第1卷 集合与充要条件（教师讲解卷） 2027版云南省（职教高考）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足云南职教高考真题，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”构建系统性训练，强化集合与充要条件的抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合|真题3+举一反三5+拓展7|集合运算（交并补）步骤、子集个数公式、元素特性应用|从定义-特性-关系（子集/真子集）-运算（交并补）递进，构建完整集合知识链| |充要条件|真题2+举一反三5+拓展9|定义法/集合法判断充分必要条件、命题关系转化|从命题概念到充分/必要/充要条件定义，结合不等式等载体实现逻辑推理应用|

编写说明：2027版云南省职教高考《数学真题同源卷》专辑，立足云南省职教高考数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版云南省职教高考《数学真题同源卷》 第1卷 集合与充要条件 （教师讲解卷） 一、集合 【概念回顾】 1.集合的定义： 一般地，由某些确定的对象组成的总体称为集合，简称为集． 2.集合的特性： 确定性、互异性、无序性 3.集合的分类： 含有有限个元素的集合称为有限集.含有无限个元素的集合称为无限集. 4.点集与数集 由数组成的集合称为数集，如.由点组成的集合称为点集，如. 5.常用的数集 实数集（R）、整数集（Z）、有理数集（Q）、自然数集（N）、正整数集（或） 6.集合的表示方法： 列举法、描述法、图示法（Venn图）； 7.元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作a∈A, 读作“a属于A”.如果a不是集合A的元素,就说a不属于A，记作a∉A,读作“a不属于A” 8.集合与集合的关系 表示 关系 自然语言 符号语言 图示 基 本基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 （或 ） 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 （或 ） 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ， 若集合A中有n个元素，则子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 9.并集 一般地,对于给定的集合A与集合B,由集合A与集合B的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的并集,记作A∪B.读作“A并B”.即A∪B={x|x∈A或x∈B}图示法： 10.交集 一般地,对于给定的集合A与集合B,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,记作A∩B.读作“A交B”.即A∩B={x|x∈A且x∈B}.图示法： 11.补集 研究某些集合时,如果这些集合是一个给定集合的子集,那么这个给定的集合称为全集,通常用字母U表示.在研究数集时，通常把实数集R作为全集． 一般地，如果集合A是全集U的一个子集，则由集合U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作CUA．即 CUA={x|x∈U且x∉A}.图示法： 【真题精讲】 考点01 集合间的运算 1.（2026云南）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2.（2025云南）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3.（2024云南）设集合，集合，则（   ） A. B. C. D. 【举一反三】 1．已知集合， ，则 （    ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（19-20高三·云南·对口/高职单招）设集合，，则下面选项中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，集合，则为（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【拓展提升】 一、选择题 1．设集合，集合，则 =（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，，则（   ） A．1或0 B．1 C．1或2 D．0或2 4．已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，若，则实数（     ） A．2 B．1 C． D．或2 二、填空题 6．已知集合，若，则实数的取值范围为___________．（用描述法表示） 三、解答题 7．设全集是实数集R，集合，． (1)分别用区间表示集合、集合； (2)在同一数轴上表示出集合和，并求出和． 二、充要条件 【概念回顾】 1.能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题． 2.一般地， 对于形如“如果p,那么q”的命题，我们称p为命题的条件，简称条件；称q为命题的结论，简称结论． 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分 条件，q是p的 必要 条件 p是q的 充分不必要 条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分 条件 pq且q⇒p p是q的 充要 条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要 条件 pq且qp 【真题精讲】 考点01 与不等式结合 1.（2025云南）“且”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2024云南）“”是“且”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【举一反三】 1．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，则“ ” 是 “ ”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设，则是的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【拓展提升】 一、选择题 1．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．条件是的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知命题：，则命题的一个必要不充分条件是（   ）. A． B． C． D． 5．设为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 6．设，，若是的充分条件，则实数m的取值范围是___________. 7．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为_____. 8．已知集合． （1）若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________； （2）若是的必要不充分条件，则实数_____________．（答案不唯一，写出符合条件的一个取值即可） 三、解答题 9．已知，. (1)若是真命题，求对应的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版云南省职教高考《数学真题同源卷》专辑，立足云南省职教高考数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版云南省职教高考《数学真题同源卷》 第1卷 集合与充要条件 （教师讲解卷） 一、集合 【概念回顾】 1.集合的定义： 一般地，由某些确定的对象组成的总体称为集合，简称为集． 2.集合的特性： 确定性、互异性、无序性 3.集合的分类： 含有有限个元素的集合称为有限集.含有无限个元素的集合称为无限集. 4.点集与数集 由数组成的集合称为数集，如.由点组成的集合称为点集，如. 5.常用的数集 实数集（R）、整数集（Z）、有理数集（Q）、自然数集（N）、正整数集（或） 6.集合的表示方法： 列举法、描述法、图示法（Venn图）； 7.元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作a∈A, 读作“a属于A”.如果a不是集合A的元素,就说a不属于A，记作a∉A,读作“a不属于A” 8.集合与集合的关系 表示 关系 自然语言 符号语言 图示 基 本基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 （或 ） 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 （或 ） 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ， 若集合A中有n个元素，则子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 9.并集 一般地,对于给定的集合A与集合B,由集合A与集合B的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的并集,记作A∪B.读作“A并B”.即A∪B={x|x∈A或x∈B}图示法： 10.交集 一般地,对于给定的集合A与集合B,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,记作A∩B.读作“A交B”.即A∩B={x|x∈A且x∈B}.图示法： 11.补集 研究某些集合时,如果这些集合是一个给定集合的子集,那么这个给定的集合称为全集,通常用字母U表示.在研究数集时，通常把实数集R作为全集． 一般地，如果集合A是全集U的一个子集，则由集合U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作CUA．即 CUA={x|x∈U且x∉A}.图示法： 【真题精讲】 考点01 集合间的运算 1.（2026云南）设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的并集运算易得答案. 【详解】因为,, 所以. 故选:D. 2.（2025云南）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集运算易得答案. 【详解】因为,, 所以. 故选:B. 3.（2024云南）设集合，集合，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合E、F，联立方程，得到方程组的解，并根据交集的概念求解. 【详解】因为集合，集合， 联立方程,解得， 所以则. 故选：C. 【举一反三】 1．已知集合， ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】因为解得， 所以集合，又 ， 所以. 故选：C. 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解绝对值不等式与一元二次不等式得到集合，再根据交集的定义计算两集合的交集即可 【详解】因为，所以集合， 因为或，所以集合， 所以. 故选：D. 3．（19-20高三·云南·对口/高职单招）设集合，，则下面选项中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由绝对值不等式求出集合，再由交集、并集的定义判断即可. 【详解】由，可解得， 则，又， 故，故A项正确，B项错误； ，故C项错误，D项错误. 故选：A. 4．已知集合，集合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出方程组即可得解. 【详解】集合，集合， ，解得， 所以， 故选：. 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出集合，再根据集合的交集求解即可. 【详解】不等式，解得，即. 已知集合，则. 故选：B. 【拓展提升】 一、选择题 1．设集合，集合，则 =（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集求解即可. 【详解】集合，集合，则. 根据集合的无序性，. 故选：C. 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求出，再根据集合的交集求解即可. 【详解】不等式，即，解得，即. 则. 故选：C. 3．已知集合，，，则（   ） A．1或0 B．1 C．1或2 D．0或2 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合间的包含关系，及集合元素的特性，即可求解. 【详解】因为集合，，， 所以，或， 当时，集合A和B不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，集合，符合题意； 当时，或， 时，集合A和B不满足集合元素的互异性，舍去； 时，集合，符合题意； 综上所述，或. 故选：C. 4．已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，根据得出，进而确定实数的取值范围. 【详解】方程，即，解得或，所以集合. 方程，即，解得或， 因为，所以， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：B. 5．已知集合，，若，则实数（     ） A．2 B．1 C． D．或2 【答案】A 【分析】根据题意，结合交集的概念和运算，两集合间的包含关系，及构成集合元素的特性，即可求解. 【详解】因为集合，，且， 所以，所以或， 当时，，此时集合，不符合题意，舍去； 当时，解得或， 当时，集合，此时，符合题意； 当时，此时集合，不符合题意，舍去； 综上所述，. 故选：A. 二、填空题 6．已知集合，若，则实数的取值范围为___________．（用描述法表示） 【答案】. 【分析】根据集合的并集以及补集求解即可. 【详解】已知集合，则. 因为集合，且，所以. 故答案为：. 三、解答题 7．设全集是实数集R，集合，． (1)分别用区间表示集合、集合； (2)在同一数轴上表示出集合和，并求出和． 【答案】(1) (2)图形见解析， 【分析】（1）根据含绝对值不等式的解法求解得出集合，再由一元一次不等式的解法求出集合即可. （2）根据交集与补集的运算法则运算即可. 【详解】（1）， . （2） 数轴如图所示：，， . 二、充要条件 【概念回顾】 1.能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题． 2.一般地， 对于形如“如果p,那么q”的命题，我们称p为命题的条件，简称条件；称q为命题的结论，简称结论． 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分 条件，q是p的 必要 条件 p是q的 充分不必要 条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分 条件 pq且q⇒p p是q的 充要 条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要 条件 pq且qp 【真题精讲】 考点01 与不等式结合 1.（2025云南）“且”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用不等式的性质结合条件的充分性及必要性可求. 【详解】且，则，充分性得证， 若，，则， 但，，必要性无法证明， 故“且”是“”的充分不必要条件； 故选：A. 2.（2024云南）“”是“且”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据且，且，并结合充要条件的定义可判断结果. 【详解】若，则有，或，，即且； 若且，则，即且. 所以“”是“且”的必要且不充分条件. 故选：B 【举一反三】 1．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解含绝对值的不等式结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】因为等价于或， 又或，但或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】，解得或， 当时，不等式成立，故充分性成立； 当不等式成立时，或者，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】能推出，但不能推出，所以是充分不必要条件． 故选：A. 4．设，则“ ” 是 “ ”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，判断两个命题的推出关系即可. 【详解】若满足，无法推出，例如取，故充分性不成立； 若满足，由于，因此必然有，故必要性成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．设，则是的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，判断两个命题的逻辑推出关系即可求解. 【详解】若成立，则，充分性成立， 若成立，无法推出， 例如取，满足但不满足，必要性不成立， 所以是的充分条件， 故选：A. 【拓展提升】 一、选择题 1．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则充分性成立； 若，则满足，但不满足，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 2．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解不等式，再结合必要不充分条件的定义即可判断. ，即，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：. 3．条件是的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由不等式的性质和充分必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，则，可得， 则是的充分条件， 若，则， 可得，解得或， 则不是的必要条件， 故条件是的充分不必要条件. 故选：B. 4．已知命题：，则命题的一个必要不充分条件是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合必要不充分条件的概念即可求解. 【详解】因为：等价于，解得. 对A，是的充分不必要条件，故A错误. 对B，是的必要不充分条件，故B正确. 对C，是的既不充分也不必要条件，故C错误. 对D，是的充要条件，故D错误. 故选：B. 5．设为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】不等式，解得或. 若成立，则可以推出，充分性成立. 若成立，则无法推出，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 二、填空题 6．设，，若是的充分条件，则实数m的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据充分条件的定义，建立不等式，可得答案. 由题意可得. 故答案为：. 7．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】求解绝对值不等式，由是的真子集，构造不等式即可求解. 由，可得， 得，即，区间长度为2， 区间长度为1， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 又，区间长度为2，区间长度为1， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为： 8．已知集合． （1）若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________； （2）若是的必要不充分条件，则实数_____________．（答案不唯一，写出符合条件的一个取值即可） 【答案】 4（答案不唯一） 【分析】（1）根据充分不必要条件可得集合A与集合B的关系，由此可解； （2）根据必要不充分条件可得集合A与集合B的关系，由此可解. 【详解】因为集合. （1）若是的充分不必要条件，则⫋，可得； 故答案为：； （2）若是的必要不充分条件，则⫋，可得， 可取或....（答案不唯一） 故答案为：4（答案不唯一）. 三、解答题 9．已知，. (1)若是真命题，求对应的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解不等式可得答案， （2）由（1）知：：，，然后分，和求出，再利用是的必要不充分条件，可得表示的集合是所表示的集合的真子集，从而可求出的取值范围 （1）∵是真命题， ∴，∴， 解得， ∴的取值范围是. （2）由（1）知：：， ， 是的必要不充分条件 当时，，故满足，即， 当时，，满足条件； 当时，，故满足，即. 综上所述的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $