1.1.1空间向量及其线性运算（第2课时）预习及检测（解析版+原卷版）——2026-2027学年高二上学期人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修第一册预习检测 1.1.1空间向量及其线性运算（第二课时） 一、学习目标： 1.理解共线向量、共面向量的定义. 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件. 3.会证明空间三点共线、四点共面. 二、知识梳理 1.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使　a＝λb　. 2.直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的　方向向量　.直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 提示：（1）向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上. （2）因为零向量0＝0·a，所以零向量和空间任一向量a是共线（平行）向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立.因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线. 3.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA　平行于平面α　或　在平面α内　，那么称向量a平行于平面α. 4.共面向量 定义 平行于同一个　平面　的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在　唯一　的有序实数对（x，y），使　p＝xa＋yb　 提示：向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立. 三、概念辨析 1、判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点一定共线.（　✕　） （2）若a∥b，b∥c，则a∥c.（　✕　） （3）若a∥b，则表示向量a，b的有向线段所在直线互相平行或重合.（　√　） （4）空间中任意三个向量一定是共面向量.（　✕　） （5）若向量a平行于平面α，则表示向量a的有向线段所在的直线与平面α平行.（　✕　） 2.（多选）若a，b是平面α内的两个向量，则下列说法错误的是（　） A.α内任一向量p＝λa＋μb（λ，μ∈R） B.若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0 C.若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb（λ，μ∈R） D.若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb（λ，μ∈R） 【答案】ABC　 3.下列命题中正确的是（　　） A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B.向量a，b，c共面，即表示它们的有向线段所在的直线共面 C.若两个非零空间向量与满足＋＝0，则∥ D.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb 【答案】C 解析：A中，若b＝0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，但表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C中，∵＋＝0，∴＝－，∴与共线，故∥；D中，若b＝0，a≠0，则不存在实数λ，使a＝λb. 4.已知A，B，C是空间中不共线的三个点，若点O满足＋2＋3＝0，则下列说法正确的是（　　） A.点O是唯一的，且一定与A，B，C共面 B.点O不唯一，但一定与A，B，C共面 C.点O是唯一的，但不一定与A，B，C共面 D.点O不唯一，也不一定与A，B，C共面 【答案】A 解析：由空间向量的知识可知a，b，c共面的充要条件为存在实数x，y，使c＝xa＋yb，因为＋2＋3＝0，所以＝－2－3，所以，，共面，又，，过同一点O，所以O，A，B，C四点共面，因为＋2＋3＝0，所以（＋）＋2（＋）＝0，所以点O是唯一的.故选A. 5、对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？ 证明如下：①充分性： ∵＝x＋y＋z，可变形为＝（1－y－z）＋y＋z， ∴－＝y（－）＋z（－），∴＝y＋z，∴点P与A，B，C共面. ②必要性： ∵点P在平面ABC内，A，B，C三点不共线， ∴存在有序实数对（m，n）使＝m＋n，即－＝m（－）＋n（－），∴＝（1－m－n）＋m＋n.∵点O在平面ABC外，∴，，不共面. 又∵＝x＋y＋z，∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，∴x＋y＋z＝1. 所以点P在平面ABC内的充要条件是x＋y＋z＝1。 四、过关检测 1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是（　　） A.，， B.，， C.，， D.，， 【答案】C 2.设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝（　　） A.－1 B.3 C.－ D. 【答案】D 解析：由a与b共线，知存在实数k，使a＝kb，∴e1＋λe2＝－e2－ke1，即k＝－1，λ＝. 3.（多选）已知空间四点A，B，C，D及空间任意一点O，由下列条件一定可以得出A，B，C，D四点共面的有（　　） A.＝2＋3 B.＝3－－ C.∥ D.＝＋3－5 【答案】ACD 【解析】因为＝2＋3，根据向量共面充要条件可知，，一定共面， 且又有公共点A，所以A，B，C，D四点共面，故A对。由得 ，因为，所以A，B，C，D四点不共面，故B错； 4、（多选）对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（　） A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝2－－ 【答案】BC 解析：当点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B，C符合要求. 5.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为（　B　） A. B.－ C. D.－ 【答案】B 解析：＝－x＋＝－x＋（－）＝－x＋， 又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面， ∴－x＋＝1，解得x＝－. 6.已知A，B，C三点共线，如果对于空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为　0　. 【答案】0 解析：因为A，B，C三点共线，所以存在唯一实数k使＝k，即－＝k（－）， 所以（k－1）＋－k＝0.又λ＋m＋n＝0， 所以λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0. 7.已知向量a，b，c不共面，＝2a＋b，＝a＋c，＝b＋λc，若A，B，C，D四点共面，则实数λ的值为　　. 【答案】－2 解析：因为A，B，C，D四点共面，所以存在唯一的有序实数对（x，y）， 使得＝x＋y，即b＋λc＝x（2a＋b）＋y（a＋c）＝（2x＋y）a＋xb＋yc， 所以所以λ＝－2. 8.如图所示，四面体O－ABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点. （1）试用向量a，b，c表示向量，； （2）试用空间向量的方法证明M，N，G，H四点共面. 解：（1）＝－＝－a， ＝＋＝＋＝＋（－）＝＋×（＋）－ ＝（＋＋）＝（a＋b＋c）. （2）证明：连接GH（图略），则＝－， 又＝＝×（＋）＝（b＋c）， 所以＝（b＋c）－（a＋b＋c）＝－a＝－， 又＝－，所以＝.所以M，N，G，H四点共面. 9、如图，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.求证：E，F，G，H四点共面. 证明：如图，连接PE，PF，PG，PH并延长，分别交AB，BC，CD，DA于点M，N，Q，R， 则M，N，Q，R分别为所在边的中点，作四边形MNQR，则该四边形为平行四边形，连接MQ，EG，EF，EH.易知＝，＝，＝，＝， 所以＝－＝－＝＝（＋） ＝（－）＋（－）＝（－）＋（－）＝＋. 故E，F，G，H四点共面. 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修第一册预习检测 1.1.1空间向量及其线性运算（第二课时） 一、学习目标： 1.理解共线向量、共面向量的定义. 2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件. 3.会证明空间三点共线、四点共面. 二、知识梳理 1.空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ，使　　. 2.直线的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的　　.直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 提示：（1）向量a，b共线时，表示向量a，b的有向线段不一定在同一条直线上. （2）因为零向量0＝0·a，所以零向量和空间任一向量a是共线（平行）向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立.因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线. 3.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA　　或　　，那么称向量a平行于平面α. 4.共面向量 定义 平行于同一个　　的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在　　的有序实数对（x，y），使　　 提示：向量p与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立. 三、概念辨析 1、判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点一定共线.（　　） （2）若a∥b，b∥c，则a∥c.（　） （3）若a∥b，则表示向量a，b的有向线段所在直线互相平行或重合.（　） （4）空间中任意三个向量一定是共面向量.（　　） （5）若向量a平行于平面α，则表示向量a的有向线段所在的直线与平面α平行.（　） 2.（多选）若a，b是平面α内的两个向量，则下列说法错误的是（　） A.α内任一向量p＝λa＋μb（λ，μ∈R） B.若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0 C.若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb（λ，μ∈R） D.若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb（λ，μ∈R） 3.下列命题中正确的是（　　） A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B.向量a，b，c共面，即表示它们的有向线段所在的直线共面 C.若两个非零空间向量与满足＋＝0，则∥ D.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb 4.已知A，B，C是空间中不共线的三个点，若点O满足＋2＋3＝0，则下列说法正确的是（　　） A.点O是唯一的，且一定与A，B，C共面 B.点O不唯一，但一定与A，B，C共面 C.点O是唯一的，但不一定与A，B，C共面 D.点O不唯一，也不一定与A，B，C共面 5、对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？ 四、过关检测 1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量共面的是（　　） A.，， B.，， C.，， D.，， 2.设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝（　　） 3.（多选）已知空间四点A，B，C，D及空间任意一点O，由下列条件一定可以得出A，B，C，D四点共面的有（　　） A.＝2＋3 B.＝3－－ C.∥ D.＝＋3－5 4、（多选）对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（　） A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝2－－ 5.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为（　　） A. B.－ C. D.－ 6.已知A，B，C三点共线，如果对于空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为　　. 7.已知向量a，b，c不共面，＝2a＋b，＝a＋c，＝b＋λc，若A，B，C，D四点共面，则实数λ的值为　　. 8.如图所示，四面体O－ABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点. （1）试用向量a，b，c表示向量，； （2）试用空间向量的方法证明M，N，G，H四点共面. 9、如图，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.求证：E，F，G，H四点共面. 学科网（北京）股份有限公司 $