第8卷 三角函数综合 2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以“一考一讲”模式构建三角函数综合检测体系，覆盖定义、性质、解三角形等核心考点，通过“检测-讲解-巩固”闭环培养几何直观与推理意识，适配一轮复习需求。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|10题|概念辨析（象限角与函数值关系）、公式应用（周期、最值）|从三角函数定义到图像性质，构建“定义-公式-应用”逻辑链| |填空|5题|定义域、单调区间、三角恒等变换|衔接函数性质与三角运算，强化知识内在关联| |解答|3题|解三角形、三角函数图像变换|整合解三角形与函数图像，体现知识综合应用|

编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第8卷 三角函数综合 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合任意角的三角函数值，根据角的终边过的点的坐标，求得角的正弦值和余弦值，结合正弦的二倍角公式，即可求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故选：C. 2．在中，若，，则a值等于（    ）. A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】利用正弦定理解三角形，即可求解. 【详解】在中，若，， 由正弦定理得：. 故选：A. 3．函数 的最小正周期和最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合辅助角公式、两角和的正弦公式，将函数化为正弦型函数，结合正弦型函数的周期性和值域，即可求解. 【详解】因为， 所以最小正周期； 当时，函数取得最大值，即. 故选：B. 4．已知锐角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由同角三角函数的平方关系求解与的值，再根据诱导公式以及两角差的余弦公式计算即可. 【详解】因为为锐角，所以， 又因为， 所以， ， 所以 . 故选：A. 5．已知满足，则角C的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意知，在中， 所以，又， 所以角C的度数为. 故选：C. 6．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由题可知侧面展开图半圆的弧长即为圆锥底面圆的周长，又圆心角的弧度数为，根据弧长公式即可求解. 【详解】因为圆锥的底面半径为1，所以侧面展开图半圆的弧长即为圆锥底面圆的周长，即， 又因为圆心角的弧度数为，所以该圆锥的母线长为． 故选：C. 7．已知，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据两角和的正切公式求出，结合齐次式的应用即可得解. 【详解】因为， 解得， 则， 故选：. 8．“角是第一象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合充要条件的定义即可求解. 【详解】是第一、二象限或终边在y轴正半轴的角； 故角是第一象限角是的充分不必要条件． 故选：A. 9．已知函数的最小值是（   ） A． B． C．0 D．5 【答案】B 【分析】令，使用换元法进行求解即可. 【详解】令，当时，， 则， 由二次函数可知，其函数图像开口向上，对称轴为， 所以当，函数单调递减， 所以当时，取最小值，， 所以当，即时， 函数的最小值为， 故选：B. 10．在中，内角的对边分别是，若，且，则等于（    ） A．3 B． C．3或 D．或 【答案】A 【分析】首先根据余弦定理结合同角三角函数的基本关系式求出，再由正弦定理结合和角公式求出和，最后用和与差的正切求出即可. 【详解】已知， 即，由余弦定理可得， ，即， 则，所以， 因为，所以， 又， 由正弦定理， 即， 所以, 即， 则，又， 所以，因为， 所以或，因为，所以， 所以， ， . 故选：A. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．函数的定义域是______. 【答案】且 【分析】根据分母不等于0，和偶次分式大于等于0，列不等式组，再解简单的三角函数不等式即可. 【详解】要使函数有意义，必须满足，且， 由知，， 由知，， 所以函数定义域为且. 故答案为：且. 12．在三角形中，已知则______ 【答案】7 【分析】利用余弦定理边角互化，求解即可. 【详解】在三角形中，因为， 所以， 即 ， 因此， 故答案为：. 13．已知，是方程的两根，则______． 【答案】2 【分析】根据韦达定理及两角和的正切公式求解. 【详解】∵，是方程的两根， ∴， ∴. 故答案为：2. 14．函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【分析】根据正弦函数的单调性即可求解. 【详解】函数的单调递增，则， 即，解得, 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 15．已知函数的部分图像如图所示，则_____．    【答案】 【分析】根据图形可知函数周期，结合最小周期公式得到，最后代入计算即可. 【详解】由图可知：， 所以， 当时，函数取最大值，所以， 又，所以令，. 故答案为：. 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．已知中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，两角和的正弦公式，结合三角形的性质，诱导公式即可求解. （2）根据余弦定理，三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得，等价于, 则，解得，所以. （2）由余弦定理可得，， 解得，所以的面积为． 17．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，且终边上一点P的坐标为． (1)求的值； (2)若将向量绕原点O逆时针旋转到，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合任意角三角函数的定义，及正弦的二倍角公式，即可求解； （2）根据题意，结合两角和的正弦、余弦公式，即可求解. 【详解】（1）因为角的终边上一点P的坐标为， 所以， 所以. （2）因为角的终边上一点P的坐标为，半径， 将向量绕原点O逆时针旋转到，则终边对应的角度为， 所以， , 所以点Q的坐标为，即. 18．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图像上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图像，当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先使用正弦的二倍角公式和辅助角的公式将函数化为正弦型函数，再由最小正周期公式求解即可. （2）先由图像平移得到的函数解析式，再结合x的给定范围求解值域即可. 【详解】（1） ， ∴函数的最小正周期. （2）函数图像上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图像， 即， ∵， ∴， 当时，即，函数有最大值为； 当时，即，函数有最大值为， ∴当时，函数的值域为. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第8卷 三角函数综合 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，若，，则a值等于（    ）. A．1 B．2 C．4 D．8 3．函数 的最小正周期和最大值分别为（    ） A． B． C． D． 4．已知锐角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知满足，则角C的度数为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C．2 D． 7．已知，则的值是（    ） A． B． C． D．2 8．“角是第一象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知函数的最小值是（   ） A． B． C．0 D．5 10．在中，内角的对边分别是，若，且，则等于（    ） A．3 B． C．3或 D．或 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．函数的定义域是______. 12．在三角形中，已知则______ 13．已知，是方程的两根，则______． 14．函数的单调递增区间是__________. 15．已知函数的部分图像如图所示，则_____．    三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．已知中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 17．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，且终边上一点P的坐标为． (1)求的值； (2)若将向量绕原点O逆时针旋转到，求点Q的坐标． 18．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图像上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图像，当时，求函数的值域． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $