第5卷 函数综合 2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦函数综合核心考点，以“一考一讲”模式实现概念辨析、性质应用到实际建模的逻辑闭环，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题（题1-3）|定义域、函数值计算、参数范围基础判断|从函数定义出发，构建概念认知起点| |性质应用|5题（题4、6-7、9、16）|奇偶性判定、单调性应用、二次函数对称性推理|以函数性质为核心，形成“定义-判定-应用”推导链条| |图像分析|1题（题5）|指数与对数函数图像识别|结合几何直观，建立数与形的对应关系| |实际应用|2题（题10、18）|地震能量计算、矩形面积建模|通过真实情境，体现模型意识与应用能力|

编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第5卷 函数综合 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（   ）. A． B．3 C．5 D．6 3．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知是偶函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 5．在同一坐标系中，函数与的图像大致是（   ） A． B． C． D． 6．如果二次函数对任意实数都有，那么（    ） A． B． C． D． 7．已知函数若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．已知奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 10．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.根据此关系式计算可得，八级地震释放的能量约为六级地震释放能量的（    ） A．3倍 B．100倍 C．1000倍 D．倍 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．函数（且）的图像恒过定点__________． 12．若，，则____________．（用a、b表示） 13．定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是__________. 14．已知对于函数的定义域为，则的取值范围为______. 15．对于实数定义一种运算：，已知函数，其中，若，则的取值范围______. 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 17．已知函数，. (1)若函数在区间上的最大值与最小值之和为6，求实数的值； (2)若，求的值. 18．如图所示，在等边三角形中，分别是上的点，，，是边上的点，四边形为矩形，设，矩形的面积为． (1)求关于的函数关系式，并写出该函数的定义域； (2)当为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第5卷 函数综合 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式和对数函数有意义的条件即可得解. 【详解】要使函数有意义，则 ，解得且， 故函数的定义域为. 故选：C. 2．已知函数，则（   ）. A． B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据自变量的取值范围，选择对应的函数表达式进行计算，需要先计算内层函数的值，再将其作为自变量代入外层函数计算即可. 【详解】已知， 因为，可得：， 可得， 因为， . 故选：B. 3．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性求解即可. 【详解】当时，函数在其定义域内为减函数， 又因为，解得，则有； 当时，函数在其定义域内为增函数， 又因为，解得，则有； 实数a的取值范围是. 故选：C. 4．已知是偶函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质来求解在特定区间的表达式. 【详解】因为当时，， 令，则，， 因为为偶函数，所以， 故时，． 故选：C. 5．在同一坐标系中，函数与的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数和指数函数的单调性判断即可. 【详解】因为函数在上是减函数，所以排除B，C选项； 因为函数在上是减函数，所以D选项正确． 故选：D. 6．如果二次函数对任意实数都有，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数对称性式子得到二次函数对称轴，再根据二次函数单调性，结合对称性，判断函数值大小即可. 【详解】由可得：， 即函数关于对称，且函数的图象开口向上， 即在上单调递减，在上单调递增， ，且由对称性可知：， . 故选：. 7．已知函数若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据自变量的取值范围分别代入，进而求解. 【详解】当时，， 由， 综上所述，； 当时， ， 因为，所以指数函数在上单调递减， 所以， 综上所述，， 综合两种情况，将和取并集， 得， 用区间表示为：， 故选：B 8．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为，所以是减函数，所以； 因为，所以在单调递增，所以； 因为，在单调递减，所以， 所以， 故选：D 9．已知奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，结合指数函数的值域即可求解. 【详解】因为函数奇函数，所以，则. 又因为奇函数在上是减函数，所以在上是减函数. 由题意得，，因为，则. 当时，，解得. 当时，，解得. 综上，不等式的解集是. 故选：B. 10．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.根据此关系式计算可得，八级地震释放的能量约为六级地震释放能量的（    ） A．3倍 B．100倍 C．1000倍 D．倍 【答案】C 【分析】根据函数的具体解析式，利用对数和指数的运算法则求解即可. 【详解】设八级地震释放的能量为，六级地震释放的能量为， 由题意， 八级地震释放的能量为. 六级地震释放能量为. 所以. 所以八级地震释放的能量约为六级地震释放能量的倍. 故选：C. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．函数（且）的图像恒过定点__________． 【答案】 【分析】根据对数函数图像必过定点，求得函数的图像恒过定点. 【详解】由题意，函数. 令，即，得， 即函数的图像恒过定点． 故答案为：. 12．若，，则____________．（用a、b表示） 【答案】 【分析】根据指数式与对数式的互化、换底公式及运算法则即可求解. 【详解】因为，所以， 因此， 故答案为：． 13．定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据增函数的定义以及性质求解即可. 【详解】因为函数对任意两个不相等的实数都有， 所以函数在上为增函数. 所以等价于， 整理得，解得. 故答案为：. 14．已知对于函数的定义域为，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题可得，对任意的实数都成立.当符合题意，当时，根据一元二次不等式恒成立问题求解，最后取并集即可. 【详解】由题可知，对任意的实数都成立. ①当时，，符合题意； ②当时，则满足，解得. 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 15．对于实数定义一种运算：，已知函数，其中，若，则的取值范围______. 【答案】 【分析】由函数单调性，利用分类讨论分析易得答案. 【详解】由运算， ，在定义域上是减函数， 当时，；当时，； ，当时，即时，； 当时，即时， ，当时，即时，； 当时，即时，； ①当时， 由得， ， ； ②当时，由得， ，； ③当时，由得不成立． 综上所述． 故答案为：. 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数． (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义证明即可； （2）根据函数的奇偶性与对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）要使函数有意义， 只需， 解得， 所以函数的定义域为且定义域关于原点对称． 又因为， 所以函数为奇函数． （2）因为， 所以， 即 即， 解得， 所以的取值范围是． 17．已知函数，. (1)若函数在区间上的最大值与最小值之和为6，求实数的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合指数函数的单调性可得，继而求解； （2）根据题意，结合函数解析式可得，结合指数式与对数式的互化，可得，代入，结合对数的运算及对数恒等式，即可求解. 【详解】（1）因为在上单调递增， 又函数在区间上的最大值与最小值之和为6， 即，所以，所以， 所以，解得. （2）因为，即， 所以，即， 所以. 18．如图所示，在等边三角形中，分别是上的点，，，是边上的点，四边形为矩形，设，矩形的面积为． (1)求关于的函数关系式，并写出该函数的定义域； (2)当为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)，定义域为. (2)时，面积最大为. 【分析】（）根据平行线的性质及等边三角形的性质，结合三角函数求出矩形的长与宽即可求出解析式，根据题意结合得出定义域. （）根据二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）在等边三角形中，，所以，则为等边三角形， ，则， 因为，则，， 则矩形的面积为， 因为点在上移动，且四边形为矩形，所以， 所以，定义域为. （2）因为，定义域为， 函数图像为开口向下的抛物线，对称轴为，， 所以当时，面积最大为. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $