第4卷 几种常见的函数（教师讲解卷） 2027版山西省（对口升学）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足山西对口升学考纲，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑，聚焦一次函数、反比例函数、二次函数等核心考点，通过真题与变式训练构建函数性质应用体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|4类函数表格梳理|对比呈现图像、象限、单调性等基础属性|从正比例函数到二次函数，按函数类型递进，构建概念框架| |真题精讲|6道近三年山西真题|聚焦函数概念、值域、单调性等核心考点|以真题为载体，强化性质应用的推理过程| |举一反三|8道模拟题|围绕奇偶性、单调区间等变式训练|通过相似题型迁移，深化性质理解| |拓展提升|20道综合题（单选10+填空5+解答5）|涵盖定义域、最值、实际应用等综合问题|从基础应用到复杂情境，培养模型意识与问题解决能力|

编写说明：2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足山西省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》 第4卷 几种常见的函数 （教师讲解卷） 一、几种常见的函数 【概念回顾】 1.一次函数 正比例函数 y=kx 图像 所在象限 升降趋势 增减性 k＞0 三、一 从左向右上升 增函数 k＜0 二、四 从左向右下降 减函数 2．一次函数 y=k x+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 增函数 k＞0，b＜0 三、四、一 k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 减函数 k＜0，b＜0 二、三、四 3.反比例函数 图像 所在象限 一、三 二、四 定义域 值域 单调性 单调减区间为 单调增区间为 4.二次函数 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 定义域 R 值域 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【真题精讲】 考点01 几种常见的函数 1.（2026·山西·真题T02）下列函数中与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 2.（2026·山西·真题T03）函数的值域为（ ） A. B. C. D. 3.（2026·山西·真题T20）已知， （1）求的值; （2）解不等式. 4.（2025·山西·真题T19）设函数，求. 10.（2025·山西·真题T04）下列函数在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 6.（2024·山西·真题T18） 设函数，则______________ 【举一反三】 1．（22-23高三·山西·模拟预测）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（    ）． A． B． C． D． 2．（18-19高三下·山西太原·模拟预测）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．（19-20高三下·山西太原·三模）下列函数中是偶函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高三·山西长治·模拟预测）偶函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·山西朔州·三模）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 7.（2023·山西·真题T13）已知函数，若，则__________. 8.（2022·山西·真题T03）下列既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【拓展提升】 一、单选题 1．（25-26高三下·山东烟台·对口/高职单招）在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中在其定义域是减函数的为（    ） A． B． C． D． 3．函数在上是增函数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是号（   ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 5．反比例函数（a是常数）的图像分布在是（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 6．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）下列函数定义域为 的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数式，当自变量增加1时，函数值（   ） A．增加1 B．减少1 C．增加2 D．减少2 8．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）已知直线不经过第一象限，则下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）已知函数在上是减函数，在上是增函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 10．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知函数的图象如图所示，则结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．二次函数的图象是抛物线开口__________． 12．若为反比例函数，则________． 13．函数的单调减区间为________． 14．（25-26高三下·湖北·职教高考）已知 ，则 _______. 15．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）已知函数则当时，函数值域为____________. 三、解答题 16．已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 17．（25-26高三下·江苏·对口/高职单招）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)若在区间上，函数与函数的图象有交点，求实数的取值范围. 18．为响应国家乡村振兴战略，某地政府鼓励大学生返乡创业，启动甲、乙两个农业小微项目.甲项目的收益与投入金额成正比，乙项目的收益与投入金额的算术平方根成正比.已知甲、乙两个项目各1万元，获得的收益分别是0.2万元和0.4万元 (1)分别将甲、乙两个项目的收益表示为投入金额的函数关系式 (2)大学生小王筹集到资金3万元，全部投入到甲、乙两个项目，问如何分配投入金额，小王才能获得最大收益？并求最大收益 19．（25-26高三下·天津·对口/高职单招）已知二次函数，且 (1)求常数b的值； (2)求的对称轴方程； (3)求函数. 20．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知二次函数的图象的顶点为，且经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果不大于10，求对应的实数的取值范围； (3)当时，求该函数的最大值和最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足山西省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》 第4卷 几种常见的函数 （教师讲解卷） 一、几种常见的函数 【概念回顾】 1.一次函数 正比例函数 y=kx 图像 所在象限 升降趋势 增减性 k＞0 三、一 从左向右上升 增函数 k＜0 二、四 从左向右下降 减函数 2．一次函数 y=k x+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 三、二、一 从左向右上升 增函数 k＞0，b＜0 三、四、一 k＜0，b＞0 二、一、四 从左向右下降 减函数 k＜0，b＜0 二、三、四 3.反比例函数 图像 所在象限 一、三 二、四 定义域 值域 单调性 单调减区间为 单调增区间为 4.二次函数 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 定义域 R 值域 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【真题精讲】 考点01 几种常见的函数 1.（2026·山西·真题T02）下列函数中与函数是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相同函数的定义即可得解. 【详解】函数，定义域为， 定义域为，定义域不同，不是同一函数，故错误； 定义域为，但对应法则不同，不是同一函数，故错误； 定义域为，对应法则相同，是同一函数，故正确； 定义域为，定义域不同，不是同一函数，故错误； 故选：. 2.（2026·山西·真题T03）函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为函数， 所以函数图像开口向上，对称轴为， 所以当时，函数取得最小值，即，则， 所以函数的值域是. 故选：D. 3.（2026·山西·真题T20）已知， （1）求的值; （2）解不等式. 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）由分段函数的解析式，根据自变量所在区间即可求. （2）分及时解不等式即可. 【小问1详解】 函数， 可得， ， 即有. 【小问2详解】 当时， 有，解得， 即， 当时， ，解得， 即， 所以所求不等式的解集为． 4.（2025·山西·真题T19）设函数，求. 【答案】6 【解析】 【分析】根据自变量的范围，选择相应的函数式，由内到外代入计算即可求解. 【详解】 因为函数， 所以，则，即. 10.（2025·山西·真题T04）下列函数在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式以及单调性的定义判断函数的单调性即可. 【详解】A选项，一次函数中，在上为减函数，故错误； B选项，反比例函数在上为减函数，故错误； C选项，函数的定义域为，任取， ∴， ∵，则有，， ∴，即， ∴在上为减函数； D选项，指数函数在上为增函数，故正确. 故选：D. 6.（2024·山西·真题T18） 设函数，则______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式代入计算即可. 【详解】函数， 则， 故答案为： 【举一反三】 1．（22-23高三·山西·模拟预测）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性判断求解. 【详解】是奇函数但是是减函数不符合题意，A选项错误；是奇函数，但函数有增有减，B选项错误； 是增函数，但是是非奇非偶函数，C选项错误；是奇函数且是增函数，D选项正确. 故选：D. 2．（18-19高三下·山西太原·模拟预测）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A选项是单调递增的指数函数，B选项是两个范围内递减的反比例函数，C选项是开口向下的二次函数，D选项为开口向上的二次函数，从而可一一对比满足题目条件的答案. 【详解】A ，指数函数在R上的递增函数，同时是非奇非偶函数，不满足条件； B，反比例函数是在上的减函数，同时是奇函数，不满足条件； C，函数是开口向下的抛物线，对称轴为y轴，是偶函数，故该函数在 上单调递增，在上单调递减，满足题目要求； D，函数是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，是偶函数，故该函数在 上单调递减，在上单调递增，不满足条件. 故选：C. 3．（19-20高三下·山西太原·三模）下列函数中是偶函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由常见的基本初等函数的单调性，奇偶性判断即可. 【详解】A选项，二次函数是非奇非偶函数，在上是减函数，在上是增函数，故A错误； B选项，函数是偶函数，在上是增函数，在上是减函数，故B正确； C选项，指数函数是非奇非偶函数，故C错误； D选项，函数是奇函数，故D错误. 故选：B. 4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项分析即可求解. 【详解】对A：函数的对称轴为，所以函数不具有奇偶性，故A项错误； 对B：函数的定义域为，关于原点对称，且， 所以函数是偶函数，函数在区间上单调递增，故B项正确； 对C：函数的定义域为R，且， 所以函数是奇函数，故C项错误； 对D：函数在上不具有单调性，故D项错误. 故选：B. 5．（22-23高三·山西长治·模拟预测）偶函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图像和性质即可求解. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以函数解析式为：， 函数开口向下，对称轴为轴， 所以函数单调递增区间为， 故选：A. 6．（25-26高三下·山西朔州·三模）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解. 【详解】由题意得，即，解得或， 所以函数的定义域为. 令，则， 对数函数在上单调递增， 二次函数，其图象开口向上，对称轴为， 当时，单调递减，则单调递减； 当时，单调递增，则单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：A. 7.（2023·山西·真题T13）已知函数，若，则__________. 【答案】-3 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，根据函数值的结果求出即可. 【详解】当时， 则有解得，其中与矛盾， 所以. 当时， 则有解得与矛盾， 所以舍去. 故答案为：. 8.（2022·山西·真题T03）下列既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义逐个判断即可得解. 【详解】A. 的定义域为R，且，故函数为非奇非偶函数； B. 的定义域为R，，故函数为奇函数； C. 的定义域为R，，故函数为奇函数； D. 的定义域为R，，故函数为偶函数. 故选：A. 【拓展提升】 一、单选题 1．（25-26高三下·山东烟台·对口/高职单招）在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二次函数、一次函数、反比例函数的单调性，即可求解. 【详解】因为二次函数的图像开口向上，对称轴为轴， 所以函数在上是单调递增，故选项A不符合题意； 因为一次函数在实数集R上单调递增，故选项B不符合题意； 因为反比例函数在和上单调递减，故选项C符合题意； 因为二次函数的图像开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故选项D不符合题意； 故选：C. 2．下列函数中在其定义域是减函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数二次函数的解析式即可求解. 【详解】对A，二次函数，，图像开口向上，对称轴为， 所以函数在上为减函数，在为增函数，故A错误. 对B，一次函数，，所以在定义域上为增函数，故B错误. 对C，一次函数，，所以在定义域上为减函数，故C正确. 对D，二次函数，，图像开口向上，对称轴为， 所以函数在上为减函数，在为增函数，故D错误. 故选：C. 3．函数在上是增函数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的单调性即可解答. 【详解】函数在定义域上是增函数的条件是， 此时满足函数在上是增函数. 故选：A. 4．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是号（   ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义，结合函数解析式代入求值可判断AB；结合偶函数及二次函数的性质可判断CD. 【详解】∵函数是定义在上的偶函数，∴， ∵当时，， ∴，， ，， ∴，，故A正确，B错误； 当时，，其对称轴，开口向下， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∵函数是定义在上的偶函数，其图象关于轴对称， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在上不是单调函数，在上单调递增，故CD错误， 故选：A. 5．反比例函数（a是常数）的图像分布在是（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图像和性质即可解答. 【详解】已知反比例函数， 因为，则， 所以反比例函数图像分布在是第二、四象限， 故选：C. 6．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）下列函数定义域为 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见函数的定义域逐项分析即可得解. 【详解】A选项，的定义域为； B选项，的定义域为； C选项，的定义域为； D选项，的定义域为R. 故选：B. 7．已知函数式，当自变量增加1时，函数值（   ） A．增加1 B．减少1 C．增加2 D．减少2 【答案】D 【分析】可令分别等于，求出相应的函数值，再求差即可. 【详解】令，则. 令，则. 所以当自变量增加1时，函数值减少2. 故选：D. 8．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）已知直线不经过第一象限，则下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据一次函数性质求解即可. 【详解】已知直线不经过第一象限， 则一次函数图象单调递减，即 且直线与轴负半轴相交，即当时，. 故选：A. 9．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）已知函数在上是减函数，在上是增函数，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】已知函数在上是减函数，在上是增函数， 则为二次函数的对称轴，即，解得. 故选：D. 10．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知函数的图象如图所示，则结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象和性质确定、的范围，结合指数函数的单调性判断即可. 【详解】由函数的图象可知，函数单调递增，所以. 因为函数图象与轴的交点为，由图可知，所以， 点在函数的图像上，可得，从而，， 选项A：因为，所以，故A选项错误； 选项B：因为，，，取， 此时，由于，可知无意义，故B选项错误； 选项C：因为且，所以，故C选项错误； 选项D：因为，所以指数函数在上单调递减， 因为，所以，故D选项正确， 故选：D. 二、填空题 11．二次函数的图象是抛物线开口__________． 【答案】向下 【分析】根据二次函数的二次项系数的正负来判断抛物线的开口方向. 【详解】在二次函数中，二次项系数， 所以该二次函数图象是抛物线开口向下， 故答案为：向下. 12．若为反比例函数，则________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的概念求解. 【详解】为反比例函数， 则，解得或， 时，，不符合题意； 时，，符合题意， 所以. 故答案为：. 13．函数的单调减区间为________． 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性即可解答. 【详解】已知函数， 图像开口向上，对称轴为， 所以函数的单调减区间为， 故答案为：. 14．（25-26高三下·湖北·职教高考）已知 ，则 _______. 【答案】0 【分析】首先根据题意求出函数的解析式，再代入求解即可. 【详解】已知 ，则，解得. 则，因此. 故答案为：0. 15．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）已知函数则当时，函数值域为____________. 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性求出函数的值域即可. 【详解】由已知得，其对称轴为， 所以函数在区间上为增函数，在区间上为减函数， 即当时，函数有最大值；当时，函数有最小值，因此所求的值域为. 故答案为：. 三、解答题 16．已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【分析】（）求出二次函数的对称轴，结合二次函数的单调性即可得解. （）因为对一切实数都成立，则即可得解. 【详解】（1）易知函数的图象开口向上，对称轴为直线． 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得，即实数的取值范围是． （2）若，即对一切实数都成立， 则方程无实数解， 所以，解得，所以实数的取值范围是． 17．（25-26高三下·江苏·对口/高职单招）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)若在区间上，函数与函数的图象有交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)，. (2). 【分析】（）根据题意结合奇函数的性质求出值即可得解. （）求出的解析式，利用二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）奇函数的定义域关于原点对称，因此，即. 奇函数满足，代入得，整理得，解得. 将代入，得， 验证：定义域为，为奇函数，符合条件. （2）将，代入，得. 与的图象有交点，即方程在上有解，整理得. 令，该函数为开口向上的二次函数，对称轴为，因此在上单调递减. ，，因此在上的值域为， 即的取值范围是. 18．为响应国家乡村振兴战略，某地政府鼓励大学生返乡创业，启动甲、乙两个农业小微项目.甲项目的收益与投入金额成正比，乙项目的收益与投入金额的算术平方根成正比.已知甲、乙两个项目各1万元，获得的收益分别是0.2万元和0.4万元 (1)分别将甲、乙两个项目的收益表示为投入金额的函数关系式 (2)大学生小王筹集到资金3万元，全部投入到甲、乙两个项目，问如何分配投入金额，小王才能获得最大收益？并求最大收益 【答案】(1)， (2)甲项目的资金万元，投入乙项目的资金万元，小王获得最大收益万元 【分析】（1)设甲、乙两个项目的收益的函数关系式分别为，，由，可求解； （2）设投入乙项目的资金万元，投入甲项目的资金万元，总收益为万元，可得，， 令，换元转化为二次函数可求解. 【详解】（1）设甲、乙两个项目的收益的函数关系式分别为，，则 ，， 所以，； （2）设投入乙项目的资金万元，投入甲项目的资金万元，总收益为万元，则 ，， 令，则，， 由于二次函数的对称轴为，且开口向下， 所以当,即时，， 即投入甲项目的资金万元，投入乙项目的资金万元，小王才能获得最大收益，最大收益万元. 19．（25-26高三下·天津·对口/高职单招）已知二次函数，且 (1)求常数b的值； (2)求的对称轴方程； (3)求函数. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）根据函数解析式代入求解即可. （2）根据二次函数的对称轴求解即可. （3）根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为二次函数，且， 所以，解得. （2）由（1）知，. 所以对称轴为. （3）不等式，即，得. 因式分解得，解得. 因此解集为. 20．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）已知二次函数的图象的顶点为，且经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果不大于10，求对应的实数的取值范围； (3)当时，求该函数的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为25，最小值为1. 【分析】（1）先根据二次函数顶点式设解析式，代入已知点求解参数得到解析式； （2）解一元二次不等式得到 的取值范围； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴判断区间单调性，求解对应区间的最值. 【详解】（1）已知二次函数图象顶点为，设二次函数顶点式为， 将点 代入解析式得：，解得， 代入顶点式展开得：. （2）由题意 ，代入解析式得： ， 可得，解得， 即的取值范围为. （3）二次函数的二次项系数 ，图象开口向上，对称轴为直线 . 给定区间全部位于对称轴左侧， 因此函数在上单调递减. 函数在区间左端点处取得最大值： 函数在区间右端点 处取得最小值：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $