第5卷 指数函数、对数函数与幂函数（教师讲解卷） 2027版山西省（对口升学）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足山西对口升学考纲，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑体系，系统构建指数函数、对数函数与幂函数的概念-性质-应用链条，通过分层训练培养数学抽象、运算推理及模型应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|4类核心概念（幂运算/指数函数/对数运算/对数函数）|性质对比（图象/定义域/单调性）、公式体系梳理|从基础概念到性质推导，形成知识网络| |真题精讲|5道近3年真题|考点分类（概念理解/运算法则应用）、解题步骤规范|真题导向，对接考纲高频考点| |举一反三|11道（选择6/填空3/解答2）|变式训练设计、易错点强化|从真题到模拟，巩固核心方法| |拓展提升|20道（选择9/填空5/解答6）|综合应用（单调性/奇偶性/最值）、跨知识点整合|能力递进，培养数学思维与问题解决能力|

编写说明：2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足山西省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》 第5卷 指数函数、对数函数与幂函数 （教师讲解卷） 一、指数函数、对数函数与幂函数 【概念回顾】 1.幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1 .这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)①； ②； ③． 2．指数函数的概念 图象 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b. ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 3．对数运算性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM； 一般地，＝ logaM； (2)换底公式及对数恒等式： ①对数恒等式：＝N； ②换底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)． 特别地，logab＝. 4.对数函数y =loga x( (a>0且a≠1)的图像和性质: 定义 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0) 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 【真题精讲】 考点01 指数函数、对数函数与幂函数的概念 1.（2025·山西·真题T03）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据真数大于零列出不等式即可得解. 【详解】函数，则， 解得， 所以定义域为， 故选：. 考点02 指数函数、对数函数与幂函数的运算法则 1.（2026·山西·真题T11）______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合指数幂和对数的运算，即可求解. 【详解】原式. 故答案为：. 2.（2026·山西·真题T12）已知，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求出函数值即可得解. 【详解】， 则， 故答案为：. 3.（2026·山西·真题T19）设函数，，求的最大值，最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性求值即可. 【详解】， ∴函数在上单调递减， ∴当时，函数有最大值为， 当时，函数有最小值为． 4.（2025·山西·真题T11）___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据同底数对数的减法运算法则即可计算：． 详解】， 故答案为：2． 5.（2024·山西·真题T12）______________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据对数的运算求解即可. 【详解】. 故答案为：1. 【举一反三】 1.（2023·山西·真题T03） 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算性质计算即可. 【详解】. 故选：C. 2.（2023·山西·真题T11） __________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据实数指数幂进行计算即可. 【详解】. 故答案为：. 3.（2022·山西·真题T06） 设a为常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数的运算定律求解. 【详解】同底数幂相乘，底数不变，指数相加. . 故选：A. 4.（2022·山西·真题T18）_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算法则进行化简求值即可得解. 【详解】. 故答案为：. 5．（24-25高三下·山西·二模）下列函数中既是奇函数又在定义域范围内是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐个选项判断函数的定义域、奇偶性和单调性，得到答案. 【详解】选项A，函数的定义域为，，是奇函数，在定义域上是减函数，正确； 选项B，函数的定义域为，，不是奇函数，错误； 选项C，函数的定义域为，不是奇函数，错误； 选项D，函数的定义域为，，是奇函数，在定义域上不是减函数，错误； 故选：A. 6．（25-26高三下·山西朔州·三模）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解. 【详解】由题意得，即，解得或， 所以函数的定义域为. 令，则， 对数函数在上单调递增， 二次函数，其图象开口向上，对称轴为， 当时，单调递减，则单调递减； 当时，单调递增，则单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：A. 二、填空题 7．（24-25高三下·山西·二模）已知函数，若，则__________ 【答案】9 【分析】利用分段函数的定义域，对m进行分类讨论，分别代入，即可求解. 【详解】由题意知函数，， 若，则， 解得，不符合，故舍去； 若，则， 解得. 综上若，则. 故答案为：9. 8．（24-25高三下·山西·三模）若函数，求______． 【答案】 【分析】将代入合适的解析式中求出的值，再将的值代入合适的解析式中求值即可. 【详解】已知函数， 所以， 所以. 故答案为：2. 9．（24-25高三下·山西·三模）若，则的最小值是_________ 【答案】/ 【分析】由对数的运算得到的值，再利用基本不等式计算即可得解. 【详解】由可知， 且，即， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 三、解答题 10．（24-25高三下·山西·二模）求函数的定义域. 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义和分母不为0，列出不等式组求解即可. 【详解】因为函数， 要使函数有意义，当且仅当，即， 所以且， 所以函数的定义域为且. 11．（24-25高三下·山西·三模）求函数 的定义域. 【答案】且 【分析】根据分式、根式与对数函数有意义的条件列出不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义，则， 解得， 所以且， 因此原函数的定义域为且. 【拓展提升】 一、单选题 1．已知幂函数的图象经过点，则幂函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数所过的点求解函数解析式即可. 【详解】设幂函数为（为常数）， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得， 所以该幂函数的解析式为. 故选：C. 2．计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据换底公式结合对数的运算计算即可. 【详解】. 故选：B. 3．有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将指数幂转化为根式的性质，结合根式的性质即可得解. 【详解】，所以，解得， 故选：. 4．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数和幂函数的单调性即可求解. 【详解】因为对数函数在上为增函数，又， 所以，又因为幂函数在R上单调递增，因为，所以， 故选：A. 5．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性以及二次函数的单调性，结合复合函数“同增异减”的性质求解即可. 【详解】已知函数， 要使函数有意义，则， 解得或， 因为在上为增函数， 且的图象开口向上， 对称轴为， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以在定义域内，函数的单调递减区间为， 故选：D. 6．设函数，则函数（    ） A．是偶函数 B．是减函数 C．图像关于原点对称 D．图像关于点对称 【答案】C 【分析】先求出的表达式，再根据函数的性质判断其各选项. 【详解】已知，可得， 对于函数，设，其定义域为，关于原点对称， 因为，， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故A错误； 在定义域上单调递增，故B错误； 根据奇函数的性质，函数的图像关于原点对称，故C正确，D错误， 故选：C. 7．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据常见函数的单调性及奇函数的定义分别判断每个选项. 【详解】选项A：的定义域为，关于原点对称， 因为，所以是奇函数， 又幂函数在上是增函数，故A正确； 选项B：在上单调递增，在上单调递减， 故在整个定义域上不是增函数，故B错误； 选项C：的定义域为，关于原点对称， 因为，所以不是奇函数，故C错误； 选项D：的定义域为，关于原点对称, 因为，所以不是奇函数，故D错误， 故选：A. 8．已知 ，，，则 ，， 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的单调性即可求解. 【详解】因为对数函数 底数大于，在其定义域上是增函数， 所以 ，， 因为对数函数底数为，在其定义域上是减函数， 所以，即. 故选：D. 9．已知 ,, ,则 之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别根据指数函数、对数函数的单调性确定的取值范围，再比较大小. 【详解】由得， 因为对数函数在上单调递增，且， 所以，即. 又对数函数在上单调递增，且， 所以，即. 得， 因为指数函数在上单调递增，且， 所以， 又因为，所以. 综上，，因此. 故选：D. 二、填空题 10．计算： ______. 【答案】4 【分析】根据对数的运算法则及指数幂的运算可得结果. 【详解】. 故答案为：4 11． ____________． 【答案】 【分析】根据对数的运算法则即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 12．若函数是对数函数，则的值为__________. 【答案】2 【分析】根据对数函数的基本形式建立方程，即可解得. 【详解】形如，底数，系数为1，是对数函数， 若函数是对数函数， 则，解得或， 又，所以. 故答案为：2 13．已知，则___________. 【答案】 【分析】根据不同自变量的取值代入相应的解析式求解即可. 【详解】∵函数为， ∴， ∴. 故答案为：. 14．函数为R上的奇函数，当时，则___________. 【答案】 【分析】由当时求出的值，再结合奇函数的性质即可求解. 【详解】因为当时， 则， 又函数为R上的奇函数，所以. 故答案为：. 15．比较大小：________． 【答案】 【分析】先确定两个对数有意义的公共定义域，再根据自然对数的单调性比较真数大小，即可得到两个对数的大小关系 【详解】要使和有意义， 则，解得， 因为在上为增函数， 当时，，， 所以，则， 故答案为：. 三、解答题 16．解不等式． 【答案】. 【分析】根据指数函数的单调性列出不等式即可得解. 【详解】不等式， 因为函数，底数，则函数在上为增函数， 则， 解得， 所以解集为. 17．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性. 【答案】(1)R (2)函数为奇函数，证明过程见解析. 【分析】（1）由分式有意义的条件和指数的运算求出定义域即可； （2）先判断函数的奇偶性，再进行证明即可. 【详解】（1）由于，故， 因此函数的定义域为R. （2）函数为奇函数.证明如下： 因为函数的定义域为R，关于原点对称， 所以， 故函数为奇函数. 18．求函数的值域. 【答案】 【分析】采用换元法，令，由二次函数的图像和性质，可得，进而得的范围，据此可求解. 【详解】令，，则 当时，；当时，. 所以. 因为在单调递增， 所以，即， 所以函数的值域为. 19．求函数的单调递减区间. 【答案】 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】令内层函数，则原函数为外层. 因为底数，所以指数函数在上是单调增函数. 根据复合函数的单调性，要求原函数的单调递减区间，即求内层函数的单调递减区间. 抛物线开口向下，对称轴为. 所以的递减区间是. 因此，原函数的单调递减区间为. 20．计算：. 【答案】1 【分析】根据对数运算，指数幂的运算计算即可. 【详解】 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足山西省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》 第5卷 指数函数、对数函数与幂函数 （教师讲解卷） 一、指数函数、对数函数与幂函数 【概念回顾】 1.幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1 .这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)①； ②； ③． 2．指数函数的概念 图象 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b. ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 3．对数运算性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM； 一般地，＝ logaM； (2)换底公式及对数恒等式： ①对数恒等式：＝N； ②换底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)． 特别地，logab＝. 4.对数函数y =loga x( (a>0且a≠1)的图像和性质: 定义 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0) 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 【真题精讲】 考点01 指数函数、对数函数与幂函数的概念 1.（2025·山西·真题T03）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 考点02 指数函数、对数函数与幂函数的运算法则 1.（2026·山西·真题T11）______． 2.（2026·山西·真题T12）已知，则______． 3.（2026·山西·真题T19）设函数，，求的最大值，最小值． 4.（2025·山西·真题T11）___________． 5.（2024·山西·真题T12）______________ 【举一反三】 1.（2023·山西·真题T03） 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8 2.（2023·山西·真题T11） __________. 3.（2022·山西·真题T06） 设a为常数，则（ ） A. B. C. D. 4.（2022·山西·真题T18）_________． 5．（24-25高三下·山西·二模）下列函数中既是奇函数又在定义域范围内是减函数的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·山西朔州·三模）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高三下·山西·二模）已知函数，若，则__________ 8．（24-25高三下·山西·三模）若函数，求______． 9．（24-25高三下·山西·三模）若，则的最小值是_________ 三、解答题 10．（24-25高三下·山西·二模）求函数的定义域. 11．（24-25高三下·山西·三模）求函数 的定义域. 【拓展提升】 一、单选题 1．已知幂函数的图象经过点，则幂函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 3．有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若，则（   ） A． B． C． D． 5．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 6．设函数，则函数（    ） A．是偶函数 B．是减函数 C．图像关于原点对称 D．图像关于点对称 7．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 8．已知 ，，，则 ，， 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．已知 ,, ,则 之间的关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．计算： ______. 11． ____________． 12．若函数是对数函数，则的值为__________. 13．已知，则___________. 14．函数为R上的奇函数，当时，则___________. 15．比较大小：________． 三、解答题 16．解不等式． 17．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性. 18．求函数的值域. 19．求函数的单调递减区间. 20．计算：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $