第8卷 解三角形（正余弦定理）（教师讲解卷） 2027版云南省（职教高考）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027版云南省职教高考《数学真题同源卷》专辑，立足云南省职教高考数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版云南省职教高考《数学真题同源卷》 第8卷 解三角形（正余弦定理） （教师讲解卷） 1、 解三角形（正余弦定理） 【概念回顾】 1.正弦定理： ＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径) 2.适用范围： 两角及一边 3.变形形式： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；（边化角） (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝（角化边） 4.余弦定理： a＝b＋c－2bc·cos A；cos A＝； b＝c＋a－2ca·cos B；cos B＝； c＝a＋b－2ab·cos C；cos C＝ 5.适用范围： 两边及一角、三边 6．三角形常用面积公式： (1) S＝a·h(h表示底边上的高)； (2) S＝a b sin C＝a c sin B＝b c sin A．（三角形的面积等于它的任意两边及其夹角的正弦乘积的一半） 7．常用公式： A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)， sin A＝sin(B＋C)；cos A＝－cos(B＋C)；tan A＝－tan(B＋C) 【真题精讲】 考点01 解三角形（正余弦定理） 1.（2026云南）在中，内角的对边分别为.若，则的面积是（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形面积公式求值即可. 【详解】已知， 则三角形面积为， 故选：D. 2.（2025云南）在中，已知，，，则A等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理列方程求解即可. 【详解】已知，，， 由得，， 解得，因为在中，， 所以， 故选：D. 3.（2024云南）在中，已知，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为，，， 由余弦定理， 得， 即， 解得或. 因为在中，， 所以. 故答案为：. 【举一反三】 1.（2023云南）在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求得即可. 【详解】在中，. 由正弦定理，得：. 解得： 故选：C. 2.（2022云南）在中，已知，，，则（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解角B的值. 【详解】因为，，， 所以在中，由正弦定理可得， 所以有， 即， 因为，所以，又， 所以角B为或. 故选:B. 3．（18-19高三·云南·模拟预测）在中，，，的面积，则（    ） A．7 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】先根据三角形面积计算，再根据余弦定理计算. 【详解】三角形面积为 ，，所以. 根据余弦定理可知，. . 故选：D. 4．（19-20高三·云南·对口/高职单招）在中，，，，则最短边的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由三角形的各角，判断出最短边，再由正弦定理求解即可. 【详解】在中，，， 所以，因为， 所以在中，最短边为，又， 由正弦定理，， 所以. 故选：D. 5．（25-26高三·云南·模拟预测）在中，已知，，，则A等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理列方程求解即可. 【详解】已知，，， 由得，，解得， 因为在中，，所以， 所以， 故选：B. 6．（25-26高三上·云南·一模）在中，，，，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得，故. 故选：C. 【拓展提升】 一、单选题 1. （25-26高三上·云南昆明·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意结合正弦定理即可得解. 【详解】在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，， 由正弦定理得， 故选：. 2. （25-26高三上·云南曲靖·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据余弦定理求出边的值. 【详解】已知，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：D. 3. （25-26高三上·云南·阶段检测）在中，已知，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理， 得，． 故选：B. 4. （25-26高三上·云南昆明·期中）在中，若，则角C为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合余弦定理，即可求解. 【详解】因为在中，，即， 所以， 因为，所以. 故选：B. 5. （25-26高三上·云南昆明·二模）已知中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理与正弦定理求解即可； 【详解】因为中，，，， 所以余弦定理得，即. 根据正弦定理，得. 故选：B. 6. 在中，已知内角所对的边分别为.若的面积为，且，，则边c等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据三角形的面积公式列方程求解即可. 【详解】已知的面积为，其中，， 则由面积公式， 得，解得， 故选：D. 二、填空题 7. （24-25高三上·云南大理·期中）在中，，则__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理，结合三角形边与角的大小关系，解得角. 【详解】由正弦定理可得， 则， 在三角形中，解得或， 因为，可得，所以， 因此， 故答案为：. 8. （25-26高三下·江西·对口/高职单招）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及弧田面积的计算问题.如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分，已知圆心角的弧度数为2，半径为2，则弧田的周长为____________      【答案】 【分析】根据弧长公式以及余弦定理求解即可. 【详解】由已知得，所求的弧田的周长是弧和弦的和， 弧长为， 由余弦定理得， 因此所求弧田的周长为. 故答案为：. 9. （25-26高三下·浙江·对口/高职单招）在中，已知，求的值为______. 【答案】 【分析】根据正弦定理得出的比值即可确定答案. 【详解】已知， 设， 则， 所以， 即 由正弦定理得，， 设， 则， 故答案为：. 三、解答题 10. 已知分别为的内角的对边，且. (1)若，且，求的面积； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直角由勾股定理可得，再结合三角形面积公式求解即可. （2）先由正弦定理将角化边，再结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）在中，， ，即，则， ，即. ； （2），即， 又∵，即， 由余弦定理得. 11. （25-26高三上·云南昆明·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，，． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解即可； （2）先由同角三角函数的平方关系求解，再由正弦定理求解即可. 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理，可得， 整理可得， 解得或（舍），所以． （2）因为，， 所以， 由正弦定理，可得， 且，且，故，所以． 12. 在中，已知分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据正弦定理边角互化结合诱导公式进行化简即可解得； （2）根据余弦定理列出等式即可解得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， ，又， ，， 因为是的内角，， ，又是的内角， . （2）因为，， 由余弦定理得， 即， ，即，解得或. 13. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)若，求的值； (2)若，求b，c的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（）由同角三角函数基本关系式求出，结合正弦定理即可得解. （）根据三角形面积公式求出值，代入余弦定理即可得到值. 【详解】（1），且，. 由正弦定理得， . （2），，解得. 由余弦定理得，. 综上所述，. 14. （24-25高三上·云南·一模）在中，已知分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据正弦定理边角互化结合诱导公式进行化简即可解得. （2）根据余弦定理列出等式即可解得. 【详解】（1）由正弦定理得， ， ， ， ，又， ，， 是的内角，， ，又是的内角， . （2）因为， 由余弦定理得， 即， ，即， 解得. 15. （25-26高三下·江西·对口/高职单招）已知在的三边分别为，且， (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理以及同角三角函数的关系求解即可. （2）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理及已知得， 即得，即，因为，所以. （2）由余弦定理得，即得， 即为，解得，所以， 因此. 16. （25-26高三下·山东·对口/高职单招）如图所示，现要测量山两侧O、M两点间的距离，选取点A，使得O，A，M三点在同一个水平面，测得两点间的距离为，两点间的距离为且．    (1)求O，M两点间的距离 (2)计划在A，M之间选取一点B，在湖面上修建栈道，求栈道的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解即可. （2）根据同角三角函数的关系以及正弦定理求解即可. 【详解】（1）依题意，, 由余弦定理得， 即, , 即两点间的距离为． （2）   ，， , 由正弦定理， . 即栈道的长度为． 17. （25-26高三上·云南昆明·期中）为培育学生积极向上的劳动精神和认真负责的劳动态度，某班计划开垦学校一块三角形荒地种植疏菜.如图，是三角形荒地，测得.    (1)证明：是钝角三角形； (2)求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解即可； （2）根据三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由于，所以最大. 根据余弦定理可得： ， 因为，所以， 所以是钝角三角形. （2）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版云南省职教高考《数学真题同源卷》专辑，立足云南省职教高考数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版云南省职教高考《数学真题同源卷》 第8卷 解三角形（正余弦定理） （教师讲解卷） 1、 解三角形（正余弦定理） 【概念回顾】 1.正弦定理： ＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径) 2.适用范围： 两角及一边 3.变形形式： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；（边化角） (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)sin A＝，sin B＝，sin C＝（角化边） 4.余弦定理： a＝b＋c－2bc·cos A；cos A＝； b＝c＋a－2ca·cos B；cos B＝； c＝a＋b－2ab·cos C；cos C＝ 5.适用范围： 两边及一角、三边 6．三角形常用面积公式： (1) S＝a·h(h表示底边上的高)； (2) S＝a b sin C＝a c sin B＝b c sin A．（三角形的面积等于它的任意两边及其夹角的正弦乘积的一半） 7．常用公式： A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)， sin A＝sin(B＋C)；cos A＝－cos(B＋C)；tan A＝－tan(B＋C) 【真题精讲】 考点01 解三角形（正余弦定理） 1.（2026云南）在中，内角的对边分别为.若，则的面积是（ ） A. B. 6 C. D. 3 2.（2025云南）在中，已知，，，则A等于（    ） A． B． C． D． 3.（2024云南）在中，已知，，，则__________． 【举一反三】 1.（2023云南）在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 2.（2022云南）在中，已知，，，则（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3．（18-19高三·云南·模拟预测）在中，，，的面积，则（    ） A．7 B． C．3 D． 4．（19-20高三·云南·对口/高职单招）在中，，，，则最短边的长等于（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·云南·模拟预测）在中，已知，，，则A等于（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·云南·一模）在中，，，，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 【拓展提升】 一、单选题 1. （25-26高三上·云南昆明·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A．1 B． C．2 D． 2. （25-26高三上·云南曲靖·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 3. （25-26高三上·云南·阶段检测）在中，已知，则（   ） A． B．2 C． D．3 4. （25-26高三上·云南昆明·期中）在中，若，则角C为（   ） A． B． C． D． 5. （25-26高三上·云南昆明·二模）已知中，，，，则（   ） A． B． C． D． 6. 在中，已知内角所对的边分别为.若的面积为，且，，则边c等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7. （24-25高三上·云南大理·期中）在中，，则__________. 8. （25-26高三下·江西·对口/高职单招）《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及弧田面积的计算问题.如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分，已知圆心角的弧度数为2，半径为2，则弧田的周长为____________      9. （25-26高三下·浙江·对口/高职单招）在中，已知，求的值为______. 三、解答题 10. 已知分别为的内角的对边，且. (1)若，且，求的面积； (2)若，求的值. 11. （25-26高三上·云南昆明·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，，． (1)若，求； (2)若，求． 12. 在中，已知分别为内角的对边，且. (1) 求角的大小； (2) 若，求的值. 13. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)若，求的值； (2)若，求b，c的值. 14. （24-25高三上·云南·一模）在中，已知分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若，求的值. 15. （25-26高三下·江西·对口/高职单招）已知在的三边分别为，且， (1)求； (2)若，求的面积. 16. （25-26高三下·山东·对口/高职单招）如图所示，现要测量山两侧O、M两点间的距离，选取点A，使得O，A，M三点在同一个水平面，测得两点间的距离为，两点间的距离为且．    (1)求O，M两点间的距离 (2)计划在A，M之间选取一点B，在湖面上修建栈道，求栈道的长度． 17. （25-26高三上·云南昆明·期中）为培育学生积极向上的劳动精神和认真负责的劳动态度，某班计划开垦学校一块三角形荒地种植疏菜.如图，是三角形荒地，测得.    (1)证明：是钝角三角形； (2)求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $