第三章 圆锥曲线（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本试卷为中职数学《拓展模块上册》第三章圆锥曲线B卷（能力提升），紧扣教材核心考点，通过20道单选、5道填空及5道解答题，全面检测知识整合与应用能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|20/60|椭圆定义、双曲线渐近线、抛物线焦点等|基础概念辨析，如第1题椭圆定义判断| |填空|5/20|离心率计算、共渐近线双曲线方程等|核心公式应用，如第21题椭圆离心率求解| |解答|5/40|曲线方程推导、焦点三角形、实际应用|综合能力提升，如第20题嫦娥四号轨道情境（数学眼光），第26题抛物线与几何图形结合（数学思维）|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第三章 圆锥曲线 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．到两定点和的距离之和为4的点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对 2．已知椭圆上一点到两焦点，的距离之和等于，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．椭圆上的顶点B与两个焦点，所围成的三角形的周长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于8，则点P到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．2或18 5．中心在坐标原点，一个焦点坐标是，一条渐近线方程为的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 6．抛物线上的点到焦点的距离为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．8 D．4 7．抛物线的焦点坐标是（   ）． A． B． C． D． 8．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若，则为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 9．已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，则此双曲线方程为（     ） A． B． C． D． 10．椭圆的一个焦点为，该椭圆上有一点，满足是等边三角形（为坐标原点），则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 11．已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．长轴长是3，一个焦点为 B．一个焦点为，离心率是 C．焦距是，短轴长是4 D．对称轴是坐标轴，一个顶点为 12．已知等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程是（   ） A． B． C． D． 13．已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 14．如图所示，已知点，分别为双曲线的左、右两个焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（    ）    A．2 B． C． D． 15．抛物线上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 16．如图所示，当椭圆的上顶点、右顶点、左焦点构成一个直角三角形时，称此椭圆为“黄金椭圆”，则“黄金椭圆”的离心率为（   ） A． B． C． D． 17．设双曲线 的左、右焦点分别为点 ，过点 的直线与双曲线左支交于 两点，且，则的周长为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 18．过椭圆的左焦点的直线交椭圆于M，N两点，且，为右焦点，则的值为（    ） A．10 B．14 C．16 D．20 19．已知点，是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，点的坐标为，则的最小值为（    ） A． B．7 C．8 D．9 20．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（   ） A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3988公里 C．两焦点坐标约为 D．离心率约为 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为_______． 22．与双曲线有相同的渐近线，并且过的双曲线标准方程是___________． 23．已知点为椭圆上一点，焦点为，，则的周长为_____ 24．双曲线的一条渐近线方程为，则_____. 25．若抛物线上一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．在直角坐标xOy中，曲线M上到动点到点的距离与到直线的距离相等，点A，B在曲线M上，是等边三角形. (1)求曲线M的方程； (2)求的面积. 27．已知椭圆C:的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求MN的长. 28．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，椭圆上一点P到左右两焦点的距离之和为8． (1)求椭圆标准方程； (2)已知直线与椭圆交于A，B两个不同的点，且弦AB的中点M恰在圆上，求n的值． 29．双曲线（a>0，b>0），圆D:，双曲线与圆交于M（3，4），双曲线的一条渐近线为 (1)求双曲线的方程； (2)点P为圆与y轴正半轴交点，过点P的直线l交双曲线于A、B两点，且，求l的方程. 30．在直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有相同的顶点，且椭圆E的离心率为，直线与椭圆E交于P、Q两点，线段的中点为M． (1)求椭圆E的方程； (2)当时，求点M的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第三章 圆锥曲线 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．到两定点和的距离之和为4的点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对 【答案】B 【分析】先求出线段的长度，使其与距离之和进行比较，然后求解即可. 【详解】∵点到两定点和的距离之和为， ，， ， 的轨迹是以，为端点的线段. 故选：B. 2．已知椭圆上一点到两焦点，的距离之和等于，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点确定的值，再根据椭圆的定义确定的值，最后由求出写出方程即可. 【详解】已知椭圆上一点到两焦点，的距离之和等于， 可得， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 3．椭圆上的顶点B与两个焦点，所围成的三角形的周长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程得到的值，得到，再根据椭圆的定义得到，即可求解. 【详解】∵椭圆，两个焦点为，在轴上， ∴，即. 椭圆的顶点B与两个焦点，所围成的三角形，则B点在轴上， 周长为, 根据椭圆的定义可知，. 所以. 故选：D. 4．双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于8，则点P到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．2或18 【答案】B 【分析】由双曲线的定义计算即可. 【详解】双曲线上，点P满足，， 由双曲线方程知， 则， 不妨设．则， 或14．其中， 但，则（舍）， 综上，即P到另一个焦点距离为14． 故选:B. 5．中心在坐标原点，一个焦点坐标是，一条渐近线方程为的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标求得c，再根据渐近线方程求得，代入中即可求出a、b的值，从而确定双曲线的方程. 【详解】解：由焦点坐标，得且焦点在x轴， 由渐近线方程得， 即，且 ， 则双曲线方程为. 故选：B. 6．抛物线上的点到焦点的距离为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．8 D．4 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义列方程求值即可. 【详解】已知抛物线，开口向右，对称轴为轴， 则其准线方程为，因为抛物线上的点到焦点的距离为4， 则点到准线的距离为4，即， 解得， 故选：D. 7．抛物线的焦点坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，即可求解. 【详解】由得，所以抛物线的焦点在y轴正半轴上， 因为，解得， 所以焦点坐标为，即. 故选：B． 8．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若，则为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由抛物线可得， 所以. 故选：B. 9．已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，则此双曲线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由椭圆的方程确定，再由椭圆中的关系求出确定焦点，和离心率，再由双曲线的离心率求出的值，再由双曲线中的值求出即可写出方程. 【详解】由椭圆可得， 所以，焦点坐标为，离心率 因为双曲线与椭圆共焦点， 所以，由它们的离心率之和为， 可得双曲线的离心率为， 即，解得，则 且焦点在轴上，所以双曲线方程为， 故选：D. 10．椭圆的一个焦点为，该椭圆上有一点，满足是等边三角形（为坐标原点），则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由等边三角形求出点A的坐标，再将点A代入椭圆的方程结合即可求解离心率. 【详解】如图，过点A作AB垂直于x轴于点B， 点，由于是等边三角形， 所以可知，，可得点， 因为点在椭圆上，所以有①， 在椭圆中有②， 联立①②，有， 即， 整理得，，又离心率， 将上式同除可得，， 即，令， 所以，解得， 因为，所以，即， 则其离心率. 故选：A. 11．已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．长轴长是3，一个焦点为 B．一个焦点为，离心率是 C．焦距是，短轴长是4 D．对称轴是坐标轴，一个顶点为 【答案】C 【分析】由椭圆的标准方程可求解a，b，c的值，再由椭圆的性质即可判断选项. 【详解】因为椭圆方程为，焦点在轴上， 可得，， 所以， A：长轴长是，焦点为和，故A错误； B：焦点为和，离心率是，故B错误； C：焦距是，短轴长是，故C正确； D：椭圆的对称轴是坐标轴，顶点为，，，，故D错误. 故选：C. 12．已知等轴双曲线的一个焦点是，则它的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦点坐标可知焦点在轴上和的值，再结合关系式及等轴双曲线中关系，即可求出方程. 【详解】由焦点可知， 双曲线焦点在轴上，且， 又因为，且， ， 即双曲线标准方程为：. 故选：. 13．已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线公式和离心率公式，代数求解即可. 【详解】因为双曲线方程为， 所以双曲线的焦点在轴，渐近线方程为， 又因为渐近线方程是，所以， 所以，即， 所以双曲线的离心率， 故选：C. 14．如图所示，已知点，分别为双曲线的左、右两个焦点，过点作垂直于轴的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形中三角函数关系，及双曲线的定义与离心率公式即可得解. 【详解】∵在中，， ∴，即， 点在双曲线右支商，由双曲线的定义知，， 所以，， 又∵，即，故， ∴离心率. 故选：B. 15．抛物线上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点线距离公式与配方法即可得解. 【详解】依题意，设为抛物线上任意一点，则， 易得直线与抛物线没有交点， 所以点到直线的距离为 ， 则所求. 故选：D. 16．如图所示，当椭圆的上顶点、右顶点、左焦点构成一个直角三角形时，称此椭圆为“黄金椭圆”，则“黄金椭圆”的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的性质，先确定上顶点、右顶点、左焦点的坐标，再利用直角三角形三边关系建立等式，进而求出离心率. 【详解】对于椭圆，上顶点，右顶点，左焦点， 因为为直角三角形，根据勾股定理可知， ， 由两点间距离公式可得， ， ， 所以， 化简得，， 又因为，所以， 等式两边同时除以得， 因为离心率为，所以，即， 解得， 因为椭圆离心率，所以. 故选：D. 17．设双曲线 的左、右焦点分别为点 ，过点 的直线与双曲线左支交于 两点，且，则的周长为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义找出三角形各边之间的关系，进而求解. 【详解】因为双曲线 ，所以， 因为 两点在双曲线左支上，双曲线左、右焦点分别为点 ， 根据定义可知，， 则，， 又过点 的直线与双曲线左支交于两点，所以， 故的周长为：. 故选：C. 18．过椭圆的左焦点的直线交椭圆于M，N两点，且，为右焦点，则的值为（    ） A．10 B．14 C．16 D．20 【答案】B 【分析】由椭圆的定义得，据此求解的值. 【详解】由椭圆可得， 椭圆中左焦点的直线交椭圆于M，N两点，且，为右焦点， 由椭圆的定义得，即， 故. 故选：B 19．已知点，是双曲线的左、右两个焦点，点在双曲线的右支上，点的坐标为，则的最小值为（    ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义与基本不等式即可求解. 【详解】因为点是双曲线的右支上的点. 所以，即. 又因为. 所以. 当且仅当三点共线时取等号. 所以的最小值为7. 故选：B. 20．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（   ） A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3988公里 C．两焦点坐标约为 D．离心率约为 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质及月球直径，分别求得椭圆的和月球半径，即可确定长轴长、焦距和离心率. 【详解】设该椭圆的半长轴长为，半焦距长为. 依题意可得月球半径约为，，， 解得，，椭圆的离心率约为. 可得焦距，所以选项A正确，B、D错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误. 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据焦点位置及椭圆方程确定，结合椭圆的离心率公式列出的方程，求解即可. 【详解】焦点在轴上的椭圆，即， 由题意知，，又离心率为， 则，所以． 故答案为：. 22．与双曲线有相同的渐近线，并且过的双曲线标准方程是___________． 【答案】 【分析】先设出与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程，再根据所求双曲线过解方程即可求解. 【详解】设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为， 把点代入，得，，∴所求双曲线方程为 故答案为： 23．已知点为椭圆上一点，焦点为，，则的周长为_____ 【答案】22 【分析】根据题意，结合椭圆的方程，可求得的值，根据椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为椭圆， 所以， 即， 因为点为椭圆上一点，焦点为，， 所以， 所以的周长是. 故答案为：22. 24．双曲线的一条渐近线方程为，则_____. 【答案】 【分析】根据题意结合双曲线的渐近线方程即可得解. 【详解】双曲线，则，且焦点在轴上， 双曲线的一条渐近线方程为， 可得， 解得， 故答案为：. 25．若抛物线上一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为_____． 【答案】/ 【分析】利用抛物线的定义列出式子，解得答案. 【详解】设点的纵坐标为， 抛物线的准线为，焦点为， 由抛物线定义可知，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等， 即， 解得， 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．在直角坐标xOy中，曲线M上到动点到点的距离与到直线的距离相等，点A，B在曲线M上，是等边三角形. (1)求曲线M的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解抛物线的方程. （2）由三角形为等边三角形，点A，B在曲线M上，求解点A，B的坐标，再求解三角形面积即可. 【详解】（1）由题意得，到点的距离与到直线的距离相等， ∴根据抛物线的定义，可知曲线M为抛物线， ∴点为抛物线的焦点，即， ∴曲线M的方程：. （2）由题意：A，B在抛物线上，为等边三角形， ∴，且AB关于x轴对称， ∴设，则， 将A的坐标代入抛物线解析式可得， ∵， 由∵，即， ∵，∴，即， 解得：，时，无法构成三角形，故舍， ∴， ∴的面积. 27．已知椭圆C:的左、右焦点分别为、，上顶点为P，长轴长为4，若为正三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交M，N两点，求MN的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知求椭圆的参数，即可得椭圆方程； （2）由题设直线为，联立椭圆方程求交点坐标，再利用弦长公式求解即可； 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4，为正三角形； 所以，解得； 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可知，， 所以该直线为， 联立，消去并整理得， 解得，即为点横坐标， 所以. 28．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，椭圆上一点P到左右两焦点的距离之和为8． (1)求椭圆标准方程； (2)已知直线与椭圆交于A，B两个不同的点，且弦AB的中点M恰在圆上，求n的值． 【答案】(1) (2)1或． 【分析】（1）由椭圆的离心率公式和椭圆的定义即可求解椭圆的标准方程. （2）联立椭圆与直线的方程，由中点坐标公式求出中点，代入圆的方程即可求解. 【详解】（1）因为焦点在x轴上，离心率为，椭圆上一点P到左右两焦点的距离之和为8， 所以， ， 椭圆的方程为. （2）设，AB中点， 联立，消y得， 由，得， ， 则， 又在圆上， 且， 或． 29．双曲线（a>0，b>0），圆D:，双曲线与圆交于M（3，4），双曲线的一条渐近线为 (1)求双曲线的方程 (2)点P为圆与y轴正半轴交点，过点P的直线l交双曲线于A、B两点，且，求l的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线和一个点易得答案； （2）根据向量关系找到根的关系，联立方程组利用韦达定理易得答案. 【详解】（1）因为， 所以设双曲线的方程为，因为双曲线与圆交于， 所以， 所以双曲线的方程为； （2）设， 因为， 所以圆：，所以，设直线的方程为， 所以， 因为， 联立方程， 根的判别式为 所以， 所以， 所以. 30．在直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有相同的顶点，且椭圆E的离心率为，直线与椭圆E交于P、Q两点，线段的中点为M． (1)求椭圆E的方程； (2)当时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题得，从而可求解； （2）由直线方程和椭圆方程联立，消元，由韦达定理可得，由此可将中点M和表示出来，由已知列式可求，从而求解. 【详解】（1）由题得， 解得， 所以椭圆E的方程为； （2）由得 ， 设， 由题知 ， ， 故， 从而， 故. ， , 整理得 ， 解得，符合， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $