第6卷 三角函数（教师讲解卷） 2027版云南省（职教高考）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足云南职教高考，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统构建三角函数知识体系，通过真题变式训练培养数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|18个核心概念|梳理定义公式，夯实基础|从角的概念→三角函数定义→性质图像→变换应用，形成完整推导链条| |真题精讲|8道近年真题|提炼考点解法，对接考纲|聚焦周期、最值、象限角等高频考点，示范解题规范| |举一反三|10道变式题|强化变式应用，迁移方法|通过同类题型训练，巩固公式应用与逻辑推理| |拓展提升|23道综合题|深化综合解题，提升能力|融合计算、证明等题型，发展数学语言表达与问题解决能力|

编写说明：2027版云南省职教高考《数学真题同源卷》专辑，立足云南省职教高考数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版云南省职教高考《数学真题同源卷》 第6卷 三角函数 （教师讲解卷） 一、三角函数 【概念回顾】 1．任意角 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 2．象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 3．轴线角 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴 终边落在轴 或 终边落在坐标轴 4．终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角连同在内可表示为. 5．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式：， ， 6．扇形中的弧长公式和面积公式 （1）弧长公式：(是圆心角的弧度数) （2）扇形面积公式：. 7．任意角的三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α= 余弦 点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α= 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作tan α，即＝tan α(x≠0) 三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z 8.特殊角的三角函数值： 角度 0° 30° 45° 60° 90 120° 135 150° 180° 270 360° 弧度 0 π 2π sin 0 1 0 -1 0 cos 1 0 - - - -1 0 1 tan 0 1 / - -1 - 0 / 0 9.同角三角函数间的基本关系式： （1）平方关系：sin²α+ cos²α =1 变形公式： ； （2）商数关系： 10．诱导公式的内容： 公式一 sin(α＋2kπ)＝sin α， cos(α＋2kπ)＝cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. 公式二 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α 公式三 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 公式四 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α 公式五 sin(－α)＝cos α， cos(－α)＝sin α， 公式六 sin(+α)＝cos α， cos(+α)＝－sin α， 11.正弦函数图像： 12.正弦函数的性质 （1）定义域R （2）值域 （3）当时，取最大值1 （4）当时，取最x小值-1， （5）函数周期为，最小正周期为 （6）函数是奇函数，关于原点对称 （7）函数在区间单调递增 （8）函数在区间单调递减 13.正弦型函数 (1)最大值是，最小值是 (2)最小正周期为 (3)是奇函数 14.三角函数周期： 正弦型函数：y=A sin (ω x+φ)，周期为,值域：[-A,A]； 余弦型函数：y=A cos (ω x+φ)，周期为，值域：[-A,A]； 正切型函数：y=A tan (ω x+φ),周期为。 15.正弦、余弦函数的平移变换：（x的系数必须为1） （口诀）针对x：左加右减；针对y：上加下减。 16.余弦曲线 17.余弦函数的性质 （1）定义域R （2）值域 （3）当时，取最大值1 （4）当时，取最x小值-1， （5）函数周期为，最小正周期为 （6）函数是偶函数，关于y轴对称 （7）函数在区间单调递增 （8）函数在区间单调递减 18.余弦型函数 (1)最大值是，最小值是 (2)最小正周期为 (3)是偶函数 【真题精讲】 考点01 三角函数 1.（2026云南）将的角转换为弧度是（ ）. A. B. C. D. 2.（2026云南）若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3.（2025云南）函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 4.（2025云南）已知，则是（ ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第三象限角 D．第一或第四象限角 5.（2025云南）函数的最小值是 ． 6.（2024云南）函数的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 6 7.（2024云南）函数的最小正周期是，则的值是（ ） A. B. C. D. 8.（2024云南）已知角为第四象限角，则下列结论正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【举一反三】 1.（2023云南）函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 2.（2023云南）函数的最大值是（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 5 3.（2023云南）设，，则与的关系是（ ）． A. B. C. D. 4.（2022云南）求函数最小正周期． 5．（25-26高三·云南·模拟预测）函数的最大值是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·云南·模拟预测）已知中，，则（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·云南·模拟预测）函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·云南·模拟预测）函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 9．（25-26高三·云南·模拟预测）函数，的简图是（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高三·云南·模拟预测）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 【拓展提升】 一、单选题 1 .函数的最小值是（     ）． A．3 B．1 C． D． 2 ．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3 ．下列说法正确的是（     ） A．正弦函数的定义域为 B．正弦函数的最小正周期为 C．余弦函数的值域为 D．余弦函数在定义域上是偶函数 4 ．下列角中与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 5 ．已知一扇形弧长，半径，则扇形面积为（    ）． A．12 B．6 C．24 D．8 6 ．已知，且，则x的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 7 ．已知，且为第三象限的角，则（ ） A． B． C． D． 8 ．若，且是第四象限角，则（    ）． A． B． C． D． 9 ．若，则（     ）． A． B． C． D． 10 ．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 11 ．函数（，）的部分图像如图所示．则函数的单调递增区间为（     ）    A．（） B．（） C．（） D．（） 二、填空题 12 ．（25-26高三上·云南曲靖·期末） ______. 13 ．角度和弧度可以互相换算，________度；____ 14 ．已知，且，则__________． 15 ．对化简可得________． 三、计算题 16 ．计算： 17 ．化简： 四、解答题 18 ．已知角是第一象限角，，求和的值． 19 ．已知角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 20 ．已知角的终边经过点，且． (1)求的值； (2)求的值． 21 ．已知函数，求： (1)函数的最小正周期； (2)函数的最大值和最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版云南省职教高考《数学真题同源卷》专辑，立足云南省职教高考数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版云南省职教高考《数学真题同源卷》 第6卷 三角函数 （教师讲解卷） 一、三角函数 【概念回顾】 1．任意角 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 2．象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 或 第四象限角 或 3．轴线角 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴 终边落在轴 或 终边落在坐标轴 4．终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角连同在内可表示为. 5．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式：， ， 6．扇形中的弧长公式和面积公式 （1）弧长公式：(是圆心角的弧度数) （2）扇形面积公式：. 7．任意角的三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α= 余弦 点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α= 正切 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切函数，记作tan α，即＝tan α(x≠0) 三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z 8.特殊角的三角函数值： 角度 0° 30° 45° 60° 90 120° 135 150° 180° 270 360° 弧度 0 π 2π sin 0 1 0 -1 0 cos 1 0 - - - -1 0 1 tan 0 1 / - -1 - 0 / 0 9.同角三角函数间的基本关系式： （1）平方关系：sin²α+ cos²α =1 变形公式： ； （2）商数关系： 10．诱导公式的内容： 公式一 sin(α＋2kπ)＝sin α， cos(α＋2kπ)＝cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. 公式二 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α 公式三 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 公式四 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α 公式五 sin(－α)＝cos α， cos(－α)＝sin α， 公式六 sin(+α)＝cos α， cos(+α)＝－sin α， 11.正弦函数图像： 12.正弦函数的性质 （1）定义域R （2）值域 （3）当时，取最大值1 （4）当时，取最x小值-1， （5）函数周期为，最小正周期为 （6）函数是奇函数，关于原点对称 （7）函数在区间单调递增 （8）函数在区间单调递减 13.正弦型函数 (1)最大值是，最小值是 (2)最小正周期为 (3)是奇函数 14.三角函数周期： 正弦型函数：y=A sin (ω x+φ)，周期为,值域：[-A,A]； 余弦型函数：y=A cos (ω x+φ)，周期为，值域：[-A,A]； 正切型函数：y=A tan (ω x+φ),周期为。 15.正弦、余弦函数的平移变换：（x的系数必须为1） （口诀）针对x：左加右减；针对y：上加下减。 16.余弦曲线 17.余弦函数的性质 （1）定义域R （2）值域 （3）当时，取最大值1 （4）当时，取最x小值-1， （5）函数周期为，最小正周期为 （6）函数是偶函数，关于y轴对称 （7）函数在区间单调递增 （8）函数在区间单调递减 18.余弦型函数 (1)最大值是，最小值是 (2)最小正周期为 (3)是偶函数 【真题精讲】 考点01 三角函数 1.（2026云南）将的角转换为弧度是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角度制与弧度制的转换公式即可得解. 【详解】将的角转换为弧度是， 故选：. 2.（2026云南）若角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合余弦函数的定义即可得解. 【详解】角的终边经过点， 则. 故选：. 3.（2025云南）函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的周期公式求值即可. 【详解】已知函数， 则其最小正周期为， 故选：C. 4.（2025云南）已知，则是（ ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第三象限角 D．第一或第四象限角 【答案】D 【分析】由各象限三角函数值的符号即可判断. 【详解】因为，所以“且” 或“且”，所以是第一或第四象限角. 故选：D. 5.（2025云南）函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据两角和的正弦公式化简，结合正弦型函数最值求解即可. 【详解】函数 . 且， 则，即 则函数的最小值为. 故答案为：. 6.（2024云南）函数的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角的余弦公式将函数化为类二次函数，再由余弦函数和二次函数的性质求最小值. 【详解】函数， 令，则， 则，对称轴为， 所以在上单调递增， 故时，取最小值，最小值为. 故选：B. 7.（2024云南）函数的最小正周期是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式将函数解析式化简为，再利用周期公式表示出函数的最小正周期，将已知的周期代入得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为， 所以函数的最小正周期为， 所以， 又因为，所以. 故选：. 8.（2024云南）已知角为第四象限角，则下列结论正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数值在各象限的符号即可得解. 【详解】因为角为第四象限角， 所以. 故选：A. 【举一反三】 1.（2023云南）函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式和周期计算公式求解. 【详解】因为， 所以最小正周期. 故选：A 2.（2023云南）函数的最大值是（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】用同角三角函数的基本关系、换元法、二次函数求最值. 【详解】因为， 所以， 令， 得，对称轴，函数在上递增， 所以当时，有最大值5. 故选：D 3.（2023云南）设，，则与的关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断正弦函数特定区间的单调性,再根据单调性判断函数值大小易得答案. 【详解】因为, 设在区间上单调递增, 所以, 所以. 故选:A. 4.（2022云南）求函数最小正周期． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式与倍角公式化简函数的解析式，然后利用周期公式求解即可． 【详解】根据同角三角函数基本关系式， ,所以，函数的最小正周期. 5．（25-26高三·云南·模拟预测）函数的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的值域逐步推导求解即可. 【详解】因为，所以， 所以函数的最大值是3， 故选：B. 6．（25-26高三·云南·模拟预测）已知中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由象限角的三角函数值的符号，同角三角函数基本关系式即可得解. 【详解】因为为内角，. 所以为第二象限角. 所以. 解得，因为，所以. 故选：D. 7．（25-26高三·云南·模拟预测）函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的周期公式求解. 【详解】函数的最小正周期. 故选：D. 8．（25-26高三·云南·模拟预测）函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的周期公式求值即可. 【详解】已知函数， 则其最小正周期为， 故选：C. 9．（25-26高三·云南·模拟预测）函数，的简图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式以及余弦函数的单调性和最值，逐个判断得到答案. 【详解】函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 并且函数在处取得最大值，在处取得最小值. 观察各选项，只有选项D符合， 故选：D. 10．（25-26高三·云南·模拟预测）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】B 【分析】根据题意，结合正弦型函数的图像变换规律即可求解. 【详解】因为，又， 所以将函数的图像向右平移个单位，得. 故选：B. 【拓展提升】 一、单选题 1 .函数的最小值是（     ）． A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的值域即可解答. 【详解】因为， 所以， 所以函数的最小值是， 故选：C. 2 ．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据正弦型函数图像的平移变换即可求解. 【详解】因为函数， 要得到函数的图像， 需要将函数的图像向左平移个单位长度. 故选：A. 3 ．下列说法正确的是（     ） A．正弦函数的定义域为 B．正弦函数的最小正周期为 C．余弦函数的值域为 D．余弦函数在定义域上是偶函数 【答案】D 【分析】根据正弦函数和余弦函数的性质即可求解. 【详解】对A：正弦函数的定义域为，故A项错误； 对B：正弦函数的最小正周期为，故B项错误； 对C：余弦函数的值域为，故C项错误； 对D：因为余弦函数的定义域为，且， 所以余弦函数在定义域上是偶函数，故D项正确. 故选：D. 4 ．下列角中与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同的角的定义即可求解. 【详解】因为与角终边相同的角的集合为， 对A，当时，，故A错误. 对B，当时，，故B错误. 对C，当时，，故C正确. 对D，当时，，故D错误. 故选：C. 5 ．已知一扇形弧长，半径，则扇形面积为（    ）． A．12 B．6 C．24 D．8 【答案】B 【分析】利用扇形面积公式计算. 【详解】已知弧长和半径， 所以扇形面积， 故选：B. 6 ．已知，且，则x的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据正弦函数在内的符号规律确定的象限，结合特殊角的三角函数值和诱导公式求解符合条件的角. 【详解】已知， 则x为第三象限角或第四象限角， 因为， 当x为第三象限角时，因为， 所以， 当x为第四象限角时，因为， 所以， 所以x的值为或， 故选：B. 7 ．已知，且为第三象限的角，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的诱导公式以及同角三角函数的关系求解即可. 【详解】已知，所以. 已知是第三象限的角，则， 因此. 故选：D. 8 ．若，且是第四象限角，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的诱导公式和同角三角函数的商数关系分析计算求解即可. 【详解】因为，所以， 因为是第四象限角，所以， 所以. 故选：A. 9 ．若，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】因为， 所以，则， 故选：A. 10 ．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦函数的周期性即可得解. 【详解】函数的最小正周期．     故选：A 11 ．函数（，）的部分图像如图所示．则函数的单调递增区间为（     ）    A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】根据题意结合正弦型函数的性质求出函数解析式，利用正弦型函数的单调性即可得解. 【详解】由图像可知，，解得， 所以函数的最小正周期为，即，解得， 此时函数， 将代入函数解析式中得，即， 解得，因为，所以， 所以函数解析式为， 令，解得， 所以单调递增区间为（）， 故选：. 二、填空题 12 ．（25-26高三上·云南曲靖·期末） ______. 【答案】/ 【分析】根据指数幂与对数的运算性质及诱导公式求解. 【详解】 ， 故答案为：. 13 ．角度和弧度可以互相换算，________度；____ 【答案】 【分析】根据角度与弧度之间的转换公式即可得解. 【详解】；， 故答案为：；. 14 ．已知，且，则__________． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】因为，且，所以. 故答案为：. 15 ．对化简可得________． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系化简即可. 【详解】因为，所以5弧度属于第四象限，所以， 所以. 故答案为：. 三、计算题 16 ．计算： 【答案】 【分析】根据指数幂，对数的运算法则，结合特殊角三角函数值即可求解. 【详解】由题意得， . 17 ．化简： 【答案】 【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系化简求解即可. 【详解】原式. 四、解答题 18 ．已知角是第一象限角，，求和的值． 【答案】 【分析】根据诱导公式结合已知条件求出的值，再利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为，所以， 又，且是第一象限角， 所以，. 19 ．已知角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据任意角正切函数的概念求值即可. （2）根据同角三角函数的商数关系求值即可. 【详解】（1）由角终边上一点可知， 则. （2） =. 20 ．已知角的终边经过点，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（）根据正切函数的定义即可得解. （）利用诱导公式及齐次式即可求解. 【详解】（1）角的终边经过点，且， 由三角函数的定义知，解得. （2）， ， ， ， ， ， . 21 ．已知函数，求： (1)函数的最小正周期； (2)函数的最大值和最小值. 【答案】(1). (2)最大值为2，最小值为. 【分析】（）根据最小正周期公式即可得解. （）根据正弦型函数的性质即可得解. 【详解】（1）函数， 则最小正周期为. （2）函数， ，所以最大值为2，最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $