第四章 立体几何（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣高教版中职数学拓展模块上册第四章立体几何，设A/B卷与综合卷，B卷（能力提升）通过正方体、三棱锥等模型，覆盖线面关系、空间角等核心考点，适配单元复习，提升空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|20/60|线面平行垂直（如第3题正方体中点线位置关系）、面面关系（如第5题垂直于同一直线的两平面平行）|结合几何模型，考查空间观念与抽象能力| |填空|5/20|空间角计算（如第23题正方体中直线所成角）、线面位置关系（如第21题平面交线与直线关系）|注重几何直观，强化空间想象| |解答题|5/40|综合证明与计算（如26题异面直线角和二面角，27题线面垂直证明与点到平面距离）|突出推理能力，整合知识网络，培养模型观念|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题为真命题的是（   ） A．任意两条直线可以确定唯一一个平面 B．过平面外一点，有且仅有一条直线与该平面平行 C．过平面外一点，有且仅有一条直线与该平面垂直 D．直线和一个点可以确定唯一的一个平面 2．若空间中有三条直线互相平行，且已知每两条平行线确定一个平面，则可确定（    ）个平面. A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．无数 3．如图所示，点E、F、G、H分别是正方体四条棱的中点，则直线与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 4．如图所示，在三棱锥中，，，，E为的中点，F为的中点. 给出下列四个命题： ①直线与直线异面； ②直线与直线相交； ③直线与直线垂直； ④直线与直线平行. 其中所有真命题的编号是（    ）    A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．下列命题中正确的是（    ） A．垂直于同一平面的两平面平行 B．垂直于同一直线的两平面平行 C．与一直线成等角的两平面平行 D．垂直于同一直线的两条直线平行 6．正方体的棱长为2，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成角为 B．与平面所成角为 C．与的夹角是 D．与平面所成的角为 7．如图，在正方体中，与垂直的平面是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 8．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 9．对于直线，和平面，，能得出的一个条件是（    ） A．，， B．，， C． ，， D．，， 10．已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 11．在正三棱锥中，已知，，则直线与平面所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 12．下列命题中，表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，正确的命题有（   ） ①若，则        ②若，则 ③若，则        ④若，则 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 13．如图所示，如果菱形所在平面，那么与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 14．已知直线a，b与平面，，，下列能使成立的条件是（   ） A．， B．，， C．， D．， 15．已知，是两个平面，，是两条直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 16．在正方体中，若经过的平面分别交和于点，则四边形的形状是（   ） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 17．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 18．如图在正方体中，下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面平面 19．设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（    ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； A．1 B．2 C．3 D．4 20．如图所示，四边形中，，，，.将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．平面相交于直线，且直线，则直线a与m的关系是__________. 22．如图，点，，，分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线与是平行直线的图是________.（填序号） 23．如图，正方体中，，分别是棱与的中点，则直线与直线所成的角的大小是________. 24．如图，在直二面角中，AC和BD分别在平面α和β上，他们都垂直于AB，且，则________.    25．如图所示，已知正方体，E，F分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论： ①； ②平面平面； ③； ④平面平面； 其中，正确结论的序号是_________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 27．如图，已知三棱锥，平面平面，且，． (1)求证：平面； (2)若，与平面所成角为，求点到平面的距离． 28．如图，已知正方形所在平面，O为与的交点，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与所成角的余弦值. 29．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 30．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点． (1)求证：QN平面PAD； (2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题为真命题的是（   ） A．任意两条直线可以确定唯一一个平面 B．过平面外一点，有且仅有一条直线与该平面平行 C．过平面外一点，有且仅有一条直线与该平面垂直 D．直线和一个点可以确定唯一的一个平面 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质逐项分析即可. 【详解】当两条直线重合时，不能确定唯一一个平面，故A错误， 过平面外一点，有无数条直线与该平面平行，故B错误， 过平面外一点，有且仅有一条直线与该平面垂直，故C正确， 当直线和直线外一个点可以确定唯一的一个平面， 如果此点在直线上，则不能确定唯一的平面，故D错误. 故选：C. 2．若空间中有三条直线互相平行，且已知每两条平行线确定一个平面，则可确定（    ）个平面. A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．无数 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质求解即可. 【详解】根据平面性质，两条平行直线可以确定一个平面，分两种情况： 第一种，三条直线都在同一个平面内， 如图所示：  ； 第二种，三条直线在一个正方体中， 如图所示：   由图可知，，与确定一个平面，与确定一个平面，与确定一个平面，共3个平面. 综上，可确定1或3个平面. 故选：C. 3．如图所示，点E、F、G、H分别是正方体四条棱的中点，则直线与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 【答案】B 【分析】连接，根据正方体的特点以及点E、F、G、H是棱的中点，证明是梯形，即可得到直线与相交. 【详解】    连接， ∵是正方体， ∴且，即是矩形， 则， 依题意，是的中点，是的中点， 所以，. 又因为是的中点，是的中点， 所以在中，且. 得到. 因此是梯形，故直线与相交. 故选：B. 4．如图所示，在三棱锥中，，，，E为的中点，F为的中点. 给出下列四个命题： ①直线与直线异面； ②直线与直线相交； ③直线与直线垂直； ④直线与直线平行. 其中所有真命题的编号是（    ）    A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据空间中直线与直线的位置关系逐个分析即可. 【详解】已知在三棱锥中，E为的中点，F为的中点， 所以直线与直线平行，故④正确， 则直线与直线异面，故①正确， 直线与直线异面，故②错误， 直线与直线相交不垂直，故③错误， 故选：B. 5．下列命题中正确的是（    ） A．垂直于同一平面的两平面平行 B．垂直于同一直线的两平面平行 C．与一直线成等角的两平面平行 D．垂直于同一直线的两条直线平行 【答案】B 【分析】利用平面与平面的位置关系，直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系可判断 【详解】对于A，垂直于同一平面的两平面可能平行可能相交，故错误； 对于，垂直于同一直线的两平面平行，故正确； 对于，与一直线成等角的两平面可能平行可能相交，故错误； 对于，垂直于同一直线的两条直线可能平行可能相交，可能异面，故错误； 故选：. 6．正方体的棱长为2，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成角为 B．与平面所成角为 C．与的夹角是 D．与平面所成的角为 【答案】D 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，异面直线所成角的概念，直线与平面所成角，线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】 因为正方体中，平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成角为，故选项A错误； 连接，因为，即为平行四边形， 则， 又平面，平面， 所以平面，即与平面所成角为，故选项B错误； 因为，所以是等边三角形， 所以，即与的夹角是，故选项C错误； 因为在正方体中，平面， 所以即是直线与平面所成的角， 又，即直线与平面所成的角是，故选项D正确； 故选：D. 7．如图，在正方体中，与垂直的平面是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】利用正方体的特性，根据线面垂直的判定定理，线面角的定义即可求解. 【详解】对于A，在正方体中，有平面，故即为与平面所成的线面角， 又，所以与平面不垂直，故A错误； 对于B，连接，    因为平面，平面，即， 又，，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，在正方体中，则有平面，故与平面所成的线面角为， 又，所以与平面不垂直，故C错误； 对于D，连接，   与为异面直线，又，所以与所成角为与所成角， 因为，所以为等边三角形，即， 又平面，若与平面垂直，则垂直于平面内任一直线，即,而与所成角为，所以与平面不垂直，故D错误. 故选：B 8．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合三角形中位线定理，及线面平行的判定定理，即可判断求解. 【详解】连接，如图，    对于A，在中，由中位线定理得且； 因为底面是平行四边形，且，为中点， 故，则且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又， 所以与不平行，故选项A错误； 对于B，连接交于点O，连接，则， 又，故不平行，故选项B错误； 对于C，假设平面， 则由线面平行的性质定理可知，存在直线平面，使得， 因为，所以， 易知平面，而平面，所以平面， 而平面，平面，即与平面相交，显然矛盾， 所以直线与平面不平行，故选项C错误； 对于D，因为，又平面，平面， 所以平面，故选项D正确； 故选：D. 9．对于直线，和平面，，能得出的一个条件是（    ） A．，， B．，， C． ，， D．，， 【答案】C 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定定理来逐一分析选项. 【详解】选项A，已知，，，平面与可能平行、相交，无法得出，该选项错误， 选项B，，，，此时平面与相交，但不一定垂直，该选项错误， 选项C，，，，又，由面面垂直的判定定理，得， 选项D，，，则，又因为，所以，该选项错误. 故选：C. 10．已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】D 【分析】根据线面的位置关系进行判断即可. 【详解】对于A，若 ，则 或或相交; 对于B，如图所示， ，但；   对于C，如下图，满足 ，但 不平行；   对于D，若 ，则由线面平行的性质定理可知 ，正确. 故选：D. 11．在正三棱锥中，已知，，则直线与平面所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正三棱锥的顶点在底面的投影，找到线面角，然后利用三角函数定义求解即可. 【详解】在正三棱锥中，在底面等边中的投影为，且为等边的中心，如图：   平面，即直线与平面所成角为，， 由，所以在等边三角形中，， 所以，所以. 故选：B 12．下列命题中，表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，正确的命题有（   ） ①若，则        ②若，则 ③若，则        ④若，则 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，可判断①；由面面垂直的性质定理和面面平行的性质定理，可判断②；由线面平行的性质定理和线线的位置关系，可判断③；由面面平行的传递性和线面垂直的性质定理，可判断④. 【详解】由于，由线面平行的性质定理得，平行于过的平面与的交线， 又，故，即，故①正确； 若，则与可能相交，也可能平行，故②错； 若，，由线面平行的性质定理，即得，平行、相交或异面，故③错； 若，，，则由面面平行的传递性得， 由线面垂直的性质定理得，故④正确. 故选：C. 13．如图所示，如果菱形所在平面，那么与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理以及性质求解即可. 【详解】连接，因为是菱形，所以． 又平面，则． 因为平面，所以平面． 又平面，所以． 显然直线与直线不共面，因此直线与直线不共面， 因此直线与直线的位置关系是垂直但不相交． 故选：C. 14．已知直线a，b与平面，，，下列能使成立的条件是（   ） A．， B．，， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据题意结合平面与平面垂直的判定及平面与平面的位置关系即可得解. 【详解】当，时，平面的位置关系为平行或相交，故错误； 当，，时，平面相交但不一定垂直，故错误； 当，时，平面的位置关系为平行或相交，故错误， 当，时，过直线作平面与α相交于直线，因为，得， 又因为，所以 ，而，得到，故正确， 故选：. 15．已知，是两个平面，，是两条直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据线线、线面、面面位置关系逐项判断，即可求解. 【详解】对A：若，，，则m与n没有公共点，那么m与n可能平行或异面，故A错误； 对B：若，则存在直线，使，又因为，根据直线与平面垂直的性质， 则，又因为，所以，故B项正确； 对C：若，，则、m与n相交或m与n异面，故C项错误； 对D：若，，则或，故D项错误. 故选：B. 16．在正方体中，若经过的平面分别交和于点，则四边形的形状是（   ） A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 【答案】C 【分析】由面面平行的性质可判断得到，，结合长度关系可确定四边形为平行四边形. 【详解】因为平面平面，平面平面， 且平面平面，所以； 同理可得， 即四边形为平行四边形； 当分别为中点时，，此时四边形为菱形； 当分别与重合时，与重合，与， 因为平面，平面， 得到，，此时四边形为矩形，但不是正方形； 其他情况下，四边形为普通的平行四边形； 综上所述：四边形为平行四边形. 故选：C. 17．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将四棱锥扩充为长方体，再由长方体的几何特征，找出异面成角，再由余弦定理求值即可. 【详解】因为底面，底面为正方形， 如图，将四棱锥扩充为长方体， 则，所以为异面直线与所成的角， 因为，，且底面为正方形， 所以， 所以， ， ， 所以由余弦定理可得. 故选：D. 18．如图在正方体中，下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面平面 【答案】C 【分析】利用直线与平面垂直的判定定理、平面与平面平行的判定定理、平面与平面垂直的判定定理，利用直线平行判断异面直线所成角. 【详解】对于A，连接， 在正方体中，平面，且， 又；在平面，所以平面， 又平面，所以，同理，， 由平面，所以平面，选项A正确； 对于B，连接， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以， 同理.又，，所以平面平面，选项B正确； 对于C，正方体的面对角线长相等，则为等边三角形，所以，又，所以与的夹角为，选项C错误； 对于D， 由A选项证明可知平面，又，所以平面， 又平面，所以平面平面，故选项D正确. 故选：C 19．设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（    ） ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据线面，面面，线线的位置关系逐项判断即可得解. 【详解】①若，则与可能平行或相交，垂直是一种特殊情况，故①错误； ②若，则与的位置关系为平行，相交或异面，故②错误； ③若，则与的位置关系为平行或相交，故③错误； ④若，则，故④正确， 所以正确的个数为， 故选：. 20．如图所示，四边形中，，，，.将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】假设A、B选项成立，利用线面垂直的性质，可得，，从而产生矛盾，可排除；假设C选项成立，取的中点，连接，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定和性质，可得平面，故排除；对D选项，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定和性质，可证明平面，据此可判断结论正确. 【详解】对A选项，假设平面，由于平面，则. 在中，因为，，所以，这与相矛盾，即与平面不垂直，故错误； 对B选项，同理可判断与平面不垂直，故错误； 对C选项，如图，取的中点，连接， 在四边形中，，，，， 所以，所以为等腰直角三角形， 即在三棱锥，中， 假设平面平面，且平面平面，平面， 所以平面； 因为平面，所以. 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，都在平面内， 所以平面， 同上，产生矛盾，即平面与平面不垂直，故错误； 对D选项，在四边形中，，，，. 所以； 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 又，，都在平面内， 故平面，又平面，所以平面平面，故D正确. 故选：D 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．平面相交于直线，且直线，则直线a与m的关系是__________. 【答案】平行 【分析】根据线面平行的性质，结合线面平行的判定定理即可得解. 【详解】因为， 所以由线面平行的性质可知，在内存在不重合于的直线，使得， 因为， 所以由线面平行的性质可知，在内存在不重合于的直线，使得， 所以， 又，所以， 因为平面相交于直线，且，所以， 所以，即直线a与m平行. 故答案为：平行. 22．如图，点，，，分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线与是平行直线的图是________.（填序号） 【答案】①② 【分析】结合公理4可证得为平行四边形，从而可判断①；可证得为平行四边形，则，又，结合公理4可判断②；由图形可得两直线的位置关系，即可判断③；由条件可证得为梯形，两腰和必相交于一点，即可判断④. 【详解】图①，在正方体中，连接， ∵点，，，分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点， ∴， ∴, ∴为平行四边形，则，故①符合题意； 图②，在正方体中，连接， ∵， ∴, ∴为平行四边形，则， ∵点，，，分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点， ∴， 则，故②符合题意； 图③，由图可知，直线与既不平行也不相交，不符合题意； 图④，在正方体中，连接， ∴， ∴为平行四边形，则， ∵点，分别在正方体的棱上，且是所在棱的中点， ∴， ∴， ∴为梯形，两腰和必相交于一点，故④不符合题意， 综上，①②符合题意. 故答案为：①②. 23．如图，正方体中，，分别是棱与的中点，则直线与直线所成的角的大小是________. 【答案】 【分析】首先找出直线与直线所成的角，再分析其所在的三角形，进而得到角的大小. 【详解】 连接,. 因为，分别是棱与的中点， 所以. 因为 所以四边形是平行四边形，进而. 因为，，则即为与所成的角. 又因为，所以为， 所以直线与所成的角为. 24．如图，在直二面角中，AC和BD分别在平面α和β上，他们都垂直于AB，且，则________.    【答案】 【分析】连接，证明，进而求出. 【详解】连接，    在直二面角中，， 又，，， 所以，又， 则，又， 所以在中， . 故答案为：. 25．如图所示，已知正方体，E，F分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论： ①； ②平面平面； ③； ④平面平面； 其中，正确结论的序号是_________． 【答案】③④ 【分析】取E、F特殊位置可判定①②，根据线面垂直关系可判断③④. 【详解】对①：当,时，与不平行，则与不平行，故①错误； 对②：当,时，平面与平面不平行， 所以平面与平面不平行，故②错误； 对③：由正方体的特征可知：平面,平面，所以， 又，，平面,平面， 所以平面，由平面，所以，故③正确； 对④：由正方体的特征可知：平面,平面， 则平面平面，故④正确. 综上所述：正确结论的序号是③④. 故答案为：③④. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）找出是异面直线与所成的角，结合正方体的结构特征，正三角形的性质即可求解. （2）先找出二面角的平面角，结合正方体的结构特征即可求解. 【详解】（1）在正方体中，连接， 因为，即四边形是平行四边形， 即，所以是异面直线与所成的角， 因为三角形是等边三角形，所以， 所以异面直线与所成的角的大小为. （2）在正方体中，平面，平面， 所以， 即是二面角的平面角， 由正方体的性质可知，即二面角的大小为. 27．如图，已知三棱锥，平面平面，且，． (1)求证：平面； (2)若，与平面所成角为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析. (2)1. 【分析】（1）根据面面垂直证明线面垂直，再利用线面垂直证明线线垂直，即可证明平面. （2）根据线面角的定义求出与平面所成角，再结合已知条件即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，因为平面，平面，所以， 所以点到平面的距离为线段的长度，则在平面的投影为线段， 所以与平面所成角为，即， 因为，所以， 所以点到平面的距离为1. 28．如图，已知正方形所在平面，O为与的交点，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直证明面面垂直. （2）找出异面直线所成的角即可求解. 【详解】（1）因为平面，又因为平面，所以. 在正方形中平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面 （2）因为，所以是异面直线与所成角的平面角（或补角）， 因为正方形，又因为平面，所以. 在正方形中，又因为平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为， 所以. 29．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据面面垂直得到平面，再结合线线垂直的关系和线面垂直的判定定理，即可得证 （2）先构造平面，证明平面平面，即可得证 【详解】（1）因为底面为矩形，即， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由于平面，得到， 根据，，平面， 所以平面. （2）取中点，连接， 因为，，分别为，，的中点， 根据三角形中位线定理，在中，， 在矩形中，， 因为，平面，平面， 所以平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 又平面，即平面. 30．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点． (1)求证：QN平面PAD； (2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)l平面PBD，证明见解析 【分析】 （1）推导出QNAD，由此能证明QN平面PAD； （2）连接BD，则MNBD，从而MN平面ABCD，由线面平行的性质得MNl，从而BDl，由此能证明l平面PBD． 【详解】（1） 证明：∵底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点． ∴QNBC，BCAD，∴QNAD， ∵QN平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴QN平面PAD； （2） 直线l与平面PBD平行，证明如下： ∵M，N分别为PD，PB的中点， ∴MNBD， ∵BD⊂平面ABCD，MN平面ABCD， ∴MN平面ABCD， ∵平面CMN与底面ABCD的交线为l， ∴由线面平行的性质得MNl， ∵MNBD，∴BDl， ∵，且BD⊂平面PBD，平面PBD， ∴l平面PBD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $