第4卷 几种常见的函数（学生练习卷） 2027版山西省（对口升学）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦山西省对口升学数学“几种常见的函数”专项，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑，精选近三年真题，覆盖一次函数、二次函数等核心考点，构建概念-性质-应用递进体系，助力精准突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与性质|单选1-10、填空11-13|基础概念辨析（如函数图像象限）、性质应用（单调性、奇偶性判断）|从一次函数到二次函数，逐步深化函数性质理解，形成概念生成链条| |图像与应用|解答14-30|综合应用（含二次函数最值、实际问题建模）|以性质为基础，通过实际问题（如利润计算）实现知识迁移，体现数学思维与应用意识|

编写说明：2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足山西省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》 第4卷 几种常见的函数 （教师讲解卷） 一、几种常见的函数 一、单选题 1．已知一次函数（）的图像经过二、三、四象限，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图像与关系即可求解/ 【详解】因为一次函数（）的图像经过二、三、四象限， 所以，则，故ABC错误，D正确. 故选：D. 2．若函数，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在函数中，令可求解. 【详解】由题可得：. 故选：B 3．若一次函数在上是增函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的单调性求解即可. 【详解】因为一次函数在上是增函数，所以，解得. 因此m的取值范围是． 故选：D. 4．函数，的图像为（     ） A．射线 B．直线 C．离散的点 D．线段 【答案】D 【分析】由函数的定义域可判断函数的值域，即可判断函数图像. 【详解】已知函数的图像是一条单调递减的直线. 当时，，所以函数图像为线段，两端点为. 故选：D. 5．学校组织春游，全班统一乘坐大巴出发，大巴全程匀速行驶，行驶20分钟后到达加油站加油，停留10分钟，加油结束后大巴再次以原速度匀速行驶30分钟抵达目的地．设大巴行驶的总路程为（千米）与时间（分钟），则关于的函数图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据路程与时间的关系分析即可求解. 【详解】大巴全程匀速行驶，行驶20分钟,随着时间增加路程也增加，所以图像上升. 在途中加油停留10分钟，随着时间增加，路程不变，故图像为水平线段. 加油结束后大巴再次以原速度匀速行驶30分钟抵达目的地，随着时间增长路程也增加，故图像上升. 故选：A. 6．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反比例函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数中， 故的单调减区间为. 故选：C. 7．（23-24高三下·山西朔州·模拟预测）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数，余弦函数，幂函数，二次函数的性质易得答案. 【详解】A：指数函数是非奇非偶函数，故A错误； B：函余弦函数是偶函数，但在区间上不是严格单调递增，故B错误； C：二次函数是偶函数，在区间上单调递增，故C正确； D：幂函数不是偶函数，故D错误. 故选：C. 8．（24-25高三下·山西朔州·模拟预测）下列函数在其定义域内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数、余弦函数、幂函数的性质求解即可. 【详解】选项A. 在上单调递增. 选项B. 是周期性函数，且在上单调递减. 选项C. 在上单调递减. 选项D. 在上单调递减. 故选：A. 9．（21-22高三下·山西太原·模拟预测）下列函数为奇函数且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一次函数的单调性判断A，利用幂函数的奇偶性与单调性判断B，利用二次函数的对称性判断C，利用指数函数的性质判断D，从而得解. 【详解】对于A，当时，，显然在上为减函数，故A错误； 对于B，幂函数为奇函数且在上为增函数，故B正确； 对于C，二次函数关于轴对称，不是奇函数，故C错误； 对于D，指数函数是非奇非偶函数，故D错误； 故选：B. 10．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数的图象，采用图象法，再通过移动直线来确定的范围. 【详解】函数在上单调递增，在上单调递增， 当时，；当时，； 由，得；当时，；当时，. 函数，其图象开口向上，对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 且；当时，， 由，即，得或. 当或时，；当时，. 在同一直角坐标系下作出函数与的图象如下：    要使的值域为，图象上的点的纵坐标的取值范围只能取且必须取内的所有数， 由图象知，即实数的取值范围是. 故选：A． 二、填空题 11．（23-24高三下·山西·二模）函数，的值域为______． 【答案】 【分析】根据二次函数找到对称轴，再结合定义域，即可求解. 【详解】因为函数的对称轴为且， 抛物线开口方向向上，所以当时，函数取得最小值为． 因为， 所以当时，函数取得最大值为， 又因为， 所以函数的值域为． 故答案为：. 12．函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据题意利用二次函数的性质即可得解. 【详解】函数，图像为开口向上的抛物线， 对称轴为， 则在区间上，当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为， 所以值域为， 故答案为：. 13．（21-22高三下·山西太原·模拟预测）二次函数在区间单调递增，则a的取值范围是___________. 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又在区间单调递增， 所以，则. 故答案为：. 三、解答题 14．已知函数. (1)求，的值； (2)求该函数的对称轴方程及顶点坐标. 【答案】(1)， (2)对称轴方程为  ，顶点坐标为 【分析】（1）将或的值代入函数解析式中即可求解. （2）根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以. （2）因为函数的对称轴方程为  ， 将代入得，所以顶点坐标为. 15．（13-14高三·山西·自主招生）求二次函数的最值和图象的对称轴，并指出它的单调区间． 【答案】，对称轴为，单调递减区间，单调递增区间 【分析】根据配方后的解析式求得函数最值和对称轴，由图象及对称轴求得函数单调区间即可. 【详解】∵，∴， 且函数图象的对称轴是直线，且函数图象开口向上， 它在区间上是减函数，在区间上是增函数. 16．（20-21高三·山西太原·一模）已知二次函数. (1)把它化成的形式； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由配方法即可得解； （2）根据二次函数的对称轴，判断二次函数的单调性，从而可得函数在上的最值. 【详解】（1）. （2）因为的对称轴，函数图象开口向上， 所以函数在区间上单调递增， 所以，. 17．（14-15高三·山西·一模）求二次函数的最小值和图象的对称轴，并指出它的单调区间． 【答案】最小值，图像的对称轴是，的单调减区间是，单调增区间是 【分析】根据二次函数图像和性质即可解得. 【详解】解：由于， 恒成立，所以当，即当时，有最小值， 最小值为， 图像的对称轴是， 又知函数图像为开口向上的抛物线， 则的单调减区间是， 单调增区间是． 18．已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)求当时，的解析式； (2)写出函数的单调区间（直接写结论）； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)单调减区间有，，单调增区间有， (3)或3 【分析】（1）令，则，进而得的表达式，再根据偶函数的性质可得结果； （2）根据二次函数的图像和性质可得结果； （3）分，两种情况，列方程可求解. 【详解】（1）令，则，因为当时，， 所以， 又因为是定义在上的偶函数，所以， 即当时，； （2）函数的单调减区间有，，单调增区间有，； （3）①当时，，即，解得或（舍）， ②当时，，即，解得或（舍）， 综上所述，实数的值为或3． 19．已知函数在区间上是减函数． (1)求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的单调性列不等式，即可求出实数的取值范围. （2）根据对数函数的单调性列不等式组求解即可. 【详解】（1）由题可知：的对称轴为，且开口向上， 因为在区间上是减函数，所以，解之得， 所以实数的取值范围为； （2）由（1）知，所以原不等式等价于，解得， 即或，所以不等式的解集为． 20．已知二次函数的图象过点和，且的最大值是4． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围； (3)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意，可得顶点坐标为，设出二次函数的顶点式，根据可求解； （2）先求出二次函数的增区间，据此列不等组可求解； （3）参数分离转化为在恒成立，令，求的最小值可得解. 【详解】（1）因为二次函数的图象过点和， 所以， 所以二次函数的对称轴为. 由的最大值是4，可设， 由可得：，解得， 所以，即为所求； （2）由（1）可知，函数的增区间为， 依题可得， 所以，解得， 故实数的取值范围； （3）不等式在恒成立， 可化为在恒成立， 令，， 因为的对称轴为，且开口向下， 所以的最小值在区间的端点取得， 计算端点函数值，，即， 所以为所求. 21．某电商店铺销售一款水杯，水杯进价为每件40元，线上标价每件50元时，每个月可卖出200件．根据销售数据统计：售价每提高1元，每个月会少卖出10件． (1)若每个水杯售价提高10元，求每个月的销售总利润； (2)设每个水杯售价提高元，每个月的销售总利润为元．写出利润关于的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； (3)每个水杯的标价为多少元时，每个月盈利最高？每月的最大利润是多少元？ 【答案】(1) 2000元 (2) （或） (3) 标价为55元时盈利最高，每月最大利润为2250元. 【分析】（1）根据售价变动规则计算对应单件利润与销量，最后得到总利润. （2）根据题意，构建利润关于提价金额的二次函数. （3）利用二次函数的图像性质求解最大值以及其对应自变量取值. 【详解】（1）当售价提高10元时，单件售价为元，单件利润为元. 月销量为件. 总利润元. （2）设每个水杯售价提高元，单件利润为元，月销量为件. 则总利润，整理得. （3）函数为二次函数，二次项系数，抛物线开口向下， 对称轴为，即时取得最大值. 此时水杯标价为元，最大利润元. 22．已知某厂生产一种产品的年固定成本为200万元，每生产万件，需另投入成本为万元．当年产量不足60万件时，（万元）；当年产量不小于60万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为50元时，该厂当年生产的该产品能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年产量为90万件时，利润最大，最大利润为620万元. 【分析】（1）根据公式计算即可； （2）根据（1）中结果分，讨论即可. 【详解】（1）由题可知：， 所以， 即 （2）由（1）可知： 当时，， 所以若，； 当时，， 当且仅当，即时，有. 综上可知：当年产量为90万件时，利润最大，最大利润为620万元. 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． (1)求a与k的值； (2)设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据两点代入一次函数与反比例函数，求出即可. （2）分别求出的坐标，再根据三角形面积求解即可. 【详解】（1）已知点，在一次函数与反比例函数的图象上且点，的横坐标分别为和， 则，得，解得， 所以. （2）由（1）知，一次函数的解析式为． 令，即，解得， 所以点的坐标为，则． 令，则， 所以点的坐标为，则． 因为轴轴，所以为直角三角形， 所以． 24．（22-23高三·山西·模拟预测）已知二次函数的最大值为2，且． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间[2m，m+3]上不是单调函数，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设函数解析式，由两个函数值列式消去两个参数，再由最大值求出第三个参数，即可得到函数具体的解析式. （2）理解二次函数在某段区间上的单调性与对称轴位置的关系即可求解.. 【详解】（1）设二次函数， 由可得：，， 由可得：，， 且对称轴为，则函数最大值为， 即，. （2）若函数在区间[2m，m+3]上不是单调函数 则对称轴满足：， 解得， 即实数的取值范围为. 25．（18-19高三下·山西太原·模拟预测）二次函数的图象的顶点为，且经过点. (1)求二次函数解析式； (2)求函数的单调性和值域. 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减，值域为 【分析】（1）根据题意假设出所求二次函数的顶点式，再代入点即可得解； （2）利用二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）依题意，设所求二次函数为， 又经过点，所以，解得， 所以. （2）因为开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以的值域为. 26．（18-19高三下·山西太原·二模）已知函数，当自变量在时，求出函数的单调性以及最值并求当函数取最值时对应的自变量的值. 【答案】在区间上函数单调递增；当时，最大值为3；无最小值. 【分析】由二次函数的图象与性质求解即可. 【详解】函数开口向下，对称轴为， 在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调减速； 所以，函数在区间上是增函数，当时，有最大值3；无最小值. 27．（22-23高三·山西吕梁·一模），求 (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，将代入函数解析式，结合二次函数的图像和性质，利用配方法，即可求解； （2）根据题意，利用配方法，求出函数的对称轴，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）由题意，时，， 所以函数图像是开口向上的抛物线，对称轴为， 所以当时，函数取得最小值，即； 当时，函数取得最大值，即 （2）因为， 所以函数的对称轴是， 又函数在上是单调函数，则或， 解得或， 所以实数的取值范围为. 28．（22-23高三·山西长治·模拟预测）已知二次函数的图像经过点，且对称轴是，求它的解析式、单调递增区间和最值. 【答案】，单调递增区间是，最大值为5，无最小值 【分析】根据已知求得二次函数解析式，再根据函数性质求得单调区间及最值. 【详解】设二次函数的解析式是   由题可知  ， 解得：  ，   所以.   因为，开口向下且对称轴是， 所以该函数的单调递增区间是， 当时，函数有最大值是.无最小值. 29．（24-25高三下·山西·三模）已知当时，二次函数的图像出现最低点，最低点坐标为，且二次函数的图像过点，求此二次函数的解析式及值域． 【答案】解析式为，值域为 【分析】根据二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为当时函数取得最小值4， 所以二次函数的顶点式为， 又图像过点，代入得，解得， 所以解析式为，即， 因为二次项系数大于0，函数有最小值4， 所以值域为． 30．（25-26高三下·山西朔州·三模）已知函数，求在区间上的最大值和最小值. 【答案】最大值为0，最小值为 【分析】根据二次函数的单调性求最值即可. 【详解】已知函数， 其中二次项为，图像开口向下， 对称轴为， 所以在区间上函数单调递增，在区间上函数单调递减， 由，得在区间上的最大值为0， 且， ， 所以在区间上的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足山西省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版山西省对口升学《数学真题同源卷》 第4卷 几种常见的函数 （教师讲解卷） 一、几种常见的函数 一、单选题 1．已知一次函数（）的图像经过二、三、四象限，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若函数，则 （    ） A． B． C． D． 3．若一次函数在上是增函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．函数，的图像为（     ） A．射线 B．直线 C．离散的点 D．线段 5．学校组织春游，全班统一乘坐大巴出发，大巴全程匀速行驶，行驶20分钟后到达加油站加油，停留10分钟，加油结束后大巴再次以原速度匀速行驶30分钟抵达目的地．设大巴行驶的总路程为（千米）与时间（分钟），则关于的函数图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   6．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高三下·山西朔州·模拟预测）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·山西朔州·模拟预测）下列函数在其定义域内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 9．（21-22高三下·山西太原·模拟预测）下列函数为奇函数且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24高三下·山西·二模）函数，的值域为______． 12．函数的值域是______． 13．（21-22高三下·山西太原·模拟预测）二次函数在区间单调递增，则a的取值范围是___________. 三、解答题 14．已知函数. (1)求，的值； (2)求该函数的对称轴方程及顶点坐标. 15．（13-14高三·山西·自主招生）求二次函数的最值和图象的对称轴，并指出它的单调区间． 16．（20-21高三·山西太原·一模）已知二次函数. (1)把它化成的形式； (2)求在区间上的最值. 17．（14-15高三·山西·一模）求二次函数的最小值和图象的对称轴，并指出它的单调区间． 18．已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)求当时，的解析式； (2)写出函数的单调区间（直接写结论）； (3)若，求实数的值． 19．已知函数在区间上是减函数． (1)求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，解关于的不等式． 20．已知二次函数的图象过点和，且的最大值是4． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围； (3)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 21．某电商店铺销售一款水杯，水杯进价为每件40元，线上标价每件50元时，每个月可卖出200件．根据销售数据统计：售价每提高1元，每个月会少卖出10件． (1)若每个水杯售价提高10元，求每个月的销售总利润； (2)设每个水杯售价提高元，每个月的销售总利润为元．写出利润关于的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； (3)每个水杯的标价为多少元时，每个月盈利最高？每月的最大利润是多少元？ 22．已知某厂生产一种产品的年固定成本为200万元，每生产万件，需另投入成本为万元．当年产量不足60万件时，（万元）；当年产量不小于60万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为50元时，该厂当年生产的该产品能全部销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？ 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． (1)求a与k的值； (2)设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 24．（22-23高三·山西·模拟预测）已知二次函数的最大值为2，且． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间[2m，m+3]上不是单调函数，求实数m的取值范围． 25．（18-19高三下·山西太原·模拟预测）二次函数的图象的顶点为，且经过点. (1)求二次函数解析式； (2)求函数的单调性和值域. 26．（18-19高三下·山西太原·二模）已知函数，当自变量在时，求出函数的单调性以及最值并求当函数取最值时对应的自变量的值. 27．（22-23高三·山西吕梁·一模），求 (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围. 28．（22-23高三·山西长治·模拟预测）已知二次函数的图像经过点，且对称轴是，求它的解析式、单调递增区间和最值. 29．（24-25高三下·山西·三模）已知当时，二次函数的图像出现最低点，最低点坐标为，且二次函数的图像过点，求此二次函数的解析式及值域． 30．（25-26高三下·山西朔州·三模）已知函数，求在区间上的最大值和最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $