第44讲 数列求和·讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦数列求和核心考点，涵盖等差等比数列求和公式及分组、并项、倒序相加、错位相减、裂项相消等8种方法，按考情分析、知识清单、典题精练、高考真题逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节帮助学生突破代数变形与综合应用难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义以分层考法设计（22种考法）和核心素养融合为特色，如裂项相消总结等差、根式等6类技巧，错位相减规范四步流程，培养学生数学思维的推理能力与数学语言的模型意识。设置基础到综合的分层练习，配合即时方法总结，确保学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第44讲 数列求和 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精练 2 考点一：公式法 2 考点二：分组求和法 3 考点三：并项求和法 4 考点四：倒序相加法 5 考点五：错位相减法 5 考点六：裂项相消法 6 考点七：放缩与裂项求和 8 考点八：分段数列求和 8 四、高考真题 9 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 — — — — 2025 第13题 填空题 5分 直接 考察等比数列的前项和公式及基本量计算 2025 第16题 解答题 15分 间接 在导数与多项式背景下，间接考察等比数列求和公式的应用 2026 第7题 单选题 5分 直接 结合实际情境，考察等差数列求和公式及分组求和思想 2026 第14题 填空题 5分 直接 结合新定义与不等式，考察数列的局部求和（并项求和）及等比数列性质 近三年全国一卷中，数列求和知识点的考查频率较高.既有直接利用公式求基本量的基础题，也有结合实际情境、导数、不等式等知识的综合题，对考生的代数变形能力和数列求和思想的应用提出了较高要求. 2. 命题角度与特色 （1） 基础与综合并重：既有对等差、等比数列求和公式的直接考查，也有将其作为工具融入导数、多项式等综合问题中，体现了知识的交汇性. （2） 突出思想方法：常结合分组求和、并项求和等思想，要求考生具备灵活处理数列片段和的能力，如通过局部求和探究数列的整体性质. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握等差、等比数列的前项和公式，能够灵活运用公式解决基本量计算问题. （2） 掌握常见的数列求和方法，如分组求和、并项求和、错位相减、裂项相消等，提升代数变形与化简能力. （3） 注重知识的交叉与融合，学会在导数、不等式、实际应用题等不同背景下识别并应用数列求和模型. 二、知识清单 1. 等差数列的前项和公式与性质 （1） 公式：，推导方法：倒序相加法. （2） 函数特征：当时，，是关于的二次函数，且常数项为0. （3） 片段和性质：，，……构成等差数列，公差为. （4） 的性质：数列也是等差数列，首项为，公差为. 2. 等比数列的前项和公式与性质 （1） 公式：，推导方法：乘公比，错位相减法. （2） 函数特征：当时，.若某数列的前项和满足的形式，则当且仅当时，该数列为等比数列. （3） 片段和性质：当或为偶数时（即），，，……构成等比数列，公比为. 3. 数列的通项与前项和的关系 已知数列的前项和为，则通项公式与的关系为： 4. 一些常见的数列的前项和 （1） ；. （2） . （3） . （4） . 三、典题精练 考点一：公式法 考法1：应用等差或等比数列求和公式 例1.（2026·河南豫东名校·二模）已知数列中，()，则＿＿＿＿＿＿. 考法2：结合二项式展开式求和 例2.（2024·广东新南方·联考）设数列的通项公式为()，其前项和为，则使的最小是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 考法3：结合极限或不等式放缩求和 例3.（2026·浙江七校联盟·二模）（多选）已知数列的通项公式为，是其前项的和.，下列结论正确的是（　　） A. B. ()() C. () D. ()() 考法4：提取公共项或构造新数列求和 例4.（2026·湖南岳阳·一模）已知抛物线，按如下方法依次构造点列()：设点()，过抛物线上点作斜率为4的直线与抛物线交于另一点，为关于轴的对称点.记的坐标为()，数列的前项和为，则＿＿＿＿＿＿. 【考点一 方法总结】 1. 公式法求和：对于等差或等比数列，直接代入前项和公式求解.注意等比数列求和时需判断公比是否为1. 2. 结合二项式展开式求和：观察通项公式的结构特征，若呈现二项展开式的形式，可逆用二项式定理将其化简，再进行求和. 3. 结合极限或不等式放缩求和：先求出前项和的表达式，再结合极限的定义或利用作差法比较大小进行求解. 4. 提取公共项或构造新数列求和：利用题目给定的几何条件（如抛物线、直线斜率等）或代数条件，推导出数列的递推关系，证明其为等差或等比数列，再进行求和. 考点二：分组求和法 考法5：等差与等比数列混合分组求和 例5.（2026·安徽淮南·二模）已知数列中，，. （1）令，求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 考法6：奇偶项或分段数列分组求和 例6.（2026·安徽江淮十校·模拟）设为数列的前项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 考法7：插入项构成新数列分组求和 例7.（2026·福建福州·二模）已知正项数列的前项和为，且().若在和()中插入个相同的数()，构成一个新数列，即，记数列的前项和为，则＿＿＿＿＿＿. 【考点二 方法总结】 1. 分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. 2. 常见的分组转化类型： （1） ，其中、为等差或等比数列. （2） ，其中、为等差或等比数列. 3. 奇偶项或分段数列求和：将奇数项和偶数项分别提取出来，利用对数运算性质、等差或等比数列求和公式分别求和. 4. 插入项构成新数列求和：先求出原数列的通项公式，再根据插入项的规律确定项数位置，利用分组求和法求解. 考点三：并项求和法 考法8：应用奇偶项或正负相间数列并项求和 例8.（2025·广东大湾区·一模）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. （1）求； （2）求数列的前项和. 考法9：应用三角函数型变号数列并项求和 例9.已知数列(). （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足 (()) ，求数列的前项和. 【考点三 方法总结】 1. 并项求和法：对于正负相间或含有三角函数（如、）周期性变号的数列，常采用并项求和法.将相邻的两项（或几项）结合在一起求和，进而求出总和. 2. 结合韦达定理并项求和：利用一元二次方程的韦达定理求出基本量，将通项化简为正负相间的形式进行抵消求和. 3. 三角函数型变号数列求和：利用诱导公式化简通项，发现相邻两项之间存在互为相反数的关系，从而采用并项求和法将相邻两项合并计算. 考点四：倒序相加法 考法10：结合函数对称性应用倒序相加法求和 例10.（2026·河北·检测）若，则（　　） A. B. 2026 C. 4050 D. 4051 考法11：结合组合数性质应用倒序相加法求和 例11.已知数列的项数为()，且()，则的前项和为＿＿＿＿＿＿. 【考点四 方法总结】 1. 倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解. 2. 结合函数对称性求和：探究函数的性质，若发现函数满足或等对称性质，进而得到数列首尾等距两项之和为定值，即可利用倒序相加法求和. 3. 结合组合数性质求和：利用倒序相加法将首尾等距两项配对，再结合二项式系数和公式求解. 考点五：错位相减法 考法12：应用错位相减法标准流程求和 例12.（2026·安徽师大附中·检测）已知数列满足：()() （1）求，； （2）猜想数列的通项公式并给出证明； （3）设，求数列的前项和. 考法13：先求通项再利用错位相减法求和 例13.（2026·江苏南京·二模）已知数列的各项均为正数，为的前项和，且成等差数列. （1）求的通项公式； （2）设 ()，求数列的前项和. 考法14：利用错位相减法求和证明不等式 例14.（2025·河北沧衡八县·一模）若数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，证明：. 【考点五 方法总结】 1. 错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，即，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解. 2. 错位相减法基本步骤： （1） 写出的表达式. （2） 写出的表达式，特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出. （3） 两式相减，注意减式中所剩各项的符号要变号. （4） 整理化简，求出. 3. 利用错位相减法证明不等式：先用错位相减法求出前项和的表达式，再根据表达式的结构特征，结合指数函数的性质进行放缩证明. 考点六：裂项相消法 考法15：应用等差型裂项相消求和 例15.（2026·广东中山·二模）已知抛物线，按如下方法依次构造点列()：设点()，过抛物线上点作斜率为4的直线与抛物线交于另一点，为关于轴的对称点.记的坐标为()，数列的前项和为，则＿＿＿＿＿＿. 考法16：应用无理式分母有理化裂项求和 例16.（2026·浙江宁波十校·联考）已知幂函数()是非奇非偶函数，令()，记数列的前项和为，则（　　） A. B. C. D. 考法17：应用指数型或对数型裂项相消求和 例17.（2026·浙江Z20联盟·检测）正项数列的前项和，且() . （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前项和. 考法18：结合递推关系裂项求和 例18.（2026·山东泰安·二模）已知数列满足()，等差数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 考法19：利用裂项相消求和证明不等式 例19.（2026·江苏南通·一模）设数列的前项和为，已知，，若 ()，则正整数的值为＿＿＿＿＿＿. 【考点六 方法总结】 1. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和. 2. 常见的裂项技巧： （1） 等差型：；；等. （2） 根式型：；. （3） 指数型：；. （4） 对数型：. （5） 三角型：. （6） 阶乘型：. 3. 裂项原则与消项规律：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 考点七：放缩与裂项求和 考法20：先放缩后裂项相消求和证明不等式 例20.已知数列是等差数列，其前项和为，，；数列的前项和为，(). （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求证：. 【考点七 方法总结】 1. 先放缩后裂项求和：放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标.先利用不等式放缩简化通项，将其转化为可裂项相消或等比数列求和的形式，再进行求和. 2. 常见放缩公式： （1） . （2） . （3） . （4） . （5） . 考点八：分段数列求和 考法21：应用奇偶项或周期性分段求和 例21.（2025·河北衡水中学·检测）设是数列的前项和，已知， （1）证明：是等比数列； （2）求满足的所有正整数. 考法22：结合绝对值或取整函数分段求和 例22.（2026·江苏苏北四市·一模）（多选）已知数列的通项公式是 设为数列的前项和，下列结论正确的是（　　） A. 当时， B. 当时， C. 若存在，使得，则 D. 不存在，使得 【考点八 方法总结】 1. 分段数列求和：对于由奇偶项交替或具有周期性规律构成的数列，常采用分段求和法. 2. 奇偶项或周期性分段求和：分奇偶各自构建新数列求和.要注意处理好奇偶数列对应的项，可通过构建新数列或“跳项”求和. 3. 结合绝对值或取整函数分段求和：利用零点存在定理或周期性化简项的下标，确定取整函数的值或绝对值的符号，再分别对奇数项和偶数项求和. 四、高考真题 1.（2025·全国一卷·第13题）若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为＿＿＿＿＿＿. 2.（2026·全国一卷·第7题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为()，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列.将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为()的等差数列，则（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3.（2026·全国一卷·第14题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，…，是公比为的等比数列.则的最大值为＿＿＿＿＿＿. 4.（2025·全国一卷·第16题）设数列满足，. （1）证明：为等差数列； （2）设，求. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第44讲 数列求和 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 三、典题精讲 2 考点一：公式法 2 考点二：分组求和法 5 考点三：并项求和法 7 考点四：倒序相加法 9 考点五：错位相减法 10 考点六：裂项相消法 13 考点七：放缩与裂项求和 18 考点八：分段数列求和 19 四、高考真题 21 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容 2024 — — — — 2025 第13题 填空题 5分 直接 考察等比数列的前项和公式及基本量计算 2025 第16题 解答题 15分 间接 在导数与多项式背景下，间接考察等比数列求和公式的应用 2026 第7题 单选题 5分 直接 结合实际情境，考察等差数列求和公式及分组求和思想 2026 第14题 填空题 5分 直接 结合新定义与不等式，考察数列的局部求和（并项求和）及等比数列性质 近三年全国一卷中，数列求和知识点的考查频率较高.既有直接利用公式求基本量的基础题，也有结合实际情境、导数、不等式等知识的综合题，对考生的代数变形能力和数列求和思想的应用提出了较高要求. 2. 命题角度与特色 （1） 基础与综合并重：既有对等差、等比数列求和公式的直接考查，也有将其作为工具融入导数、多项式等综合问题中，体现了知识的交汇性. （2） 突出思想方法：常结合分组求和、并项求和等思想，要求考生具备灵活处理数列片段和的能力，如通过局部求和探究数列的整体性质. 3. 备考策略 （1） 熟练掌握等差、等比数列的前项和公式，能够灵活运用公式解决基本量计算问题. （2） 掌握常见的数列求和方法，如分组求和、并项求和、错位相减、裂项相消等，提升代数变形与化简能力. （3） 注重知识的交叉与融合，学会在导数、不等式、实际应用题等不同背景下识别并应用数列求和模型. 二、知识清单 1. 等差数列的前项和公式与性质 （1） 公式：，推导方法：倒序相加法. （2） 函数特征：当时，，是关于的二次函数，且常数项为0. （3） 片段和性质：，，……构成等差数列，公差为. （4） 的性质：数列也是等差数列，首项为，公差为. 2. 等比数列的前项和公式与性质 （1） 公式：，推导方法：乘公比，错位相减法. （2） 函数特征：当时，.若某数列的前项和满足的形式，则当且仅当时，该数列为等比数列. （3） 片段和性质：当或为偶数时（即），，，……构成等比数列，公比为. 3. 数列的通项与前项和的关系 已知数列的前项和为，则通项公式与的关系为： 4. 一些常见的数列的前项和 （1） ；. （2） . （3） . （4） . 三、典题精讲 考点一：公式法 考法1：应用等差或等比数列求和公式 例1.（2026·河南豫东名校·二模）已知数列中，()，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】195 【思路】观察通项公式的结构特征，判断数列的类型，确定首项和公差，直接代入等差数列前项和公式即可求出结果. 【解析】∵ ()，∴ ()，∴ ，∴ 数列是等差数列，首项为6，公差为3，∴ (). 【规律】本题考查等差数列的前项和，先根据通项公式判断出数列为等差数列，再代入求和公式计算即可. 考法2：结合二项式展开式求和 例2.（2024·广东新南方·联考）设数列的通项公式为()，其前项和为，则使的最小是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【思路】通项公式呈现出二项展开式的形式，可逆用二项式定理将其化简为指数型通项，从而确定数列为等比数列，再利用等比数列求和公式求解不等式. 【解析】由二项式定理得 ()，∴ ，令，得，∵ ，，∴ ，即. 【规律】本题考查二项式定理的逆用及等比数列求和，观察通项公式的结构特征，逆用二项式定理化简是解题的关键. 考法3：结合极限或不等式放缩求和 例3.（2026·浙江七校联盟·二模）（多选）已知数列的通项公式为，是其前项的和.，下列结论正确的是（　　） A. B. ()() C. () D. ()() 【答案】AD 【思路】通项公式由两个等比数列的通项相加构成，可利用分组求和法求出前项和的表达式.对于各选项，通过代入的表达式，利用作差法或举反例来比较大小，进而判断真假. 【解析】 () () () () . A选项，，正确. B选项，∵ ，∴ 单调递增，∴ ()() ，错误. C选项，，() ().当时，，() ()，此时 ()，错误. D选项，()() ()() . . ()() ()(). ∵ ，∴ ，. ∴ ()() ，即 ()()，正确. 【规律】本题考查分组求和法以及数列不等式的证明，将通项公式拆分为两个等比数列分别求和，再利用作差法比较大小是解题的关键. 考法4：提取公共项或构造新数列求和 例4.（2026·湖南岳阳·一模）已知抛物线，按如下方法依次构造点列()：设点()，过抛物线上点作斜率为4的直线与抛物线交于另一点，为关于轴的对称点.记的坐标为()，数列的前项和为，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】根据直线斜率公式和抛物线方程，利用平方差公式将坐标关系转化为纵坐标的递推关系，证明是等差数列.求出后，观察通项的特征，利用裂项相消法求和. 【解析】设直线(). ∵ 与关于轴对称，∴ (). 由在直线上得：(). 又点在抛物线上， ∴ () () ()(). 得（常数），∴ 数列是等差数列. 又， ∴ . ∴ (). ∴ (). 故 () () . 【规律】本题考查直线与抛物线的位置关系及裂项相消法求和，利用两点在抛物线上及直线斜率列出等式，推导出数列是等差数列是解题的突破口. 【考点一 方法总结】 1. 公式法求和：对于等差或等比数列，直接代入前项和公式求解.注意等比数列求和时需判断公比是否为1. 2. 结合二项式展开式求和：观察通项公式的结构特征，若呈现二项展开式的形式，可逆用二项式定理将其化简，再进行求和. 3. 结合极限或不等式放缩求和：先求出前项和的表达式，再结合极限的定义或利用作差法比较大小进行求解. 4. 提取公共项或构造新数列求和：利用题目给定的几何条件（如抛物线、直线斜率等）或代数条件，推导出数列的递推关系，证明其为等差或等比数列，再进行求和. 考点二：分组求和法 考法5：等差与等比数列混合分组求和 例5.（2026·安徽淮南·二模）已知数列中，，. （1）令，求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）见解析 （2） () 【思路】（1）根据所给的递推关系，将用表示，代入中化简，证明其为常数即可.（2）由（1）求出的通项公式，发现其由一个等差数列和一个等比数列相加减构成，故采用分组求和法分别求和. 【解析】（1）∵ ，，∴ . 再由. ∵ ，∴ ，代入上式得：. ∴ 数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可得：() () (). 则 () () ()() () () [() () () ()] (). 【规律】本题考查等比数列的证明及分组求和法，通过构造新数列证明其为等比数列，进而求出原数列的通项公式，再利用分组求和法求解. 考法6：奇偶项或分段数列分组求和 例6.（2026·安徽江淮十校·模拟）设为数列的前项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【思路】（1）利用等比中项的性质求出，再根据等差数列的定义求出公差，得到的表达式，最后利用与的关系求出通项.（2）将数列的奇数项和偶数项分别提取出来，奇数项利用对数运算性质和裂项相消法求和，偶数项利用等比数列求和公式求和. 【解析】（1）易得，设等差数列的公差为，∵ ，∴ ，即，. ∴ ()，即. 当时，. 当时，，满足上式，∴ . （2）由（1）知，则 . 所以数列的前项和为. 【规律】本题考查利用与的关系求通项公式及分段数列求和，将奇数项和偶数项分别提取出来，利用对数运算性质和等比数列求和公式分别求和是解题的关键. 考法7：插入项构成新数列分组求和 例7.（2026·福建福州·二模）已知正项数列的前项和为，且().若在和()中插入个相同的数()，构成一个新数列，即，记数列的前项和为，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】2646 【思路】利用将递推式转化为关于的关系，利用平方差公式求出的通项，进而得到.分析新数列的构成规律，确定第2026项所在的位置，然后分组求和. 【解析】∵ ，∴ 前项和. ∴ 当时，()(). ∵ ()， ∴ ()()，可得(). ∴ 数列是首项和公差均为1的等差数列，∴ ，即. 当时，(). 又满足上式，∴ (). 新数列中从到共有()项. 当时，；当时，. ∴ () () ()()() () . 【规律】本题考查数列递推关系的应用及新数列的分组求和，先求出原数列的通项公式，再根据插入项的规律确定项数位置，利用分组求和法求解. 【考点二 方法总结】 1. 分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. 2. 常见的分组转化类型： （1） ，其中、为等差或等比数列. （2） ，其中、为等差或等比数列. 3. 奇偶项或分段数列求和：将奇数项和偶数项分别提取出来，利用对数运算性质、等差或等比数列求和公式分别求和. 4. 插入项构成新数列求和：先求出原数列的通项公式，再根据插入项的规律确定项数位置，利用分组求和法求解. 考点三：并项求和法 考法8：应用奇偶项或正负相间数列并项求和 例8.（2025·广东大湾区·一模）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. （1）求； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2）() 【思路】（1）利用一元二次方程的韦达定理得到，结合等差数列的通项公式列出关于首项和公差的方程组求解.（2）根据韦达定理将通项转化为两项之和的形式，再利用正负相间的特点进行并项抵消求和. 【解析】（1）由韦达定理得. ∵ 数列是等差数列，设公差为，∴ (). 即. ∴ . ∴ ，. （2）由（1）知，. ∴ (). 由韦达定理知，∴ ()()() (). ∴ ()() (). () () () () () (). 【规律】本题考查等差数列的通项公式及并项求和法，利用韦达定理和等差数列的通项公式求出基本量，再将通项化简为正负相间的形式进行抵消求和. 考法9：应用三角函数型变号数列并项求和 例9.已知数列(). （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足 (()) ，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【思路】（1）将递推式两边同除以，构造出新的等差或可累加数列，利用累加法求出通项公式.（2）将代入中，利用诱导公式化简，发现相邻两项之间存在互为相反数的关系，从而采用并项求和法求解. 【解析】（1）由()得，. ∴ 时，. ∴ ，又，则，当时，成立. ∴ . （2）由（1）知， (()) . ∴ (). ∵ ，. 于是[] [] . . ∴ . 故数列的前项和为. 【规律】本题考查累加法求通项公式及三角函数型数列求和，利用诱导公式化简通项，再利用并项求和法将相邻两项合并计算是解题的关键. 【考点三 方法总结】 1. 并项求和法：对于正负相间或含有三角函数（如、）周期性变号的数列，常采用并项求和法.将相邻的两项（或几项）结合在一起求和，进而求出总和. 2. 结合韦达定理并项求和：利用一元二次方程的韦达定理求出基本量，将通项化简为正负相间的形式进行抵消求和. 3. 三角函数型变号数列求和：利用诱导公式化简通项，发现相邻两项之间存在互为相反数的关系，从而采用并项求和法将相邻两项合并计算. 考点四：倒序相加法 考法10：结合函数对称性应用倒序相加法求和 例10.（2026·河北·检测）若，则（　　） A. B. 2026 C. 4050 D. 4051 【答案】A 【思路】探究函数的性质，计算的值，发现其为定值1.再根据数列通项的指数特征，发现首尾等距的两项对应的自变量互为倒数，从而利用倒序相加法求和. 【解析】∵ ，∴ . 设. 则. ∵ ，∴ . ∴ . 将倒序相加可得： () () () . ∴ ，对应选项A. 【规律】本题考查倒序相加法求和，发现函数满足的性质，进而得到数列首尾等距两项之和为定值是解题的关键. 考法11：结合组合数性质应用倒序相加法求和 例11.已知数列的项数为()，且()，则的前项和为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】观察已知等式，发现其给出了首尾等距两项之和与二项式系数的关系，直接写出前项和的两次不同顺序的表达式，相加后利用二项式系数和公式即可求解. 【解析】∵ ，又. ∴ () () () (). 又∵ (). ∴ ，即. 【规律】本题考查倒序相加法及二项式系数和的性质，利用倒序相加法将首尾等距两项配对，再结合二项式系数和公式求解. 【考点四 方法总结】 1. 倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解. 2. 结合函数对称性求和：探究函数的性质，若发现函数满足或等对称性质，进而得到数列首尾等距两项之和为定值，即可利用倒序相加法求和. 3. 结合组合数性质求和：利用倒序相加法将首尾等距两项配对，再结合二项式系数和公式求解. 考点五：错位相减法 考法12：应用错位相减法标准流程求和 例12.（2026·安徽师大附中·检测）已知数列满足：()() （1）求，； （2）猜想数列的通项公式并给出证明； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2）通项公式为() （3） 【思路】（1）直接令和，代入已知等式即可求出前两项.（2）利用退位相减法，写出和时的等式，相减后得到新的递推关系，再次退位相减即可证明其为等比数列.（3）求出的通项，发现其为“等差等比”的形式，采用错位相减法的标准步骤求和. 【解析】（1）已知对任意正整数，有()(). 当时，. 当时，，代入，得. ∴ ，. （2）由题设，当时，有. ①－②得： ③. 将替换为，得 ④. ④－③得：，即. 结合，知数列是首项为1，公比为的等比数列. 故通项公式为()，得证. （3）已知 () ()，则(). 令(). 用错位相减法： () () () (). () ()() () (). 两式相减得：()()()()()(). ∴ (). ∴ ，从而. 【规律】本题考查由递推关系求通项公式以及错位相减法求和，利用退位相减法化简递推式得到等比数列是关键，再利用错位相减的标准步骤求和. 考法13：先求通项再利用错位相减法求和 例13.（2026·江苏南京·二模）已知数列的各项均为正数，为的前项和，且成等差数列. （1）求的通项公式； （2）设 ()，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） () () 【思路】（1）根据等差中项的性质列出关于与的关系式，利用将其转化为关于的递推关系，结合各项为正数求出通项.（2）代入得到的通项，识别出其为差比数列，运用错位相减法求和. 【解析】（1）∵ ，，成等差数列，∴ . ∴ 当时，. 两式相减得，(). 即. 即 ()(). ∵ 为正项数列，∴ . 则. 当时，，解得. ∴ 是首项为1公差为1的等差数列. 则(). （2） () (). 则 () () (). ∴ () () (). 两式相减得： () () () () () () (). ∴ () (). 【规律】本题考查由与的关系求通项公式及错位相减法求和，利用()化简得到等差数列是解题的关键. 考法14：利用错位相减法求和证明不等式 例14.（2025·河北沧衡八县·一模）若数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【思路】（1）通过退位相减法处理含有的递推式，转化为相邻两项的关系，从而证明数列为等差数列并求出通项.（2）求出后，利用错位相减法求出的解析式，再根据指数函数的性质进行放缩证明不等式. 【解析】（1）当时，. ∵ ，当时，. 两式作差得()() () . 又∵ ，∴ (). ∴ . （2）由（1）可知，. . . 两式作差得 (). ∴ (). ∵ ，∴ . 【规律】本题考查数列通项公式的求解以及错位相减法证明数列不等式，先用错位相减法求出前项和的表达式，再根据表达式的结构特征放缩证明. 【考点五 方法总结】 1. 错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，即，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解. 2. 错位相减法基本步骤： （1） 写出的表达式. （2） 写出的表达式，特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出. （3） 两式相减，注意减式中所剩各项的符号要变号. （4） 整理化简，求出. 3. 利用错位相减法证明不等式：先用错位相减法求出前项和的表达式，再根据表达式的结构特征，结合指数函数的性质进行放缩证明. 考点六：裂项相消法 考法15：应用等差型裂项相消求和 例15.（2026·广东中山·二模）已知抛物线，按如下方法依次构造点列()：设点()，过抛物线上点作斜率为4的直线与抛物线交于另一点，为关于轴的对称点.记的坐标为()，数列的前项和为，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】利用直线与抛物线交点的坐标关系，结合对称性推导出纵坐标数列为等差数列，求出其前项和后，将化为可裂项的形式，进而求和. 【解析】设直线(). ∵ 与关于轴对称，∴ (). 由在直线上得：(). 又点在抛物线上， ∴ () () ()(). 得（常数），∴ 数列是等差数列. 又， ∴ . ∴ (). ∴ (). 故 () () . 【规律】本题考查直线与抛物线的位置关系及裂项相消法求和，利用两点在抛物线上及直线斜率列出等式，推导出数列是等差数列是解题的突破口. 考法16：应用无理式分母有理化裂项求和 例16.（2026·浙江宁波十校·联考）已知幂函数()是非奇非偶函数，令()，记数列的前项和为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】根据幂函数系数为1求出参数的可能值，结合奇偶性确定唯一的，得到的解析式.代入后，利用分母有理化将通项转化为两项之差，再进行裂项相消求和. 【解析】由题意得：，解得或. 而当时，为偶函数，不合题意； 当时，为非奇非偶函数，符合题意. 则. 则. 【规律】本题考查幂函数的性质及无理式分母有理化裂项求和，先根据幂函数的系数为1及奇偶性求出参数，再利用分母有理化进行裂项相消. 考法17：应用指数型或对数型裂项相消求和 例17.（2026·浙江Z20联盟·检测）正项数列的前项和，且() . （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【思路】（1）利用退位相减法将含有和式的递推关系转化为与的关系，再利用平方差公式提取出为常数即可证明.（2）求出的通项公式，代入所求数列中，观察其结构特征，将其拆分为两项之差，利用裂项相消法求和. 【解析】（1）证明：当时，，解得. 当时，， () . 与() 作差可得：，则(). ∵ ， ∴ . 即数列是等差数列. （2）， ， 当时，， ∵ ， ∴ (). ， () () . 【规律】本题考查等差数列的证明及指数型裂项相消求和，利用退位相减法得到前项和的递推关系，再将通项公式拆分为两项之差求和. 考法18：结合递推关系裂项求和 例18.（2026·山东泰安·二模）已知数列满足()，等差数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【思路】（1）对的递推式两边同时减去1，构造出等比数列求出.再根据给定的条件列出关于首项和公差的方程组求出.（2）将常数角2转化为，利用两角差的正弦公式展开分子，化简为正切函数之差，进而裂项求和. 【解析】（1）∵ ()， ∴ ()(). 又， ∴ 是以2为首项，2为公比的等比数列. ∴ . ∴ . ∵ ， ∴ . 设等差数列的公差为，则. ∴ . ∴ (). （2） . ∴ . 【规律】本题考查由递推关系求通项公式及三角函数型裂项相消求和，利用两角差的正弦公式将通项展开并化简为两项正切之差是解题的突破口. 考法19：利用裂项相消求和证明不等式 例19.（2026·江苏南通·一模）设数列的前项和为，已知，，若 ()，则正整数的值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】2024 【思路】对所给的分式递推关系两边取倒数，构造出等比数列，从而求出的通项公式.将变形后代入求和式，发现其包含不易直接求和的部分，利用不等式放缩将其转化为等比数列求和，进而估算出的范围. 【解析】由题知：. 两边取倒数得，∴ (). 又∵ ，∴ 是首项为1，公比为的等比数列. ∴ ，∴ . 则. ∴ . ∴ (). 令. ∵ 数列不易求和，而()，考虑等比放缩： 时，. () . 则. ∴ . 故 ()，则正整数的值为2024. 【规律】本题考查由递推关系求通项公式及放缩法求和，利用取倒数法求出通项公式，再通过不等式放缩转化为等比数列求和是解题的关键. 【考点六 方法总结】 1. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前项和. 2. 常见的裂项技巧： （1） 等差型：；；等. （2） 根式型：；. （3） 指数型：；. （4） 对数型：. （5） 三角型：. （6） 阶乘型：. 3. 裂项原则与消项规律：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 考点七：放缩与裂项求和 考法20：先放缩后裂项相消求和证明不等式 例20.已知数列是等差数列，其前项和为，，；数列的前项和为，(). （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求证：. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【思路】（1）利用等差数列基本量求出，利用求出.（2）计算出后，观察分母为二次多项式，采用裂项相消法求和.（3）写出的表达式，通过放缩将其分母简化为纯指数形式，再利用错位相减法求和并证明不等式. 【解析】（1）数列是等差数列，设公差为. ，化简得，解得，. ∴ ，. 由已知， 当时，，解得. 当时，. ∴ ()() ，. 即. ∴ 数列构成首项为3，公比为3的等比数列. ∴ ，. （2）由（1）可得()，. ∴ (). ∴ () () () . （3）由（1）可得，. 则. ∵ . ∴ . 令. . 两式相减可得 () () . ∴ . ∴ () . 【规律】本题考查错位相减法及放缩法证明数列不等式，先利用不等式放缩简化通项，再利用错位相减法求和是解题的关键. 【考点七 方法总结】 1. 先放缩后裂项求和：放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标.先利用不等式放缩简化通项，将其转化为可裂项相消或等比数列求和的形式，再进行求和. 2. 常见放缩公式： （1） . （2） . （3） . （4） . （5） . 考点八：分段数列求和 考法21：应用奇偶项或周期性分段求和 例21.（2025·河北衡水中学·检测）设是数列的前项和，已知， （1）证明：是等比数列； （2）求满足的所有正整数. 【答案】（1）证明见解析 （2）正整数为1，2 【思路】（1）利用分段递推关系，将用表示，再将用表示，从而得到偶数项之间的递推关系，进而证明等比数列.（2）求出偶数项和奇数项的通项公式，将分为奇数项和偶数项两组，分别求和后，通过分析单调性求出满足条件的正整数. 【解析】（1）证明：由已知得(). ∴ (). 其中，. ∴ 是以()为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知 (). ∴ (). (). ∴ (). ∴ ()()() [] [ ()] (). 当时，单调递减，其中，，. ∴ 满足的所有正整数为1，2. 【规律】本题考查分段数列的通项公式及求和，利用奇偶项的关系构造等比数列求出通项，再利用分组求和法求出前项和是解题的关键. 考法22：结合绝对值或取整函数分段求和 例22.（2026·江苏苏北四市·一模）（多选）已知数列的通项公式是 设为数列的前项和，下列结论正确的是（　　） A. 当时， B. 当时， C. 若存在，使得，则 D. 不存在，使得 【答案】BCD 【思路】根据通项公式的分段形式，识别出数列是一个以为周期的周期数列，且在一个周期内奇数项成等差，偶数项成等比.对于各选项，利用周期性化简下标，结合等差、等比数列求和公式进行计算和判断. 【解析】在时，奇数项是，偶数项是 ()，且是周期为的周期数列. A选项：当时，周期为10.，∴ .∵ 6是偶数且，∴ ()，错误. B选项：当时，若，周期为12.， ()，成立.若， ()，正确. C选项：一个周期内的和.奇数项和为.偶数项和为 ().要使，∵ 偶数项总是正的，如果，则.当时，.当时，.∴ ，正确. D选项： () () () .设 () ，计算前几项得，，，，，，.负项的总和为.而正项的和为321，∴ 无论多大，都远远大于0，不存在使得和，正确. 【规律】本题考查周期数列的性质及分段数列求和，利用周期性化简项的下标，再分别对奇数项和偶数项求和是解题的关键. 【考点八 方法总结】 1. 分段数列求和：对于由奇偶项交替或具有周期性规律构成的数列，常采用分段求和法. 2. 奇偶项或周期性分段求和：分奇偶各自构建新数列求和.要注意处理好奇偶数列对应的项，可通过构建新数列或“跳项”求和. 3. 结合绝对值或取整函数分段求和：利用零点存在定理或周期性化简项的下标，确定取整函数的值或绝对值的符号，再分别对奇数项和偶数项求和. 四、高考真题 1.（2025·全国一卷·第13题）若一个等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】设该等比数列为，是其前项和，则.设的公比为.∵ ()，又，∴ ，解得.∴ 该等比数列公比为. 2.（2026·全国一卷·第7题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为()，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列.将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为()的等差数列，则（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】由已知，，，().∴ 数列的前12项的和为.设新数列为，.由已知数列为等差数列，设其公差为，.又的前12项都为奇数，所有项都为偶数.由已知为正偶数，为正偶数.则，故.若，则，矛盾.若，则，矛盾.若，则，矛盾.若，则，此时可取，，，，，，满足要求. 3.（2026·全国一卷·第14题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，…，是公比为的等比数列.则的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】令，由题意得 () [() ()] .∴ 每个三项块的和为.设这9项为，记.∵ ，且完整三项块和均为正，下面按除以3的余数讨论.若()，这9项正好包含三个完整三项块，得，，，于是且，矛盾，故这种起点不存在.若()，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，∴ .若()，其中两个完整三项块为第块，第块，得，，∴ .综上，∴ ，即的最大值为. 4.（2025·全国一卷·第16题）设数列满足，. （1）证明：为等差数列； （2）设，求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）在数列中，，，∴ ()，即().∴ 是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）得，，即.在中， () ， () .∴ () .当且时，() () () .∴ .∴ . 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $