴，交y轴于点 G．将绕点 O 顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，判定为等边三角形，确定点B的坐标为，确定变化是每4次旋转为一个循环，结合，求解即可； 【详解】解：如图，连接，可得， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴点B的坐标为， 第1次顺时针旋转，点B的对应点在第四象限，其坐标为， 第2次顺时针旋转，点B的对应点在第三象限，其坐标为， 第3次顺时针旋转，点B的对应点在第二象限，其坐标为， 第4次顺时针旋转，点B的对应点在第一象限，其坐标为， 第5次顺时针旋转，点B的对应点在第四象限，其坐标为， …… 每4次旋转为一个循环，则， ∴与对应，坐标为． 6．（2026·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是等边三角形，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到，，依此类推，则旋转次后得到的等边三角形的顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到旋转后点的坐标变化规律，进行解答即可． 【详解】解：在等边中，，， ∴， 过点作轴，则 ∴， ∴ 根据旋转的性质可以得出点的横坐标，纵坐标为， 由图形规律可得，点的横坐标为，纵坐标为， 由图形规律可得，点的横坐标为，纵坐标为， ……， 综上可知，点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为，即为． 7．（2026·河南三门峡·一模）如图，在菱形中，， E为边上一点，将沿翻折，使点B 的对应点 F 落在的延长线上，连接交 于点 G，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得，由折叠的性质得：，，可得为等腰直角三角形，，，再由菱形的面积解答即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，，即为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·河南平顶山·一模）如图，在中，，，，以为直径的半圆O交于点D，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用直角三角形的性质求出，由圆周角定理得到，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴的直径为， ∴，即的长为． 9．（2026·河南三门峡·一模）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 10．（2026·河南商丘·一模）如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 11．（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，以边为直径作，交边于点，延长交于点，连接．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形三线合一得到，，根据圆周角定理得到，可知，根据等角对等边即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， 即． ， ，． ∵， ∴， ， ． 12．（2026·河南周口·一模）如图，在菱形中，对角线、交于点O，点E为中点，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据菱形的性质以及勾股定理求出，再根据是的中位线，即可得到答案． 【详解】解：菱形，，， ，，点为中点， ， 点E为中点， 是的中位线， ． 13．（2026·河南漯河·一模）如图，在菱形中， ，为边的中点，为边上一点，将沿所在的直线折叠，点的对应点恰好落在边上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质得，即得，由折叠得，，得到是等腰直角三角形，进而求出即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵为边的中点， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·河南平顶山·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E为的中点，交于点F，交于点G．若，则菱形的对角线长度为（   ） A．36 B．32 C．28 D．24 【答案】B 【分析】取的中点H，的中点，的中点，连接，,，证明点F，重合，G，重合，可得 ．在中，运用勾股定理得，即得． 【详解】解：取的中点H，的中点，的中点，连接，,， ∵在菱形中，对角线相交于点O， ∴O是和的中点， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴点F，重合， 同理，G，重合， ∵， ∴ ． 菱形的对角线互相垂直， 是， ． 又点是的中点， ． 15．（2026·河南洛阳·一模）如图，在中，，点是上一点，以为直径的与相切于点，连接，，若，，则的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据切线的性质得出，进而可得，，求出，即可得出的直径． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴，， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的直径为． 二、填空题 16．（2026·河南信阳·二模）如图，在等腰直角三角形中，，，将绕点O逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】/ 【分析】设交于点E，交于点F，证明，可得图中阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：设交于点E，交于点F， ∵将绕点O逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为． 17．（2026·河南平顶山·一模）定义：一个等腰直角三角形的直角顶点在另一个直角三角形直角边的中点处，且斜边为这个直角边的一半，那么这两个直角三角形叫做“双直半边三角形”．如图，在中，，，，的顶点D在边上，连接．将绕点 D旋转，若这两个直角三角形为“双直半边三角形”，当边被垂直平分时，的长为_______． 【答案】 或 【分析】首先，根据已知条件得出，再根据定义分两种情况：①当被垂直平分时，设与交于点O，得到，再由与为“双直半边三角形”，为等腰直角三角形，得到，，进而得出，可得，最后，在中，；②同理①中方法可得， 进而得在中，． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ①如图1，当被垂直平分时，设与交于点O． ∴， ∵与为“双直半边三角形”， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，； ②如图2，当被垂直平分时，设与交于点G． ∴， ∵与为“双直半边三角形”， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，． 综上，当边被垂直平分时，的长为或． 【点睛】根据题意作出对应的图形进行分类讨论，并能根据定义及已知条件构造出和，再运用勾股定理解答是解题的关键． 18．（2026·河南南阳·一模）如图，，，，是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的点处，连接，当是以为腰的等腰三角形时，的长为__________． 【答案】或 【分析】根据题意可得，继而可得，再分两种情况讨论，即或，利用相似三角形判定及性质即可得到本题答案． 【详解】解：由翻折变换的性质，得， ， ， ， ， 设，则， 分两种情况讨论： ①时，，解得， ， ， ， ， ； ②当时，， ， ， ， ， ， ； 综上所述， 的长为或． 19．（2026·河南商丘·一模）定义：若三角形一条边上的高在三角形内部，且等于这条边长的一半，则称这个三角形为“半高三角形”．如图，在中，，，D为边上的一点．若为“半高三角形”，则的长为____． 【答案】2或 【分析】过点A作，，设，则，，分情况讨论：①在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时，，可推得；②在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时，由和可推得；③在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时，D只能在P的左边，在中，，和可推得不满足，舍去． 【详解】解：如图，过点A作， ，， ， , 设，则，， 分情况讨论： ①在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时， , ，解得，即； ②在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时， ， ， ，解得，，即； ③在中，当上的高在三角形内部，且等于的一半时， 如图，当D在P的右边时，，上的高不在三角形内部， D只能在P的左边，如图，此时， ， ， 在中，， ，即， 化简得，，解得，不满足，舍去； 综上所述，或． 20．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，，，分别为线段，上的点，且满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】在上截取，过作，交延长线于点，则，由平行四边形的性质可得，所以，，则，则有，然后证明，则，所以，当三点共线时，有最小值，即有最小值，为的长，再通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，过作，交延长线于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即有最小值，为的长，如图， ∴， ∴的最小值为． 21．（2026·河南三门峡·一模）如图，在等腰直角三角形中，，，D是的中点，M是边上的动点，作，交于点N，延长到点P，使得   线段与的数量关系为_____________；当面积最大时，的长为_____________． 【答案】 2 【分析】如图，取的中点，连接，，，过点作于点．根据等直角三角形的性质求得，．再证明，根据全等三角形的性质得到，，，进而可得，．再分别证明和，得到．设，易求得，则，，进而得到 ，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，，过点作于点． 是等腰直角三角形，是的中点， ，， ∴，． ， ， ， ，即. 在和中，, ， ，，， ，即， ． ，， ． ， ． 在和中， ， ，， ，即， 在和中，， ， ． 设， ∵， ∴，则， ，则， ． ， ， ∵， 当，即时，的面积最大． 22．（2026·河南平顶山·一模）已知是有一个角为的等腰三角形，，分别作、的垂直平分线交直线于点、，则的度数为______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：如图，当底角时，当顶角，再分别画图进一步求解即可． 【详解】解：如图，当底角时， ∴， ∵分别是的垂直平分线， ∴，， ∴， 如图，当顶角， ∴， ∵分别是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上：或． 23．（2026·河南省直辖县级单位·一模）如图，等边三角形的顶点，，点A在第一象限内，点C在边上且，点D为边上一动点（不与点B重合），连接，将沿折叠得到，当的面积最小时，点E的横坐标为______． 【答案】 【分析】由等边三角形的顶点，，可得，，由，可得，由折叠可得，可得点E在以点C为圆心，2为半径的圆上，过点C作于点F，交于点，连接，此时最小，，由，可得，过点作于点，在中，，即可求得点E的横坐标． 【详解】解：∵等边三角形的顶点，， ∴，， ∵， ∴， ∵点D为边上一动点（不与点B重合），连接，将沿折叠得到， ∴， ∴点E在以点C为圆心，2为半径的圆上，过点C作于点F，交于点，连接，，此时最小，， ∵， ∴此时的面积最小， ∵， ∴， 过点作于点， ∴在中，， ∴， ∴点E的横坐标为． 24．（2026·河南三门峡·一模）如图，矩形中，，对角线，交于点O，将绕点O顺时针旋转至，与，分别交于点M，N．当为直角三角形时，的长为_______． 【答案】或 【分析】由题意易得，，则有，由旋转的性质可知：，，然后根据题意可分当时，当时，进而分类进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：，，则由题意可分： 当时， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（2026·河南商丘·一模）如图，在正方形中，为边上一点（不与端点重合），连接，以点为直角顶点在左侧作等腰直角三角形，其中交于点，交于点．若，为线段的三等分点，则的长为________． 【答案】或 【分析】过点作分别交的延长线于点，交的延长线于点，证明，按照和进行分类讨论，解直角三角形，结合线段之间的和差，即可得的长． 【详解】解：过点作分别交的延长线于点，交的延长线于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∵是等腰直角三角形，点为直角顶点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 分两种情况讨论： 如解图1，当时，则，， ∵， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 如解图2，当时，则，． ∵， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 综上可知，的长为或． 26．（2026·河南周口·一模）如图，在 中，，，， 点P是边上一动点，将 沿折叠，点A的对应点为，当 时，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题是折叠问题，由折叠性质可得对应边相等，再利用构造垂线段，得到相似三角形，最后用勾股定理建立方程求解． 【详解】∵在中，，，， ∴ ， ∵将沿折叠，点A的对应点为， ∴， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴=， 又∵， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴（舍去）或， ∴． 27．（2026·河南驻马店·一模）如图，在四边形中，和都是直角，且，现将沿翻折，点的对应点为与边相交于点，恰好是的角平分线，则_________，若，则___________． 【答案】 22.5 1 【分析】由条件可知是等腰直角三角形，再由是角平分线可求出，进而求解；根据是的角平分线和是直角，可以联想到构造等腰三角形，延长交的延长线于F ，然后证明即可求解． 【详解】解：， ． 平分， ． ， ； 如图，延长交的延长线于F ． 平分， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． 28．（2026·河南南阳·一模）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，在中．，，，点在边上，使得是“类直角三角形”，则______． 【答案】或 【分析】先求出，然后分当时，当时两种情况，通过相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线性质即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时， ∵， ∴， 过点作于点，如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， 设，则， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 综上所述，或． 29．（2026·河南许昌·一模）如图，在中，，，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，交于点．若，则的长为________． 【答案】或 【分析】过点作交于点，由旋转的性质可证，得，由，可得，由勾股定理可得出的长度，由点的位置不确定，故可做分类讨论，当点在点左右两侧时得出结果． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理， 解得， ∴， ∴； 当点在点右侧时，同理可得， ∴； 综上，的长为或． 30．（2026·河南平顶山·一模）在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，连接的长为________ 【答案】2或 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形和等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是按动点在上的不同位置进行分类讨论．分两种情况：当点靠近点时，翻折后在上方，由和得为等腰直角三角形，作延长线交于点，则垂直平分，在中求出，从而；当点靠近点时，翻折后在下方，同理得为等腰直角三角形，从而，再由得为等边三角形，. 【详解】解：如图，当点靠近点时，沿翻折，的对称点在上方， 由折叠的性质得，， ， 是等腰直角三角形， ， 设的延长线交于点， ∵，， ∴是的垂直平分线， 在中，， ， 在中， ， ， ． 当点靠近点时， 如图，点靠近点时，沿翻折，的对称点在下方，由折叠的性质得， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等边三角形， ； 综上所述的长为2或． 故答案为：2或． 31．（2026·河南南阳·一模）若一个三角形三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”，如图，在矩形中，，，点在边上，将沿折叠，得到，过点作于点．若是“勾股三角形”，则的长为______． 【答案】或 【分析】过点作于点，则四边形是矩形．进而分两种情况讨论，①当，时，②当，时，结合图形，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在矩形中，．将沿折叠，得到， ∴，，． 过点作于点，则四边形是矩形． ∴．若是“勾股三角形”， 分两种情况：①当，时，， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得． ②当，时，， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得． 综上：的长为或． 32．（2026·河南平顶山·一模）如图，是等腰直角三角形，斜边长是1，把绕点B顺时针旋转，得到，把绕点O1顺时针旋转，得到，把绕点顺时针旋转，得到，⋯⋯，依次类推，这样连续旋转2025次，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】求出的坐标，可发现每2次旋转为一个循环，每个循环内横坐标增加，纵坐标不变，求出2025除以2的商和余数即可得到答案 ． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵把绕点B顺时针旋转，得到， ∴点关于点B对称，点关于点B对称， ∴； ∵把绕点顺时针旋转，得到， ∴点关于点对称，点关于点对称， ∴， 同理可得点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ， 以此类推，可知每2次旋转为一个循环，每个循环内横坐标增加，纵坐标不变， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为 即点的坐标为． 33．（2026·河南平顶山·一模）已知正方形的边长是，过点折叠图形，使得正方形的一条边的端点恰好落在正方形某一边的垂直平分线上，且落在正方形内部，则折痕的长度是___________． 【答案】或 【分析】因为点的对应点在正方形内部，则点可能落在边的垂直平分线上，也可能落在边的垂直平分线上，当点恰好落在边的垂直平分线上时，过点作于点，设，则，，利用勾股定理求出折痕的长度；当点恰好落在边的垂直平分线上，可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，利用的余弦即可求出折痕的长度． 【详解】解：由题意可知，点的对应点在正方形内部， 则点可能落在边的垂直平分线上，也可能落在边的垂直平分线上， 当点恰好落在边的垂直平分线上， 点的对应点为，折痕为， 如下图所示．过点作于点， 则， 在中，， ， ， 由折叠的性质，可得， 作的垂直平分线，交于点，连接，则， ， ， 设， 则，， ， ， 解得：， 在中，， 即， ， 当点恰好落在边的垂直平分线上， 如下图所示．点的对应点为，则为的垂直平分线，折痕为，连接， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，折痕的长度是或． 34．（2026·河南新乡·一模）在中，，，，点P为平面内一点，且，连接，直线与直线交于点D．若，则______． 【答案】1或 【分析】先利用三角函数的定义求得，分两种情况讨论，当点P和点在同侧时，求得，即可求得；当点P和点在异侧时，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：当点P和点在同侧时，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P和点在异侧时，如图， 作线段的垂直平分线交于点，连接，则， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的值为1或． 35．（2026·河南新乡·一模）杨老师在讲勾股数时，在黑板上写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】12， 35， 37 【分析】观察已知各组勾股数，总结各位置数字的变化规律，根据规律推导第⑤组勾股数，再验证是否满足勾股定理. 【详解】解：观察已知勾股数： 第①组：3，4，5 第②组：6，8，10 第③组：8，15，17 第④组：10，24，26 总结规律可得：从第②组开始，每组第一个数依次增加，因此第⑤组第一个数为 ， 对从第②组开始的勾股数，设第一个数为，可得第二个数为，第三个数为，验证规律： 当，对应第②组，， ， ，符合， 当，对应第③组，， ， ，符合， 当，对应第④组，，， ，符合， 因此第⑤组对应，计算得： ， ， ， 验证：，满足勾股数定义． 36．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，，，，D是边上一点（不与点B重合），线段绕点D顺时针旋转得到，连接． （1）当点E在上时，如图（1），则的长度为________； （2）如图（2），点E不在上，F，G分别为，的中点，则线段的最小值为________． 【答案】 / / 【分析】（1）过点E作于点N．因为绕D顺时针旋转得到，所以，；又因为，可证明和全等，突破口是找角的等量关系，利用同角的余角相等推导角相等，再结合已知边的长度，设，用相似三角形的对应边成比例建立方程求解． （2）因为F、G分别是、的中点，根据三角形中位线定理，所以，要求的最小值，只需求的最小值；可构造全等三角形，在上取点M，使，过点E作交的延长线于点H，同（1）可证，易知点E在射线上运动，再根据垂线段最短的性质，找到最短时的位置，进而计算出最小值． 【详解】解：（1）如图（1），过点E作于点N． 由旋转知，， ． 又， ． 又，， ∴， ，． 设，则． 易知， ， ， ， ， ． （2）如图（2），连接， ，G分别为，的中点， ． 在上取点M，使，则． 过点E作交的延长线于点H，同（1）可证， ，， ， ， 易知点E在射线上运动， ∴当时，的值最小， 如图（3），此时， ∴线段的最小值为． 37．（2026·河南南阳·一模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点，，都在格点上，的正切值是______． 【答案】/ 【分析】利用勾股定理得到，再由逆定理得出为直角三角形，利用正切函数求解即可． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理得：， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 三、解答题 38．（2026·河南信阳·二模）如图，与是具有公共顶点的两个三角形，且，，且点在的外角的平分线上，连接． (1)【问题发现】如图1，在和中，． 填空：①线段与的数量关系是________；②的度数是________． (2)【类比探究】 如图2，在和中，，请问（1）中的结论还成立吗？并说明理由． (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，若，连接AE，请直接写出当是直角三角形时的长． 【答案】(1)①；② (2) （1）中的结论不完全成立，理由如下， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（1）中的结论不成立，正确的结论是； (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，特殊角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，特殊角的锐角三角函数等知识点． （1）①根据等边三角形的判定和性质证明，继而得到． ②根据等边三角形的性质和角平分线的定义得到，继而得到，根据，得到． （2）通过证明，得到对应边成比例，进而证明，得到对应边成比例、对应角相等，进而得到，． （3）证明不可能是直角，根据和，分两种情况讨论，根据（2）中的结论，得到的长为或． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴； ②∵平分，， ∴， ∴， 由①可知，， ∴； （2）解：略 （3）解：由（2）知为直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵是直角三角形，且， ∴不可能是直角，分两种情况讨论， 如图，当时， 在中，， 由（2）知， ∴； 如图，当时， 在中，， ∴， ∴当是直角三角形时，的长为或． 39．（2026·河南洛阳·一模）在矩形中，点，分别是，边上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点分别落在点，点处，直线与直线相交于点． (1)如图1，当点在线段上时，与相等的角有 和 ； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接，交于点，连接．求证：； (3)，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由翻折的性质得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； (3)或 【分析】（1）根据折叠与平行线的性质可得答案； （2）结合（）的方法易证，由证得，得出，由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； （3）如图，过作于，求解，设，结合（2）可得：，可得，，过作于，则，而，证明，进一步可得答案，如图，过作于，过作于，同理可得：，. 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折的性质得：， ∴. （2）略 （3）解：如图，过作于， ∵矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，结合（2）可得：， ∴， 解得：， ∴，， 过作于，则，而， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 如图，过作于，过作于， 同理可得：， ∴， 综上：或. 40．（2026·河南平顶山·一模）综合与探究 实践操作：数学操作探究活动可以解决数学中的很多难题，在综合实践课上，数学兴趣小组的同学们以探究“矩形纸片的折叠问题”为主题开展活动．已知在矩形中，，点E在边上，点F在边上． 特例研究： (1)如图1，精英小组将矩形沿进行折叠，使点B的对应点恰好落在边的中点处，求的长． 探索发现： (2)如图2，光明小组将矩形沿进行折叠，使点B的对应点．恰好落在边上，连接，求 的值． 拓展延伸： (3)如图3，星梦小组在其他小组的基础上将矩形沿进行折叠，得到 ，连接，点E是的中点，点F是边上的一个动点（不与的两个端点重合）．当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)5 (2) (3)或 【分析】（1）设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解； （2）先由勾股定理求解，然后证明，即可在中求解； （3）分两种情况讨论，结合勾股定理以及折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∵点是中点， ∴ 设 由折叠可得， ∵ ∴ 解得 ∴的长为； （2）解：∵矩形中，,，， ∴ 由折叠可得， ∴， ∴， ∴ （3）解：当时， ∴ ∴由折叠可得， ∵矩形中，，，，点E是的中点， ∴，是等腰直角三角形， ∴ ∴； ②当时， 由折叠可得， ∴ ∴点三点共线， 设 ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ \综上：的长为或． 41．（2026·河南商丘·一模）【初步探究】 (1)如图1，已知，平分，点在射线上，点在射线上，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长，交射线于点．试探究，，三条线段之间的数量关系． 下面是小东同学给出的不完整解答过程，请补充完整： 解：，平分，． 如图2，过点作，交边于点，则，，． 由旋转，得，． ________，（________），． 易知，即．． 【类比探究】 (2)如图3，已知，平分，点在射线上，点在射线上，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交射线于点．判断（1）中线段，，之间的数量关系是否仍然成立？并请说明理由． 【拓展应用】 (3)如图4，在中，，，平分，点在边上，且，点在线段上，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交射线于点，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)， (2)不成立，见解析 (3)或 【分析】（1）由全等三角形的判定条件构造，在中，， ，从而可得出； （2）类比（1）的解答过程，构造，在等腰三角形中，，利用三角函数的知识推出，从而可得出； （3）根据直角三角形的性质得到，再分和两种情况并利用等量关系分别求的长． 【详解】（1）解：，平分， ． 如图2，过点作，交边于点，则，， ． 由旋转，得， ． ， （）， ． 易知，即． ． （2）解：不成立，理由如下： 平分，， ． 如解图1，将线段绕点顺时针旋转一定角度得到线段，使点落在上，则， ． 易知， ． ． ． 作于点，则， 在中，，即， ， ，， ，即． ． （3）解：的长为或． ， ． ，， ．． 分两种情况：①如解图2，当时， ． ． 由（2）可知，， ，即． ②如解图3，当时， 在中，，，平分， , 在中，，即， ， ． ． ． ． 由（2）可知，， ，即． 综上，的长为或． 42．（2026·河南商丘·一模）在中，，点，分别在，上，，为的中点，为的中点，连接． (1)观察猜想 如图1，连接，为的中点，当时，的形状是 ． (2)类比探究 如图2，当时，求的长． (3)解决问题 如图3，在四边形中，，，，点，分别在，上，，为的三等分点，请直接写出的长． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2) (3)的长为或 【分析】（1）利用三角形中位线定理，结合直角条件判断边长与角度关系； （2）连接，取中点，构造中位线，利用有一个角为的等腰三角形是等边三角形求解； （3）延长、交于点，结合比例关系构造中位线，分、两种情况求解． 【详解】（1）解：为中点，为中点，为中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ， ， ，， 则与相等或互补， 又， ， 的形状是等腰直角三角形． （2）解：如图，连接，取的中点，连接、， 为中点，为中点，为中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， ， 在中，， ， ， 过点作交延长线于， 则， ， ， 在中，． （3）解：如图3，延长、交于点， ， ， ①当时，连接，取的三等分点，，连接、， ， ∵， ， ∴， ， 又， ， ∵， ， ∴， ∴， 根据解析（2）可得：， ∴， 过点作交延长线于， ， ， 在中，； ②当时，连接，取的三等分点，，连接、， ， ∵， ， ∴， ∴， 又， ， ∵， ， ∴， ∴， 根据解析（2）得：， ∴， 过点作交延长线于， ， ， 在中，， 综上，的长为或． 43．（2026·河南三门峡·一模）在中，，，点M为的中点．在中，，． 初步感知： (1)如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空： ． 深入探究： (2)如图2，若将图1中的绕点A按顺时针方向旋转一定的角度，连接并延长到点F，使，连接． ①求的值； ②如图3，点G，H分别为，的中点，连接．在绕点A按顺时针方向旋转一周的过程中，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）①由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解； ②连接，由题意易得，则有，然后可得，则有，进而根据①可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，，且点D，E分别在，上， ∴， ∴； （2）解：①∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②连接，如图所示： ∵点G，H分别为，的中点， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可得， ∴． 44．（2026·河南平顶山·一模）综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】 如图1，折叠矩形纸片，使点A与点C重合，折痕为，将纸片展开，连接，则四边形的形状是______． (2)【深入探究】 如图2，在矩形纸片中，点E，F分别是边上的点，且，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，得到四边形，请你猜想四边形的形状，并说明理由； (3)【拓展应用】 在（2）的条件下，连接．若，，当直线与矩形的一边平行时，请直接写出的长． 【答案】(1)菱形 (2)四边形为平行四边形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质以及等腰三角形的判定可得，即可解答； （2）证明，可得，再证明，可得，即可解答； （3）分两种情况讨论，分别利用相似三角形的和解直角三角形解答即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：当时，设直线交于点G，交于点H，连接交于点O，此时， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，设直线交于点I，交于点J，连接交于点O，连接交于点K，此时， 同理：点I为的中点，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵点B与点M关于对称， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 在中，； 综上所述，的长为或． 45．（2026·河南平顶山·一模）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)______； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)； (2)景点C与景点D之间的距离为 ． 【分析】（1）根据平行线的性质可得出，的度数，再根据即可求解； （2）通过计算的度数，得到，由等角对等边可得，在中，解直角三角形求出，，从而求出，再根据，，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可得，，，，． ，， ； （2）解：∵， ∴． 由（1）得． ∴． ∴ ． ∵， ∴． 由题意得， ∴在中， ，． ∴． ∵， ∴． ∴ ． ∴ ． 答：景点C与景点D之间的距离为． 46．（2026·河南平顶山·一模）【综合与实践】 小明用六根长均为的木棍首尾顺次相接拼成凸六边形（如图）．直线与直线交于点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，得． (1)当六边形的每个内角都相等时，的形状为______． (2)如图，六边形的对边分别平行时，称为“菱六边形”． 若为，为，求的长度． 当为等腰直角三角形时，是否存在“菱六边形”？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出此“菱六边形”的面积． 【答案】(1)等边三角形； (2) 的长度为；存在，“菱六边形”的面积为． 【分析】（）根据六边形的每个内角都相等，则每个内角都为，故有每个外角都为，从而求得，故是等边三角形； （）由六边形是“菱六边形”，则，，所以，，则有，，然后代入即可求解； 分当时，当时，当时三种情况，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 由六边形的内角和为， ∵六边形的每个内角都相等， ∴每个内角都为， ∴每个外角都为，即， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：如图， ∵六边形是“菱六边形”， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为； 存在，“菱六边形”的面积为． 当时，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵六边形是“菱六边形”， ∴，，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴“菱六边形”的面积为 ； 如图，当时，同理可得：“菱六边形”的面积为； ， 如图，当时，同理可得：“菱六边形”的面积为． 综上可知，“菱六边形”的面积为． 47．（2026·河南省直辖县级单位·一模）【定义】如果从某一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，该对角线可称为“垂中对角线”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在平行四边形中，于点E，交于点F，若F为的中点，则平行四边形是垂中平行四边形，E是垂中点． 【应用】 (1)①菱形______（填“可能”或“不可能”）是“垂中平行四边形”． ②如图1，平行四边形是“垂中平行四边形”，其中是“垂中对角线”，则的值为______． (2)如图2，在矩形中，，．若该矩形是“垂中平行四边形”，且是其“垂中对角线”，求的长． (3)如图3，在中，于点E，，．若是某个“垂中平行四边形”的边，点E为该“垂中平行四边形”的垂中点，点A在垂中平行四边形的边上，请直接写出这个“垂中平行四边形”的周长． 【答案】(1)①不可能② (2) (3)或或 【分析】（1）①由菱形对角线的性质，就可以判定； ②过点D，作，四边形是平行四边形，易证点H也是中点，由平行线分线段成比例，可知，所以； （2）过点B作，垂足为F，交于点E，四边形是矩形，也是“垂中平行四边形”，证明，根据边长成比例，求出； （3）分三种情况，运用平行四边形性质，相似三角形，判定“垂中平行四边形”，再结合平行四边形的性质，勾股定理，求出四边形的周长． 【详解】（1）解：①不可能．因为菱形的对角线互相垂直，点F与D点重合，不是中点，所以菱形不是“垂中平行四边形”； ②过点D，作，交于点G，交于点H，如下图， 四边形是“垂中平行四边形”， ，，， 四边形是平行四边形， ，即点H也是中点， ， 即． （2）解：过点B作，垂足为F，交于点E，如下图 矩形是“垂中平行四边形”， ，， 四边形是矩形， ， ，垂足为F， ， ， 又， ， ， ， ． （3）解： ， ， 构成“垂中平行四边形”，分三种情况 ①过点A作，过点C作，与相交于点D，延长交于点F，如下图 四边形是平行四边形， ，即， 点F是中点， ， 四边形是“垂中平行四边形”， 且， ， ； ②过点C作，与的延长线交于点D，过点D作，交的延长线于点F，如下图 四边形是平行四边形， ，， ，即，点A是中点， ， 四边形是“垂中平行四边形” 由①知， ； ③过点A作，交的延长线于点D，连接，过点B作，交的延长线于点F，四边形是平行四边形，如下图 ， ， ，即，， 点A是的中点， ，是对角线， 四边形是“垂中平行四边形”， 在中，， 由①知， ． 48．（2026·河南商丘·一模）如图1所示的茗阳阁被誉为“中原第一大阁楼”．某数学小组的同学想利用测角仪和皮尺测量茗阳阁的高度，他们的测量方案如下： 【测量方案】 第一步：如图2，在茗阳阁底部正东方向的点处测得塔顶的仰角为． 第二步：如图3，从点处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点，且测得点在点南偏东方向上（点，，在同一水平地面上）． 【问题解决】 根据以上信息，求茗阳阁的高度（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】 【分析】在图3上过点作于点，由题意可知，，，根据30度角的性质得到，根据勾股定理得到，根据等角对等边得到，可知，在图2的中，根据三角函数求解即可． 【详解】解：在图3上过点作于点，如解图所示． 由题意，得，，， 在中，， ． ． 在中，， ． ． 在图2的中，，， ． 答：茗阳阁的高度约为． 49．（2026·河南南阳·一模）如图（1），点在菱形的对角线上，交于点，交于点，． 初步感知 (1)①连接．求证：为等边三角形； ②的值为__________． 深入探究 (2)将四边形绕点C顺时针旋转（旋转角），连接，，，如图（2），在旋转过程中，试探究与之间的数量关系是否发生变化，并说明理由． 拓展运用 (3)连接，，．若，，则在四边形绕点旋转的过程中，当时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)不发生变化．理由见解析 (3)的长为或 【分析】（1）证明四边形是菱形，利用菱形的性质可得，，即可得证；证明，得到，，再由菱形的性质得到，根据等边对等角以及三角形的内角和定理求得的度数，解直角三角形得到与的数量关系，即可得解； （2）由（1）可得，由旋转的性质可得，，分两种情况讨论，当，，三点不共线时，当，，三点共线时，根据线段之间的数量关系求解即可； （3）分两种情况讨论．当，两点位于两侧，当，两点位于同侧，先通过平行线的性质证明，，三点共线，过点作的垂线，通过解直角三角形求解即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，． 四边形是菱形， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，， 是等边三角形．                     解：，， ， ，． 四边形是菱形， ， ， ， ．    （2）解：不发生变化．理由如下： 在题图（1）中，， ， ， ， 当，，三点不共线时， 由旋转的性质可得，， ，， ， ．         当，，三点共线时，． 综上，在旋转过程中，．               （3） 解：由（2）可知， ，， ，． 是等边三角形，． 分两种情况讨论． 当，两点位于两侧，且时，如图（1）． ， ， ， ， ，，三点共线．过点作于点，连接， ，， ， ， ． 当，两点位于同侧，且，如图（2）． ， ， ． ， ，，三点共线， ． 过点作于点，连接， 则，， ， ， ． 综上，的长为或． 50．（2026·河南驻马店·一模）初中几何的三大变换：平移，旋转，轴对称．翻折作为轴对称的一种情况，在初中几何题中占据一定的权重． 问题情境：“综合与实践”课上，小明提出如下问题：如图1，矩形纸片中，，，点在边上，将矩形纸片沿折叠，点落在原纸片所在平面上点的位置．如图2，当点为边的中点时，判断与的位置关系，并说明理由． 数学思考： (1)请你解答小明提出的问题． 深入探究： 当点不是边的中点时，请同学们提出新的问题． (2)“善思小组”提出问题：如图3，若点在对角线上，求的长．请你解答此问题． (3)“慧学小组”提出问题：若，求的长．请直接写出答案． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)的长为或 【分析】（1）由折叠得到的，两者全等；结合点为边的中点，得到等腰三角形，再利用三角形的外角定理，得到，由平行线判定定理，得出结论； （2）根据由折叠得到的，是轴对称图形，对称轴垂直平分，证明，是解本题的关键，最后根据对应边成比例，求出的长； （3）根据点F在矩形纸片的位置不同，分两种情况讨论：①内部时，根据折叠的性质，先证明，再证明，得到，结合，求出，最后求出；②外部时，根据折叠的性质先证明，再证明，得到，结合，求出，最后得到的长． 【详解】（1），理由如下： 由折叠得到的， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 又， ， ， ． （2）解：四边形是矩形， ， ， 是由折叠而来，是对称轴，点A的对应点是点F， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． （3）解：根据点F在矩形纸片位置不同，分两种情况讨论 ①在矩形纸片内部时， 过点F作线段，交于点G，交于点H，如下图 四边形是矩形， ， 由折叠得到的， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 设， ，得， 即, ； ②在矩形纸片外部时， 过点F作直线，交于点G，交于点H， 四边形是矩形， ，， 由折叠得到的， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 设， ，得， 即, ； 综上所述，的长为或． 51．（2026·河南新乡·一模）【综合与实践】从特殊到一般再从一般到特殊的数学思想方法，是一种完整的“观察→猜想→证明→应用”的数学实践，是数学创造性思维与严谨推理的结合．小军尝试用这种重要的数学思维方式解决下列问题： 如图，在矩形中，，，点P是射线上的一个动点，连接，将绕点P顺时针旋转得到线段，连接交于点M． (1)如图1，当点E恰好落在的延长线上时，的长为______． (2)如图2，过点E作垂直射线，垂足为点F． ①当点P在边上时，探索与的数量关系，并说明理由． ②当点P在的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出正确的结论． (3)小军发现在点P从点D沿射线运动的过程中，会出现两次的特殊情况，则此时的长为______． 【答案】(1) (2) ①，理由如下： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点P在边上，， ， ； ②不成立， (3)或 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再根据旋转的性质得到，证明，即可得到，即可得到答案； （2）①根据题意证明，得到，再根据，即可得到结论； ②根据题意证明，得到，再根据，即可得到结论； （3）证明，得到，设，分当点P在边上时和当点P在的延长线上时两种情况分类讨论即可． 【详解】（1）解：矩形， ， 点E恰好落在的延长线上， ， 将绕点P顺时针旋转得到线段， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：①略； ②不成立，理由如下： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 当点P在的延长线上时，， ， ； （3）解： ， 设， ①当点P在边上时，， 小军发现在点P从点D沿射线运动的过程中，会出现两次的特殊情况， ， ， ， ， 解得或（舍去）； ②当点P在的延长线上时， ， ， ， 解得或（舍去）， 综上所述，当或时，． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05三角形 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 河南考情(2022-2026) 命题规律 近5年每年必考，选择填 空基础题，分值3分；常 以基础计算为主，核心考查三角形内角和180°、外角 考点01与三角形 搭配内角和、外角定理、 角平分线综合考查， 等于不相邻两内角和；常结合平行线、角平分线、三 有关的角 2023、2025年单独出小 角板拼图模型；难度极低，属于送分基础考点；极少 单独出压轴，多作为复杂几何题的前置计算步骤 题，其余年份融入几何大 题第一问 5年全覆盖考查，题型包 含选择填空（添加判定条 必考SSS、SAS、ASA、AAS四大判定，直角三角形额 考点02三角形全 件)、解答证明大题，分 外考查HL;高频考"补充一个条件证全等"类选择题： 值3-8分；解答题固定在 大题常搭配平移、旋转、折叠几何变换模型：注重规 等的判定 几何证明板块，2024、 范推理书写，是几何证明核心基础：手拉手全等模型 2026年结合旋转模型综合 为高频压轴载体 考查 近5年高频考查，5年8 考，选择填空+解答综 核心考查等边对等角、三线合一两大性质；易错点为 考点03等腰三角 合，分值3-7分：2022、 等腰三角形边长角度的分类讨论（多解问题）；常结 2026年压轴几何大题涉及 合全等、勾股定理、坐标系动点出题；近年侧重多解 形 等腰分类讨论；2026年填 题型，区分基础与拔高学生：等边三角形常与旋转结 空压轴结合角平分线考查 合命题 线段求值 年年考查，5年11考，分 散在选择、填空、解答全 重点考查直角两锐角互余、30°直角边性质、斜边中线 考点04直角三角 题型，分值3-9分；常与 等于斜边一半；常结合折叠、动点、圆的切线模型： 形 勾股、三角函数、四边形 命题倾向几何综合串联，是连接全等与勾股、解直角 综合，2025年单独出填空 三角形的桥梁考点；斜中半性质为高频隐藏条件 压轴 考点05勾股定理 5年必考核心计算考点， 勾股定理用于线段长度计算，逆定理判定直角三角 及其逆定理 填空、解答高频出现，分 形：高频考网格求值、折叠求边长、航海梯子实际情 1/24 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 值3-10分：几何大题、网 格作图、实际应用题均会 境：常与等腰、直角三角形、四边形、圆综合；几何 涉及，2023、2026年结合 压轴题线段最值、存在性问题均依赖勾股计算；是几 何计算的核心工具性考点 折叠求线段长度 五年真题分类园 考点01与三角形有关的角 1. (2026河南·中考真题)如图是高铁线路上某高压线支撑结构的部分示意图，已知ABCD, ∠1=50°，∠2=30°，则∠3的度数为() A 3 C D A.90° B.80° C.70° D.60 2.(2026河南中考真题)如图，AB为⊙O的直径，C,D为⊙O上两点，∠ADC=40°，则∠CAB 的度数为 C B D 考点02三角形全等的判定 3.(2025河南·中考真题)在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB,垂足为 点D,过点D作DE⊥OA,垂足为点E,直线DE,OC交于点F,过点C作CG⊥DE,垂足为点G. 2/24 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E G B 图1 图2 (1)观察猜想 如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG,OE,OD的数量关系： (2)类比探究 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断(1)中的结论是否仍然成 立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明 3)拓展应用 当0°<∠AOB<180°，且∠AOB≠90时，若 GF =3,请直接写出 OD F 的值、 CD 4.(2024河南·中考真题)综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行 研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形. ② 3 图1 D 图2 图3 (1)操作判断 用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 (填序号). 3/24 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质. 如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD,AC是它的一条对角线， ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若BC=m,DC=n,∠BCD=20,求AC的长（用含m,m,0的式子表示）. 3)拓展应用 如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=4,分别在边BC,AC上取点M,N,使四边形 ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长. D ABCD B ,四边形 是邻等对补四边形， ∴.∠ABC+∠D=180°， :∠ABC+∠ABE=180°， .∠ABE=∠D, .AB=AD ∴△ABE≌△ADC SAS, ∠E=∠ACD,AE=AC, ∴.∠E=∠ACB .∠ACD=∠ACB 5.(2023河南中考真题)如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD=AB. D (1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）· (2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E,连接DE.求证：DE=BE. 考点03等腰三角形 4/24 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2026河南中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,CD是角平分线.点E为边BC上 一点，连接AE,交CD于点F,连接BF.若AE=25,则BF的长为 D 7.(2026河南·中考真题)在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4.将边AB绕点A逆时针旋转至AE, 记旋转角为Q.作射线DE,在射线DE上取一点H,使BH=BE,连接CH. B B 图1 图2 (1)【观察猜想】 当@=30时，如图1，∠BEH的度数为 CH的长为 (2)【探究证明】 当0°<a<120时，(1)中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立， 请说明理由. 3)【拓展延伸】 当0°<a<120时，若△DCH的面积为4/2，请直接写出此时旋转角a的度数. 8.(2025河南·中考真题)定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”.如图，在 △ABC中，AB=AC=5,BC=8,点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 5/24 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点04直角三角形 9.(2022河南中考真题)如图，在Rt△4BC中，∠ACB=90°，AC=BC=2V2,点D为AB的中点，点 P在AC上，且CP=1,将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q,连接AQ,DQ.当∠ADQ= 90时，AQ的长为. A 品 考点05勾股定理及其逆定理 10. (2026河南中考真题)如图，△ABC与△ABC关于直线l对称，∠C=90°，AC=8,BC=6, AB的长为() A.6 B.8 c.10 D.12 11.(2025河南中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6,点E在边BC上，连接AE,将 △ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为() D 6/24 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.6-3V2 c.2V2 D.6V2-6 12.(2024河南·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为 -2,O,点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为0,6，则点E的 坐标为 A E C B 13.(2023河南.中考真题)如图，PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点B,点C在PA上，且CB=CA 若OA=5,PA=12,则CA的长为· B A 一年摸拟练测园 一、单选题 1.(2026河南平顶山一模)如图，直线ABCD,直线EF⊥EG.若∠1=28°，则∠2=()· B 2 D A.48° B.58 C.62° D.52° 2.(2026河南新乡·一模)我们在探究两个三角形全等的过程中，知道两边和一角对应相等的两个三角形 不一定全等.如图，点B、C、D、E在同一直线上，∠B=∠B,AB=AB,AC=AD,但△ABC与 △ABD不全等，因为∠BAC≠∠BAD,我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.若AB=AE, 7/24 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC=AD,则图中与△AEC是“伪全等三角形”的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(2026河南平顶山一模)如图1，在菱形ABCD中，BC=23,∠BAD=120°·将△BCD沿 直线BD向左平移，得到△BCD,O为BD的中点，连接OC,如图2，当OC⊥BC时，BB的长为 () A B D B D 图1 图2 A.3 B.3 C.2 D.33 2 4. (2026河南平顶山一模)如图，直线m‖n,△ABC是等边三角形，点A,C分别在直线m,n上， BC交直线于点D.若∠1=35°，则∠BAD的度数为() B A.35 B.30 C.25° D.15° 5.(2026河南三门峡.一模)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点 O重合，AB‖x轴，交y轴于点G.将△OBG绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转结 束时，点B的对应点的坐标为() 8/24 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.3,-1 B.-1,-3 c.-3,1 D.1,3 6.(2026河南安阳一模)如图，在平面直角坐标系中，已知A0,0,B2,0,△APB是等边三角形， 把△APB绕点B顺时针旋转180°，得到△BP,C;把△BP1C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP2D, …,依此类推，则旋转2026次后得到的等边三角形的顶点P的坐标为（） P B (A)O A.2026,3B.|2026,-3 C.4053,3 D.4053,-93 7.(2026河南三门峡.一模)如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=4,E为BC边上一点，将 △ABE沿AE翻折，使点B的对应点F落在BC的延长线上，连接AF交CD于点G,则CG的长为 () A.2 B.2 C.4-2V2 D.42-4 8.(2026河南平顶山一模)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=4,以AB为直径的 半圆O交AC于点D,则BD的长为() 9/24 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D π B.3 C.π D. 9.(2026河南三门峡.一模)如图所示，在矩形ABCD中，BC=3AB,点M,N分别在边BC,AD上. 连接MN,将四边形CMND沿MN翻折，点C,D分别落在点A,E处.则tan∠AMN的值是() E A M A.2 B.2 C.3 D.93 10.(2026河南商丘一模)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD,交CD于点E,连接BE,点F为 BE的中点，连接CF,若AB=5,AD=4.则CF的长为() E D V17 A. B.V17 D.3 2 11.(2026河南商丘一模)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC>90°，以边AB为直径作⊙O, ⊙O交边BC于点D,延长CA交⊙O于点E,连接DE.若BC=6,则DE的长为() D A.2 B.3 C.4 D.5 12.(2026河南周口一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点E为BC中点，若 10124 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC=6,BD=8,则OE的长为() A D B A.2 B.2.5 C.3 D.4 13.(2026河南漯河·一模)如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=4,M为边BC的中点，N为边 AB上一点，将△BMN沿MN所在的直线折叠，点B的对应点B恰好落在边AB上，则AB的长为(） D B N B M A.1 B.4-V2 c.2V2 D.4-22 14.(2026河南平顶山一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E为OA的中点， EF‖CD交AD于点F,EGDB交AB于点G.若EF=5,EG=6,则菱形ABCD的对角线AC长度为 () A.36 B.32 C.28 D.24 15.(2026河南洛阳一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB上一点，以AD为直径的 ⊙O与BC相切于点E,连接AE,DE,若∠BAC=60°，AC=6,则⊙O的直径为() 0 D E 11/24 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.3 B.8 c.43 D.8-43 二、填空题 16.(2026河南信阳·二模)如图，在等腰直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB=2,将△AOB绕点 O逆时针旋转30°得到△COD,则图中阴影部分的面积为 17.(2026河南平顶山一模)定义：一个等腰直角三角形的直角顶点在另一个直角三角形直角边的中点 处，且斜边为这个直角边的一半，那么这两个直角三角形叫做“双直半边三角形”.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10,BC=6,△乙的顶点D在边AC上，连接CF.将△DFE绕点D旋转， 若这两个直角三角形为“双直半边三角形”，当边EF被AC垂直平分时，CF的长为 D E 18.（2026河南南网一模)如图，BC1AC,am∠BAC=音BC-5,E是AB边上一动点，过点E 作DE⊥AB交AC边于点D,将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的点F处，连接FC,当△BCF 是以BF为腰的等腰三角形时，AD的长为 E A- 19.(2026河南商丘一模)定义：若三角形一条边上的高在三角形内部，且等于这条边长的一半，则称 这个三角形为“半高三角形”.如图，在△ABC中，AB=AC=13,BC=6,D为边BC上的一点.若 △ADC为“半高三角形”，则BD的长为一 12124 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 河南周口·一模)如图，在口ABCD中，BC>AB,AB=5,AC=4,sin∠AB( F分别为线段AC,BC上的点，且满足AE=CF,则AF+BE的最小值为· 21. (2026河南三门峡.一模)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=8,D是AB的 中点，M是边AC上的动点，作DN⊥DM,交BC于点N,延长MD到点P,使得DP=MD.线段 AM与CN的数量关系为 当△PNB面积最大时，AM的长为 B 22.(2026河南平顶山一模)已知△ABC是有一个角为40°的等腰三角形，AB=AC,分别作AB、AC 的垂直平分线交直线BC于点D、E,则∠DAE的度数为 23.(2026河南省直辖县级单位一模)如图，等边三角形OAB的顶点O0,0,B|5,0,点A在第一象限 内，点C在边OB上且BC=2,点D为边AB上一动点（不与点B重合），连接CD,将△BCD沿CD折叠 得到△ECD,当△AOE的面积最小时，点E的横坐标为· D C B主 13/24 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24. (2026河南三门峡一模)如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=33,对角线AC,BD交于点O,将 △OAD绕点O顺时针旋转至△OEF,EF与AD,OD分别交于点M,N.当△DMN为直角三角形时， DM的长为 25. (2026河南商丘一模)如图，在正方形ABCD中，E为边AD上一点（不与端点重合），连接EC, 以点E为直角顶点在EC左侧作等腰直角三角形EFC,其中EF交AB于点M,CF交AB于点N.若CD=3, E为线段AD的三等分点，则MN的长为 A D M B 26.(2026河南周口一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,点P是AB边 上一动点，将△ACP沿CP折叠，点A的对应点为A,当AP⊥BC时，则AP的长为 D B 27.(2026河南驻马店.一模)如图，在四边形ABEC中，∠BEC和∠BAC都是直角，且AB=AC,现 将△BEC沿BC翻折，点E的对应点为E,BE与边AC相交于点D,恰好BE是∠ABC的角平分线，则 ∠DCE= °，若BD=2,则CE= E B 14/24 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 28.(2026河南南阳一模)定义：如果三角形的两个内角Q与β满足a+2β=90°，那么我们称这样的三 角形为“类直角三角形”，如图，在Rt△ABC中.∠C=90°，BC=3,AB=5,点D在AC边上，使得 △ABD是“类直角三角形”，则CD=· 29.(2026河南许昌一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5,点D在射线BC上， 将线段AD绕点A顺时针旋转45°得到线段AE,过点E作EF‖BC,交AB于点F.若EF=2,则BD的长 为 B D C 30.(2026河南平顶山一模)在三角形纸片ABC中，AB=AC=2,∠B=15°，点D是边BC上的动点， 将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B处，当BD⊥BC时，连接BB,BB的长为 31.(2026河南南阳一模)若一个三角形三边长之比为3：4：5，则称这个三角形为“勾股三角形”，如 图，在矩形ABCD中，AB=5,AD>AB,点E在边AD上，将△ABE沿BE折叠，得到△FBE,过点F 作FG⊥BC于点G.若△FBG是“勾股三角形”，则AE的长为· G 32.(2026河南平顶山一模)如图，△AOB是等腰直角三角形，斜边长是1，把△AOB绕点B顺时针旋 转180°，得到△A1O1B1,把△A1O1B1绕点O1顺时针旋转180°，得到△A2O2B2,把△A2O2B2绕点 B2顺时针旋转180°，得到△A3O3B3,…,依次类推，这样连续旋转2025次，则点A2025的坐标是 15124 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A O B/ B O B A 33. (2026河南平顶山一模)已知正方形ABCD的边长是2，过点B折叠图形，使得正方形的一条边BC 的端点C恰好落在正方形某一边的垂直平分线上，且落在正方形ABCD内部，则折痕的长度是 34.(2026河南新乡.一模)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2,∠BAC=15°，点P为平面内一点， 且2AP=AB,连接BP,直线BP与直线AC交于点D.若∠APB=90°，则CP 二 CB 35.(2026河南新乡一模)杨老师在讲勾股数时，在黑板上写出了下列几组勾股数：①3,4,5：②6， 8,10:③8,15,17；④10,24,26；…根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 36.(2026河南南阳一模)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=6,D是BC边上一点 (不与点B重合)，线段DA绕点D顺时针旋转90°得到DE,连接AE. B D 图(1) 图(2) (1)当点E在AC上时，如图(1)，则BD的长度为 (2)如图(2)，点E不在AC上，F,G分别为AC,AE的中点，则线段FG的最小值为 37.(2026河南南阳一模)如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶 点A,B,C都在格点上，∠ACB的正切值是 三、解答题 38.(2026河南信阳·二模)如图，△ABC与△DBE是具有公共顶点的两个三角形，且 16124 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABC=∠DBE=a,∠ACB=∠DEB=60°，且点E在△ACB的外角∠ACP的平分线上，连接AD. D D A 图1 图2 备用图 (1)【问题发现】如图1，在△ABC和△BDE中，a=60°， 填空：①线段AD与CE的数量关系是 :②∠BAD的度数是 (2)【类比探究】 如图2，在△ABC和△DBE中，Q=90°，请问(1)中的结论还成立吗？并说明理由. 3)【拓展延伸】 在(2)的条件下，若BC=1,连接AE,请直接写出当△ACE是直角三角形时AD的长. 39.(2026河南洛阳·一模)在矩形ABCD中，点M,N分别是AD,BC边上的动点，且AM=CN,连 接MN,将矩形ABCD沿MN折叠，点C,D分别落在点C,点D处，直线MD与直线BC相交于点P M D M D D C 图1 图2C 备用图 (I)如图1，当点P在线段CB上时，与∠PMN相等的角有_和_； (2)如图2，当点P在线段CB的延长线上时，连接AC,交MN于点O,连接OP.求证：OP⊥MN: )AB=6,BC=8'当MN=2O时，请直接写出BP的长. 40.(2026河南平顶山一模)综合与探究 实践操作：数学操作探究活动可以解决数学中的很多难题，在综合实践课上，数学兴趣小组的同学们以探 究“矩形纸片的折叠问题”为主题开展活动.已知在矩形ABCD中，AB=24,AD=18,点E在BC边上， 点F在AB边上， 17124 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图1 图2 图3 特例研究： (I)如图1，精英小组将矩形ABCD沿EF进行折叠，使点B的对应点B恰好落在CD边的中点处，求CE的 长. 探索发现： (2)如图2，光明小组将矩形ABCD沿AE进行折叠，使点B的对应点.B恰好落在CD边上，连接BB,求 tan∠ABB的值. 拓展延伸： (3)如图3，星梦小组在其他小组的基础上将矩形ABCD沿EF进行折叠，得到△BEF,连接AB,点E 是BC的中点，点F是AB边上的一个动点（不与AB的两个端点重合），当△ABF为直角三角形时，直 接写出AF的长 41.(2026河南商丘一模)【初步探究】 图1 图2 图3 图4 (I)如图1，已知∠ACB=90°，CD平分∠ACB,点E在射线CD上，点G在射线CA上，连接EG,线段 EG绕点E逆时针旋转90°得到线段EF,连接FG,延长FE,交射线CB于点M.试探究CG,CE,CM 三条线段之间的数量关系 下面是小东同学给出的不完整解答过程，请补充完整： 解：，∠ACB=90°，CD平分∠ACB,∴.∠BCD=∠DCG=45° 如图2，过点E作EN⊥EC,交BC边于点N,则∠NEC=90°，∠ENM=∠BCD=45°，∴.CE=NE, 由旋转，得∠FEG=90°，∴.∠MEG=∠NEC=90° ,'.∠NEM=∠ —'∴.△NEM≌△CBG ），.MN=GC 易知CN=2CE,即MN+CM=V2CE.∴.CG+CM=-V2CE. 【类比探究】 18124 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)如图3，已知∠ACB=60°，CD平分∠ACB,点E在射线CD上，点G在射线CA上，连接EG,线段 EG绕点E逆时针旋转60°得到线段EF,连接FG,延长FE交射线CB于点M.判断(1)中线段CG,CE, CM之间的数量关系是否仍然成立？并请说明理由. 【拓展应用】 3)如图4，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB,点G在边CA上，且 AC=3CG=6,点E在线段CD上，连接EG,线段EG绕点E逆时针旋转60°得到线段EF,连接FC,延 长FE交射线CB于点M,连接DM.当△BDM为直角三角形时，请直接写出CE的长. 42.(2026河南商丘.一模)在△OAB中，∠O=Q,点C,D分别在OA,OB上，AD=BC=6,M为 DC的中点，N为AB的中点，连接MN. D W 图1 图2 图3 1)观察猜想 如图1，连接BD,P为BD的中点，当C=90时，△PMN的形状是_. (2)类比探究 如图2，当a=60°时，求MN的长. (3)解决问题 如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠ABC=120°，AD=6,BC=9,点M,N分别在CD,AB上， ANDM AB CD ,N为AB的三等分点，请直接写出MN的长。 43. (2026河南三门峡.一模)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点M为AB的中点.在 Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=DE=2. 初步感知： 19124 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M(E) 图1 图2 图3 (1)如图1，当点D,E分别在AC,AB上时，请完成填空： CD AE 深入探究： (②)如图2，若将图1中的△ADE绕点A按顺时针方向旋转一定的角度，连接EM并延长到点F,使 MF=EM,连接AF. ①求CD F的值： ②如图3，点G,H分别为DE,BC的中点，连接GH.在△ADE绕点A按顺时针方向旋转一周的过程中， GH 请直接写出 AF的值 44.（2026河南平顶山·一模)综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. F D B E B 图1 图2 ()【操作判断】 如图1，折叠矩形纸片ABCD,使点A与点C重合，折痕为EF,将纸片展开，连接AE,CF,则四边形 AECF的形状是 (2)【深入探究】 如图2，在矩形纸片ABCD中，点E,F分别是BC,AD边上的点，且BE=DF,将△ABE沿AE翻折得到 △AME,将△CDF沿CF翻折得到△CNF,连接AN,CM,得到四边形AMCN,请你猜想四边形 AMCN的形状，并说明理由； 3)【拓展应用】 在(2)的条件下，连接MN.若AB=5,BC=6,当直线MN与矩形ABCD的一边平行时，请直接写出 20/24 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE的长. 45.(2026河南平顶山一模)如图，某景区内两条互相垂直的道路a,b交于点M,点A,B在道路a上， 景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.测得 景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西 45°方向上.已知AB=4km 北 b 东 45° 309 E60% a B A M ()∠ACB= (2)求景点C与景点D之间的距离.（结果保留根号） 46.（2026河南平顶山一模)【综合与实践】 小明用六根长均为0.75m的木棍首尾顺次相接拼成凸六边形ABCDEF(如图1)·直线AB与直线CD交 于点G,直线CD与直线EF交于点H,直线EF与直线AB交于点Q,得△GHQ 0 A E B D 图1 图2 (1)当六边形ABCDEF的每个内角都相等时，△GHQ的形状为 (②)如图2，六边形ABCDEF的对边分别平行时，称为“菱六边形”. ①若GH为3m,HQ为4m,求GQ的长度. ②当△GHQ为等腰直角三角形时，是否存在“菱六边形”？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写 出此“菱六边形”的面积 47.(2026河南省直辖县级单位一模)【定义】如果从某一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对 角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中 平行四边形”，该对角线可称为“垂中对角线”，垂足叫做“垂中点”· 21124 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图1，在平行四边形ABCD中，BF⊥AC于点E,交AD于点F,若F为AD的中点，则平行四边形 ABCD是垂中平行四边形，E是垂中点. A D D E 图1 图2 图3 【应用】 (1)①菱形 (填“可能”或“不可能”)是“垂中平行四边形”· ②如图1，平行四边形ABCD是“垂中平行四边形”，其中AC是“垂中对角线”，则A二 的值为一 AC 2)如图2，在矩形ABCD中，AD=63,AD>AB.若该矩形是“垂中平行四边形”，且AC是其“垂 中对角线”，求AB的长. 3)如图3，在△ABC中，BE⊥AC于点E,CE=2AE=4,BE=3.若BC是某个“垂中平行四边形” 的边，点E为该“垂中平行四边形”的垂中点，点A在垂中平行四边形的边上，请直接写出这个“垂中平 行四边形”的周长。 48.（2026河南商丘·一模)如图1所示的茗阳阁被誉为“中原第一大阁楼”，某数学小组的同学想利用 测角仪和皮尺测量茗阳阁的高度，他们的测量方案如下： 北 东 B 53入 45 60 M 图1 图2 图3 【测量方案】 第一步：如图2，在茗阳阁底部B正东方向的点M处测得塔顶A的仰角为53° 第二步：如图3，从点M处出发，沿着南偏西60°的方向行进了26m到达点N,且测得点N在点B南偏东 45°方向上（点B,M,N在同一水平地面上）. 【问题解决】 根据以上信息，求茗阳阁的高度AB(结果精确到1m.参考数据：5in53°≈ 5,c0s53≈3 an3-李3-1.7). 49.(2026河南南阳一模)如图(1)，点M在菱形ABCD的对角线AC上，MN‖BC交CD于点N, 22124 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MG‖CD交BC于点G,∠ABC=120 M 图(1) 图(2) 备用图 初步感知 I)①连接GV.求证：△MNG为等边三角形： ②AM 的值为 BG 深入探究 (2)将四边形MNCG绕点C顺时针旋转(0°<旋转角<360)，连接AM,BG,CM,如图(2)，在旋 转过程中，试探究AM与BG之间的数量关系是否发生变化，并说明理由， 拓展运用 3)连接GN,AM,CM.若AC=8,CM=2,则在四边形MNCG绕点C旋转的过程中，当GN‖AB时， 直接写出AM的长， 50.(2026河南驻马店一模)初中几何的三大变换：平移，旋转，轴对称.翻折作为轴对称的一种情况， 在初中几何题中占据一定的权重. 问题情境：“综合与实践”课上，小明提出如下问题：如图1，矩形纸片ABCD中，AB=5,BC=8,点 E在边AD上，将矩形纸片沿BE折叠，点A落在原纸片所在平面上点F的位置.如图2，当点E为边AD的 中点时，判断DF与BE的位置关系，并说明理由 F E E E A B A A B 图1 图2 图3 备用图 数学思考： (1)请你解答小明提出的问题. 深入探究： 23124 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当点E不是边AD的中点时，请同学们提出新的问题， (2)“善思小组”提出问题：如图3，若点F在对角线AC上，求AE的长.请你解答此问题. 6整学小组”提出问慰：若1an∠FBC=子求AE的长.请直接写出答案 51.(2026河南新乡·一模)【综合与实践】从特殊到一般再从一般到特殊的数学思想方法，是一种完整 的“观察→猜想→证明→应用”的数学实践，是数学创造性思维与严谨推理的结合.小军尝试用这种重要 的数学思维方式解决下列问题： A D M B E D 图1 图2 如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=2,点P是射线DC上的一个动点，连接AP,将AP绕点P顺时针 旋转90°得到线段PE,连接AE交DC于点M. (I)如图1，当点E恰好落在BC的延长线上时，CP的长为 (2)如图2，过点E作EF垂直射线DC,垂足为点F. ①当点P在边DC上时，探索EF与CP的数量关系，并说明理由. ②当点P在DC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出正确 的结论。 (3)小军发现在点P从点D沿射线DC运动的过程中，会出现两次DM=CP的特殊情况，则此时CP的长为 24124